第五章 固体电子论基础2

ψ k ( x ) e ikx uk ( x ) uk ( x ) uk ( x＋na )
具有如此形式的波函 数称为布洛赫函数.
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5.布罗赫定理证明
(1)Ĥ算符的周期性证明
d2 d2 和 2 作用效果相同， 2 dx d x a
ˆ ˆ ˆˆ ˆ H x H x a TH x H x a H x ＝ˆ
(3)波函数及其一阶导数在势场突变点必须连续。
x 、 x 连续
u x 、u x 连续。
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二、求解波函数
1.在0<x<c区域，势能V＝0
(1)薛定谔方程
V x
2mE 令 2 2 代入薛定谔方程
V0
-a
-b 0
c a
d 2u du 2m 2 ＋ ik 2 E - V - k u 0 2 2 dx dx
其它电子的运动。即所有电子的运动都是关联的。
平均场近似—用一种平均场来代替电子之间的相互
作用„利用Hartree(哈特里) —Fock(福克)自洽场方法‟， 即假定每个电子所处的势场都相同。 将多电子问题简化为单电子问题，每个电子是在固 定的离子势场以及其它电子组成的平均场中运动。所有 的电子都满足同样的薛定谔方程。
服从费米—狄拉克分布。
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2.布里渊模型—晶体中势场的周期性
金属中正离子形成的电场是一种周期性变化的电场。
电子接近正离子时其势能要降低，离开正离子时期势能
要升高。电子在金属中的运动并不是完全自由的。
晶体中所有的正离子势场和其它电子的平均场是周
期性势场。电子是在规则排列的周期性势场中运动。这 种势场具有晶格的周期性。 对于一维势场： V(x)=V(x+na)
V r V r Rn


4.布罗赫定理 (1)布罗赫定理 在周期性势场V(x)中运动的电子，其能量E(k)和波 函数 k(x)必须满足薛定谔方程，波函数是按晶格周期
调幅的平面波。
(2)布罗赫定理的数学表达式
2 d 2 － ＋V x ψ k ( x ) E k ψ k ( x ) 2 2m dx
§5.5 布洛赫波
固体电子论—主要研究固体中电子的运动规律。 固体中电子的运动状态对固体的力学、热学、电 磁学、光学等物理性质有着非常重要的影响。因此研
究固体中电子运动规律是固体物理学的一个重要内容。 固体电子论主要包括 1.经典自由电子论(特鲁特-洛伦兹模型)； 2.量子力学自由电子理论(索末菲模型); 3.能带理论(布里渊模型)。
k K h x 也是波函数的解。
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(8)波函数表达式
k x Ahe i k K
u x Ahe
h h iK h x
h
x
e ikx Ahe iK h x e ikxu x
h
(9)u(x)的周期性
u x na Ahe
h
1 2
一个本征值可以和无数 个波矢k、k K 1、k K 2 对应。
3.k的取值范围 为了保证k的取值和本征值一一对应，把k的取值限
制在倒格子的原胞之内。如图红线区域所示。
2 l － k ，k a a Na


N N － l 2 2
波矢k的取值范围称为简约布里渊区(或第一布里渊 区), 其中的波矢称为简约波矢, 共有N个(N是原胞数)。
在K空间， Kh表示倒格点的分布。
2h 2 4 6 Kh , h 0,1,2,。K 1 , K2 , K3 a a a a
K1
4 3 2 a a a
K2
2 a 3 a 4 a
a
O
a
k
2. k x 和 k＋K h x 的等同性
单电子近似的理论—把每个电子的运动看成是独立的在 一个等效势场中的运动。
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一、布洛赫定理
1.不同自由电子模型中的势场分布
(1)特鲁特－洛伦兹模型
忽略晶体的势场。自由电子服从麦克斯韦—玻耳
兹曼分布。 (2)索末菲模型 平均势场，V0 ＝常数(可选V0=0)。自由电子服从 费米—狄拉克分布。 (3)布里渊模型 周期性势场，势场分布具有晶格的周期性。电子
h
iK h x na
e
iK h na
A e
h h
iK h x
e
i
2h na a
Ahe
h
iK h x
Ahe
h
iK h x
u x
结论：在周期场中运动的粒子的波函数是布洛赫函数。
即调幅的的平面波，调幅函数具有晶体的周期性。
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二、波矢k的取值范围
1.倒格矢Kh的物理意义
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(3)周期场近似
周期场近似，所有离子势场和
其它电子的平均场是周期性势场。 (4)单电子近似 将电子气在晶体中运动的多粒子的多体问题近似的 简化为一个电子在周期性势场中运动的问题来处理的方 法称为单电子近似。建立在单电子近似基础上的固体理 论称为能带理论。 (5)近自由电子模型 如果晶体中电子的势能同系统中电子能量的平均值 相比是一个微小量, 可在自由电子模型的基础上作微扰 计算。这种模型称为近自由电子模型。 7
论电子问题时，可以认为离子实是固定在瞬时位置上不 动。电子是在固定不动的离子实产生的势场中运动。晶
格振动以及其它缺陷对电子的影响可以用微扰方法处理。 通过绝热近似, 电子问题。 把多种粒子的多体问题简化为了多
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(2)平均场近似
由于任何一个电子的运动不仅与它自身的位置有关，
而且还与所有其它电子的位置有关，并且该电子也影响
d u du 2 2 可得： ＋ ik 2 -k u 0 2 dx dx
2


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(2)特征方程为：
2
r 2ikr －k 0
2 2


r
－ ik 2
2ik －4 －k －ik i
2 2 2
r1 －i k ，r2 i －k
V x V x＋na ＝
abc
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n为任意整数。
2.波函数和薛定谔方程 (1)波函数 根据布罗赫定理可得：
x e ikxux
(2)薛定谔方程 把波函数代入薛定谔方程可得：
2 d 2 V x ψ x Eψ x 2 2m dx
ˆ n x n x T
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(5)利用波恩－卡门边界条件求出本征值
x＋Na x
ˆ N x N x x＋Na x T
1， ＝e 令
N
ika
e
N
ikNa
1
Nka 2l. l 0,1,2,
d 2 2m ＋ 2 E - V 0 2 dx
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d 2m ＋ 2 E - V 0 2 dx
2
x e ikxux
d 2u du 2m 2 ＋ ik 2 E - V - k u 0 2 2 dx dx
2 k l. l 0,1,2, Na
ˆ x e ika x T k k
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(6)本征函数的形式
本征函数 x 如具有 x e ikx的形式，则满足本征方 程。
ˆ x e ika x T k k
ˆ x x＋a e ik x a e ika e ikx e ika x T
1
能带理论 是研究固体中电子运动的主要理论基础，能带理论 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性及其特点，说明 了导体、非导体的区别。能带理论提供了分析半导体理 论问题的基础，推动了半导体技术的发展。 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性
的对普遍性规律的研究发展到对具体材料复杂能带结构
的计算。
能带理论—是建立在单电子近似基础上的固体理论。
(7)波矢的周期性
ˆ T k K h x k K h x＋a e i k K h x a e i k K h a e i k K h x
2h Kh h为整数。 a
e ika k K h x k K h x
ika ˆ x e ika x ，T ˆ T k k K h x e k K h x k
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x 和 k K 有相同的本征值： ika。即 k e k x 、 k K 、 k K 、 都具有相同的本征值。 也即
(3)薛定谔方程的解
2
u x A0e i －k x B0e－i k x A0、B0为任意常数。
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2.在－b<x<0区域，势能为V0，且E< V0
(1)薛定谔方程
V x
2m 令 ＝ 2 V0 E － 2mV 0 ＝ 2 － 2
2
V0
代入薛定谔方程
ˆ ˆ 2T和H对易性证明
ˆˆ ˆ ˆ ˆ TH x x H x a x a H x T x
ˆ ˆ T和H对易, 所以它们具有共同的本 征函数。
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ˆ 3T的性质
ˆ Tf x f x a
f x 为任意函数；
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4.波函数示意图
势能
波函数 实数部分
ux 因子
平面波 实数部分 16
§5.6 克龙尼克(R.Kronig)－潘纳(W.G.Penney)模型 一、克龙尼克－潘纳模型(1931年)