b样条曲线721讲义83120
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B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法二
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论 2次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论 3次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
பைடு நூலகம்
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
Bezier实现高速列车外形
作业2：
第一部分 自由曲面设计理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
6.4.B样条曲线
j =0 n +1
未知新顶点的计算公式：
Pj1 = Pj , 1 Pj = (1 β )Pj 1 + β j Pj , P1 = P , j 1 j
βj = t tj t j + k 1 t j
j = 0,1,L , i k + 1 j = i k + 2,L , i r j = i r + 1,L , n + 1
P (t ) = ∑ Pi N i , k (t )
i=0 n
[t
j
, t j +1 (k 1 ≤ j ≤ n )
]
= =
i= j k j
∑ P N (t )
i i ,k
j
t ti t t Pi N i , k 1 + i + k N i +1, k 1 (t ) ∑ t t t i + k t i +1 i = j k +1 i + k 1 i
T 1 = [t 0 , t1 ,L , t i , t , t i +1 ,L , t n + k ]
这个新的节点矢量 T 1 决定了一组新的B样条基
N i1,k (t ) i = 0,1,L , n + 1
原B样条曲线可以用这组新 B样条基与未知新顶点 Pi1 表示出：
P(t ) = ∑ Pj1 N 1,k (t ) j
曲线如表示成三次Bezier曲线，则其控制顶点为：
2 Pj[1] (t j ) Pj[1]1 (t j ) Pj[1]1 (t j +1 ) Pj[2 ] (t j +1 )
如图6.4.7所示
图6.4.7 四阶B样条曲线转化成Bezier曲线
未知新顶点的计算公式：
Pj1 = Pj , 1 Pj = (1 β )Pj 1 + β j Pj , P1 = P , j 1 j
βj = t tj t j + k 1 t j
j = 0,1,L , i k + 1 j = i k + 2,L , i r j = i r + 1,L , n + 1
P (t ) = ∑ Pi N i , k (t )
i=0 n
[t
j
, t j +1 (k 1 ≤ j ≤ n )
]
= =
i= j k j
∑ P N (t )
i i ,k
j
t ti t t Pi N i , k 1 + i + k N i +1, k 1 (t ) ∑ t t t i + k t i +1 i = j k +1 i + k 1 i
T 1 = [t 0 , t1 ,L , t i , t , t i +1 ,L , t n + k ]
这个新的节点矢量 T 1 决定了一组新的B样条基
N i1,k (t ) i = 0,1,L , n + 1
原B样条曲线可以用这组新 B样条基与未知新顶点 Pi1 表示出：
P(t ) = ∑ Pj1 N 1,k (t ) j
曲线如表示成三次Bezier曲线，则其控制顶点为：
2 Pj[1] (t j ) Pj[1]1 (t j ) Pj[1]1 (t j +1 ) Pj[2 ] (t j +1 )
如图6.4.7所示
图6.4.7 四阶B样条曲线转化成Bezier曲线
课件 计算机图形学 贝塞尔曲线及B样条
二 B样条曲线的数学表达式 1 通常，给定m+n+1个顶点Pi(i=0，1，2，…，m+n”)，
可以定义m十1段n次的参数曲线为：
n
Pi,n (t) Pik • Fk,n (t)
(0 t 1)
k 0
式中：
Fk,n(t)为n次B样条基函数，也叫B样条分段混合函数。 其形式为：
C Fk,n
(t)
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
i0
p(t) (1 t)3 p0 3t(1 t)2 p1 3t 2 (1 t) p2 t3 p3
其中混合函数分别为：
B0，3 = 1- 3t + 3t2 - t3 =
B1，3 = 3t - 6t2 + 3t3 =
B2，3 = 3t2 - 3t3 =
（二 ）起始点与终止点切矢量的方向 通过对基函数求导，可以证明起始点与终止点的 切矢量与第1和第n（最后）条边一致（走向一致）。
基函数的导数：
B'i,n
(t)
n! i!(n
i)!
t（i 1
t）ni
'
Bi ,n
(t)
n! i!(n
i)!
t（i 1
t）ni
n! i·ti（1 1 t）ni （n i）t（i 1 t）ni1 i!(n i)!
贝塞尔曲 线
起始点
终止点
五 贝塞尔曲线的数学表达式：
Bezier曲线的数学基础：在第1个和最后一个端点之间进行
插值的多项式混合函数(调和函数)
它可以参用数方程表示如下：
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
B样条基础解析
Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（特征多边 形）的各顶点唯一地定义出来的。在这组顶点中： (1) 只有第一个顶点和最后一个顶点在曲线上； (2) 其余的顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形 状； (3) 第一条边和最后一条边则表示了曲线在两端点 处的切线方向。
一、 Bé zier曲线的定义和性质
1. 定义
给定空间n+1个点的位置矢量Pi ( i=0,1,2,…,n )，则Bé zier曲线可定 义为： n P(t) Pi B i,n (t), t 0,1
i 0
其中，Pi(i=0,1, …,n)构成该Bé zier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次 Bernstein基函数： n! i i B i,n (t) Cn t (1 t)n i t i (1 t)n i , (i 0,1,..., n) (n i )!i ! 其中，00=1，0！=1。 控制顶点 特征多边形
1 ti t ti 1 N i ,1 (t ) 0 Otherwise
t ti ti k t N i ,k (t ) N i ,k 1 (t ) N i 1,k 1 (t ) ti k 1 ti ti k ti 1
and t0 , t1 ,, tk 1 , tk ,, tn , tn1 ,, tn k 1 , tn k
(1) 正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2, , n 1)
(2) 端点性质
1, i=0 Bi,n(0)= 1, i=n Bi,n(1)=
0, i≠0
0, i≠n
2. Bernstein基函数的性质
(3) 权性
B
i 0
n
b线样条
Pm
P3
三次B样条曲线段
P0
P”(1) P”(0)
P4
同理，对于终点P（1）处的情形与此相应。如果在B特征多边形上 增加了一个顶点P4，那么P1P2P3P4又可定义一段新的三次B样条曲线。 因为新曲线段起点的有关数据和上一段曲线的终点的有关数据都只和 P1、P2、P3三点有关，所以该二段曲线在连接处的位置矢量，一阶切矢 和二阶切矢都应相等，即： P'1(1) = P'2(0) P''1(1) = P''2(0) 这就证明了，三次B样条曲线可以达到二阶连续。
P ' (0) P ' (1) 1 ( P2 P0 ) 2 1 ( P3 P1 ) 2
P ' ' ( 0 ) P0 2 P1 P2 ) ( P2 P1 ) ( P0 P1 ) P ' ' (1) P1 2 P2 P3 ) ( P3 P2 ) ( P1 P2 )
ti k ti ti k 1 ti 1
tk u t K 1
(权Ni,k(u) i=0,1,2,3,…n+1称为基函数,即调合函数)。
B样条曲线的定义
设Pi (i=0,1,2,3,…n) 为给定空间的n+1个顶点 (即B样条曲线特征多边形的n+1个顶点),则k次(k+1阶)的表
B样条曲线的性质： ●端点及连续性（扩展性）: 如果对特征多边形 P0P1P2P3，增加一个顶点P4，则特征多边形 P1P2P3 P4生成的三次B样条曲线与P0P1P2P3生成 的三次B样条曲线在连接点的一阶和二阶导数 都是连续的。
●局部性: 三次B样条曲线只被相邻的4个顶点所 控制，而与其它顶点无关。当移动一个顶点时， 只对其中二段曲线有影响，并不对整段曲线有 影响。
P3
三次B样条曲线段
P0
P”(1) P”(0)
P4
同理，对于终点P（1）处的情形与此相应。如果在B特征多边形上 增加了一个顶点P4，那么P1P2P3P4又可定义一段新的三次B样条曲线。 因为新曲线段起点的有关数据和上一段曲线的终点的有关数据都只和 P1、P2、P3三点有关，所以该二段曲线在连接处的位置矢量，一阶切矢 和二阶切矢都应相等，即： P'1(1) = P'2(0) P''1(1) = P''2(0) 这就证明了，三次B样条曲线可以达到二阶连续。
P ' (0) P ' (1) 1 ( P2 P0 ) 2 1 ( P3 P1 ) 2
P ' ' ( 0 ) P0 2 P1 P2 ) ( P2 P1 ) ( P0 P1 ) P ' ' (1) P1 2 P2 P3 ) ( P3 P2 ) ( P1 P2 )
ti k ti ti k 1 ti 1
tk u t K 1
(权Ni,k(u) i=0,1,2,3,…n+1称为基函数,即调合函数)。
B样条曲线的定义
设Pi (i=0,1,2,3,…n) 为给定空间的n+1个顶点 (即B样条曲线特征多边形的n+1个顶点),则k次(k+1阶)的表
B样条曲线的性质： ●端点及连续性（扩展性）: 如果对特征多边形 P0P1P2P3，增加一个顶点P4，则特征多边形 P1P2P3 P4生成的三次B样条曲线与P0P1P2P3生成 的三次B样条曲线在连接点的一阶和二阶导数 都是连续的。
●局部性: 三次B样条曲线只被相邻的4个顶点所 控制，而与其它顶点无关。当移动一个顶点时， 只对其中二段曲线有影响，并不对整段曲线有 影响。
B样条曲线----曲线曲面
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线 三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线 •
相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续 三次B样条曲线则达到二阶导数连续
•
角点的修改对曲线形状的影响
Bezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线的形状。
• 贝塞尔曲面表达式如下：
n m
P(u,v)=∑ ∑bi,jBi,n(u)Bj,m(v)
i=0 j=0
0≤u,v≤1
• 贝塞尔曲面中应用最广泛的是双3次贝塞尔曲面， 它由给出的4*4个网格点唯一决定.
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
一般称 Pij为 P(u , v) 的控制顶点，把由 Pi 0 , Pi1 , , Pim (i 0,1, , n) 和 P0 j , P , Pnj( j 0,1, , m) 组成的网格 1j , 称为 P(u , v) 的控制网格，记为{Pij } ,如图9.15所示。
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
在以上表达式中： Fk,n( t )为n次B样条基函数，也称Ｂ 样条分段混合函数。其表达式为：
1 nk j j n Fk ,n (t ) (1) Cn1 (t n k j ) n! j 0
n! C 式中： ０≤t ≤ 1 r ! ( n r )! k = 0, 1, 2, …, n
Q1
Q0
P0
Q2
赤峰学院计算机系
计算机图形学
08-09第二学期
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四 角点共线的方法。 Q5 Q1 Q2 P0 P2 P3
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线 三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线 •
相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续 三次B样条曲线则达到二阶导数连续
•
角点的修改对曲线形状的影响
Bezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线的形状。
• 贝塞尔曲面表达式如下：
n m
P(u,v)=∑ ∑bi,jBi,n(u)Bj,m(v)
i=0 j=0
0≤u,v≤1
• 贝塞尔曲面中应用最广泛的是双3次贝塞尔曲面， 它由给出的4*4个网格点唯一决定.
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
一般称 Pij为 P(u , v) 的控制顶点，把由 Pi 0 , Pi1 , , Pim (i 0,1, , n) 和 P0 j , P , Pnj( j 0,1, , m) 组成的网格 1j , 称为 P(u , v) 的控制网格，记为{Pij } ,如图9.15所示。
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
在以上表达式中： Fk,n( t )为n次B样条基函数，也称Ｂ 样条分段混合函数。其表达式为：
1 nk j j n Fk ,n (t ) (1) Cn1 (t n k j ) n! j 0
n! C 式中： ０≤t ≤ 1 r ! ( n r )! k = 0, 1, 2, …, n
Q1
Q0
P0
Q2
赤峰学院计算机系
计算机图形学
08-09第二学期
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四 角点共线的方法。 Q5 Q1 Q2 P0 P2 P3
构造带形状参数的二次均匀b样条曲线
构造带形状参数的二次均匀b样条曲线在计算机图形学领域中，二次均匀B样条曲线（Quadratic uniform B-spline curve）是常见的一种曲线类型。
该曲线以若干个控制点和一个节点向量（Knot Vector）为基础进行构造，其中节点向量描绘了参数空间中曲线的结构特征。
但是，在实际应用中，我们经常需要在B样条曲线的基础上增加形状参数，以满足不同的需求。
下面将结合实例解释如何构造带形状参数的二次均匀B样条曲线。
一、基本概念1.1 B样条基函数B样条基函数（B-spline basis function）是构造B样条曲线的基础，它描述了曲线的形状特征。
对于二次均匀B样条曲线，其基函数为：N(i,2)(t)={(t-i+1)^2, i≤t≤i+12(t-i+2)(i-t)+1, i+1≤t≤i+2(i+2-t)^2, i+2≤t≤i+3其中i为基函数的下标，t为参数值。
1.2 节点向量节点向量（Knot Vector）是描述曲线参数空间结构的重要参数，它定义了曲线的节点位置和节点跨度。
对于二次均匀B样条曲线，其节点向量为：U={0,0,0,1,2,3,4,4,4}其中，0为第一次节点，4为最后一次节点。
二、构造带形状参数的二次均匀B样条曲线2.1 基本构造以五个控制点构造带形状参数的二次均匀B样条曲线为例：控制点：P0(0,0)、P1(1,1)、P2(2,0)、P3(3,1)、P4(4,0)首先，根据节点向量U和基函数N(i,2)(t)计算出基于控制点的曲线点序列：C (t) =∑（ P(i) * N(i,2)(t) ）其中i为控制点的下标。
2.2 带形状参数的构造为曲线增加形状参数，需要对节点向量U进行调整。
对于二次均匀B样条曲线，节点向量中每个节点对应着一个控制多边形的顶点，调整节点向量的位置可以改变多边形的形状，从而改变曲线的形状。
以U'={0,0,p,p,2,3,4,4,4}为例，其中p为形状参数。
B样条曲线
Bezier曲面
Bezier曲面是Bezier曲线的扩展， Bezier曲面的边界线就是由四条Bezier曲 线构成的。三次Bezier曲线段由四个控制 点确定，三次Bezier曲面片则由４× ４ 控制点确定。16个控制点组成一个矩阵：
Q00 Q 10 Q20 Q30
B=
Q01 Q 11 Q02 Q12
不易修改 由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。 （而在外形设计中，
局部修改是随时要进行的）
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要：易于进行局部修改；
P14
P04
P03 P02 P01
P11 P21
P31
P(0,v)
P10 P20
P41 P30
P00
P(u,0)
P40
图9.15 Bézier曲面的控制网格
Bézier曲面的矩阵表示是：
P(u, v) [J0,n (u) J1,n (u)
P00 P01
J
n,n
(u)]
P10
P11
角点共线的方法。
Q4
Q1
P1
。
P0
Q2
Q0
P2 Q3
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四
角点共线的方法。 Q5
Q1
Q2 。P1
P0
Q0
P2
P3
。
第10章-曲面与曲线-B样条曲线
第十章曲线与曲面(三): B-样条曲线前面已介绍了Bezier曲线，就属于几何逼近方法。
Bezier曲线是由法国雷诺汽车公司的工程师Bezier，自1962年起，经过不断的探索，提出来的。
后又经Forrest、Gordon、Riesenfeld、常庚哲(Chang Geng-Zhe) 等人的努力，已很完善。
基于Bezier 曲线的设计方法, 已经将数学中的函数逼近理论同几何表示结合到这样一种简单而直观的地步，使设计师在计算机上实现起来，就象使用常规设计与作图工具一样得心应手。
而且使用者无须了解其数学原理。
这也正是Bezier 方法比Coons 方法更受欢迎的地方。
回想一下，设计一条曲线，我们可以通过Bezier控制多边形给出大致轮廓，再通过调整控制顶点来调整曲线。
如果是有理Bezier曲线，还可以通过调整权因子来调整曲线。
对设计者来说，确实方便。
但是，Bezier曲线有两个缺点：●次数取决于Bezier控制顶点的个数，曲线次数太高。
●整体性。
牵一发而动全身，太敏感。
这正是我们引进B样条曲线的原因。
1972－1974年，Gordon 、Riesenfeld 、Forrest 等人提出B 样条曲线，具体做法是，将Bezier 曲线的Bernstein 基换为B 样条基。
B 样条曲线是NURBS 的基础，而NURBS 是CAGD 中的核心技术。
为更好地认识B 样条曲线，我们从样条函数讲起。
三次样条曲线∙ 三次样条曲线的定义定义1. 设区间 [a,b] 分割为a t t =<<01…<=tb n, p t ()是满足下列条件之向量函数。
i 每个小区间 [t i , t i+1], i=0,1,…,n-1 上，p t () 是 t 之3次向量多项式。
ii p t ()∈ C 2[a,b]. 即p t ()有直至 2阶的连续导向量。
则p t ()为 [a, b] 上关于关于分划a t t =<<01…<=tb n的 3 次参数样条曲线。
B样条基础
2. B样条定义
设有控制顶点P0,P1,…,Pn,则k阶(k-1次)B样条曲线的数学表达式为:
P(t)
P N
i 0 i
n
i,k
(t)
其中 Ni,k(t)是 k-1次 B样条曲线的基函数，也称Ｂ样条分段混合函 数，其中每一个称为B样条。
B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决定 的k阶分段多项式，也即为k阶（k-1次)多项式样条。
2. B样条定义
de Boor-Cox(德布尔—考克斯)递推定义：
1 t i t t i 1 N i,1 (t) 0 t t i 或 t t i 1
，
k=1
约定：
0 0 0
t ti t i k t N i,k (t) N i,k 1 (t) N i 1,k 1 (t), t i k 1 t i t i k t i 1
Bézier Curves
图8-5
Bezier曲线的例子
2. Bernstein基函数的性质
i i t (1 t)ni 0 t 1 中，n为基本 在Bernstein基函数 Bi,n (t) Cn 曲线的次数。由排列组合和导数运算规律可以推导出 Bernstein 基函 数的如下性质：
i 0 i 0
P(1 t) ,
t 0,1
3. Bé zier曲线的性质
(3) 凸包性 由于
B
i 0
n
i,n
(t) 1,
t 0,1 并且
0 B i,n (t) 1 (0 t 1 ,
t 0,1,...n )
说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各 顶点的加权平均，权因子依次是Bi,n(t)。 在几何图形上，意味着Bezier曲线P(t)在 t 0,1 中各点是控制 点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中。
讲 B样条曲线曲面 NURBS曲线曲面PPT课件
三次Hermite曲线---弗格森 了解内容
a 0 0 0 11 Pk
C
b
1
c 0
d
3
1 0 2
1 1 1
1
Pk
1
0 0
Rk Rk 1
Mh是Hermite矩阵。
。 Gh是Hermite几何矢量
2 2 1 1 Pk
3
0
1
3 0 0
2 1 0
1
0
0
Pk
1
Rk Rk 1
局部性质。 局变差减小性质。 凸包性。 在仿射与透射变换下的不变性。 在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。
13
第13页/共33页
NURBS曲线---性质
如果某个权因子为零，那么相应控制顶点对曲线没有影响。
若
，则当
时，非有理与有理Bezier曲线和非
有理B样条曲线是NURBS曲线的特殊情况
i
P67-68
8
第8页/共33页
NURBS曲线曲面
NURBS方法的主要优点
既为标准解析形状(初等曲线曲面)，又为自由型曲线 曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。
修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分 的灵活性。
具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。 对几何变换和投影变换具有不变性。 非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。
7
第7页/共33页
NURBS曲线曲面
B样条曲线、Bezier曲线都不能精确表示出抛物 线外的二次曲线，B样条曲面、Bezier曲面都 不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能 给出近似表示。
提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要 是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方 法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次 曲面的数学方法。
B样条曲线
3.3.1 B样条的递推定义和性质 样条的递推定义和性质
4. B样条曲线类型的划分
非均匀Bezier曲线 曲线 非均匀 任意分布的节点矢量 T=[t0,t1,…,tn+k]，只要在数学上成立（节点 ，只要在数学上成立（ 序列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。这 序列非递减，两端节点重复度 ，内节点重复度 ）都可选取。 样 的 节 点 矢 量 定 义 了 非 均 匀 B 样 条 基 。 例 T=(0 11,16) 如:T=(0,0,2,2,3,5,8,11,16)
t ∈[t k −1 , tn+1 ]
(3) 微分公式
N′ k (t) = i,
k −1 ti+k−1 − ti
Ni,k−1(t) -
k −1 Ni+1,k−1(t) ti+k − ti+1
其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的 阶多项式， 其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的k阶多项式，这个多项式 Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 个部分， ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k分k个部分，即ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k-1<=t<ti+k, 每个区间对应一段k阶多项式。 的其余区间为0 每个区间对应一段k阶多项式。在t的其余区间为0。 例如： 例如：
B样条曲线曲面
p02 ?
p12
??M
T B
W
T
?? p2 ?w???
?? p20 p21 p22 ??
。
简记为
S
yz
?u,
w??
UM
B
PM
T B
W
T
2．均匀双三次B样条曲面
? ? 已知曲面的控制点 pij (i, j ? 0,1,2,3，) 参数u,w且 u, w ? 0,1 ,
构造双三次B样条曲面的步骤同上述。
⑴沿w(或u)向构造均匀二次B样条曲线，即有：
? 1 ? 2 1?? p00 ?
? p00 ?
? ? P0 (w) ? w2 w 1 ??? 2
2
0????
p01
? ?
?
WM
B
? ?
p 01
? ?
?? 1 1 0???? p02 ??
?? p02 ??
经转置后
? ? ? ? p0 w ? p00
p 01
? ? ? 1 (t ? 3)3 ? 4(t ? 2)3 ? 6(t ? 1)3 ? 4(t)3 6 1
= 6 (–t3 + 3t2 – 3t + 1)
? F1,3 (t) ?
1 3!
2 j? 0
(? 1)
j
C
j 4
(t
?
3
?
1?
j)3
? ? ?
1 6
C
0 4
(t
?
2) 3
?
C
1 4
(t
?
1) 3
?
? 2t 2 ? 2t ? 1 Pi?1 ?
1 2
t
[计算机辅助几何造型技术]第四章 B样条曲线与曲面
![[计算机辅助几何造型技术]第四章 B样条曲线与曲面](https://img.taocdn.com/s1/m/6eeec0f3700abb68a982fbf9.png)
由图可知，三次均匀B样条曲线段之间是C2连续的.
– 凸包性
– 局部性 – 变差减小性、几何不变性、参数连续性
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24
特征顶点（控制点）对曲线形状的影响
– 特殊情况1：三点共线
1 1 ri ( 0 ) = Vi +1 + (Vi − Vi + 2 ) + Vi +1 3 2
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27
– 特殊情况4：三个顶点重合
8
10
12
1 2
{t} = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} {V } = {{0,0},{1,3},{4,4},{6,2},{5,-1},{9,-2},{13,2}}
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n=6 k =3
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三次均匀B样条曲线的几何性质
– 性质一：端点性质
• 位置矢量
ri ( 0 ) = 1 (Vi + 4Vi +1 + Vi + 2 ) 6 1 =Vi +1 + (Vi − Vi +1 ) + (Vi + 2 − Vi +1 ) 6
合肥工业大学 飞行器制造工程 专业基础课程
计算机辅助几何造型技术
-- 第四章 B样条曲线与曲面
张兵 zhangbing_end@
2015/4/19
1
内容概要
B样条基函数的定义与性质 B样条曲线的定义、性质与分类 均匀B样条曲线 非均匀B样条曲线 B样条曲面
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{Vi } = {V0 ,V1 , ,Vn }
思考： 曲线次数由 谁确定？
B样条曲线专题知识省公共课一等奖全国赛课获奖课件
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第10页10
B-样条曲线定义
t n 1个控制点 Pi
n i0
及参数节点向量Tn,k
nk
i i0 (ti ti1)
确定如下的k阶（k 1次）B样条曲线：
n
P(t) Pi Ni,k (t)，t [tk1, tn1] 共n-k+2段 i0
B-样条曲线示例
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1阶B-样条基函数
其它
Ni,k (t)在区间ti ,tik 上有定义，称后者为前者的支撑区间。
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第20页20
3阶B-样条基函数图形
Ni,3 (t)
Ni,3 (t)的图形
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第21页21
3阶B样条曲线示例
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t2
T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]
tn1
第22页22
知其然，知其所以然…
此时：Tn,4 {0,1,..., n 4}
1 t [i ,i 1)
Ni,1(t) 0
其它
根据如下的基函数递推公式计算Ni,4 (t)：
Ni,k
(t)
t k
i 1
N i ,k 1 (t )
i
k
k 1
t
N i 1,k 1 (t )，i
0,1,..., n
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三次均匀B样条曲线（3）
• 顶点数
• 定义区间
• 段数
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B-样条基函数性质
• 局部性 • 权性 • 连续性
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第25页25
B-样条基函数局部性
b样条曲线生成原理
b样条曲线生成原理
B样条曲线是一种平滑的曲线，其生成原理基于多项式插值和控制点的概念。
其具体实现过程如下：
1. 定义控制点：在平面或空间中确定若干个控制点，这些点用来控制生成的曲线的形状。
2. 确定节点向量：节点向量是一组非降序实数序列，用于定义每个控制点的影响范围。
节点向量的个数等于控制点数加上曲线阶数减一，曲线阶数决定了曲线的平滑程度。
一般情况下，B样条曲线的阶数为2或3。
3. 构造基函数：基函数是一组与节点向量相关的函数，用来确定每个控制点在曲线上的影响程度。
B样条曲线的基函数具有局部性质，即只有与当前控制点相关的基函数才有非零值。
4. 计算曲线：将控制点和基函数带入公式中，计算出B样条曲线上每个点的坐标。
在计算时，每个控制点只对相邻的几个点产生影响，因此计算效率较高。
通过上述步骤，我们可以生成一条平滑的B样条曲线，其形状受控制点的位置和数量、节点向量的选择以及曲线阶数的设定等因素的影响。
B样条曲线在计算机图形学、CAD等领域有广泛应用。
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