直角三角形一练习题

解直角三角形练习题一、选择题1. 在直角三角形中，若一个锐角的度数是45°，则另一个锐角的度数是（）A. 45°B. 135°C. 90°D. 45°或135°2. 若直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 83. 在直角三角形中，若斜边长为10，一直角边长为6，则另一直角边长为（）A. 8B. 9C. 10D. 124. 已知直角三角形的斜边长为10，一个锐角的度数为30°，则该三角形的面积是（）A. 25B. 30C. 50D. 100二、填空题1. 在直角三角形中，若一个锐角的度数是60°，则另一个锐角的度数是______。

2. 若直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边的长度是______。

3. 在直角三角形中，若斜边长为13，一直角边长为5，则另一直角边长为______。

4. 已知直角三角形的斜边长为10，一个锐角的度数为45°，则该三角形的面积是______。

三、解答题1. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，求BC和AB的长度。

2. 在直角三角形DEF中，∠F=90°，DF=5，EF=12，求∠D和∠E 的度数。

3. 已知直角三角形的斜边长为15，一个锐角的度数为60°，求该三角形的面积。

4. 在直角三角形XYZ中，∠Y=90°，∠X=45°，ZY=8，求XY和XZ的长度。

5. 已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长为6，求另一直角边长及两个锐角的度数。

6. 在直角三角形LMN中，∠N=90°，∠L=30°，LN=9，求LM和MN的长度。

7. 已知直角三角形的面积为24，斜边长为10，求两个直角边的长度。

8. 在直角三角形PQR中，∠Q=90°，∠P=60°，PQ=8，求PR和QR的长度。

直角三角形练习题及答案一、选择题1. 直角三角形中，直角边长分别为3厘米和4厘米，斜边长是多少？A. 5厘米B. 6厘米C. 7厘米D. 8厘米2. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长度。

A. 13B. 15C. 20D. 263. 直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，根据勾股定理，正确的表达式是：A. a² + b² = cB. a² + b² = c²C. a² - b² = cD. a² + c² = b二、填空题4. 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，另一条直角边的长度是________。

5. 如果直角三角形的一条直角边长为x，另一条直角边长为2x，斜边长为3x，那么x的值是________。

三、解答题6. 已知直角三角形的两条直角边分别为6厘米和8厘米，求斜边的长度。

7. 一个直角三角形的斜边长为10厘米，一条直角边长为6厘米，求另一条直角边的长度。

8. 直角三角形的高为4厘米，底为6厘米，求斜边的长度。

答案：一、选择题1. A2. B3. B二、填空题4. 12厘米5. 3三、解答题6. 根据勾股定理，斜边长度为√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10厘米。

7. 根据勾股定理，另一条直角边的长度为√(10²-6²)=√(100-36)=√64=8厘米。

8. 根据勾股定理，斜边长度为√(4²+6²)=√(16+36)=√52厘米。

以上练习题及答案旨在帮助学生加深对直角三角形及其性质的理解，通过实际计算来掌握勾股定理的应用。

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.2直角三角形》同步练习题（附答案）1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是（）A．66°B．36°C．56D．46°2．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（）A．9°B．18°C．27°D．36°3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（）A．图中有三个直角三角形B．∠1＝∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2＝∠A4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．下列说法中，正确的是（）A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c，则满足a2﹣b2＝c2C．以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，c＝10，则a的长为（）A．5B．C．5D．7．如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①、②、③、④、…）组成了一个螺旋形，其中第1个三角形的直角边长为1，则第n个等腰直角三角形的面积为（）A．2n﹣3B．2n﹣2C．2n﹣1D．2n8．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF 分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：①AE＝CF②△EPF是等腰直角三角形③EF＝AP④S四边形AEPF＝S△ABC当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），则上述结论始终正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若S四边形BFDE＝9，则AB的长为（）A．3B．6C．9D．1810．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30゜B．45゜C．60゜D．90゜11．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（填序号）12．直角三角形两锐角的平分线的夹角是．13．在Rt△ABC中，锐角∠A＝35°，则另一个锐角∠B＝．14．上图阴影部分是一个等腰直角三角形，则此等腰直角三角形的面积为cm2．15．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OA n的长度为．16．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH＝x，GP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．17．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．18．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB中点，DE⊥DF．（1）写出图中所有全等三角形，分别为．（用“≌”符号表示）（2）求证：ED＝DF．19．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，请证明你的结论．20．如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CE∥AB且AD＝CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明．21．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，∠C＝65°，求∠BAC的度数．22．已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．23．已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．（1）求证：AD＝CE；（2）猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．24．由两个等腰直角三角形拼成的四边形（如图），已知AB＝，求：（1）四边形ABCD的周长；（2）四边形ABCD的面积．参考答案1．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣54°＝36°；故选：B．2．解：设较小的锐角是x度，则另一角是4x度．则x+4x＝90，解得：x＝18°．故选：B．3．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．故选：B．4．解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A．5．解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意；B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2＝b2+c2，即a2﹣b2＝c2”，故不符合题意；C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42＝25＝52，能构成直角三角形，故不符合题意；D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意．故选：D．6．解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，∴∠B＝∠A＝45°，∴a＝b，∵c2＝a2+b2，c＝10，∴2a2＝100解得a＝5．故选：C．7．解：第①个直角三角形的边长为1＝（）0，第②个直角三角形的边长为＝（）1，第③个直角三角形的边长为2＝（）2，第④个直角三角形的边长为2＝（）3，…第n个直角三角形的边长为（）n﹣1，面积为：×（）n﹣1×（）n﹣1＝2n﹣2．故选：B．8．解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE＝∠CPF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中点，∴AP＝CP，在△APE与△CPF中，，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE＝CF，△EPF是等腰直角三角形，∴S△AEP＝S△CFP，∴S四边形AEPF＝S△APC＝S△ABC，①②④正确；∵AP＝BC，若EF＝AP＝BC，则EF是中位线，不能保证结论始终正确，故③错误．故选：C．9．解：连接BD，∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，∴BD⊥AC（三线合一），BD＝CD＝AD，∠ABD＝45°，∴∠C＝45°，∴∠ABD＝∠C，又∵DE丄DF，∴∠FDC+∠BDF＝∠EDB+∠BDF，∴∠FDC＝∠EDB，在△EDB与△FDC中，∵，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴S四边形BFDE＝S△BDC＝S△ABC＝9，∴AB2＝18，∴AB＝6，故选：B．10．解：根据勾股定理可以得到：AC＝BC＝，AB＝．∵（）2+（）2＝（）2．∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC＝45°．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；③∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，∠C＝90°．则该三角形是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，则该三角形是等边三角形．故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．12．解：如图，∠ABC+∠BAC＝90°，∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，∴∠OAB+∠OBA＝（∠ABC+∠BAC）＝45°，∴∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，∴∠AOB＝135°∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°．故答案为：45°或135°．13．解：∵在Rt△ABC中，锐角∠A＝35°，∴另一个锐角∠B＝90°﹣35°＝55°，故答案为：55°．14．解：在Rt△ABC中，因为AB＝13cm，BC＝12cm，根据勾股定理知AC＝5cm．因为△ACD为等腰直角三角形，所以AD＝AC＝5cm，所以S△ACD＝×5×5＝12.5cm2．15．解：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB＝1，∴BA1＝OB＝1，OA1＝OB＝；∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝OA2＝2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4．∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4，∵△OA5A6为等腰直角三角形，∴A5A6＝OA5＝4，OA6＝OA5＝8．∴OA n的长度为（）n．故答案为：（）n．三．解答题（共9小题）16．解：（1）当然是GH不变．延长HG交OP于点E，∵G是△OPH的重心，∴GH＝EH，∵PO是半径，它是直角三角形OPH的斜边，它的中线等于它的一半；∴EH＝OP∴GH＝（OP）＝（×6）＝2；（2）延长PG交OA于C，则y＝×PC．我们令OC＝a＝CH，在Rt△PHC中，PC＝＝，则y＝×；在Rt△PHO中，有OP2＝x2+（2a）2＝62＝36，则a2＝9﹣，将其代入y＝×得y＝×＝（0＜x＜6）；（3）如果PG＝GH，则y＝GH＝2，解方程：x＝0，那GP不等于GH，则不合意义；如果，PH＝GH＝2则可以解得：x＝2；如果，PH＝PG，则x＝y代入可以求得：x＝，综合上述线段PH的长是或2．17．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CF A＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．18．解：（1）△AED≌△CFD；△CED≌△BFD；△ACD≌△BCD或△ACD≌△CBD；故答案为：△AED≌△CFD；△CED≌△BFD；△ACD≌△BCD或△ACD≌△CBD；（2）∵AC＝BC，AD＝BD，∴∠CDA＝90°，∠ACD＝∠FCD＝45°∴AD＝CD∵∠CDA＝∠ADE+∠EDC＝90°，∠EDF＝∠CDF+∠EDC＝90°．∴∠ADE＝∠CDF．在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（ASA）∴DE＝DF．19．解：（1）点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系是OA＝OB＝OC；（2）△OMN的形状是等腰直角三角形，证明：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，∴OA＝OB＝OC，AO平分∠BAC，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠CAO＝∠B，在△BOM和△AON中∵，∴△BOM≌△AON（SAS），∴OM＝ON，∠AON＝∠BOM，∵∠AOB＝∠BOM+∠AOM＝90°，∴∠AON+∠AOM＝90°，即∠MON＝90°，∴△OMN是等腰直角三角形．20．解：BD＝AE，AE⊥BD；证明：∵AB∥CE，∠BAC＝90°，∴∠ACE＝90°，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE．∴∠ABD+∠EAB＝∠CAE+∠EAB＝90°∴AE⊥BD∴BD＝AE，AE⊥BD；21．解：∵△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，∴∠BAD＝45°，∵∠C＝65°，∴∠CAD＝90°﹣65°＝25°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+25°＝70°．22．证明：连接AD，∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点，∴AD＝＝BD＝CD，且AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF，∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即：∠EDF＝90°，∴△EDF为等腰直角三角形．23．解：（1）∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴AD＝CE．（2）垂直．延长AD分别交BC和CE于G和F，∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD+∠ABC+∠BGA＝∠BCE+∠AFC+∠CGF＝180°，又∵∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE．24．解：（1）∵△ABD与△BCD是等腰直角三角形，∴AD＝AB＝，∴BC＝BD＝AB＝，∴CD＝BD＝2，∴四边形ABCD的周长为：AD+AB+BC+CD＝4+；（2）S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝AB•AD+BC•BD＝××+××＝．。

BC边上 为3
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进 15.（2023 秋•莲湖区校级期中）如图，AB＝AC＝4，P 是 BC 上异于 B、C 的一
点，则 AP2+BP•PC 的值是多少？
解如图 过A作如 上 BC于点 D
4
4
ˋ AB AGADt BG
BD DC
i AP4 BP pe
i
AD4 BDPD DUP
三器器 迦
（ A）
圞
A． 3
B． 4
C． 5
D． 8
2
3
3
5
在屁BFG中
x422 4x 2
解得ㄨ
26
11．（2021•黄岛区一模）如图，有一棱长为 4dm 的正方体盒子，现要按图中箭头
所指方向从点 A 到点 D 拉一条捆绑线绳，使线绳经过 ABFE、BCGF、EFGH、
和 CDHG 四个面，则所需捆绑线绳的长至少为
1. （2023 秋•李沧区期末）如果将直角三角形的三条边长同时扩大 5 倍，那么得
到的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
AB B 2．（2023 秋•莲湖区校级期中）如图，一只蚂蚁从长宽都是 3，高是 8 的长方体
纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是（ ）
D 则 AB 的长为（ ）
A．2
B． 2 3
2
C． 3 1 3
D． 3 1
450
1
1
300
后
7．（2023 春•顺德区期中）如图，中，C 90 ，AB 6 ，B 30 ，点 P 是 BC
A 边上的动点， AP 的长不可能是（ ）
A．2.5 C．5.8