固体物理学6自由电子论

1 金属中自由电子的量子态
金属中的传导电子好比理想气体，相互之间没有相互作用，各自独立地在平均势场中运动，通常取
平均势场为能量零点。要使自由电子逸出体外，必须克服电子的脱出功，因此金属中自由电子的能态，
可以从在一定深度的势阱中运动的粒子能态估算，通常设势阱深度是无限的，设金属中自由电子的平均
势能为零，金属外电子的平均势能为无穷大，则金属中自由电子的薛定谔方程为：
(1) 在两次碰撞间隙，忽略给定电子和其它电子及离子的相互作用。没有外加电磁场时，电子作匀速直 线运动，在有外加电磁场时，电子受电磁力，运动遵从牛顿运动定律。忽略其它电子和离子产生的复杂 的附加场。在两次碰撞间隙，忽略电子－电子之间的相互作用称为独立电子近似；忽略电子－离子之间 的相互作用称为自由电子近似。
x21 x y22 y
0 0
d
2 3 z
dz 2
k z2 3
z
0
(1.2.4)
这样问题简化为三个一维无限深势阱中粒子的量子态。设金属体是边长为 L 的立方体，周期性边界条件
为：
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
i
0
0 1
2
2
(1.1.26)
介质的复数折射率定义为：
n~ ~r12 n i
(1.1.27)
这里 n 是通常的折射率， 是消光系数。在光学实验中，通常不直接测量 n 和 ，而是测量反射率 R 和
吸收系数。它们之间的关系为：
R
n n
12 12
2 2
(1.1.28)
低频时 1 ， ~r i r " ，因此：
H Ex

格为简立方，氯化铯结构属简立方。
(2)氯化钠结构
氯化钠结构属面心立方。
氯化钠结构由两个面心立方子晶格 沿体对角线位移1/2的长度套构而成。
(3)金刚石结构 （闪锌矿结构）
cc 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 的长度套构而成,其布喇菲晶格为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个晶胞包含8个碳原子。
金刚石结构每个固体物理学原胞
包含1个格点,基元由两个碳原子组成,
位于（000）和
1 1 1 4 4 4
处。
金刚石结构： 单晶硅、单晶锗结构
cc
闪锌矿结构： 硫化锌ZnS(顶角和面心上S，晶胞内是Zn) 锑化铟、砷化镓、磷化铟
倒格
b1 2π a2 a3 Ω
其中 a1,a2 ,a3 是正格基矢，Ω a1 a2 a3
Ω a1 a2 a3 1 a3 4
a1 a i j k 2
a2 a i j k 2
a3 a i j k 2
平均每个晶胞包含 2个格点。
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
复式格 (1)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布喇菲晶
???????nnnnxxxxnmx?????naqtinnax???en2mnn1n2n1am??m色散关系波矢q范围晶格振动波矢的数目晶体的原胞数bk条件波矢q取值2sin2aqm???aqa???nnnxx??oa?a?2lnaq2?晶格振动的波矢数目晶体的原胞数n格波振动频率模式数目晶体的自由度数mnn晶体中格波的支数原胞内原子的自由度数mnn是晶体的原胞个数n是原胞内原子个数m是维数

自由电子与电子能带理论的解释自由电子理论是固体物理学中的一个重要概念，它被广泛运用于描述和解释物质的电子结构和导电性质。

在这个理论中，电子被认为是不受束缚的，它们可以在一个无限深势阱中自由移动。

在固体中，电子受到其他原子核电荷的吸引，同时与其他电子之间的相互作用也不可忽视。

自由电子理论假设固体中的价电子（最外层电子）可以忽略其他电子和原子核之间的相互作用，从而成为类似自由粒子的行为。

这个假设为我们提供了描述固体中电子的简单模型，它可以用来解释电子的运动和导电性质。

自由电子理论对于描述导电性质而言是非常有效的。

在固体中，电子可以上升到更高的能级，或者从高能级下降到低能级。

当电子遇到外电场时，它们可以自由地加速或减速，并且在导体中形成电流。

这就是为什么金属具有良好导电性质的原因。

自由电子理论可以用来解释导体中的电子运动和导电现象，尽管它忽略了许多真实物质之间的相互作用。

然而，自由电子理论也有一些限制。

首先，它无法解释像绝缘体和半导体这样的材料的导电性质。

这些材料中的电子在价带和导带之间存在能隙，只有当光子提供足够的能量时，电子才能从价带跃迁到导带，形成电流。

自由电子理论无法描述这种现象。

为了解决这个问题，人们发展出了电子能带理论。

根据电子能带理论，固体中的电子在能量空间中被分布为一系列能带，每个能带可以容纳一定数量的电子。

其中，价带是最低能级的能带，它容纳了价电子；而导带是更高能级的能带，它容纳了自由电子。

能带之间的间隙被称为能隙。

电子能带理论在解释固体的导电性质时更加准确。

对于绝缘体而言，价带和导带之间的能隙非常大，因此电子无法跃迁到导带中。

这导致了绝缘体的低导电性质。

而半导体中的能隙比较小，一些电子可以通过吸收热量或光子来跃迁到导带，形成电流，使半导体表现出可变的导电性。

电子能带理论还可以解释为什么金属具有良好的导电性。

在金属中，导带与价带之间没有明显的能隙，因此即使不需要外电场的加速，电子也可以自由地在导带中移动和形成电流。

ne2 1 0 ' i " m 1 i 1 i
0

ne2
m
其中 0 是直流电导率。以上推导见阎守胜书 p22

'

1
0 2
2
,
"

0 1 2
2
,
实数部分体现了与电压同位相的电流，也就是产生焦耳热
的那个电流，而虚部则体现的是与电压有 2 位相差的电流， 也就是感应电流。

—— Richardson－Dushman公式
其中
A


mekB2
2 2 3
W V0 EF0
在上面的推导中，用到两个积分公式：
exp
mv
2 y
2kBT
dvy

exp

mvz2 2kBT
dvz

2 kBT
i t

H



0
i


E t
故相对介电常数为：r

0

1

i
0

将上面求出的交流电导率代入该式，有：

r r ' ir " 1 0
0 1 2 2
i
0
0 1 2 2
示为： Ey E0 exp i qx t
运动方程的稳态解为：
e 1 v y m 1 it E y
电流密度 jy n e vy
ne2 1 0 ' i " m 1 i 1 i

第六章 自由电子论和电子的输运性质思 考 题1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率?[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目1/)(+=-Tk E E BF e gn ,g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数11)(/)(+=-Tk E E BF e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量?[解答]晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数11/-=Tk i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?[解答]自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?[解答] 费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.5.为什么温度升高, 费密能反而降低?[解答]当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大?[解答]由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由(6.4)式3/120)3(πn k F =可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点从(6.5)和(6.3)式看得更清楚. 电子的平均动能E 正比与费密能0F E , 而费密能又正比与电子浓度3/2n:()3/222032πn mE F=,()3/2220310353πn mE EF ==.所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系?[解答]对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由(6.79)式)(00ε⋅∂∂+=v τe E f f f可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移)(0ε⋅∂∂v τe E f部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从(6.83)式xk Sxx ESv e j Fετπ∇=⎰d 4222和立方结构金属的电导率E S v e k S xF ∇=⎰d 4222τπσ看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗?[解答]电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为1F E 和2F E , 且1F E >2F E , 接触平衡后电势分别为1V 和2V . 则两金属接触后, 金属1中能量高于11eV E F -的电子将跑到金属2中. 由于1V 大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差? 为什么?[解答]两块同种金属, 温度分别为1T 和2T , 且1T >2T . 在这种情况下, 温度为1T 的金属高于0F E 的电子数目, 多于温度为2T 的金属高于0F E 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的能量要取最小值, 温度为1T 的金属高于0F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属. 温度未达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为1T 的金属失去电子, 带正电; 温度为2T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差.10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化?[解答]如果不存在碰撞机制, 当有外电场ε后, 电子波矢的时间变化率εe t -=d d k .上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有外电场ε时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场ε后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布. 11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高?[解答]电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径3/12)3(πn k F =.可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.12.电子散射几率与声子浓度有何关系? 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系?[解答]设波矢为k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为),',(θΘk k , 则),',(θΘk k 即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度.若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角θ与声子的平均波矢q 的关系为由于F k k k ==', 所以F F k q k q 222sin==θ.在常温下, 由于q <<k , 上式可化成F F k q k q ==θ.由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量q 成正比.13.低温下, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是何原因?[解答]按照德拜模型, 由(3.133)式可知, 在甚低温下, 固体的比热34)(512D B V T Nk C Θπ=.而声子的浓度⎰⎰-=-=mB mB T k pTk ce v eD V n ωωωωωωπωω0/2320/1d 231d )(1,作变量变换T k x B ω =,得到甚低温下333232T v Ak n p Bπ=,其中⎰∞-=021d xe x x A .可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比. 按照§6.7纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动量的平方成正比. 可见, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是出自声子平均动量的平方上. 这一点可由(6.90)式得到证明. 由(6.90)可得声子平均动量的平方286220/240/3321d 1d )(T v v Bk e v e v q s p B T k s T k p D B DB =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎰⎰ωωωωωωωω ,其中⎰⎰∞∞--=02031d 1d x xe x x e x x B 。

第六章 自由电子论和电子的输运性质思 考 题1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目1/)(+=-T k E E B F e g n ,g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数11)(/)(+=-T k E E B F e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量[解答]晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数11/-=T k i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的[解答]自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近.4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化[解答]费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.5.为什么温度升高, 费密能反而降低[解答]当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大[解答]由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由式3/120)3(πn k F =可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点从和式看得更清楚. 电子的平均动能E 正比与费密能0F E , 而费密能又正比与电子浓度3/2n :()3/22232πn m E F =,()3/2220310353πn m E E F ==.所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系[解答]对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由式)(00ε⋅∂∂+=v τe E f f f可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移 )(0ε⋅∂∂v τe E f部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从式x k S x x E S v e j F ετπ∇=⎰d 4222和立方结构金属的电导率 E S v e k S x F ∇=⎰d 4222τπσ 看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗[解答]电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为1F E 和2F E , 且1F E >2F E , 接触平衡后电势分别为1V 和2V . 则两金属接触后, 金属1中能量高于11eV E F -的电子将跑到金属2中. 由于1V 大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差 为什么[解答]两块同种金属, 温度分别为1T 和2T , 且1T >2T . 在这种情况下, 温度为1T 的金属高于0F E 的电子数目, 多于温度为2T 的金属高于0F E 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的能量要取最小值, 温度为1T 的金属高于0F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属. 温度未达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为1T 的金属失去电子, 带正电; 温度为2T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差.10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化[解答]如果不存在碰撞机制, 当有外电场ε后, 电子波矢的时间变化率 εe t -=d d k .上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有外电场ε时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场ε后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布.11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高[解答]电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径3/12)3(πn k F =.可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.12.电子散射几率与声子浓度有何关系 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系[解答]设波矢为k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为),',(θΘk k , 则),',(θΘk k 即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度.若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角θ与声子的平均波矢q 的关系为由于F k k k ==', 所以F F k q k q 222sin==θ.在常温下, 由于q <<k , 上式可化成 F F k q k q ==θ.由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量q 成正比. 13.低温下, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是何原因[解答]按照德拜模型, 由式可知, 在甚低温下, 固体的比热 34)(512D B V T Nk C Θπ=.而声子的浓度⎰⎰-=-=m B m B T k p T k ce v e D V n ωωωωωωπωω0/2320/1d 231d )(1 ,作变量变换 T k x B ω =,得到甚低温下 333232T v Ak n p Bπ=, 其中 ⎰∞-=021d x e x x A .可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比.按照§纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动量的平方成正比. 可见, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是出自声子平均动量的平方上. 这一点可由式得到证明. 由可得声子平均动量的平方286220/240/3321d 1d )(T v v Bk e v e v q s p B T k s T k p D B D B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎰⎰ωωωωωωωω ,其中⎰⎰∞∞--=02031d 1d x x e x x e x x B 。

2 m
2 T eΒιβλιοθήκη 2 3k Bne 2 2m
3.1.3 Drude模型的局限


Drude模型最成功之处在于解释了维德曼-弗兰茨定律。 与很多更精致、更复杂的理论得出的值相差不多。 但后来固体物理证明，Drude模型关于维德曼-弗兰茨 定律的证明是建立在两个大错误的互相抵消上，即室 温下的电子比热容高估了100倍，而电子的平均速度 低估了100倍。 电子热容问题：比热和温度无关，结果过大（100倍） 电导率与温度的关系T1/2（实际上T） 不能解释一、二价金属的导电能力的问题。
第2章 金属电子理论 （固体电子理论）
3.1 经典自由电子论
引言

为什么研究固体从金属开始？ 自然界最基本的物质状态之一，元素周期表中 有2/3的元素属于金属。应用广泛（电导、热 导、光泽、延展），当时对金属的了解比其它 固体多。

当时人们对金属的了解有多少？ 有良好的导电，导热性能 有较好的延展性和可塑性 维德曼-弗兰茨定律（Wiedemann-Franz law）

1 j nvx T x vx T x vx 2 d dT d 1 nvx x 2vx dT dx dx 2 d 3 dT 2 cv nvx cv kB dT 2 dx

1 1 eE vd vd a 2 2 2m

电流密度——单位时间内通过单位面积的电荷量。
ne 2 E nevd 2m 2 ne j E, 2m
电导率
其中，n为单位体积内的电子数（电子浓度），m为电子 质量，e为电子电荷量。 欧姆定律

在 k 空间， E = E F 的等能面称为费米面。 1.
E F 的确定
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固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
V 电子按能量的统计分布 ： dZ = N ( E )dE —— N ( E ) 状态密度 在 E − E + dE 之间状态数（量子态数） 在 E − E + dE 之间的电子数： dN = f ( E ) N ( E )dE
1 e
E − EF k BT
+1
0 0
当温度 T = T K ， E > E F 的状态中， 电子填充的几率增大，E < E F 如果 E F = E F 不随时间变化，
0
的状态中，电子填充的几率减小。费密分布函数在 E F = E F 左右的增加和减小是对称的。如图
0
XCH006_005 所示。 —— 对于近自由电子， N ( E ) ∝ E
3 0 dE = E F 5
结果：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量。这是因为电子必须满足泡利不相容原理，每
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个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。 绝对温度 T ≠ 0 时金属中电子费密能量
—— EF是费米能量或化学势：体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。
电子的总数： N =
∑ f (E )
i i
—— 对所有的本征态求和
在温度 T ≠ 0 的情况时：在 E = E F ， f ( E F ) =

《固体物理学》教学大纲
一、课程基本信息
二、课程教学目标
通过本课程的学习，使学生将能够了解固体物理学发展的基本情况，以及固体物理学对于近代物理和近代科技的发展起的作用，了解固体物理所研究的基本内容和固体物理研究前沿领域的概况，掌握固体物理学的基本概念和基本规律，掌握晶体宏观物理性质及其组成粒子之间相互作用与运动规律，并能解释晶体基本物理性质的微观机理，培养应用固体物理学理论分析和处理问题的能力。

三、理论教学内容与要求
四、考核方式
采用期末考试、平时考核的考核方式。

总成绩为100分，其中期末考试成绩占总成绩的70％，平时成绩(考核包括作业、出勤、课堂讨论等)占总成绩30％。

电科固体物理第六章第七章思考题和作业题一、基本概念1. 自由电子气、2. 费米面、3. 费米分布函数、4. 电子的亲和势、5. 功函数、6. 接触电势差、7. 布洛赫函数、8. 近自由电子近似、9. 禁带宽度、10. 紧束缚近似、11. 有效质量、12. 空穴二、思考题1. 自由电子气的经典模型和量子模型的主要区别是什么？2. 你是如何理解绝对零度下和常温下电子的平均动能相近这一点的？3. 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？4. 为什么价电子的浓度越高，电导率越高？5. 在常温下，两金属接触后，从一种金属跑到另一种金属的电子，其能量一定要达到或超过费米能和脱出功之和吗？6. 近自由电子近似模型和紧束缚近似模型在解释能带和禁带的形成方面有什么不同？7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点？8. 一维周期势函数的傅里叶级数∑=n nx a i ne V x V π2)(中，指数函数nx a i e π2的形式是由什么条件决定的？9. 紧束缚模型下，内层电子的能带与外层电子的能带相比较，哪一个宽？为什么？10. 带顶和带底附近电子的有效质量有何特点？11. 能带理论是如何解释导体和绝缘体相区别的本质的？12. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同？三、作业题1. 试证明二维金属中自由电子气的单位面积能态密度为2)(h πm E g =。

2. 二维电子气的能态密度为2)(h πm E g =，证明费米能为()[]1/exp ln 2−=T mk n T k E B B F h π，其中n 为单位面积的电子数。

3. 每个原子占据体积3a ，绝对零度时价电子的费米半径为()a k F3/1206π=，计算每个原子的价电子数目。

4. Show that the kinetic energy of a three-dimensional gas of N free electrons at 0 K is F NE E 53=. 5. 晶格常数为a 的一维晶体中，电子的波函数为x a i x k πψ3cos)(=，求电子在以上状态中的波矢。

波函数： uk reikr 布洛赫函数
能量：一个能级列变为一个能带。
单电子近似（准自由近似和紧束缚近似），又称为能带论
5.5晶体中电子的准经典运动
在量子力学中晶体中布洛赫电子的运动由波 包来描述。所谓波包由空间分布在r0附近的Δr 范围内，波矢取值在k0附近的Δk范围内的布洛 赫电子态组成,ΔrΔk必须满足不确定关系。一 般Δk必须小于第一布里渊区的线度，这样Δr 必须远大于晶体原胞的线度，只能在这个线度 内，布洛赫电子可以看作经典粒子。
净电流为0，不导电
施加外电场
k轴上各点均以完全相同的速度移动，电子在布里
渊区中不再分布对称，电流密度不能完全抵消。
净电流不为0，参与导电
不满带导电
F
不满带导电
三、导体和非导体模型
实际晶体中，电子从低到高填充能带，形成一系列 的满带。最外层价电子填充的能带，称为价带。
导体：价带是不满带。 非导体：价带也是满带。
三种近似方法：
1. 自由电子近似：（适用于金属晶体）
波函数： Aeikr 能量：E 2k 2 准连续
2m
2. 准自由电子近似：（适用于晶体中原子的外层电子）
波函数： uk reikr 布洛赫函数
能量：准连续的能量在布里渊区边界突变，分裂为能带。
3. 紧束缚近似：（适用于晶体中原子的内层电子）
有效质量大
k
x
kx
曲率愈小，有效质量愈大； 曲率愈大，有效质量愈小。
2. 有效质量有正、有负
能带底部，d 2E
dk 2
0,m*
0
能带顶部，d 2E 0,m* 0
dk 2
m*
m* 2
d2E dk 2
k
x

严格理论计算结果支持了后一种说法。这主要是 由于Pauli不相容原理的结果。能量比EF低得多的电 子，其附近的状态仍被其他电子所占据，没有空状态 来接纳它。因此，这些电子不能吸收电场的能量而跃 迁到较高的能态，对电导作出贡献，能被电场激发而 对电导有贡献的只是在费米面附近的一小部分电子。
§5.2 Sommerfeld展开式及其应用
电子由于碰撞而失去其定向运动。
费米球心移动的距离为
Δk
=
dk dt
⋅τ
=
−
eτ
h
ετ：平均自由时间源自电子的定向漂移速度为Vd
=
1 m
⋅
hΔk
=
− eτ
m
ε
电流密度：
j
=
−neVd
=
ne2τ
m
⋅ε
=
σ
⋅ε
∴σ = ne2τ
m
第二种解释：只有在费米面
ky
附近未被抵消部分的电子才
对传导电流有贡献。
这部分电子所占的分数为
0.5
0
E F
E
0
E F
E
对于金属而言，由于T << TF总是成立的，因此， 只有费米面附近的一小部分电子可以被激发到高能 态，而离费米面较远的电子则仍保持原来（T＝0）的 状态，我们称这部分电子被“冷冻”下来。因此，虽然 金属中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质 的并不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的 那一小部分。
Z
(E)
=
2⋅
ρ
(k)⋅
4πk3
3
=
2⋅
V
8π
3
⋅
4π
3
(
2m

温度的变化很小。
总电子数：
N 0 D( )
f (.T ) dε=常数
（不随温度变化）
N T 0
F N 0 F D( )
f (.T ) dε=常数
即： F N T 0
或
0 F
D( )
f T
d 0
又
cel 0 D( )
f T
d
再加上一项等于零的积分对Cel无影响 则：
cel 0 D( )
sω
dsω Kω
相应的电子气的轨道密度的一般表达式为：
D(ε)
V 4π 3
sε
dsε k ε
(由于自旋×2)
总电子数与费米能的关系：
N
V
3
2
(
2m
2
F
3
)2
在波式空间中能量为的等能面所包围
的轨道数为：
N
V
3
2
(2m
3
2) 2
下面推导此式：
k
2m
2
在波矢空间，波矢为k的球的球体体积为：
4/3πk3，每个k值占的体积为(2π/L)3，每
2 z
)
=恒常
在波矢空间是一球面方程，不同能量的等 能面是一系列同心球面。
电子在T=0k时所能填充到的最高 等能面称为费米面，我们知道自由电 子的等能面是球面，在T=0k时，费米 面把电子填充过的轨道与电子未填充 过的轨道完全分开了，即费米面内所 有的轨道都被填充，费米面外边都是 空轨道，这一点对金属是非常主要的， 因为只有费米面附近的电子才能决定 金属的动力学性质。
电子气的轨道密度为抛物线关系，费米分 布函数为：
在T=0时，轨道全占满，但当温度T上升 时，费米面附近的电子可能激发到高轨道上 去，在温度T时能受热激发的电子数(只看到 数量级)大约为：（kBT/εF）N，则在温度T 时电子气热能的增加为：

2
⎜ ⎝
⎟ a ⎠
= u ( x)
6.4 在一维周期势场中，电子的波函数ψ k ( x ) 应满足布洛赫定理。若晶格常数时 a，电子的波函数为
x π a 3x （2）ψ k ( x ) = i cos π a
（1）ψ k ( x ) = sin （3） （1）ψ k ( x ) =
∑ f ( x − la )
（1）ψ k ( x + a ) = sin
( x + a ) π = sin ⎛ x + 1⎞ π = − sin x π = −ψ
a ⎜ ⎝a ⎟ ⎠ a
2
k
( x)
第六章 能带理论基础 结合（b）式有
eika = −1
因此得
ka = ( 2m + 1) π
即 k = ( 2m + 1)
π
a
, m = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅
1
第六章 能带理论基础
1 Vn = L
∫ V ( x) e
0
L
−i
2 nπ x a
dx
u ( x + xl ) = 1 +
∑
n≠0
⎡1 2m ⎢ ⎢ ⎣L
∫
L 0
L
0
⎤ − i 2 nπ ( x + xl ) V ( x + xl ) e dx ⎥ e a ⎥ ⎦ 2 2nπ ⎞ ⎛ =2k 2 − =2 ⎜ k − ⎟ a ⎠ ⎝
( )
(
) (
)
() (
)
( ) ()
JJG 只表示相应的 ∂ / ∂x , ∂ / ∂y , ∂ / ∂z 中变数 x, y , z 改变一常数，这显然不影响微分算符，又 在上式中 ∇ G r+R

第六章 自由电子论和电子的输运性质6-1电子气的费米能和热容量自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。

一 费米能量1.模型(索末菲)(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)； (3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。

2.费米分布函数在热平衡时，能量为E 的状态被电子占据的概率是1e 1)(B F )(+=-T k E E E fE F ---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。

它是温度T 和晶体自由电子总数N的函数。

随着T 的增加，f (E )发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在E F附近±k B T 范围内。

3.费米面0.a =T ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<=F FF 01)(E E E E E E E f 陡变0.b ≠T ⎪⎩⎪⎨⎧>>=<<=FFF0211)(E E E E E E E fE=EF 的等能面称为费米面。

在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。

T ≠0时，费米球面的半径k F 比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离EF 约k B T 范围的能级上的电子被激发到EF 之上约k B T 范围的能级。

4.求EF 的表达式E~E+dE 间的电子状态数：E E N )d ( E~E+dE 间的电子数：E E N E f )d ()( 系统总的电子数：⎰∞=０E E N E f N )d ()(分两种情况讨论：(1)在T=0K 时，上式变成：⎰=0)d (FE E E N N ０将自由电子密度N(E)=CE 1/2代入得：()23021032d ⎰==FE FE C E CE N ０其中23222π2⎪⎭⎫⎝⎛= m V C c()23023222π232FE m V N ⎪⎭⎫ ⎝⎛=令n=N/V ，代表系统的价电子浓度()32220π32n mE F=金属中一般 n~1028m-3，电子质量m=9×10-31kg ， 自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算NN E E ⎰d ＝０⎰=0023d FE E E NC053F E =由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。

第一章晶体结构一、填空1、晶面有规则，对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为；在凝结过程中不经过结晶（即有序化）的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为。

由晶粒组成的固体，称为。

2、化合物半导体材料GaAs晶体属于闪锌矿类结构，晶格常数为a，其配位数为。

一个惯用元胞（结晶学元胞）内的原子数，其布喇菲格子是。

其初基原胞（固体物理学原胞）包含原子数，体积为。

初基元胞的基矢为，，。

3、半导体材料Si具有金刚石型晶体结构，晶格常数为a，其配位数为。

一个惯用元胞（结晶学元胞）内的原子数。

属于布喇菲格子。

写出其初基元胞（固体物理学元胞）的基矢________，_______，_______。

晶格振动色散关系中支声学波，支光学波，其总的格波数。

4、简立方结构如果晶格常数为a，其倒格子元胞基矢为是_______，______，_________ 。

在倒格子空间中是结构，第一布里渊区的形状为______，体积为______ 。

5、某元素晶体的结构为体心立方布喇菲格子，其格点面密度最大的晶面的密勒指数____ ，并求出该晶面系相邻晶面的面间距________。

（设其晶胞参数为a ）。

6、根据三个基矢的大小和夹角的不同，十四种布喇菲格子可归属于_____ 晶系，其中当 90,=====γβαc b a 时称为 _____类晶系，该晶系的布喇菲格子有 ______ 。

7、NaCl 晶体是由两个 _ 格子沿体对角线滑移1/4长度套构而成；设惯用原胞的体积为a 3，一个惯用元胞内的原子数 ；其配位数为 ，最近邻距离 ；初基原胞体积为 ，第一布里渊区体积为______；晶体中有 支声学波， 支光学波。

8、对晶格常数为a 的SC ，与倒格矢 242K i j k a a aπππ=+- 正交的晶面族的晶面指数为____，其面间距为 __ 。

9、半导体材料Si 具有金刚石型晶体结构，晶格常数为a ，一个惯用元胞内的原子数 ，一个固体物理学原胞内的原子数 ；固体物理学原胞的体积 ，倒格子原胞的体积 __ ，第一布里渊区的体积为 ；晶格振动色散关系中 支声学波，______ 支光学波。