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离散数学王元元 第十二章格与布尔代数

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代数结构-布尔代数与格

代数结构-布尔代数与格

布尔代数举例

({0, 1}, +, ⋅ , , 0, 1)为布尔代数 n度布尔函数全体也构成一个布尔代数

布尔和 布尔积 补函数 全取0的函数、全取1的函数

A的幂集也构成一个布尔代数(ρ(A), ⋂, ⋃, ∼, ∅, A）
布尔代数举例

Bn={(x1, …, xn)| xi∈B, i =1, …, n}构成布尔代数 x= (a1 , …, an), y=(b1 , …, bn), ai∈B, bi∈B
111 110
Bn as Product of n B’s

B1, ({0,1}, ∧, ∨, 1, 0, ’), is denoted as B. For any n≥1, Bn is the product B×B×...×B of B, n factors, where B×B×...×B is given the product partial order.
格中的原子
a
a a b c d (1) e (2) b c d b
c 原子 d e (3)
有限布尔代数的表示定理

任一有限布尔代数B 同构于 B中所有的原子构成的 集合A的幂集代数系统P(A)。 即(B, ∧, ∨, ', 0, 1) ≅ (P(A), ⋂, ⋃, ∼, ∅, A)

备注（关于无限布尔代数）

若 x∧y =x，则 x∨y = (x∧y) ∨ y = y //吸收律
若 x∨y =y，则 x∧ y = x∧ (x∨y) = x //吸收律


证明这个关系满足自反性、反对称性、传递性。 这个偏序构成一个格。

lub{x,y} 即为 x∨y。 glb{x,y} 即为 x∧y。

离散数学代数结构部分-PPT

离散数学代数结构部分-PPT
所以乘法运算就是封闭得。 而对于加法运算A上得 二元运算,如果对于任意得x,y∈A,都 有x*y＝y*x,则称该二元运算*就是可 交换得。
例5、2 设Q就是有理数集合,*就是Q上得 二元运算,对任意得a,b∈Q,a*b＝a+ba· b,问运算*就是否可交换。
例5、3 设A=Z,“+”就是整数中得加法: 则
“+”在Z中适合结合律。 “。”就是整数中得减法:则特取
而 运算“。”不满足结合律
➢定义5、4 设*就是定义在集合A上得 一个二元运算,如果对于任意得x∈A, 都有x*x＝x,则称运算*就是等幂得。
例5、4 设P(S)就是集合S得幂集,在P(S) 上定义得两个二元运算,集合得“并”运 算∪和集合得“交”运算∩,验证∪,∩ 就是等幂得。
➢ 定理6、19 设
例6、16 例6、17 设
➢ 定义6、18 设 例6、18 设
➢ 定义6、19 设 例6、19 4元置换
➢ 定义6、20设
➢ 定理6、20
➢ 定义6、21
例6、20 如图 进行旋转,也可以围绕她得对称轴进行翻转,但 经过旋转或翻转后仍要与原来得方格重合(方格 中得数字可以改变)。如果把每种旋转或翻转看 作就是作用在
➢定理5、2 设*就是S上得二元运算,
如果S中既存在关于运算*得左幺元 el ,
又存在关于运算得右幺元 er
则S中必存在关于运算*得幺元e并且
2、 零元 ➢定义5、8 设*就是S上得二元运算,
在自然数集N上普通乘法得零元就是0, 而加法没有零元。
➢ 定理5、3 设 *就是S上得二元运算,如果S 中存在(关于运算*得)零元,则必就是唯一得。 所以零元就是唯一得。
证明: 略。 推论6、1

离散数学课件13.4布尔代数

离散数学课件13.4布尔代数

有限布尔代数的表示定理
定理13.11 若B是有限布尔代数,则 B含有2n个元(n∈N), 并且B与<P(S),∩,∪,~,,S>同构, 其中S是一个n元集合.
举例
格S12,gcd.lcm是布尔代数吗? 解: S12={1,2,3,4,6,12}的元素个数6, 不是2的整数幂, 故不是布尔代数. 不难看出2没有补元,因为 2∨x=lcm(2,x)=12当且仅当 x=12, 而12的补元是1而不是2.
例
集合代数<P(S),∩,∪,~,,S>是 布尔代数.
开关代数<{0,1},∧,∨,￢,0,1>是 布尔代数,其中∧为与运算,∨为或 运算, ￢为非运算.
布尔代数有以下性质.
定埋13.10 设<B,∧,∨,',0,1>是布尔代数, 则有:
a∈B,(a’)’＝a(双重否定律), a,b∈B, (a∨b)'=a'∧b'
布尔格、布尔代数
定义13.12 如果格<L,∧,∨,0,1>是有 补分配格,则称L为布尔格,也叫做布 尔代数. 由于布尔代数L中的每个元都有唯一 的补元,求补运算也可以看成是L中的 一元运算. 因此,布尔代数L可记为<L,∧,∨,',0,1>, 其中'表示求补运算.
布尔代数的等价定义
定义13.13(公理化定义): 有两个二元运算的代 数B,*, 称为布尔代数,如果对任意元素 a,b,cB,成立
•此类布尔表达式可用带3个基本元件的电路来实 现.3个基本元件是:
①反相器
x
x’
②与门
x xy
y
③或门
x xy
y
实例之一
•实例1: 三人委员会表决某个提案,如有两张赞 成票即获通过,实现上述过程的表决机器的控制 电路如下图所示:

离散数学 格与布尔代数共89页

离散数学 格与布尔代数共89页

66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
离散数学 格与布尔代数
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。

离散数学格与布尔代数优秀课件

离散数学格与布尔代数优秀课件

于是有 a∨(b∧c) ≤(a∨b)∧(a∨c) 。
由对偶原理得 a∧(b∨c)≥ (a∧b)∨(a∧c) 。
即 (a∧b)∨(a∧c)≤ a∧(b∨c) 。
b c d
由<A,≤>诱导的代数系统。B是A的
非空子集，如果∧
a
和∨在B上封闭，则 称<B, ≤>是<A, ≤>
b
c b
d
e
f e
的子格。
g
a
e
c
a
b f
c
g
d
<C,≤>是<A,≤>的子格。 <A,≤>
<B,≤> <C,≤>
而<B,≤>不是. b∧c=dB, (运算规则要从格<A,≤>中找)
二. 格的对偶原理
界，所以 a∨c≤b∨d。 类似可证 a∧c≤b∧d。 推论：在一个格中，任意 a,b,c∈A，如果b≤c，则
a∨b≤a∨c，a∧b≤a∧c。 此性质称为格的保序性。
3. ∨和∧都满足交换律。即 a∨b=b∨a，a∧b=b∧a 此性质由运算∨和∧的定义直接得证。
4. ∨和∧都满足幂等律。即 a∨a=a a∧a=a 证明：由性质1, a≤a∨a (再证a∨a≤a)
P’: a∨b≥a
{a,b}的最大下界≤a {a,b}的最小上界≥a
三. 格的性质
<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。a,b,c,d∈A 1. a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b
此性质由运算∨和∧的定义直接得证。 2.如果a≤b，c≤d，则 a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。 证明：如果a≤b，又b≤b∨d，由传递性得 a≤b∨d, 类似由c≤d， d≤b∨d，由传递性得 c≤b∨d, 这说明b∨d是 {a,c} 的一个上界，而a∨c是 {a,c} 的最小上

离散数学格与布尔代数

离散数学格与布尔代数
<L, > <L, , *>
§7.1 格
例 < P(S) ， >是格 表示为<P(S), , * > 又可表示为< P(S) ,∪,∩>
例 <Z+,≤>,或 <Z+,|> <Z+, , * > <Z+, LCM,GCD>
§7.2 格——代数系统
格〈L，≤〉中自然存在两个运算 和 * ，从而 派生出一个代数系统〈L，，*〉
6
<S15,|>,
2
2019/10/5
30
10
15
3
5
1
§7.1 格
例 判断图中的哈斯图表示的偏序集是否构成格,说明为什么。
d c
b a
(a)

e d
c b
a (b)

f
d
e
d
e
c
b
c
a (c)

a
b
(d)

e
c
d
a
b
(e)

2019/10/5
§7.1 格
例 设Z+为正整数集合，对于a,b Z+，关系“≤”定义为： a≤b当 且仅当a整除b。则偏序集<Z+,≤>构成格，
并、交 运算的性质
定理１ 设〈L，≤〉是一个格，并运算与交运算 * 满足 如下性质：
L1 a a ＝ a
a*a＝a
（幂等律）
L2 a b ＝ b a a * b ＝ b * a （交换律）
L3 （a b） c ＝ a （b c）

离散数学-格和布尔代数


的次序图如下
-1 的次序图如下
6 2 1 3 2
1 3 6
若 < L; > 是一个偏序集，则对于任意元素 l1, l2, l3 L，有以 下六个关系式成立： l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 若 l1 l2，l2 l3，则 l1 l3 l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 (7-1) (7-2) (7-3) (7-1) (7-2)
60以上说明与格一样布尔代数也是一个代数系统该代数系统可取交换律分配律同一律和互补律作为公二元运算是一元运算若这些运算满足交换律分配律同一律和互补律则称称作集合代数它是一个布尔代数
第二部分 抽象代数
0
第七章
格和布尔代数
格是 Birkhoff (1884 - 1944) 在 20 世纪 30 年代提出的，格的提出 以子集为背景。 历史上最初出现的格是英国数学家 George Boole 于 1854 年提出 的，是他在研究命题演算中发现的，通常称为布尔格或布尔代 数。 格和布尔代数的理论成为计算机硬件设计和通讯系统设计中的 重要工具。格论是计算机语言的指称语义的理论基础。格是一 种特殊的偏序集，也可以看作是有两个二元运算的代数系统， 布尔代数是一种特殊的格。在保密学、开关理论、计算机理论 和逻辑设计以及其他一些科学和工程领域中，都直接应用了格 与布尔代数。 1
7.2 格及其性质
一、格的定义
定义7-5 设 < L; > 是一个偏序集，如果 L 中任意两个元素都 存在着最大下界和最小上界，则称 < L; > 是格。 由于每对元素的最大下界和最小上界唯一，故引入记号： l1 l2 = glb(l1, l2)，l1 l2 = lub(l1, l2)， 其中 和 均可看作是集合 L 上的二元运算，分别称为交和并。 注：若 < L; > 是一个格，则意味着 < L; > 也是一个形为 < L; , > 的代数系统，其中 和 是 L 上的两个二元运算， 对于任意 l1, l2 L，l1 l2 表示在偏序 “ ” 意义下，l1 和 l2 的最小上界，l1 l2 表示 l1 和 l2 的最大下界。

离散数学中的布尔代数知识点介绍

离散数学中的布尔代数知识点介绍离散数学是计算机科学和数学中的一个重要分支，而布尔代数则是离散数学中的一个基础概念。

布尔代数是一种逻辑推理和计算的数学体系，其基本概念和运算规则直接应用于计算机计算和逻辑设计中。

一、布尔代数的基本概念布尔代数有两个基本元素：命题和逻辑操作符。

命题是关于真（True）和假（False）的陈述，可以用字母或其他符号表示。

逻辑操作符包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种基本运算符，用于对命题进行逻辑运算。

二、布尔代数的基本运算规则1. 与运算（AND）：只有当两个命题都为真时，与运算的结果才为真。

用符号“∧”表示，例如命题A∧B表示“命题A和命题B都为真”。

2. 或运算（OR）：只要两个命题中有一个为真，或运算的结果就为真。

用符号“∨”表示，例如命题A∨B表示“命题A或命题B为真”。

3. 非运算（NOT）：将命题的真值取反，即将真变为假，将假变为真。

用符号“¬”表示，例如¬A表示“命题A的取反”。

三、布尔代数的重要性布尔代数在计算机科学和逻辑设计中具有重要的应用。

布尔代数提供了一种形式化的工具，可以对逻辑关系和计算过程进行精确的描述和处理。

利用布尔代数的运算规则，可以进行逻辑推理、逻辑运算和逻辑设计。

布尔代数为计算机的基本运算提供了理论基础，是计算机科学不可或缺的一部分。

四、布尔代数的应用领域1. 逻辑电路设计：布尔代数的基本运算规则可以用于逻辑门电路的设计与分析。

逻辑门电路由与门、或门、非门等基本门电路组成，通过布尔代数的运算规则可以进行电路的优化和逻辑设计。

2. 程序设计与算法分析：布尔代数在程序设计和算法分析中具有重要地位。

利用布尔代数的运算规则，可以对程序的逻辑关系进行抽象和分析，确保程序的正确性和可靠性。

3. 数据库查询与管理：布尔代数可用于数据库查询和管理中的条件表达式构建。

通过布尔代数的运算规则，可以对数据库数据进行选择、过滤和计算，实现对数据的高效管理与查询。

离散数学教学课件 (19)

❖ 引理：设[A;+,·]为环,若对任aA,a2=a, 则必有2a=0。
❖ 给定的有单位元1的环[B;+,·],若它的每个 元素都是幂等元,且定义任a,bB,a'=1-a, ab=a+b-a·b,ab=a·b,可以得到一个代 数系统[B;,,'],可以验证它满足H1~H4, 因此所定义的代数系统[B;,,']是布尔代 数。
❖ (H4)a'B,使aa'=0,aa'=1。 ❖ 则[B;,,']为布尔代数。
❖[B; ,,']为代数系统,,,为定义在B 上的二元运算,’为定义在B上的一 元运算, 满足条件(H1)~(H4),则称B为
布尔代数。
❖ 二、布尔环
❖ 定义:在布尔代数[B;,,']中,定义B上的 二元运算+及·如下:任a,bB
❖
a(bc)=(ab)c;
❖ L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。 ❖ 分配格,满足分配等式D1~D2,
❖ D1:a(bc)=(ab)(ac);(ab)(ac)=a(b c)
❖ D2:(ab)(ac)(bc)=(ab)(ac)(bc)
❖ 有补格:一定是有界格,每个元素有补元, 满足B1、B2和C1~C3,
❖ a+b=(ab')(a'b),a·b=ab
❖ 容易验证在一般的布尔代数[B;,,']上定 义的[B;+,·]是可交换的有单位元环。我 们称这样的环为布尔环
❖ 定义16.12:[B;,,']为布尔代数,如上定 义+,·,则有[B;+,·]为环,称此环为布尔环。
❖ 定理16.12:[B;+,·]为布尔环,则对任 aB,a2=a,且2a=0。

离散数学教程-王元元-第12章 群环域

语言<，并置>，其中||=n。
离散数学 第12章 群、环、域
12.1 半群
12.2.1 群及其基本性质
定义12.3 称代数结构<G,>为群，如果 （1）<G, >为一半群。 （2）<G, >中有幺元e。 （3）<G, >中每一元素都有逆元。 简言之，群是每个元素都可逆的独异点。
群的载体常用字母G表示，G也常用于表示一个群。
离散数学 第12章 群、环、域
12.1 半群
12.1.1 半群及独异点
定理12.3 设<S,>为一半群,那么 (1) 存在<S,>到<SS,◦ >的半群同态h。 (2) <S,>在含有幺元时同构于<h(S),◦>, 后者是<SS,◦ >的一个子代数。 证 证(1)：定义函数h:S→SS：对任意aS，h(a)= fa fa：S→S 定义如下: 对任意xS， fa(x)= ax 即将S中的一个元素a影射到一个线性变换fa。现证h为一同态。 对任何元素a,bS ， h(ab)＝fab (l2－1) 而对任何xS，fab(x)= abx = fa(fb(x))= fa◦fb (x)，故fab= fa◦fb ,
由此及式(l2－1)即得 h(ab)= fab = fa◦fb ＝h(a)◦h(b)
证(2)：只需证明a,bS，如果a≠b，则fa≠fb。因为<S,>含有幺元 e，a*e=a≠b*e=b，所以存在xS，fa(x)≠fb(x)，定理得证。
离散数学 第12章 群、环、域 12.1 半群
12.1.1 半群及独异点
（4）S由A生成，即S中元素或者为e, 或者为A的成员，或者 为
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Δ第十二章格与布尔代数12.1 格内容提要格是一种特殊的有序集，因此我们先从有序集方面引入格的概念。

定义12.1称有序集<L，≤>为格（lattice），如果L中的任何两个元素的子集都有上确界和下确界。

通常用a∨b表示{a，b}的上确界，用a∧b表示{a，b}的下确界，∨和∧分别称为保联（join）和保交（meet）运算。

由于对任何a，b，a∨b及a∧b都是L中确定的成员，因此∨,∧均为L 上的运算．现设≥表示序关系≤的逆关系，那么据逆关系的性质可知：定理12.1当< L,≤>为格时，< L, ≥>亦为格,且它的保联、保交运算∨~,∧~对任意a,b∈L 满足a∨~b = a∧b , a∧~b = a∨b于是，我们有下列对偶原理。

定理12.2 A为格< L，≤>上的真表达式，当且仅当A*为< L，≥>上的真表达式，这里A*称为A的对偶式，即将A中符号∨，∧，≤分别改为∧，∨，≥后所得的公式，而 a≥b意即b≤a 。

定理12.3设< L,≤>为格，那么对L中任何元素a,b,c 有（l）a≤a∨b， b≤a∨ba∧b≤a， a∧b≤b（2）若a≤b，a≤c，则a≤b∨c若b≤a，c≤a，则b∧c≤a．（3）若a≤b，c≤d，则a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d（4）若a≤b，则a∨c≤b∨c，a∧c≤b∧c．定理12.4设< L,≤>为格，那么对L中任意元素来a,b,c 有（1）a∨a = a ，a∧a＝a (幂等律)（2）a∨b = b∨a ，a∧b = b∧a （交换律）（3）a∨（b∨c）=（a∨b）∨ca∧（b∧c）=（a∧b）∧c (结合律)（4）a∧ (a∨b) = a ，a∨ (a∧b) = a (吸收律)格还有下列性质；定理12.5 设< L,≤>为格。

那么对L中任意元素a,b,c有（1） a≤b当且仅当。

a∧b = a当且仅当a∨b = b 。

（2） a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）。

（3） a≤c当且仅当 a∨ (b∧c)≤（a∨b）∧c。

定义12.2设L为一非空集合，∨,∧为L上的两个二元运算，称 < L，∨,∧>为格代数，或简单地称为格，如果< L，∨,∧>中运算∨,∧满足幂等律、交换律、结合律和吸收律（见定理12.4）。

定义12.3 格< L，∨,∧>称为完全格（complete lattice），如果L的所有非空子集都有上确界和下确界。

设S ⊆L ，那么S 的上确界记为S ∨或a S a ∈∨，S 的下确界记为S ∧或a Sa ∈∧。

L 的上确界记为1，L 的下确界记为0 。

定理12.6设< L ，∨,∧>为完全格，那么0为∨运算么元、∧运算零元；l 为∧运算么元、∨运算零元．定理12.7有序集< L ，≤>为完全格的充分必要条件是:存在L 的上确界1，并且L 的每一非空子集有下确界。

定理12.8设< L ，∨,∧>为格，a ∈L ，令L a = {x | x ∈L 且x ≤a} , M a ={x | x ∈L 且a ≤x}那么< L a ，∨,∧> , <M a ，∨,∧> 都是L 的子格。

定理 12.9设< L ，∨,∧> , < L ’，∨’,∧’>为两个格，f 为L 到L ’的同态，那么对任意a,b ∈L ，a ≤b 蕴涵f(a) ≤’f(b) 。

即同态是保序的。

注意，本定理的逆不成立。

但是，对于同构映射我们却有以下定理定理12.10 设< S , ≤>,< S ’, ≤’>均为格，f 为S 到S ’的双射，那么 f 为 S 到 S ’的同构映射，当且仅当对任意a,b ∈ S ，a ≤b ⇔ f （a ）≤’f （b ） （12－1）定义12.4 称格< L ，∨,∧>为分配格（distributive lattice ）。

如果它满足分配津，即对任意a,b,c ∈ L ，a ∧（b ∨c ）=（a ∧b ）∨（a ∧c ） （12－2）a ∨（b ∧c ）=（a ∨b ）∧（a ∨c ） （12－3） 定理12.11在格中式（12－2）等价于式（12－3）。

有的格虽不能满足分配律。

但它们可以有条件地满足分配律，这就是模格.定义12.5 称格< L ，∨,∧>为模格（moduler lattice ）。

如果对任意元素a,b,c ∈ L ，它满足：a ≤c 蕴涵a ∨（b ∧c ）＝（a ∨b ）∧（a ∨c ）或a ≤c 蕴涵a ∨（b ∧c ）=（a ∨b ）∧c定理12.12 设< L ，∨,∧>为分配格，那么对L 中任意元素a ，b ，c ，有a ∧b = a ∧c 并且a ∨b = a ∨c 当且仅当b = c定理12.13 格< L ，∨,∧>为模格的充分必要条件是：对L 中任意元素a,b,c ，若b ≤c ， a ∨b ＝a ∨c ，a ∧b = a ∧c ，则b = c 。

习题解答练习12.11．对格L 中任意元素a ，b ，c ，d ，证明：（1）a ≤b,a ≤c 当且仅当 a ≤b ∧c 。

（2）a ≤c,b ≤c 当且仅当a ∨b ≤c 。

（3）若a ≤b ≤c ,d ∧c ＝a ，则d ∧b ＝a 。

（4）若a ≤b ≤c ,d ∨a ＝c ，则d ∨b ＝c 。

（5）（a ∧b ）∨（a ∧c ）≤ a ∧（b ∨c ）。

（6）（（a ∧b ）∨（a ∧c ））∧（（a ∧b ）∨（b ∧c ））= a ∧b 。

（7）（a ∧b ）∨（c ∧d ）≤（a ∨c ）∧（b ∨d ）。

（8）（a∧b）∨（b∧C）∨（c∧a）≤（a∨b）∧（b∨C）∧（c∨a）。

证（1）a≤b,a≤c 当且仅当 a≤b∧c 。

设a≤b,a≤c，那么a∧a≤b∧c ,即a≤b∧c。

另一方面，设a≤b∧c，由于b∧c≤b，b∧c≤c，故a≤b,a≤c。

（2）a≤c,b≤c 当且仅当a∨b≤c 。

设a≤b,b≤c，那么a∨b≤c∨c ,即a∨b≤c。

另一方面，设a∨b≤c，由于a≤a∨b，b≤a∨b，故a≤c,b≤c。

（3）若a≤b≤c ,d∧c＝a，则d∧b＝a 。

设a≤b≤c ,d∧c＝a，那么,d∧c∧b＝a∧b，从而d∧b＝a。

（4）若a≤b≤c ,d∨a＝c，则d∨b＝c 。

设a≤b≤c ,d∨a＝c，那么,d∨a∨b＝c∨b，从而d∨b＝c。

（5）（a∧b）∨（a∧c）≤ a∧（b∨c）。

因为b≤b∨c，c≤b∨c,因此a∧b≤a∧（b∨c），a∧c≤a∧（b∨c），故（a∧b）∨（a∧c）≤ a∧（b∨c）。

（6）（（a∧b）∨（a∧c））∧（（a∧b）∨（b∧c））= a∧b。

首先a∧b≤（a∧b）∨（a∧c），a∧b≤（a∧b）∨（b∧c），因此a∧b≤（（a∧b）∨（a∧c））∧（（a∧b）∨（b∧c））。

另一方面，据（5）（a∧b）∨（a∧c）≤a∧（b∨c）（a∧b）∨（b∧c）≤b∧（a∨c）（（a∧b）∨（a∧c））∧（（a∧b）∨（b∧c））≤a∧（b∨c）∧b∧（a∨c）≤a∧b因此（（a∧b）∨（a∧c））∧（（a∧b）∨（b∧c））= a∧b。

（7）（a∧b）∨（c∧d）≤（a∨c）∧（b∨d）。

因为a∧b≤a≤a∨c, a∧b≤b≤b∨d,c∧d≤c≤（a∨c），c∧d≤d≤（b∨d），因此（a∧b）≤（a∨c）∧（b∨d）（c∧d）≤（a∨c）∧（b∨d）故（a∧b）∨（c∧d）≤（a∨c）∧（b∨d）。

（8）（a∧b）∨（b∧C）∨（c∧a）≤（a∨b）∧（b∨C）∧（c∨a）。

因为a∧b≤a≤a∨b, a∧b≤b≤b∨C, a∧b≤a≤c∨a,b∧C≤b≤a∨b, b∧C≤b≤b∨C, b∧C≤c≤c∨a,c∧a≤a≤a∨b, c∧a≤c≤b∨C, c∧a≤c≤c∨a所以a∧b≤（a∨b）∧（b∨C）∧（c∨a），b∧C≤（a∨b）∧（b∨C）∧（c∨a），c∧a≤（a∨b）∧（b∨C）∧（c∨a），进而（a∧b）∨（b∧C）∨（c∧a）≤（a∨b）∧（b∨C）∧（c∨a）2. 令x<y表示x≤y且x y，对格L中任意元素a，b证明：a∧b < a 且a∧b < b当且仅当a与b是不可比较的，即a≤b,b≤a 都不能成立。

证设a∧b < a 且a∧b < b。

若a与b是可比较的，即a≤b或,b≤a，从而a∧b = a 且a∧b = b。

与题设矛盾。

另一方面，设a与b是不可比较的。

我们已知a∧b ≤ a 且a∧b ≤ b，若a∧b < a 不成立，或a∧b < b不成立，那么或a∧b =a 或a∧b = b，也就是说a,b是可比较的，又与题设矛盾。

3．求证：有序集< L，≤>为完全格的充分必要条件是：L有下确界0，且L的每一子集有上确界。

证必要性是显然的。

为证充分性，只要证L的任一非空子集都有下确界．设 S⊆L ，S ≠∅。

考虑 S的下界集合B。

由于0∈B是显然的，因此B ≠∅。

据题设，B 有上确界，记为b，现证b为S的下确界．b当然是S的下界，因为b∈B。

另设a是S的任一下界，那么 a∈B，因而 a≤b。

这就是说，b是S的下确界。

4．问开区间（0，1）中的有理数集合按有理数的大小排序是否构成完全格？闭区间［0，1］呢？解开区间（0，1）中的有理数集合按有理数的大小排序不构成完全格。

闭区间［0，1］中的有理数集合按有理数的大小排序构成完全格5．证明：定义12.2中L满足幂等律的要求是多余的,即由交换律、结合律和吸收律可导出它满足幂等律。

证由吸收律a∨（a∧a）=a ,于是a∧（a∨（a∧a））=a∧aa∨（a∧a）=a∧a 据吸收律a =a∧a 据吸收律同理可证a =a∨a 。

6．设格L1与L2同态，求证；若L1有幺元（零元），那么L2也有么元（零元）。

证设h为格L1到L2的满同态，e是L1的关于∧运算的幺元，o是L1的关于∧运算的零元，可证h(e), h(o)是L1的关于∧运算的幺元和零元。

对任意元素b∈L2,有L1中元素a，使得h(a) = b,因此h(e)∧b = h(e)∧h(a) = h(e∧a) = h(a) = b , b∧h(e) = h(a)∧h(e)= h(a∧e) = h(a) = bh(o)∧b = h(o)∧h(a) = h(o∧a) = h(o) , b∧h(o) = h(a)∧h(o)= h(a∧o) = h(o)关于∨运算同理可证。