解： 在a)和c)中的哈斯图表示的偏序集是格。因为每个偏序
集中每对元素都有最小上界和最大下界。 b)所示的哈斯图的偏序集不是格，例如元素b和c没有最
小上界。只要注意到d,e,f中每一个都是上界，但这3个元素 的任何一个关于这个偏序集中的序都不小于其它两个。
格的对偶性原理是成立的：
令<L,≤>是偏序集，且<L,≥>是其对偶的偏序 集。若<L,≤>是格，则<L,≥>也是格，反之亦然。 这是因为，对于L中任意a和b，<L,≤>中LUB{a,b} 等同于<L,≥>中GLB {a,b}，<L,≤>中GLB{a,b}等 同于<L,≥>中的LUB{a,b}。若L是有限集，这些性 质易从偏序集及其对偶的哈斯图得到验证。
（结合律）
④ a(ab)=a, a(ab)=a （吸收律）
定理15.1.3 设<L,≤>是格，对任意a,b,cL， 有
①若a≤b和c≤d，则ac≤bd，ac≤bd。 ②若a≤b，则ac≤bc，ac≤bc。 ③c≤a和c≤b c≤ab ④a≤c和b≤c ab≤c
定理15.1.4 设<L,≤>是格，对任意的a,b,cL， 有
注意：并非每个偏序集都是格。如， 设A＝{2,3,6,8}, “整除”关系R={‹2,2›, ‹2,6›, ‹2,8›, ‹3,3›, ‹3,6›, ‹6,6›, ‹8,8›}是A上的一 个偏序关系，则<A，R>是一个偏序集，但不 是格。因为23不存在，68也不存在。
例 确定下图中每个哈斯图表示的偏序集是 不是格。
（2）如果x∈X是Y的上界且对每一个Y的上 界x'均有x≤x'，则称x是Y的最小上界（或上确界 LUB，least upper bound）；如果x∈X是Y的下 界且对每一个Y的下界x'均有x'≤x，则称x是Y的最 大下界（或下确界GLB，greatest lower bound ）
例：找出下图所示哈斯图的偏序集的子集 {a,b,c},{j,h}和{a,c,d f}的下界和上界。
a(bc)≤(ab)(ac) (ab)(ac)≤a(bc) 通常称上二式为格中分配不等式。
– 3．特殊的格
定义15.1.2 设<L,≤>是格，若L中有最大元和 最小元，则称<L,≤>为有界格。由于最大元存在必 唯一，故一般把格中最大元记为1，最小元记为0。
由定义可知，对任意aL，有 ① 0≤a≤1 ② a0=0, a0=a ③ a1=a, a1=1 由此可知，0是<L,≤>关于的零元，关于的 幺元；1是<L,≤>关于的幺元，关于的零元
15.1 格(lattice)
– 1．格作为偏序集
定义15.1.1 设<L,≤>是一个偏序集，若对任 意a,bL，存在 最大下界(GLB)和最小上界(LUB)， 则称<L,≤>为格。
用 ab 表 示 GLB{a,b} ， ab 表 示 LUB{a,b} ， 并称和分别为L上的交（或积）和并（或和） 运算。这样我们由偏序关系定义了两种二元运算。
例 设n为正整数，Sn为n的正因子的集合， ≤为整除关系，则<Sn，≤>构成格。
因为x，y∈Sn， xy就是x，y的最小公 倍数，xy是x，y的最大公约数。
例 幂集P(A)上的包含关系定义了一个 偏序关系，P(A)中任意两个元素x，y，有
xy =x∪y xy =x∩y 因此，<P(A), >是一个格。
若L是有限集合，称<L,≤>为有限格。
显然，对于ab，有： ①ab≤a和ab≤b，则表明ab是a和b的下界。 ②若c≤a和c≤b，则c≤ab，这表明ab是a和b 的最大下界。
对于ab，有： ①a≤ab和b≤ab，则表明ab是a和b的上界。 ②若a≤c，且b≤c，则ab≤c，这表明ab是a 和b的最小上界。
离散数学第十五章格与布 尔代数简
在介绍格之前，对于我们在前面学过的偏序， 我们要补充两个内容：
1. 哈斯图 2. 最小上界与最大下界
2.最小上界与最大下界
定义 设集合X上有一个偏序关系“≤”且设Y 是X的一个子集。
（1）如果存在一个元素x∈X，对每个y'∈Y 都有y'≤x，则称x是Y的上界(upper bound)；如果 均有x≤y'，则称x是Y的下界(lower bound)。
ab=0，ab=1 称b为a的补元，记为a'。 由定义可知，若b是a的补元，则a也是b的补 元，即a与b互为补元。 显然，0'=1和1'=0。 一般说来，一个元素可以有其补元，未必唯 一，也可能无补元。
– 2．格的基本性质
定理15.1.1 设<L,≤>是格，对任意a,bL，有 ① ab=ba≤b ② ab=aa≤b ③ ab=aab=b
亦即 a≤bab=bab=a
定理15.1.2 设<L,≤>是格，对任意a,bL，有
① aa=a, bb=b
（等幂律）
பைடு நூலகம்
② ab=ba, ab=ba
（交换律）
③ a(bc)=(ab)c, a(bc)=(ab)c
定理15.1.5 设<L,≤>是有限格，其中 L={a1,a2,···,an}，则<L,≤>是有界格。
定义15.1.3 设<L,≤>是格，对任意的a,b,cL， 有
① a(bc)=(ab)(ac) ② a(bc)=(ab)(ac) 则称<L,≤>为分配格，称①和②为格中分配 律。
定义15.1.4 设<L,≤>是有界格，对于aL，存 在bL，使得
从上讨论中，可知两格互为对偶。互为对偶 的两个<L,≤>和<L,≥>有着密切关系，即格<L,≤> 中交运算正是格<L,≥>中的并运算，而格 <L,≤>中的并运算正是格<L,≥>中的交运算。 因此，给出关于格一般性质的任何有效命题，把 关系≤换成≥（或者≥换成≤），交换成并，并换成 交，可得到另一个有效命题，这就是关于格的对 偶性原理。
解： {a,b,c}的上界是e,f,j,h，它唯 一的下界是a。 {j,h}没有上界，它的下界是 a,b,c,d,e,f。 {a,c,d f}的上界是f,h,j，它的 下界是a。
例 在上图所示偏序集中，如果{b,d,g}的最 大下界和最小上界存在，求出这个最大下界和最 小上界。
解： {b,d,g}的上界是g,h，故它的 最小上界是g。 {b,d,g}的下界是a,b，故它的 最大下界是b。
