信号与系统离散时间系统习题详解.docx

信号与系统离散时间系统习题详解8-2 列出图题8-2所示系统的差分方程，指出其阶次。

图 题8-2解：1201[][1][2][][1]y n b y n b y n a x n a x n ----=+- 二阶8-3 列出图题8-3所示系统的差分方程，已知边界条件y [-1] = 0，分别求以下输入序列时的输出y [n ]，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。

（1）[][]x n n δ= （2）[][]x n u n = 图 题8-3解：1[][1][]3y n y n x n --=（1） 1[][]3ny n u n ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）311[](())[]223n y n u n =-8-7 求解下列差分方程的完全解。

（1）[]2[1]2, [0]1y n y n n y +-=-= （2）[]5[1],y n y n n =--+ [1]0y -=解：（1）方程齐次解为：h [](2)ny n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程121212142(1)2 2 , 39D n D D n D n D D ++-+=-→==-完全响应为：()14[]239ny n C n =-+-，代入1]0[=y 得：913=C()1314[]2939ny n n ∴=-+-（2）方程齐次解为：h [](5)ny n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程0234121212155(1)5 , 636D n D D n D n D D +=---+→==完全响应为：()15[]5636ny n C n =-++，代入0]1[=-y 得：365-=C()11[][565]36n y n n +=-++8-12 用单边z 变换解下列差分方程。

（1）y [n ] + 0.1y [n -1] - 0.02y [n -2] = 10 u [n ]，y [-1] = 4，y [-2] = 6 （2）y [n ] - 0.9y [n -1] = 0.05 u [n ]，y [-1] = 1 （3）y [n ] + 2y [n -1] = (n -2) u [n ]，y [0] = 1 解： （2）差分方程两边同时进行z 变换：11211()0.9[()[1]]0.051(){10.9}0.050.9[1]10.050.90.050.9()(1)(0.9)(0.9)(1)(10.9)(10.9)()0.50.4510.910.90.50.45[][]0.10.9zY z z Y z y z z z Y z z y z z z zY z z z z z z z Y z A B z z z z z z zy n z z -----+-=--=+--=+=+------=+=+----=+=---1Z 5[]0.45(0.9)[]n u n u n +（3）由差分方程得：2(0)3(0)2(1)2(1)22y y y y --+-=-∴-==-差分方程两边同时进行z 变换：1221112222()2[()(1)]21(1)22(1)()(1)(12)(1)(12)(12)()33(1)2(1)(2)(1)3949139(1)2(1)z zY z z Y z y z z z z z y Y z z z z z z Y z z z A B C z z z z z z z z z ----++-=----=---+-++-+==++-+-+--=++-+-3413[]((2))[]999n y n n u n =-+-8-13 若描述某线性时不变系统的差分方程为：y [n ] - y [n - 1] - 2y [n - 2] = x [n ] + 2x [n - 2]，已知y [-1] = 2，y [-2] = -1/2，x [n ] = u [n ]。

第1章 思考题参考解答1．变化规律已知的信号称之为确定信号，反之，变化规律不确定的信号称之为随机信号。

以固定常数周期变化的信号称之为周期信号，否则称之为非周期信号。

函数随时间连续变化的信号称之为连续时间信号，也称之为模拟信号。

自变量取离散值变化的信号称之为离散时间信号。

离散信号幅值按照一定精度要求量化后所得信号称之为数字信号。

2．对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 可以从采样点恢复原来的连续信号。

而对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 一般不能从采样点恢复原来的连续信号的周期信号，通常采用远高于2f c 的采样频率才能从采样点恢复原来的周期连续信号。

3．被采样信号如果含有折叠频率以上的高频成分，或者含有干扰噪声，这些频率成分将不满足采样恢复定理的条件，必然产生频率混叠，导致无法恢复被采样信号。

4．线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )满足n <0，h (n )=0，则系统是因果的。

若∞<=∑∞-∞=P n h n |)(|，则系统是稳定的。

5．ω表示数字角频率，Ω表示模拟角频率。

ω=ΩT (T 表示采样周期)。

6．不一定。

只有当周期信号的采样序列满足x (n )= x (n +N )时，才构成一个周期序列。

7．常系数差分方程描述的系统若满足叠加原理，则一定是线性时不变系统。

否则，常系数差分方程描述的系统不是线性时不变系统。

8．该说法错误。

需要增加采样和量化两道工序。

9．受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统不一定找得到。

因此，数字信号处理系统的分析方法是先对采样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长效应所造成的影响。

故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

10、只有当系统是线性时不变时，有y (n )= h (n )*x (n )。

11、时域采样在频域产生周期延拓效应。

12．输入信号x a (t )先通过一个前置低通模拟滤波器限制其最高频率在一定数值之内，使其满足采样频率定理的条件。

==============================绪论==============================1。

A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV==================第一章 时域离散时间信号与系统==================1。

①写出图示序列的表达式答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用（n ） 表示y （n )=｛2，7,19，28,29，15｝2. ①求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(n n n n n ππππ-②判断下面的序列是否是周期的； 若是周期的， 确定其周期。

（1)A是常数 8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= (2）)81(j e )(π-=n n x 解: （1） 因为ω=73π， 所以314π2=ω， 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。

（2） 因为ω=81, 所以ωπ2=16π， 这是无理数, 因此是非周期序列。

③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。

3.加法 乘法序列｛2，3，2，1}与序列｛2，3，5，2，1}相加为__｛4，6，7,3，1}__，相乘为___｛4，9，10，2｝ 。

移位翻转：①已知x(n)波形，画出x(—n ）的波形图。

②尺度变换:已知x(n)波形，画出x （2n ）及x(n/2）波形图.卷积和:①h(n)*求x(n)，其他2n 0n 3，h(n)其他3n 0n/2设x(n) 例、⎩⎨⎧≤≤-=⎩⎨⎧≤≤=}23,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)=②已知x (n )=｛1,2，4,3},h （n ）={2，3，5}， 求y （n ）=x （n ）＊h （n ）x (m ）={1，2，4,3},h （m ）=｛2,3,5｝，则h (—m ）={5，3,2｝(Step1：翻转)解得y （n )=｛2，7，19,28,29，15}③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+=}{1,4,6,5,2答案：x(n)=4. 如果输入信号为,求下述系统的输出信号。

第8章离散时间信号与系统的z域分析8-1 根据定义求以下序列的单边z变换及其收敛域。

解：根据序列单边z变换的定义即可求出上述信号的z变换及收敛域。

8-2 根据单边z变换的位移性质，求以下序列的z变换及其收敛域。

解：单边z变换的位移特性有以下3种形式（8-1）（8-2）（8-3）对于因果序列的位移，利用式（8-1）；非因果序列的位移，利用式（8-2）和（8-3）。

（1）利用因果序列的位移特性，有（2）利用因果序列的位移特性，有（3）利用因果序列的位移特性，有（4）利用因果序列的位移特性，有（5）由于，直接应用指数信号的z变换，可得（6）将改写成，利用因果序列的位移特性，可得8-3 根据z变换的性质，求以下序列的单边z变换及其收敛域。

解：利用z变换的性质求信号z变换的关键是根据待分析信号的构成，确定合适的信号作为基本信号，采用相应的z变换性质。

（1）由，以及z域微分特性，有（2）将改写为利用（1）题结果及因果序列的位移特性，可得（3）将改写为利用的z变换及z域微分特性，有故（4）将改写为利用（3）题结论及因果序列的位移特性，可得（5）将改写为利用卷积特性（6）利用（5）题结果及指数加权特性，有8-4 求以下周期序列的单边z变换。

解：周期为N的单边周期序列可以表示为第一个周期序列及其位移的线性组合，即这样，若计算出的z变换，利用因果序列的位移特性和线性特性，则可求得其单边周期序列的变换为（1）可表示为利用的变换及因果序列的位移特性，可得（2）将改写为利用（1）题的结果及卷积特性，可得8-5 已知，利用z变换的性质，求下列各式的单边z变换及其收敛域。

解：本题的关键是判断各信号是经过什么运算得到的，然后根据其运算，利用相应的z变换性质即可求出它们的z变换。

（1）利用因果序列的位移特性，可得（2）利用指数加权特性，可得（3）利用（1）题结果及指数加权特性，可得（4）利用z域微分特性，可得（5）利用（4）题结果及线性加权特性，可得（6）可以表示为，利用卷积特性可得（7）可以表示为，利用卷积特性可得（8）可以表示为，利用因果序列的位移特性及卷积特性，可得8-6 已知因果序列的z变换式，试求的初值和终值解：利用初值定理和终值定理即可求出的初值和终值。

1. 1判断下列信号是否是周期性的，并且对于每一个周期信号求其基本点周期。

)125.0cos()(n n x π=}Im{}Re{)(18/12/ππjn jn e e n x +=)2.0sin()(n n x +=π)17/cos()(16ππn en x j=解：1、因为8/125.0ππ=))16(8cos()8cos(+=n n ππ，所以)(n x 是以16=N 为周期。

2、这里我们有两个周期信号之和：)18/sin()12/cos()(ππn n n x +=其中第一个信号的周期241=N ，第二个信号的周期362=N 。

因此，这个和的周期是：7212)36)(24()36,24gcd()36)(24(),gcd(2121====N N N N N3、先须求得N 值，使得))(2.0sin()2.0sin(N n n ++=+ππ，这个正弦函数是以π2为周期的，所以N 2.0必须是π2的整数倍。

但π是无理数，不存在整数N 使这个等式成立，于是这个周期是非周期的。

4．这里有两个周期序列的乘积，321=N 342=N 所以基本周期是5442)34)(32()34,32gcd()34)(32(===N 。

1.2线性离散系统是通过一个时延单位采样)(k n -δ的响应)(n h k 来表征的。

对于如下定义的线性系统，判断是否为稳定的、因果的)()()()(k n u k n n h a k --=，)2()()(k n n h b k -=δ解：（a ）因为∞==-=∑∑∑∞=-∞=∞-∞=0|||||)(|k n k k kk k n n h ，所以这个系统是不稳定的。

因为对于n<k ，0)(=n h k ，所以此系统是因果的。

（b ）注意到)(n h k 最多有一个非零值，且这个非零值为1，因而对于所有n 有∑∞-∞=≤k kn h 1|)(|，于是这个系统是稳定的。

但这个系统不是因果的，因为如果)2()(-=n n x δ，其响应是)1()22()()(2-=-==n n n h n y δδ，这个系统产生一个在输入发生之前的响应，因此它是非因果的。

1 判断下列序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=53sin )(x ππn n 解 z k 63220∈===k k k w T ππ 当k=1时，x(n)的最小正周期为6. (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=541)(πn j e n x 解 z 841220∉===k k k w T πππ x(n)为非周期序列. 2.简述离散时间系统线性，时不变性，因果性，稳定性。

答：线性：满足齐次性和可加性设y 1(n )=T [x 1(n )]， y 2(n )=T [x 2(n )]对任意常数a,b ，若T [ax 1(n )+bx 2(n )]=aT [x 1(n )]+bT [x 2(n )]=a y 1(n )+b y 2(n )则称T[ ]为线性离散时间系统。

非时变：设y (n ) = T [x (n )]对任意整数k ,有y (n-k )=T [x (n-k )]稳定性稳定系统是有界输入产生有界输出的系统，充要条件是因果性若系统 n 时刻的输出，只取决于n 时刻以及n 时刻以前的输入序列，而与n 时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统线性时不变离散系统是因果系统的充要条件：3傅里叶变换、拉普拉斯变换以及Z 变换的区别与联系。

答：信号与系统的分析方法除时域分析方法以外，还有频域的分析方法。

在连续时间信号与系统中，其变换域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。

在离散时间信号与系统中变换域分析方法是Z 变换法和离散时间傅里叶变换法。

Z 变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉∑∑∑=====N k N k N k k k k k k k n y a n x T a n x a T 111)()]([)]([()00h n n =<n h n P ∞=-∞=<∞∑斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。

傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多正弦/复指数信号的加权，也就是说，傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式。

— P3-1 —第五章 离散系统的时域分析习题解答5-1. 画出下列各序列的图形：。

)2()( )6( );()()( )5( );()()( )4(; 0 ,)2(30,2)( )3( );1()12()( )2( );2()( )1(16315324321k f k f k f k f k f k f k f k f k k k k f k k f k k k f kk-==+=⎩⎨⎧<+=++=+=-/εε5-2 写出图示各序列的表达式。

解： )6()3(2)()( )d ( )1()1()( )c ()]6()3([2)( )b ( )]5()1()[1()( )a (41321---+-=--=---=----=-k kk k f k k f k k k f k k k k f k εεεεεεεε5-3. 判断以下序列(A 、B 为正数)是否为周期序列，若是周期序列，试求其周期。

)(sin )( )3( )()2( )873cos()( )1(08)(k k A k f e k f k B k f kj εωπππ==-=-解：; 14 , , 14)732( )1(=∴=T 且它为周期序列为有理数ππ (a)(b)— 2 —. , )( )3(;, 16)812( )2(它为非周期序列为单边函数它为非周期序列为无理数∴∴=k f ππ5-4.解：)]1()1()([1)(1100---+=k y b k f a k f a b k y 即：)1()()1()(1010-+=-+k f a k f a k y b k y b ，为一阶的。

5-5. 列写图示系统的差分方程，指出其阶次。

解：)1()()2()1()(1021-+=----k f a k f a k y b k y b k y ，二阶的。

5-6. 如果在第k 个月初向银行存款x (k )元，月息为α，每月利息不取出，试用差分方程写出第k 个月初的本利和y (k )，设x (k )510元，α50.0018，y (0)520元，求y (k )，若k 512，则y (12)为多少。