材料的应力和应变的关系

应变和应力的概念应变和应力的概念引言应变和应力是材料力学学科中的基本概念，它们是研究材料在受外部作用下的变形和破坏行为的重要参数。

本文将深入探讨应变和应力的概念、种类、计算及其在工程实践中的应用。

一、应变的概念1.1 定义应变是指物体在受外部作用下发生形状或大小上的改变程度。

通俗地说，就是物体发生了多少形变。

1.2 种类根据物体发生形变时，不同方向上长度或角度的改变情况，可分为以下几种类型：(1) 线性应变：也称伸长率，是指物体沿着外力作用方向上单位长度发生的相对伸长量。

(2) 非线性应变：也称剪切应变，是指物体内部各层之间因受到外部剪切力而产生相对滑动而引起角度改变。

(3) 体积应变：是指物体在三个互相垂直方向上同时发生尺寸改变所引起的相对体积改变量。

二、应力的概念2.1 定义应力是指物体在外部作用下，单位面积内所受的力。

通俗地说，就是物体受到了多大的力。

2.2 种类根据作用力的不同方向和大小，可分为以下几种类型：(1) 正应力：是指作用在物体上的力与该面积垂直的分量。

(2) 剪应力：是指作用在物体上的力与该面积平行的分量。

(3) 组合应力：是指同时存在正应力和剪应力时，在该面积上所受到的合成作用。

三、应变和应力之间的关系3.1 胡克定律胡克定律是描述弹性材料之间应变和应力之间关系的基本定律。

它表明，当材料受到外部载荷时，其产生的弹性形变量与所施加载荷成正比。

即：σ=Eε其中，σ为材料所受内部单位面积上产生的正应力；E为杨氏模量，表示单位长度内所需施加的正应力；ε为材料所发生线性形变（伸长率）。

3.2 应变-位移关系式对于线弹性材料，在外部载荷不超过其屈服极限时，它的应变与位移之间的关系可以用以下式子表示：ε=δ/L其中，ε为物体的线性应变（伸长率）；δ为物体所受外力引起的位移；L为物体的原始长度。

四、应变和应力在工程实践中的应用4.1 应变计应变计是一种用于测量材料应变量的仪器。

它可以通过测量材料在受外部载荷时发生形变的程度来推算出其所受到的应力大小。

4 应力应变关系4.1弹性变形时应力和应变的关系当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即1()1()1()111222x x y z y yx zz z x yxy xy yz yz zx zxE E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ⎧=--⎪⎪⎪=--⎪⎨⎪=--⎪⎪⎪===⎩，， （4.1） 式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足()21E G ν=+关系。

由上式可得11212()()33m x y z x y z m E E ννεεεεσσσσ--=++=++= （4.2） 于是11()'2x m x m x E G νεεσσσ+-=-= 或1112''22x m x x m G G Eνεεσσσ-=+=+ 类似地可以得到1112''22y m y y m G G E νεεσσσ-=+=+ 1112''22z m z z m G G Eνεεσσσ-=+=+于是，方程（4.1）可写成如下形式1212'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即'1122ij ij m ij ij m G Eνεεεσδσ-'=+=+ （4.3）显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。

前者与球应力分量成正比，即12m m E νεσ-= （4.4）后者与偏差应力分量成正比，即''12''12''12111222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zxG G G εεεσεεεσεεεσετετετ⎧=-=⎪=-=⎪⎨=-=⎪⎪===⎩，，或简写为2ij ij G σε''= （4.5）此即为广义Hooke 定律。