几何优化分析

由案例说解析几何中优化问题的处理解析几何是高考的必考内容之一，而学生对解析几何又往往感到头疼，所以解析几何被视作考试成败的分水岭。

在解析几何的教学中，优化问题经常见到。

很多同学对于此类问题的处理感到困难，本文就这一问题的处理略作介绍。

一、利用圆锥曲线的定义解决问题例1：点P在椭圆■+■=1上，定点A(2,1)，F为椭圆的右焦点，则|PA|+|PF|的最大值和最小值是___________。

分析：设F1是椭圆的左焦点，连接AF1并延长交椭圆于P1，P2,如图所示，由椭圆的定义可知，有|PF|+|PF1|=2a=10，所以|PA|+|PF|=10+|PA|-|PF1|。

①若|PA|≤|PF1|，则有|PF1|-|PA|≤|AF1|,所以|PA|-|PF1|≥-|AF1|。

②若|PA|>|PF1|，则有|PA|-|PF1|≤|AF1|。

所以|PA|+|PF|=10+|PA|-|PF1|的最小值为10-|AF1|=10-■，即点P为点P1；最大值为10+|AF1|=10+■，即点P为点P2。

小结：例1是利用椭圆的定义进行转化，若点P不在AF1连线上，则利用三角形两边之差小于第三边，说明当点P是AF1的连线与椭圆的交点时取最值。

二、利用圆锥曲线的统一定义解决问题例2：在椭圆■+■=1内有一点P(1,-1)，F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值为。

分析：通常第一次接触这种类型的题目，我们都会设点M的坐标，利用两点间距离公式和椭圆方程联立求解。

显然，很繁琐。

我们知道|MF|为椭圆的焦半径，故可利用圆锥曲线的统一定义有，■=e，其中d为M到右准线的距离，e为椭圆的离心率。

所以|MP|+2|MF|=|MP|+2ed=|MP|+d，要使其最小，只要过P作右准线l 的垂线,垂足为N,垂线交椭圆于M1，即为使|MP|+2|MF|的值最小的M点。

显然，此时最小值为3。

小结：例2是利用圆锥曲线的统一定义进行转化为已知圆锥曲线内的点到准线的距离最短。

机械设计中的结构优化与几何优化在机械设计领域，为了提高产品的性能和效率，结构优化和几何优化是必不可少的过程。

结构优化旨在通过调整和改进机械结构的布局和材料分布，以达到最佳的结构性能。

而几何优化则通过调整机械零部件的外形和尺寸来优化其工作性能。

本文将介绍机械设计中的结构优化和几何优化的基本原理和方法。

一、结构优化结构优化是通过调整结构布局和材料分布来改进机械系统的性能。

在进行结构优化之前，需要先确定设计目标和设计约束。

设计目标可以是最小重量、最大刚度、最小变形等，而设计约束则包括尺寸限制、工艺要求、应力和应变的约束等。

常用的结构优化方法包括拓扑优化、参数优化和拟合优化。

拓扑优化是通过改变部件的形状和材料分布，来实现结构的最优化。

参数优化是在给定结构形状的基础上，通过改变参数的数值来优化结构性能。

拟合优化则是通过寻找合适的拟合曲线或曲面，以达到最佳的设计目标。

二、几何优化几何优化是通过调整机械零部件的外形和尺寸，来优化其工作性能。

几何优化旨在改变零部件的曲率、角度和尺寸，以提高其刚度、强度和流体动力性能等。

几何优化常用于飞行器、汽车和船舶等领域，以提高其运动性能和气动性能。

几何优化的方法主要包括形状优化、参数化优化和拓扑优化。

形状优化是通过改变零部件的曲率和角度，以改进其工作性能。

参数化优化则是在给定的几何模型上，通过改变参数的数值来优化零部件的形状和尺寸。

拓扑优化是通过拓扑结构的变化，来优化零部件的外形和分布。

三、结构优化和几何优化的应用结构优化和几何优化在机械设计中有着广泛的应用。

它们可以应用于飞行器设计中的翼型优化，以提高其升力和阻力性能；在汽车设计中的车身优化，以提高其安全性和运动性能；在船舶设计中的船体优化，以提高其稳定性和航行性能。

此外，结构优化和几何优化还可以应用于机械系统的动力学分析和热力学分析中。

通过优化结构和几何，在满足约束条件的前提下，可以使机械系统的动力学响应更加平稳且能量损失更小；在热力学分析中，优化后的结构和几何可以提高机械系统的热传导性能和热稳定性。

几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统是指通过计算机软件将物体的几何形状转化为数学参数化的表示形式。

常见的几何建模系统包括CAD软件（Computer-Aided Design，计算机辅助设计）和3D建模软件。

在进行几何建模时，常常需要进行几何拟合，即通过一些数据点或曲线来拟合出物体的几何形状。

几何拟合的优化方法有以下几种：
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化数据点到拟合曲线的距离的平方和来确定最佳拟合曲线。

最小二乘法可以应用于直线拟合、曲线拟合、平面拟合等问题。

2. 牛顿法：牛顿法是一种迭代算法，在曲线拟合中，可以通过牛顿法来寻找最佳拟合曲线的参数。

牛顿法需要初始猜测值，并迭代求解，直到收敛为止。

3. Levenberg-Marquardt算法：Levenberg-Marquardt算法是一
种非线性最小二乘方法，常被用于曲线、曲面的拟合。

该算法通过不断调整参数以最小化拟合误差，具有较好的收敛性和稳定性。

4. RANSAC算法：RANSAC（RANdom SAmple Consensus）
算法是一种鲁棒性较强的拟合方法，主要用于拟合具有噪声、异常值等情况下的数据。

RANSAC算法通过随机采样和迭代
过程来找到最佳拟合模型，并剔除异常点。

以上是几何建模系统及几何拟合的常见优化方法，根据具体的应用场景和需求可以选择适合的方法来进行几何建模和拟合。

第三章几何优化前面讨论了在特定几何构型下的能量的计算，可以看出，分子几何构型的变化对能量有很大的影响。

由于分子几何构型而产生的能量的变化，被称为势能面。

势能面是连接几何构型和能量的数学关系。

对于双原子分子，能量的变化与两原子间的距离相关，这样得到势能曲线，对于大的体系，势能面是多维的，其维数取决与分子的自由度。

3.1 势能面势能面中，包括一些重要的点，包括全局最大值，局域极大值，全局最小值，局域极小值以及鞍点。

极大值是一个区域内的能量最高点，向任何方向的几何变化都能够引起能量的减小。

在所有的局域极大值中的最大值，就是全局最大值；极小值也同样，在所有极小之中最小的一个就是具有最稳定几何结构的一点。

鞍点则是在一个方向上具有极大值，而在其他方向上具有极小值的点。

一般的，鞍点代表连接着两个极小值的过渡态。

3.2 寻找极小值几何优化做的工作就是寻找极小值，而这个极小值，就是分子的稳定的几何形态。

对于所有的极小值和鞍点，其能量的一阶导数，也就是梯度，都是零，这样的点被称为稳定点。

所有的成功的优化都在寻找稳定点，虽然找到的并不一定就是所预期的点。

几何优化由初始构型开始，计算能量和梯度，然后决定下一步的方向和步长，其方向总是向能量下降最快的方向进行。

大多数的优化也计算能量的二阶导数，来修正力矩阵，从而表明在该点的曲度收敛标准当一阶导数为零的时候优化结束，但实际计算上，当变化很小，小于某个量的时候，就可以认为得到优化结构。

对于Gaussian默认的条件是：力的最大值小于0.00045均方根小于0.0003为下一步所做的取代计算为小于0.0018其均方根小于0.0012这四个条件必须同时满足，比如，对于非常松弛的体系，势能面很平缓，力的值已经小于域值，但优化过程仍然有很长的路要走。

对于非常松弛的体系，当力的值已经低于域值两个数量级，尽管取代计算仍然高于域值，系统也认为找到了最优点。

这条规则用于非常大，非常松弛的体系。

几何优化在产品设计中的作用是什么在当今竞争激烈的市场环境中，产品设计的优劣往往决定了一个产品的成败。

而几何优化作为产品设计中的重要环节，其作用不容小觑。

那么，几何优化究竟在产品设计中扮演着怎样的角色呢？首先，几何优化有助于提升产品的性能。

以汽车为例，车辆的外形设计并非仅仅为了美观，更是为了降低风阻，提高燃油效率或续航里程。

通过对车身的几何形状进行精心优化，如调整线条的流畅度、减小迎风面积等，可以显著减少空气阻力。

这不仅能够节省能源，还能提升车辆的加速性能和最高速度。

在机械产品中，零部件的几何形状优化可以改善其力学性能。

比如，通过优化轴的截面形状和尺寸，可以在不增加材料成本的前提下，大大提高其承载能力和抗疲劳强度，延长使用寿命。

其次，几何优化能够实现产品的轻量化。

在航空航天领域，减轻飞行器的重量至关重要。

通过对飞机结构的几何优化，采用更合理的框架布局和薄壁结构，可以在保证强度和刚度的前提下，最大限度地减少材料的使用量。

这不仅降低了制造成本，还提高了燃油效率，增加了有效载荷。

同样，在消费电子产品中，如手机和笔记本电脑，轻薄化是一个重要的发展趋势。

通过优化内部零部件的几何形状和布局，能够在缩小产品体积的同时，不牺牲其功能和性能。

再者，几何优化有利于提高产品的制造工艺性。

合理的几何设计可以简化制造流程，降低生产成本。

例如，在注塑成型的塑料制品中，如果零件的几何形状设计不合理，可能会导致模具结构复杂，增加制造成本和生产周期。

而通过优化设计，减少模具的分型面、避免倒扣结构等，可以大大提高生产效率和良品率。

在金属加工中，优化零件的几何形状可以减少切削余量，降低加工难度，提高加工精度。

这不仅节省了加工时间和成本，还能保证产品的质量稳定性。

此外，几何优化还能增强产品的美学价值。

一个具有优美几何线条和比例的产品往往更能吸引消费者的目光。

在家具设计中，简洁流畅的几何形状可以营造出现代、时尚的感觉；在电子产品设计中，精致的几何造型可以赋予产品科技感和高端品质。

解析几何优化计算6大技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技巧一回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．【例题】如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是()A.2B.3C.32D.62【解析】由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，1|＋|AF 2|＝4，2|－|AF 1|＝2a ，1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62.【答案】D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是()A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由题意可得S△BCFS △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ＝|BF |－p 2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|PA |2＝(x P ＋m )2＋y 2P＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||PA |≥22，所以|PF ||PA |的最小值为22.答案：22技巧二设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．【例题】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为()A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，＋y 21b 2＝1，＋y 22b2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.【答案】D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 21b2＝1，＋y 22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22.答案：22技巧三巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．【例题】设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞3.【解析】法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．kx 0，＋y 20b2＝1，消去y 0并整理，得x 20＝a 2b2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k＋4.又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入②，得(1＋k2)·4a2(1＋k2)2＜a2，解得k2＞3，所以|k|＞ 3.法三：设P(a cosθ，b sinθ)(0≤θ＜2π)，则线段OP的中点Qθ，b2sin|AP|＝|OA|⇔A Q⊥OP⇔k A Q×k＝－1.又A(－a,0)，所以k A Q＝b sinθ2a＋a cosθ，即b sinθ－ak A Q cosθ＝2ak A Q.从而可得|2ak A Q|≤b2＋a2k2A Q＜a1＋k2A Q，解得|k A Q|＜33，故|k|＝1|k A Q|＞ 3.[关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．[对点训练]设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，则有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，可得线段AB的中点M(2t2＋m,2t)，而由题意可得直线AB与直线MC垂直，即k MC·k AB＝－1，可得2t－02t2＋m－5·1t＝－1，整理得m＝3－2t2(当t≠0时)，把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3，又由于圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4.故r 的取值范围为(2,4)．技巧四数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．【例题】已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【解析】设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|，则△APF 的周长为|PA |＋|PF |＋|AF |＝|PA |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ，由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线，由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26，所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6.【答案】126[关键点拨]要求△APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是()A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x－4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝()A ．4 B.5C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.技巧五妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．【例题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【解析】把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则－32a 而F (c,0)，则FB －32a －c FC －c 又∠BFC ＝90°，故有FB ·FC －32a －c －c c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.【答案】63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练]设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为()A ．90° B.60°C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.2－y 22＝1，0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 2x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 204－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°.技巧六巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．【例题】已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．【解析】(1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以－65，(2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，k (x ＋2)，y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为－65，证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝2－8k 21＋4k 2＋65＝5k 4－4k 2，同理可得k PN ＝5k 4－4k2.所以直线MN 过x 轴上的一定点－65，[关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k2这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c2，b 2＝3c 2，将点P c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|)＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227所以12t 2＋14＋3t2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.。

ʏ南京大学附属中学 于 冬解析几何是历年高考中的主干知识点之一,涉及解析几何的考题还经常出现在各种题型中的压轴题位置,运算量大,综合性强㊂优化数学运算,简化解题过程是圆锥曲线问题中追求的一个目标㊂在解答解析几何问题时,合理探究一些必要的策略技巧,选用适当方法,优化数学运算,往往可以收到事半功倍的效果㊂一㊁挖掘内涵,回归定义例1 (2022届辽宁省丹东市高三下学期复习质量测试(二)数学试题)已知圆M经过点(0,1),且与直线y =-1相切,圆心M 的轨迹为曲线C ㊂(1)求曲线C 的方程;(2)经过点N (0,2)且不平行于x 轴的直线与C 交于P ,Q 两点,点P 关于y 轴的对称点为R ,证明:直线Q R 经过定点㊂解析:(1)设圆心M (x ,y ),根据题意可知点M 到点(0,1)的距离与到直线y =-1的距离相等,结合抛物线的定义,可知圆心M 的轨迹是以(0,1)为焦点,y =-1为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为x 2=4y ㊂(2)由题意知直线P Q 的斜率存在且不为0,设直线P Q 的方程为y =k x +2(k ʂ0),P x 1,x 214,Q x 2,x 224,则R -x 1,x 214,联立x 2=4y ,y =k x +2,消去y 整理得x 2-4k x -8=0,则Δ=16k 2+32>0,x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8㊂因为k Q R =x 224-x 214x 2+x 1=x 2-x 14,所以直线Q R 的方程为y -x 224=x 2-x 14(x -x 2),整理得y =x 2-x 14x +x 1x 24,即直线Q R 的方程为y =x 2-x 14x -2,所以直线Q R 经过定点(0,-2)㊂点评:熟练掌握圆锥曲线的定义可以有效解决解析几何问题,回归定义,揭示问题的本质属性,从而直接确定圆锥曲线的类型与对应的方程,为解析几何的进一步分析与解决提供条件㊂充分理清题意,挖掘内涵,回归本源,利用定义,化繁为简,直达目的㊂二㊁数形结合,平几直观例2 (2022届江西省赣州市高三3月摸底考试(一模)数学试卷)在平面直角坐标系x O y 中,A (-2,0),B (2,0),M (-1,0),N (1,0),P 是平面内的动点㊂若以A B为直径的圆O 与以P M 为直径的圆T 内切㊂(1)证明:|P M |+|P N |为定值,并求点P 的轨迹E 的方程㊂(2)设斜率为12的直线l 与曲线E 交于C ,D 两点,试问:在E 上是否存在一点Q ,使得直线Q C ㊁Q D 与y 轴所围成的三角形是底边在y 轴上的等腰三角形若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)依题意有,|O T |=|A B |2-|P M |2=2-|P M |2,如图1,连接P N ,由O 和T 分别是MN 和P M 的中点,可知|O T |=|P N |2,故|P N |2=2-|P M |2,整理得|PM 图1|+|P N |=4,其为定值㊂又因为4>2=|MN |,所以点P 的轨迹是以M ,N 为焦点的椭圆,而2a =4,c =1,则有b 2=a 2-c 2=3,故点P 的轨迹E 的方程为x 24+y23=1㊂42 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(2)假设存在满足条件的点Q ㊂依题意知k Q C +k Q D =0,设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),Q (x 0,y 0),则3x 20+4y 20=12㊂由k Q C +k Q D =0,可得y 1-y 0x 1-x 0+y 2-y 0x 2-x 0=0,整理得x 1y 2+x 2y 1-y 0(x 1+x 2)-x 0(y 1+y 2)+2x 0y 0=0㊂设直线l 的方程为x =2y +t ,代入椭圆方程,整理得16y 2+12t y +3t 2-12=0,由Δ=144t 2-64(3t 2-12)>0得t 2<16,由韦达定理得y 1+y 2=-34t ,y 1y 2=3t 2-1216㊂又因为x 1=2y 1+t ,x 2=2y 2+t ,所以x 1y 2+x 2y 1-y 0(x 1+x 2)-x 0(y 1+y 2)+2x 0y 0=4y 1y 2+(t -2y 0-x 0)(y 1+y 2)-2t y 0+2x 0y 0=3t 2-124-34t (t -2y 0-x 0)-2t y 0+2x 0y 0=14[(3x 0-2y 0)t +8x 0y 0-12]=0,则有(3x 0-2y 0)t +8x 0y 0-12=0,可得3x 0-2y 0=0,8x 0y 0-12=0,解得x 0=1,y 0=32,或x 0=-1,y 0=-32,以上解显然满足3x 20+4y 20=12,所以在E 上存在一点Q ,使得直线Q C ㊁Q D 与y 轴所围成的三角形是以øC QD 为顶角的等腰三角形,此时点Q 的横坐标为ʃ1㊂点评:数形结合法是处理解析几何问题时常用的思想方法之一,可以使某些抽象的解析几何更加直观化㊁生动化,能够变抽象思维为形象思维,还原解析几何的平面几何本质,有助于把握数学问题的本质,构建与之相吻合的关系式,使得问题迎刃而解,直观形象㊂三㊁合理构建,设而不求例3 (2022年江苏省南京市盐城市高考数学二模试题)已知双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)经过点(3,1),且渐近线方程为y =ʃx ㊂(1)求a ,b 的值㊂(2)A ,B ,D 是双曲线C 上不同的三点,且B ,D 两点关于y 轴对称,әA B D 的外接圆经过原点O ㊂求证:直线A B 与圆x 2+y2=1相切㊂解析:(1)依题意可得3a 2-1b 2=1,a =b ,解得a =b =2,所以双曲线C 的方程为x 2-y 2=2㊂(2)易知直线A B 一定不为水平直线,设直线A B 的方程为x =m y +n ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则D (-x 2,y 2),其中y 1ʂy 2,联立x 2-y 2=2,x =m y +n ,消去x 整理得(m 2-1)y 2+2m n y +n 2-2=0,由韦达定理得y 1y 2=n 2-2m 2-1,由于әA B D 的外接圆过原点且关于y 轴对称,设外接圆的方程为x 2+y 2+E y =0,则有x 21+y 21+E y 1=0,x 22+y 22+E y 2=0,所以E =-x 21+y 21y 1=-x 22+y 22y 2,所以y 21+2+y 21y 1=y 22+2+y 22y 2,结合y 1ʂy 2,可得y 1y 2=1,所以y 1y 2=n 2-2m 2-1=1,即n 2=m 2+1,则原点到直线A B 的距离为d =|n |m 2+1=1,故直线A B 与圆x 2+y 2=1相切㊂点评:本题借助直线方程的设置,巧妙融合参数的关系式,采用 设而不求 法进行整体代换处理,借助相关知识加以综合与应用,合理过渡,巧妙转化,优化运算,从而提升解题效率㊂以上只是结合几类比较常见的破解解析几何问题的技巧策略加以剖析㊂当然,在实际解答解析几何问题时,关键是抓住问题的本质,掌握 通性通法 ,结合一些常见的技巧策略,诸如巧引参数㊁整体构建㊁极端策略㊁特例思维等,灵活应用解析几何中的定义㊁方程与几何性质,综合相应的技巧策略,以更加简捷明快的方式来分析与处理问题,优化数学运算,简化解题过程,提升数学能力,培养核心素养㊂(责任编辑 王福华)52解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

优化解析几何运算的一些方法摘要：高中学生在学习解析几何知识，在解决相关的问题时感到很困难。

困难的主要原因，在知识体系中，就横向而言，解析几何本身所包含的定义、性质、解题方法繁多复杂，就纵向而言，它又和其它知识（如向量、不等式、二次函数等）之间联系很紧密，除此之外，解析几何是用代数的方法研究图像的问题，集中应用数形结合、方程思想，无论知识内容还是解题的方法，对学生而言都是很困难的。

学生普遍遇到有些解析几何题会做，但用时很多，特别是在考试中，在有限的时间，不敢做。

这是同学们很困惑的一件事，针对解析几何题目运算量大的问题，我想从以下一些试题的解法中，谈一些个人的看法。

关键词：题型、性质、方法中图分类号：g633.63 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）10-051-05直线和圆锥线相交的问题平时我们经常会遇到直线和圆锥线相交的问题。

在解决这类问题时，一般是联立直线和圆锥曲线组成方程组，消x或y得到一个关于x或者y的一元二次方程组，形成两根之和，两根之积，δ＞0，再把题中告知的有关条件，转化成两根之和，两根之积的关系(一般地,由δ＞0确定范围或解决是否存在问题)，来解题。

例1：在直角坐标系中，点p到两点，的距离之和等于4，设点p的轨迹为，直线与c交于a，b两点．（ⅰ）写出c的方程；（ⅱ）若，求k的值；解：（ⅰ）设p（x，y），由椭圆定义可知，点p的轨迹c是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线c的方程为．（ⅱ）设，其坐标满足消去y并整理得，故．若，即．而于是，化简得，所以．还有一种是不能转化为两根之和，两根之积的关系，这时要根据题目的条件找到与之间的含参关系，代入两根之积两根之和，消、得到一个关于参数的方程或不等关系解决。

例 2:已知椭圆方程为，过定点的直线交椭圆于不同两点、（点在、之间），且满足，求的取值范围.解：当直线斜率存在时，设直线的方程为代入椭圆方程得由得①设，，则，②又，，即③将③代入②得，消去得整理得由①得解得又又当直线斜率不存在时，方程为，，的取值范围是应该说大多数直线与圆锥曲线相关的问题都可以解决，能掌握到这个程度，同学们的解析几何能力已经很不错了。