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《离散数学》题库答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q →P (2)⌝Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P ∧Q)→(Q →⌝R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q(4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ⌝(P →Q)=>P (6) ⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y ，x))∧ ∃z C(y ，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1) 北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是（4） 是，T （5） 不是 （6） 不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） P Q →⌝ （2） Q P ⌝→ （3） Q P ⌝↔ （4）Q P →⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x ∃y(x+y=0) (2) ∃y ∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=09、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x ∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x ∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x ∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x ∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 ∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?() (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。
习题5.11.设A=⎨a,b,c⎬，B=⎨1,2,3⎬，试说明下列A到B二元关系，哪些能构成A到B的函数？⑴f1=⎨<a,1>,<a,2>,<b,1>,<c,3>⎬⑵f2=⎨<a,1>,<b,1>,<c,1>⎬⑶f3=⎨<a,2>,<c,3>⎬⑷f4=⎨<a,3>,<b,2>,<c,3>,<b,3>⎬⑸f5=⎨<a,2>,<b,1>,<b,2>⎬解：⑴不能构成函数。
因为<a,1>∈f1且<a,2>∈f1⑵能构成函数⑶不能构成函数。
因为dom f3≠A⑷不能构成函数。
因为<b,2>∈f4且<b,3>∈f4⑸能构成函数。
2.试说明下列A上的二元关系，哪些能构成A到A的函数？⑴A=N(N为自然数集合)，f1=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧a＋b＜10⎬⑵A=R(R为实数集合)，f2=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=a2⎬⑶A=R(R为实数集合)，f3=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b2=a⎬⑷A=N(N为自然数集合)，f4=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b为小于a的素数的个数⎬⑸A=Z(Z为整数集合)，f5=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=|2a|＋1⎬解：⑴不能构成函数。
由于1+1＜10且1+2＜10，所以<1,1>∈f1且<1,2>∈f1。
⑵能构成函数。
⑶不能构成函数。
由于12=1且(-1)2=1，所以<1,1>∈f3且<1,-1>∈f3。
⑷能构成函数。
⑸能构成函数。
3. 回答下列问题。
⑴设A=⎨a,b⎬，B=⎨1,2,3⎬。
求B A，验证|B A|= |B||A|。
离散数学第五章习题答案题目1: 定义一个关系R在集合A上，如果对于所有的a, b, c属于A，满足以下条件：- 如果(a, b)属于R，则(b, a)属于R。
- 如果(a, b)属于R且(b, c)属于R，则(a, c)属于R。
证明R是传递的。
答案：根据题目给出的条件，R是对称的和传递的。
首先，对称性意味着如果(a, b)属于R，那么(b, a)也必须属于R。
其次，传递性意味着如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也必须属于R。
结合这两个性质，我们可以得出结论：对于任意的a, b, c属于A，如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也属于R，从而证明了R的传递性。
题目2: 给定一个函数f: A → B，如果对于A中的每个元素a，都有唯一的b属于B使得f(a) = b，那么称f为单射（或一一映射）。
证明如果函数f是单射，那么它的逆函数f^-1也是单射。
答案：要证明f^-1是单射，我们需要证明对于B中的任意两个元素b1和b2，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1 = b2。
假设f^-1(b1) = a且f^-1(b2) = a'，其中a, a'属于A。
由于f是单射，我们知道f(a) = b1且f(a') = b2。
根据f^-1的定义，我们有b1 = f(a) = f(a') = b2。
因此，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1必须等于b2，这证明了f^-1是单射。
题目3: 证明一个函数f: A → B是满射（或到上映射）当且仅当对于B中的每个元素b，都存在A中的元素a使得f(a) = b。
答案：首先，我们证明如果f是满射，那么对于B中的每个元素b，都存在A 中的元素a使得f(a) = b。
假设f是满射，这意味着B中的每个元素都是A中某个元素的像。
因此，对于B中的任意元素b，我们可以找到一个a属于A，使得f(a) = b。
页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
离散数学习题解答习题五（第五章 格与布尔代数）1．设〈L ，≼〉是半序集，≼是L 上的整除关系。
问当L 取下列集合时，〈L ，≼〉是否是格。
a) L={1，2，3，4，6，12} b) L={1，2，3，4，6，8，12} c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10}[解] a) 〈L ，≼〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。
b) 〈L ，≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
例如：812=LUB{8，12}不存在。
c) 〈L ，≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
16312486312411倒例如：46=LUB{4，6}不存在。
2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。
证明：〈S ，⊆〉是〈2B，⊆〉的子格。
其中S={y|y=f (x)，x ∈2A}[证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}⊆B 所以B 1∈2B，故此S ⊆2B；又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A)，所以S 非空；对于任何B 1，B 2∈S ，存在着A 1，A 2∈2A，使得B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，从而 L ∪B{B 1，B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2)=f (A 1∪A 2) （习题三的8的1）） 由于A 1∪A 2⊆A ，即A 1∪A 2∈2A，因此f (A 1∪A 2)∈S ，即上确界L ∪B{B 1，B 2}存在。
对于任何B 1，B 2∈S ，定义A 1=f –1(B 1)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 1}，A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 2}，则A 1，A 2∈2A，且显然B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，于是GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ⊇f (A 1∩A 2) （习题三的8的2））又若y ∈B 1∩B 2，则y ∈B ，且y ∈B 2。
由于y ∈B 1=f (A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}，于是存在着x ∈A 1，使f (x)=y ，但是f (x)=y ∈B 2。
故此x ∈A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f(x)∈B 2}，因此x ∈A 1∩A 2，从而y=f (x)∈f (A 1∩A 2)，所以GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ⊆f (A 1∩A 2)9731这说明 GLB{B1，B2}=B1∩B2=f (A1)∩f (A2)=f (A1∩A2)于是从A1∩A2∈2A可知f (A1∩A2)∈S，即下确界GLB{B1，B2}存在。
因此，〈S，⊆〉是〈2B，⊆〉的子格。
3．设〈L，≼〉是格，任取a，b∈L且a≼b。
证明〈B，≼〉是格。
其中B={x|x∈L 且 a≼x≼b}[证] 显然B⊆L；根据自反性及a≼b≼b所以a，b∈B，故此B非空；对于任何x，y∈B，则有a≼x≼b及a≼y≼b，由于x，y∈L，故有z1=x y 为下确界∈L存在。
我们只需证明z1，z2∈B即可，证明方法有二，方法一为：由于a≼x，所以a x=x，于是z1=x y=(a x) y （利用a x=x）=a (x y) （由运算结合律）因此a≼z1；另一方面，由y≼b可知y b=b，由x≼b可知x b=b，于是z1b=(x y) b=x(y b) （由运算结合律）=x b （利用y b=b）=b （利用x b=b）因此 z1≼b，即 a≼z1≼b 所以z1∈B由于a≼x及a≼y，所以a*x=a，a*y=a，因而a*z2=a* (x*y)=(a*x) *y （由*运算结合律）=a*y （利用a*x=a）=a （利用a*y=a）因而a≼z2；又由于y≼b，所以y*b=y 于是z2=x*y=x* (y*b)=(x*y) *b （利用*运算结合律）=z2*b从而z2≼b，即a≼z2≼ b 所以z2∈B因此〈B，≼〉是格（是格〈L，≼〉的子格）。
方法二：根据上、下确界性质，由a≼x，a≼y，可得a≼x*y，（见附页数）4．设〈L，≼，*，〉是格。
a，b∈L，证明：（附页）a≼x≼y，即a≼z2，a≼又由x≼b，y≼b，可得x y≼b，x*y≼y≼b，即z1≼b，z2≼b所以a≼z1≼b，a≼z2≼b，故此z1，z2∈Ba*b≺a且a*b≺b a与b是不可比较的。
[证] 先证用反证法，假设a与b是可比较的，于是有a≼b或者b≼a。
当a≼b时，a*b=a与a*b≺a（得a*b≠a）矛盾；当b≼a时，a*b=b与a*b≺b（得a*b≠b）矛盾；因此假设错误，a与b是不可比较的。
次证由于a*b≼a，a*b≼b。
如果a*b≼a，则a≼b，与a和b不可比较的已知条件矛盾，所以a*b≠a，故此a*b≺a；如果a*b=b，则b≼a，也与a和b不可比较的已知条件矛盾，所以a*b≠b，故此可得a*b≺b。
5．设〈L，≼，*，〉是格。
证明：a) (a*b) (c*d)≼(a c) * (b d)b) (a*b) (b*c)≼(c a)≼(a b) * (b c) * (c a)[证] a) 方法一，根据上、下确界的性质，由a*b≼a≼a c及a*b≼b≼b d 所以得到a*b≼(a c) * (b d)又由 c*d≼c≼a c及c*d≼d≼b d，所以得到c*d≼(a c) * (b d)因此(a*b) (c*d) ≼ (a c) * (b d)方法二 (a*b) (c*d)≼[(a c) * (a d)] * [(a c) * (b d)]（分配不等式，交换律，结合律，保序性）≼(a c) * (b d) （保序性）b) 方法一，根据上、下确界的性质由a*b≼a≼a b，a*b≼b≼b c，a*b≼a≼c a可得a*b≼(a b) * (b c) * (c a)同理可得b*c≼(a b) * (b c) * (c a)及 c*a≼(a b) * (b c) * (c a)所以(a b) (b c) (c a)≼(a b) * (b c) * (c a)方法二：(a b) (b c) (c a)≼[b* (a c)] (c*a) （交换律，结合律，分配不等式，保序性）≼[b (c*a)] * [(a c) (c*a)]（分配不等式，交换律，）≼[(a b) * (b c)] * (a c)（分配不等式，结合律，交换律，吸收律，保序性）≼(a b) * (b c) * (c a) （结合律）6．设I是整数集合。
证明：〈I，min，max〉是分配格。
[证] 由于整数集合I是全序集，所以任何两个整数的最小者和最大者是存在的，因此〈I，min，max〉是格是格是显然的。
下面我们来证〈I，min，max〉满足分配律对于任何a，b，c∈I 有a* (b c)=min{a，max{b，c}}(a*b) (a*c)=min{min{a，b}，min{a，c}}（1）若b≤c时，当（a） a≤b，则a≤c ，故此min{a，max{b，c}}=min{a，c}=amax{min{a，b}，min{a，c}}=max{a，a}=a（b）b≤a≤c ，则min{a，max{b，c}}=min{a，c}=amax{min{a，b}，min{a，c}}=max{b，a}=a（c）c≤a，则b≤a，因此min{a，max{b，c}}=min{a，c}=cmax{min{a，b}，min{a，c}}=max{b，a}=c（2）若c≤b时，当（a）a≤c，则a≤b，故此min{a，max{b，c}}=min{a，b}max{min{a，b}，min{a，c}}=min{a，a}=a（b）c≤a≤b，则min{a，max{b，c}}=min{a，b}=amax{min{a，b}，min{a，c}}=max{a，c}=a（c）b≤a，则c≤a，因此min{a，max{b，c}}=min{a，b}=bmax{min{a，b}}，min{a，c}}=max{b，c}=b综合（1）（2）总有a* (b c)=(a b) * (a c)根据对偶原理，就还有a (b*c)=(a b) * (a c)因此〈I，min，max〉是分配格。
7．设〈A，*，，max〉是分配格，a，b∈A且a≼b。
证明：f (x)=(x a) *b是从A到B的同态函数。
其它B={x|x∈A且a≼x≼b}[证] 由于a≼x a，及已知a≼b，所以a≼(x a)*b；其次(x a)*b≼b，所以a≼ f (x) ≼b，因而f (x)是从A到B的函数。
对于任何x，y∈A，f(x y)=((x y)a)*b=((x a) (y a)) *b（幂等律，交换律，结合律）=((x*a)b)((y a) *b)（分配律）=f (x) f (y)f (x*y) =((x*y) a) *b=((x a) * (ya))*b （分配律）=((x a) *b)((y a) *b) （幂等律，交换律，结合律）=f (x) *f (y)所以，f满足同态公式，因而f 是从A到B的同态函数。
8．证明：一个格是分配格的充分必要条件是a，b，c∈L，有(a*b) (b*c) (c*a)=(a b) * (b c) * (c a)[证] 必要性。
对于任何a，b，c∈L，(a*b) (b*c) (c*a)=(b* (a c)) (c*a) （交换律，分配律）=(b (c*a)) * ((a c) (c*a)) （分配律）=(b c) * (b a) * (a c) （分配律，吸收律）=(a b) * (b c) * (c a) （交换律）充分性，f满足同态公式，因而f是从A到B的同态函数。
8．证明：一个格是分配格的充分必要条件是a，b，c∈L，有(a*b) (b*c) (c*a)=(a b) * (b c) * (c a)[证] 必要性。
对于任何a，b，c∈L，(a*b) (b*c) (c*a)=(b* (a c)) (c*a) （交换，分配律）=(b (c*a))(( a c) (c*a)) （分配律）=(b c) * (b a) * (a c) （分配律，吸收律）=(a b) * (b c) * (c a) （交换律）充分性，对于任何a，b，c∈La (b*c)=(a (a*c)) (b*c) （吸收律）=((a (a*b)) (a*c)) (b*c) （吸收律）=(a*b) (b*c) (c*a) a （交换律，结合律）=((a b) * (b c) * (c a)) a （已知条件）=((a b) * (a c) * (b c)) ((b c) *a) a （交换律，吸收律）=((a b) * (a c) * (b c)) ((b c) *a) (a* (a b) * (a c)) （吸收律）=(((a b) * (a c)) (b c)) * ((b c) a) * (a((a b)) * (a c)))（已知条件）=(((a b) * (a c)) (b c)) * (a b c) *((a b)* (a c))（因为a ((a b) * (a c))= (a b) * (a c)=(((a b) * (a c)) (b c)) * (((a b)c) *(a b)* (a c) （结合律）=(((a b) * (a c)) (b c)) *((a b)* (a c)) （吸收律，结合律）=(a b)* (a c) （吸收律）根据对偶原理还有a* (b c)= (a b) * (a c)所以格L是分配格。
