第七章 B样条曲线

B样条曲线算法介绍B样条曲线是一种用于数值分析和计算机图形学中的数学曲线表示方法。

它通过一系列控制点和节点向量来定义曲线的形状。

B样条曲线具有良好的平滑性和局部控制性，被广泛应用于汽车造型设计、动画制作、CAD等领域。

B样条基函数B样条基函数是构建B样条曲线的基本组成部分。

一个B样条曲线由一系列的B样条基函数加权叠加而成。

B样条基函数具有局部支撑性质，只对控制点和其附近的部分产生影响，使得曲线能够局部调整。

1. 均匀B样条基函数均匀B样条基函数是一种简单的B样条基函数形式，其形状由节点向量的选择决定。

对于一个n次B样条曲线，节点向量为[t0, t1, …, tm]，其中ti为节点的位置，m为节点数。

均匀B样条基函数的定义如下：N i,0(t)={1, if t∈[t i,t i+1) 0, otherwise2. 非均匀B样条基函数非均匀B样条基函数引入了节点向量的权重，可以进一步调整曲线的形状。

对于一个n次B样条曲线，节点向量为[t0, t1, …, tm]，其中ti为节点的位置，m为节点数。

非均匀B样条基函数的定义如下：N i,p(t)=t−t it i+p−t iN i,p−1(t)+t i+p+1−tt i+p+1−t i+1N i+1,p−1(t)其中p为基函数的次数。

B样条曲线的插值与逼近B样条曲线可以通过插值和逼近两种方式来生成。

插值是通过给定一系列的控制点，确保曲线经过这些点来生成曲线。

逼近是通过给定一系列的数据点，在曲线上找到最逼近这些数据点的曲线。

1. 插值B样条曲线的插值方法将控制点设定为插值点。

我们可以通过求解线性方程组的方式确定控制点的位置，然后利用B样条基函数的加权叠加得到曲线。

插值曲线具有经过控制点的性质，是一种精确的曲线生成方法。

2. 逼近B样条曲线的逼近方法通过给定数据点来求解控制点的位置。

我们可以利用最小二乘法来求解控制点的位置，使得曲线尽可能地逼近这些数据点。

b样条曲线生成原理1. 引言b样条曲线是在计算机图形学和计算机辅助设计中常用的一种曲线表示方法。

它具有良好的平滑性和灵活性，可用于绘制复杂的曲线形状。

b样条曲线的生成原理涉及控制点、节点向量和基函数等关键概念，本文将深入探讨b样条曲线的生成原理及相关知识。

2. 控制点和节点向量在b样条曲线中，控制点是影响曲线形状的关键元素。

使用一系列控制点来定义曲线的形状。

节点向量则决定了b样条曲线的拟合效果。

节点向量是一个有序的非递减序列，它决定了曲线上各部分的权重。

3. b样条基函数b样条曲线的生成原理基于b样条基函数。

b样条基函数是关于节点向量的一组多项式函数，用于将控制点与节点向量结合起来计算曲线上的点坐标。

常用的b样条基函数有B样条、N样条、三次b样条等。

3.1 B样条基函数B样条基函数是b样条曲线生成中常用的一种基函数。

它是由节点向量确定的一组分段多项式函数，每个分段函数只对节点向量中一段有效。

B样条基函数具有局部性，只对部分区域有非零值，这使得b样条曲线具有平滑的特性。

3.2 N样条基函数N样条基函数是另一种常用的b样条基函数。

与B样条基函数类似，N样条基函数也是由节点向量确定的分段函数，但它的局部性较弱。

N样条基函数在全局范围内都有非零值，因此可以生成更为复杂的曲线形状。

3.3 三次b样条基函数三次b样条基函数是b样条曲线生成中最常用的基函数之一。

它是一种局部三次多项式函数，在局部区域内具有较好的拟合性能。

三次b样条基函数可以通过递推公式计算得到，其形式简单，计算效率高。

4. b样条曲线的生成算法4.1 插值算法插值算法是一种常用的b样条曲线生成算法。

它通过给定的控制点生成曲线，使得曲线经过这些控制点。

插值算法使用节点向量和b样条基函数对控制点进行插值计算，生成曲线上的点坐标。

4.2 逼近算法逼近算法是另一种常用的b样条曲线生成算法。

它通过给定的控制点生成曲线，使得曲线与控制点之间的误差最小。

逼近算法使用节点向量和b样条基函数对控制点进行逼近计算，调整权重使得曲线与控制点的拟合度达到最优。

b样条曲线生成原理
B样条曲线是一种平滑的曲线，其生成原理基于多项式插值和控制点的概念。

其具体实现过程如下：
1. 定义控制点：在平面或空间中确定若干个控制点，这些点用来控制生成的曲线的形状。

2. 确定节点向量：节点向量是一组非降序实数序列，用于定义每个控制点的影响范围。

节点向量的个数等于控制点数加上曲线阶数减一，曲线阶数决定了曲线的平滑程度。

一般情况下，B样条曲线的阶数为2或3。

3. 构造基函数：基函数是一组与节点向量相关的函数，用来确定每个控制点在曲线上的影响程度。

B样条曲线的基函数具有局部性质，即只有与当前控制点相关的基函数才有非零值。

4. 计算曲线：将控制点和基函数带入公式中，计算出B样条曲线上每个点的坐标。

在计算时，每个控制点只对相邻的几个点产生影响，因此计算效率较高。

通过上述步骤，我们可以生成一条平滑的B样条曲线，其形状受控制点的位置和数量、节点向量的选择以及曲线阶数的设定等因素的影响。

B样条曲线在计算机图形学、CAD等领域有广泛应用。

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B 样条曲线的一般表达式B 样条曲线是一种用于曲线拟合和插值的数学工具，具有很好的局部性和灵活性。

本文将介绍 B 样条曲线的一般表达式，以及其应用场景和优点。

B 样条曲线是一种用于曲线拟合和插值的数学工具，由Schatzman 和 Thomas 于 1967 年提出。

与常见的多项式插值和样条插值不同，B 样条曲线采用基函数和控制点来描述曲线，具有很好的局部性和灵活性。

B 样条曲线的一般表达式为:$$P(x) = sum_{i=0}^n lambda_i B_i(x)$$其中，$P(x)$表示曲线在$x$点的值，$lambda_i$是控制点，$B_i(x)$是基函数。

B 样条曲线的基函数是通过 B-spline 函数生成的。

B-spline 函数是一种用于描述曲线或曲面的数学函数，具有很好的局部性和光滑性。

B-spline 函数的定义如下:$$B_i(u) = begin{cases}u^0 & text{if } u leq i(i-u)^i & text{if } i < u leq i+1u^i & text{if } u > i+1end{cases}$$其中，$u$表示曲线或曲面上的某个点，$i$表示 B-spline 函数的阶数。

B 样条曲线的控制点是指在曲线或曲面上选取的一些点，通过这些点的值可以控制曲线或曲面的形状。

B 样条曲线的控制点可以通过以下公式计算:$$lambda_i = frac{1}{p_i - p_{i-1}}$$其中，$p_i$表示曲线或曲面上的第$i$个控制点，$p_{i-1}$表示曲线或曲面上的第$i-1$个控制点。

B 样条曲线的优点在于，它可以很好地适应曲线的局部性和复杂性，同时具有很好的计算效率和精度。

b样条曲线原理
b样条曲线是一种用来插值和逼近离散数据的数学方式。

它是
一条平滑的曲线，由一系列连续的曲线段组成。

每个曲线段由一个基函数控制，这个基函数在局部区域内起作用。

b样条曲线的主要原理是通过控制点和基函数的权重来确定曲
线的形状。

在插值问题中，我们首先需要定义一组控制点，这些点是我们想要曲线经过的点。

然后，我们选择一种基函数，如三次b样条。

基函数的选择取决于所需的曲线平滑度和形状。

基函数控制点的权重是通过求解线性方程组得到的。

线性方程组的系数矩阵由控制点和基函数共同决定。

解出的权重即确定了曲线的形状。

b样条曲线的关键特点是它的局部性质。

每个控制点只影响曲
线的一小部分。

这使得曲线在插值和逼近过程中能够自由地调整。

如果我们修改一个控制点的位置，只有与这个控制点相邻的曲线段会受到影响，而其他曲线段则保持不变。

b样条曲线的另一个重要特点是它的光滑性。

通过适当选择基
函数和控制点的位置，我们可以确保曲线在控制点处是连续且可导的。

这使得b样条曲线在计算机图形学和计算机辅助设计等领域得到广泛应用。

综上所述，b样条曲线是一种通过控制点和基函数控制形状的
平滑曲线。

它具有局部性和光滑性的特点，适用于插值和逼近
问题。

通过调整控制点的位置和权重，我们可以灵活地控制曲线的形状。

b样条曲线算法B样条曲线算法是一种用于计算和绘制平滑曲线的数学算法。

它可以在计算机图形学、CAD、动画等领域中广泛应用。

本文将详细介绍B 样条曲线算法的原理、应用、优缺点等方面。

一、B样条曲线概述1.1 定义B样条曲线是一种由多个控制点组成的平滑曲线，它通过对控制点之间的插值来确定曲线形状。

1.2 历史B样条曲线最早由Isaac Jacob Schoenberg于1946年提出，但直到20世纪60年代才开始被广泛使用。

最初，它主要应用于航空工业中的飞机设计和建模。

1.3 特点B样条曲线具有以下特点：（1）平滑性：B样条曲线可以通过调整控制点来实现平滑过渡。

（2）局部性：每个控制点只影响相邻的几个插值段，不会影响整个曲线。

（3）灵活性：可以通过增加或删除控制点来改变曲线形状。

二、B样条曲线原理2.1 插值问题在计算机图形学中，插值是一个常见的问题。

插值问题通常可以概括为：给定一组数据点，如何通过这些数据点来构造一个平滑的曲线或曲面。

2.2 B样条基函数B样条曲线使用B样条基函数来进行插值。

B样条基函数是一组递归定义的多项式函数，它们具有局部性和平滑性。

2.3 B样条曲线方程B样条曲线可以表示为以下形式：C(u) = ΣNi=0 Bi,k(u)Pi其中，C(u)是曲线上的点，Ni是控制点的数量，Bi,k(u)是B样条基函数，Pi是控制点。

三、B样条曲线应用3.1 计算机图形学在计算机图形学中，B样条曲线广泛用于三维建模和动画制作中。

它可以用于创建平滑的曲面和复杂的几何体。

3.2 汽车设计在汽车设计中，B样条曲线被用于创建汽车外观的流畅轮廓。

它可以通过调整控制点来实现汽车外观的微调。

3.3 航空工业在航空工业中，B样条曲线被广泛用于飞机设计和建模。

它可以用于创建复杂的飞行器结构和机翼形状。

四、B样条曲线优缺点4.1 优点（1）平滑性：B样条曲线可以通过调整控制点来实现平滑过渡。

（2）局部性：每个控制点只影响相邻的几个插值段，不会影响整个曲线。

CAGD：第七章NURBS曲线的计算与应⽤第七章 NURBS曲线的计算与应⽤7.1 有理de Casteljau算法对于给定的有理次Bézier曲线：（7.1.1）由于它是带权控制顶点定义的⾮有理次Bézier曲线在超平⾯上的透视投影，因此对于的计算可直接采⽤⾮有理Bézier曲线的de Casteljau算法计算由定义的⾼⼀维空间的⾮有理次Bézier曲线，最后取其在超平⾯的投影即可。

这也可以看作分别同时对的分⼦和分母执⾏⾮有理的de Casteljau算法，最后相除即可。

下⾯我们举例说明这⼀计算过程。

例给定控制顶点及权因⼦，定义⼀条平⾯有理⼆次Bézier曲线：求曲线上参数为的点。

求解步骤如下：1. 确定带权控制顶点：2. 以参数对带权控制顶点执⾏de Casteljau算法：3. 取在上的中⼼投影，即⽤最后⼀个表⽰权因⼦的坐标除以其余各坐标分量，得到该有理⼆次Bézier曲线上所求的点：由此例可以看出，对于有理次Bézier曲线上点的计算，其⽅法与⾮有理Bézier曲线的⽅法完全⼀样，所不同的是计算量有所增加，增加了乘法、加法和⼀次除法。

已有的基于de Casteljau算法的程序⼏乎不加改动就可使⽤。

然⽽，如果某些权因⼦较⼤，那么de Casteljau算法产⽣的中间控制顶点就不在原控制顶点的凸包之内，这将导致计算精度的损失。

因⽽必须寻求另外的计算有理Bézier曲线的算法，即有理de Casteljau算法。

有理de Casteljau算法的基本思想是将⾮有理de Casteljau算法产⽣的每⼀中间带权控制顶点投影到超平⾯上，即：（7.1.2）（7.1.3）那么，。

中间控制顶点可显式表⽰如下：（7.1.4）有理de Casteljau算法显然花费较⼤，但却更准确和稳定。

因为对于⾮负的权因⼦，中间点位于的凸包之内，因此保证了数值稳定性。