b样条曲线67讲义273116

第七章 B样条曲线曲面基本理论
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法二
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论 2次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论 3次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
பைடு நூலகம்
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
Bezier实现高速列车外形
作业2：
第一部分 自由曲面设计理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论

/10/10
第10页10
B-样条曲线定义
t n 1个控制点 Pi
n i0
及参数节点向量Tn,k
nk
i i0 (ti ti1)
确定如下的k阶（k 1次）B样条曲线：
n
P(t) Pi Ni,k (t)，t [tk1, tn1] 共n-k+2段 i0
B-样条曲线示例
/10/10
第11页11
1阶B-样条基函数
其它
Ni,k (t)在区间ti ,tik 上有定义，称后者为前者的支撑区间。
/10/10
第20页20
3阶B-样条基函数图形
Ni,3 (t)
Ni,3 (t)的图形
/10/10
第21页21
3阶B样条曲线示例
/10/10
t2
T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]
tn1
第22页22
知其然，知其所以然…
此时：Tn,4 {0,1,..., n 4}
1 t [i ,i 1)
Ni,1(t) 0
其它
根据如下的基函数递推公式计算Ni,4 (t)：
Ni,k
(t)
t k
i 1
N i ,k 1 (t )
i
k
k 1
t
N i 1,k 1 (t )，i
0,1,..., n
/10/10
第33页33
三次均匀B样条曲线（3）
• 顶点数
• 定义区间
• 段数
/10/10
第24页 24
B-样条基函数性质
• 局部性 • 权性 • 连续性
/10/10
第25页25
B-样条基函数局部性

=
n i=0
pi Ni,k ′ (t)
∑ =
(k
−
1)
n i=0
⎛ ⎜ ⎝
pi − t i + k −1
pi−1 − ti
⎞ ⎟ ⎠
Ni,k−1 (t)
11
• 表示的唯一性
（1-3-1）
B 样条基函数的性质：
（1） 局部支撑性和非负性
⎧≥ 0 Ni,p ( u )⎩⎨= 0
若u ∈[ui ,ui+ p+1] 其它
（2） 任 意 给 定 节 点 区 间 [uj ,uj+1 ), 最 多 只 有 p+1 个 Ni,p 非 零 ;
6
Ni−p,p( u ),L,Ni,p( u )非零；
样条曲线。
• 从样条曲线的观点导出三次等距 B 样条
设 b0 , b1,⋅⋅⋅, bm 为空间任 m+1 个点向量， b0b1 ⋅⋅⋅ bm 为特征多边形，
顺次取 4 个顶点 bi bi+1 bi+2 bi+3, (i = 0,1,2,Lm − 3) 作三次曲线段：
3
∑ pi,3 (t)= Fj,3 (t)bi+ j (0 ≤ t ≤ 1)
p +1
p +1
B 样条基函数有下列性质：
（1-3-2）
（7）设节点个数为 m+1，则有 n+1 个基函数，这里 n=m-p-1，N0.p (a) =1，
和 Nn.p ( b ) =1;
（8）若节点矢量是如下形式
u = {140 ,02,L43,0 ,11,1L2 3,1 }
p +1
p +1
7

n! i!(n
t（i 1 t）ni i)!
其中i表示第i个顶点，n表示n次，t为参数。
六 bezier曲线特性分析:
由伯恩斯坦多项bernstein基函数的性质能推导出贝塞尔曲线性质。
(一) 曲线通过起始点与终止点
可以证明起点和终点在曲线上，
规定:
0i
0 1
i0 i0
另： 0！为1。
展开曲线为：（当n =0, 1, 2, 3时）
1962年法国雷诺汽车公司的贝塞尔提出了贝塞尔曲线（Bezier） 并以这种方法为主，完成了一种曲线和曲面的设计系统 UNISURF，并于1972年在雷诺公司应用。
2 贝塞尔曲线的基本思想：
（1）将函数逼近与几何表示结合起来，使得设计师 可以直观地通过改变参数来改变曲线的形状和阶次。
（2）通过控制点即顶点直观而方便地调整曲线的形状， （3）仅通过起始点和终止点，而不通过其它的型值点。
2 当顶点数m较大时，曲线的阶次将比较高，多边形对曲线 形状的控制将大为减弱。
3 改变任意顶点的位置将会对整条曲线产生影响，
这不利于对曲线做局部修改。 P1
P2 P3
P0
P4
4 改变任意一个顶点的位置将会对整条贝塞尔曲线产生影响， 不利于对曲线做局部修改。
三次参数样条曲线 通过所有的型值点
二次B样条曲线 三次B样条曲线 三次贝塞尔曲线
1
0
0
0
P3
3 三次贝塞尔曲线能达到二阶连续
九 贝塞尔曲线在使用中的问题
1 贝塞尔曲线的阶次m-1由多边形的顶点数m所决定，
使用不灵活。如3顶点则2次，4顶点则3次。
p(t )
(1t)2
p 0
2t(1 t)

t ti t ik 1 t i
Ni,k1 (t)
tik t tik ti1
Ni1,k1 (t),
k 2
该递推公式表明：欲确定第i个k阶B样条Ni,k(t)，需要用 ti ,ti+1 ,…ti+k 共k+1个节点，称区间[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间。
曲线方程中，n+1个控制顶点Pi (i=0,1,…n) 要用到n+1个k阶B样条 基 Ni,k(t) 。 支 撑 区 间 的 并 集 定 义 了 这 一 组 B 样 条 基 的 节 点 矢 量 T=[t0 ,t1 ,…tn+k ]。
Ni 1,k 1(t )
其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的k阶多项式，这个多项式 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 分k个部分，即ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k-1<=t<ti+k, 每个区间对应一段k阶多项式。在t的其余区间为0。
3.3.2 B样条曲线的性质
1. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为 t [ti , ti1] 的一点P(t)至多与k个控制顶点
Pj(j=i-k+1,…i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控 制顶
点Pi至多影响到定义在区间(ti,ti+k) 上那部分曲线的形状, 对曲线的 其余
1 Ni,1(t) 0
ti t ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)

矢量定义了准均匀的B样条基。 均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质，即样条曲
线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲 线解决了这个问题。例如:T=(0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,7,7)
图3.1.24 准均匀三次B样条曲线
4. B样条曲线类型的划分
分段Bezier曲线 节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1，这
(2) 权性
n
N ik , (t)1
i0
(3) 微分公式
t [tk1,tn1]
N ik ,(t ) ti k k 1 1 tiN ik , 1 (t-t) i k k 1 ti 1N i 1k ,1 (t)
4. B样条曲线类型的划分
假定控制多边形的顶点为Pi(i=0,1…,n),阶数为k(次数为k-1)，则节 点矢量是T=[t0,t1,…,tn+k]。B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况， 可划分为4种类型：
给定空间n+1个点的位置矢量Pi ( i=0,1,2,…,n )，则Bézier曲线可定
义为：
n
P(t) PiBi,n(t), t0,1
i0
其中，Pi(i=0,1, …,n)构成该Bézier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次 Bernstein基函数：
B in ,(t C )n iti( 1 tn )i ( n n i) i!t ! !i( 1 tn )i,( i0,1 n,)... 其中，00=1，0！=1。
样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独立 性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲 线段的形状没有影响。例如:T=(0,0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,4)

v C1 C2 C3 C4
d34
d33
C3 d4
2
d44 d43
C4
d41
V1k
V2k
u
V3k
V4k
当参数vk在[0,1] 之间取不同值时， P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。

双三次均匀B样条曲面P(u,v)的矩阵表示
B样条凸包
B样条曲线 m=3 Bezier凸包 B样条凸包 Bezier曲线
m=4
Bezier凸包 B样条凸包 B样条曲线 (b) B样条曲线和Bezier曲线的比较 Bezier曲线
m=5 Bezier凸包 (a)
B样条曲线和Bezier曲线的凸包比较
Bezier B样条曲线与 曲线的凸包性比较
B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t)
t [0,1]
1
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值：
1 1 pi (0) ( Pi Pi 1 ), pi (1) ( Pi 1 Pi 2 ) 2 2 均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
pi(0) P i 1 P i , pi (1) P i 2 P i 1
7.3 B样条曲面
给定16个顶点dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)构成的特征网格，可以定义一张曲面片。 用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);
d24
d14 参数v在[0,1] 之间取值 v d23 vk ，对应于vk曲线C1、 d13 C2 C2、C3和C4上可得到V1k、 d32 C1 d22 V2k、V3k和V4k四个点， d1 该四点构成u向的一个特 2 d31 征多边形，定义一条新 d21 的曲线P(u,vk)； d11 u

Bezier曲面
Bezier曲面是Bezier曲线的扩展， Bezier曲面的边界线就是由四条Bezier曲 线构成的。三次Bezier曲线段由四个控制 点确定，三次Bezier曲面片则由４× ４ 控制点确定。16个控制点组成一个矩阵：
Q00 Q 10 Q20 Q30
B=
Q01 Q 11 Q02 Q12
不易修改 由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。 （而在外形设计中，
局部修改是随时要进行的）
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要：易于进行局部修改；
P14
P04
P03 P02 P01
P11 P21
P31
P(0,v)
P10 P20
P41 P30
P00
P(u,0)
P40
图9.15 Bézier曲面的控制网格
Bézier曲面的矩阵表示是：
P(u, v) [J0,n (u) J1,n (u)
P00 P01
J
n,n
(u)]

P10
P11
角点共线的方法。
Q4
Q1
P1
。
P0
Q2
Q0
P2 Q3
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四
角点共线的方法。 Q5
Q1
Q2 。P1
P0
Q0
P2
P3
。

.
31
例：三次均匀B样条曲线（1）
t 参数节点向量Tn,4
i
n4 i0
满足：ti
1
ti
0
(i 0,1,..., n 3), 其上可定义3次均匀B 样条曲线
常令： 1，t00构造三次 B均 样匀 条曲 : 线
n
P(t) PiNi,4(t)，t[3,n1] i0
.
32
三次均匀B样条曲线（2）
.
10
B-样条曲线的定义
t n 1个控制点 Pi
n i0
及参数节点向量Tn,k
nk
i i0 (ti ti1)
确定如下的k阶（k 1次）B样条曲线：
n
P(t) Pi Ni,k (t)，t [tk1, tn1] 共n-k+2段 i0
B-样条曲线示例
.
11
1阶B-样条基函数
K=1时的基函数
1 0
t
tik
1
t [ti ,ti1) 其它
ti ti
N i ,k 1 (t )
tik t tik ti1
N i 1,k 1 (t )，i
0,1,..., n
.
6
关于递推定义的系数
Ni,k1(t)
t ti tik 1 ti
Ni,k (t)
tik t tik ti1
Ni1,k (t)，i
N i k 1 , k ( t ) N i , k 2 , k ( t )N , i , k ( . t ) ..,
Ni,k(t)在每个 [ti,ti 区 k)上间 都是次k数 1的不 多高 项于 式 从而在整个 分参 段数 多轴 项上 式是
.
26

08-09第二学期
二次Ｂ样条曲线的性质
先对 P(t)求导得：
P(t) t
111
2 1
1 0
B0 B1 B2
然后分别将 t=0,t=0.5,t=1 代入 P(t)
和 P’(t)，可得：
P(0)=1/2(B0+B1), P(1)=1/2(B1+B2); P’(0)=B1-B0, P’(1)=B2-B1; P(1/2)=1/2{1/2[P(0)+P(1)]+B1} P’(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)- P(0)
P04 P14
P44
P03
P02 P01
P11 P21
P31
P41
P(0,v)
P20
P10
P30
Pn0 ，
P00
P(u,0) P40
赤峰学院计算机系
Bézier曲面的端点和边界线
计算机图形学
08-09第二学期
n m1
nm
P(u, v)
Bi,n (u)B j,m (u) pij
i0 j0
u, v [0,1]
使曲线与特征多边形相切； 使曲线通过指定点； 指定曲线的端点； 指定曲线端点的约束条件。
赤峰学院计算机系
计算机图形学
08-09第二学期
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线
三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线
• 相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续
Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接
而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
线在连接处达到二阶连续。 ***
赤峰学院计算机系

2. B样条定义
设有控制顶点P0,P1,…,Pn,则k阶(k-1次)B样条曲线的数学表达式为:
P(t)
P N
i 0 i
n
i,k
(t)
其中 Ni,k(t)是 k-1次 B样条曲线的基函数，也称Ｂ样条分段混合函 数，其中每一个称为B样条。
B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决定 的k阶分段多项式，也即为k阶（k-1次)多项式样条。
2. B样条定义
de Boor-Cox(德布尔—考克斯)递推定义：
1 t i t t i 1 N i,1 (t) 0 t t i 或 t t i 1
，
k=1
约定：
0 0 0
t ti t i k t N i,k (t) N i,k 1 (t) N i 1,k 1 (t), t i k 1 t i t i k t i 1
Bézier Curves
图8-5
Bezier曲线的例子
2. Bernstein基函数的性质
i i t (1 t)ni 0 t 1 中，n为基本 在Bernstein基函数 Bi,n (t) Cn 曲线的次数。由排列组合和导数运算规律可以推导出 Bernstein 基函 数的如下性质：
i 0 i 0
P(1 t) ,
t 0,1
3. Bé zier曲线的性质
(3) 凸包性 由于
B
i 0
n
i,n
(t) 1,
t 0,1 并且
0 B i,n (t) 1 (0 t 1 ,
t 0,1,...n )
说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各 顶点的加权平均，权因子依次是Bi,n(t)。 在几何图形上，意味着Bezier曲线P(t)在 t 0,1 中各点是控制 点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中。

N i 2,1 (t ))
t ti ti2 t ti3 t t ti1 ti2 ti ti2 ti1 ti3 ti1 ti2 ti1
2019/10/27
18
续前页：
当t [ti2 , ti3 )时：
10
B-样条曲线的定义
t n 1个控制点
Pi
n i0
及参数节点向量Tn
,k

nk
i i0 (ti ti1)
确定如下的k阶（k 1次）B样条曲线：
n
P(t) Pi Ni,k (t)，t [tk1, tn1] i0
共n-k+2段
B-样条曲线示例
2019/10/27

t ti ti2 ti
( t ti ti1 ti
Ni,1(t)
ti2 t ti2 ti1
N i 1,1 (t ))

ti3 t ti3 ti1
( t ti1 ti2 ti1
Ni1,1(t)
ti3 t ti3 ti2
第三节 B-样条曲线
本节内容： B-样条曲线定义 B-样条曲线性质 B-样条曲线的离散生成 有理B-样条曲线
2019/10/27
1
分段参数多项式曲线分析
• Hermit曲线
– 分段插值曲线 – 全局控制曲线 – 多项式次数与顶点数相关
• Bezier曲线
– 全局控制曲线 – 多项式次数与顶点数相关 – 拼接要求不易满足
Ni,k称为Tn,k上的k阶（k 1次）B样条基函数

Ni,1(t) Ni,k (t)
1 0
t
tik 1

三次Hermite曲线---弗格森 了解内容
a 0 0 0 11 Pk
C
b
1
c 0
d
3
1 0 2
1 1 1
1
Pk
1
0 0
Rk Rk 1
Mh是Hermite矩阵。
。 Gh是Hermite几何矢量
2 2 1 1 Pk
3
0
1
3 0 0
2 1 0
1
0
0
Pk
1
Rk Rk 1
局部性质。 局变差减小性质。 凸包性。 在仿射与透射变换下的不变性。 在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。
13
第13页/共33页
NURBS曲线---性质
如果某个权因子为零，那么相应控制顶点对曲线没有影响。
若
，则当
时，非有理与有理Bezier曲线和非
有理B样条曲线是NURBS曲线的特殊情况
i
P67-68
8
第8页/共33页
NURBS曲线曲面
NURBS方法的主要优点
既为标准解析形状(初等曲线曲面)，又为自由型曲线 曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。
修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分 的灵活性。
具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。 对几何变换和投影变换具有不变性。 非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。
7
第7页/共33页
NURBS曲线曲面
B样条曲线、Bezier曲线都不能精确表示出抛物 线外的二次曲线，B样条曲面、Bezier曲面都 不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能 给出近似表示。
提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要 是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方 法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次 曲面的数学方法。

3.3.1 B样条的递推定义和性质 样条的递推定义和性质
4. B样条曲线类型的划分
非均匀Bezier曲线 曲线 非均匀 任意分布的节点矢量 T=[t0,t1,…,tn+k]，只要在数学上成立（节点 ，只要在数学上成立（ 序列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。这 序列非递减，两端节点重复度 ，内节点重复度 ）都可选取。 样 的 节 点 矢 量 定 义 了 非 均 匀 B 样 条 基 。 例 T=(0 11,16) 如:T=(0,0,2,2,3,5,8,11,16)
t ∈[t k −1 , tn+1 ]
(3) 微分公式
N′ k (t) = i,
k −1 ti+k−1 − ti
Ni,k−1(t) -
k −1 Ni+1,k−1(t) ti+k − ti+1
其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的 阶多项式， 其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的k阶多项式，这个多项式 Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 个部分， ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k分k个部分，即ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k-1<=t<ti+k, 每个区间对应一段k阶多项式。 的其余区间为0 每个区间对应一段k阶多项式。在t的其余区间为0。 例如： 例如：

2 局部性：样条函数的定义区间是几段；移动控制点 Pi，曲线影响区间是什么；某一段曲线有几个控制点 定义；移动曲线上一点，曲线的哪些区间变化；
两端插值的标准节点矢量是什么；
2 de Boor求值算法推导：
n
j
P(t) Pi Ni,k (t) Pi Ni,k (t)
i0
i jk 1
i
j
j k
图3.1.28 B样条曲线的deBoor算
法的几何意义
3.3.4 节点插入算法
通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部 性质，提高B样条曲线的形状控制的灵活性，可 以实现对曲线的分割等。
插入一个节点
在定义域某个节点区间 ti ,ti1 内插入一个节点t，得到
新的节点矢量：
T 1
重新编号成为
Pj1 Pj ,
Pj1 (1 j )Pj1 j Pj ,
Pj1 Pj1,
j 0,1,,i k 1 j i k 2,,i r j i r 1,, n 1
j
t tj t jk 1 t j
r 表示所插结点t在原始节点矢量T中的重复度。
Pik 1 Pik 2 Pik 3
de Boor-Cox递推定义
1 Ni,1(t) 0
ti x ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
tik t tik ti1
Ni1,k 1(t)
并约定
0 0
0
t0, t1 ,, tk1, tk ,, tn , tn1,, tnk , t 几1 个问n题k
i0
t [tk1, tn1]
Ni,k (t)
k 1 tik 1 ti