2015· 全国卷2(理数)精校解析版

2015·全国卷Ⅱ(理科数学)1．A1[2015·全国卷Ⅱ] 已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，0}B ．{0，1}C ．{－1，0，1}D ．{0，1，2}1．A [解析] 因为B ＝{x |－2<x <1}，所以A ∩B ＝{－1，0}，故选A. 2．L4[2015·全国卷Ⅱ] 若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．22．B [解析] 因为(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以4a ＝0，且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.3．I4[2015·全国卷Ⅱ] 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )图1-1A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关3．D [解析] 由图知，2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D. 4．D3[2015·全国卷Ⅱ] 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．844．B [解析] 由a 1＝3，得a 1＋a 3＋a 5＝3(1＋q 2＋q 4)＝21，所以1＋q 2＋q 4＝7，即(q 2＋3)(q 2－2)＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42，故选B.5．B7[2015·全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 5．C [解析] 因为f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2(log 212－1)＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9，故选C.6．G2[2015·全国卷Ⅱ] 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图1-2，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图1-2A.18B.17C.16D.156．D [解析] 几何体的直观图为正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1截去了一个三棱锥A - A 1B 1D 1，如图所示．易知V 三棱锥A - A 1B 1D 1＝16V 正方体，所以V 三棱锥A - A 1B 1D 1VB 1D 1C 1 ­ ABCD ＝15，故选D.7．H3[2015·全国卷Ⅱ] 过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．107．C [解析] 方法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的坐标代入得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，所以||MN ＝225－1＝4 6. 方法二：因为k AB ＝－13，k BC ＝3，所以k AB k BC ＝－1，所以AB ⊥BC ，所以△ABC 为直角三角形，所以△ABC 的外接圆圆心为AC 的中点(1，－2)，半径r ＝12||AC ＝5，所以||MN ＝225－1＝4 6.方法三：由AB →·BC →＝0得AB ⊥BC ，下同方法二．8．L1[2015·全国卷Ⅱ] 如图1-3所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )图1-3A．0 B．2C．4 D．148．B[解析] 逐一写出循环：a＝14，b＝18→a＝14，b＝4→a＝10，b＝4→a＝6，b＝4→a ＝2，b＝4→a＝2，b＝2，结束循环．故选B.9．G8[2015·全国卷Ⅱ] 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为() A．36πB．64πC．144πD．256π9．C[解析] 如图所示，当OC⊥平面AOB时，三棱锥O­ABC的体积最大，此时V三棱锥O-ABC ＝V三棱锥C-AOB＝13S△AOB·R＝16R3＝36，所以R＝6，所以S球＝4πR2＝144π，故选C.10．B14[2015·全国卷Ⅱ] 如图1-4，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图像大致为()图1-4图1-510．B [解析] 当点P 在BC 上时，||PB ＝tan x ，||P A ＝tan 2x ＋4，||P A ＋||PB ＝tan x ＋tan 2x ＋4，即f (x )＝tan x ＋tan 2x ＋4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，由正切函数的性质可知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，所以其最大值为1＋5，且函数y ＝f (x )的图像不可能是线段，排除选项A ，C.当点P 在CD 上运动时，我们取P 为CD 的中点，此时x ＝π2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝22，由于22<1＋5，即f ⎝⎛⎭⎫π2<f ⎝⎛⎭⎫π4，排除选项D.综上可知，只有选项B 中图像符合题意． 11．H6[2015·全国卷Ⅱ] 已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 211．D [解析] 由题意，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，设M 在第一象限，由题意知|AB |＝|BM |＝2a ，∠ABM ＝120°，所以在△ABM 中，|AM |＝23a ，所以M (2a ，3a )，代入双曲线方程得（2a ）2a 2－（3a ）2b 2＝1，解得a 2＝b 2，所以e＝ 2.故选D.12．B12[2015·全国卷Ⅱ] 设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)12．A [解析] 设函数g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.因为当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以当x >0时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，所以函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(－∞，0)上单调递增，且g (－1)＝g (1)＝0.故当0<x <1时，g (x )>0，则f (x )>0；当x <－1时，g (x )<0，则f (x )>0.综上所述，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．故选A. 13．F1[2015·全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．13.12[解析] 因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在唯一实数t ，使得λa ＋b ＝t (a ＋2b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得λ＝t ＝12.14．E5[2015·全国卷Ⅱ] 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．14.32[解析] 画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y ＝－x ＋z ，所以直线z ＝x ＋y 过点B ⎝⎛⎭⎫1，12时，z 取得最大值32. 15．J3[2015·全国卷Ⅱ] (a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.15．3 [解析] (a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项一部分来自第一个因式取a ，第二个因式取C 14x 及C 34x 3；另一部分来自第一个因式取x ，第二个因式取C 04x 0，C 24x 2及C 44x 4.所以系数之和为a C 14＋a C 34＋C 04＋C 24＋C 44＝8a ＋8＝32，所以a ＝3.16．D2[2015·全国卷Ⅱ] 设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________.16．－1n [解析] 因为a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，所以S 1＝－1，S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n ＋1－1S n ＝－1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以1S n ＝－n ，所以S n ＝－1n . 17．C5、C8[2015·全国卷Ⅱ] △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin ∠Bsin ∠C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 17．解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.18．I2[2015·全国卷Ⅱ] 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；图1-6(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．18．解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； C A2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”．则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C ＝C B1C A1∪C B2C A2， 所以P (C )＝P (C B1C A1∪C B2C A2) ＝P (C B1C A1)＋P (C B2C A2)＝P (C B1)P (C A1)＋P (C B2)P (C A2)．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P (C A1)＝1620，P (C A2)＝420，P (C B1)＝1020，P (C B2)＝820，所以P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.19．G1、G11[2015·全国卷Ⅱ] 如图1-7，长方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．图1-7(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10， 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D - xyz ，则A (10，0，0)，H (10，10，0)，E (10，4，8)，F (0，4，8)，所以FE →＝(10，0，0)，HE →＝(0，－6，8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面α的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·HE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0，4，3)． 又AF →＝(－10，4，8)，故|cos 〈n ，AF →〉|＝|n ·AF →||n ||AF →|＝4515.所以AF 与平面α所成角的正弦值为4515.20．H5、H8[2015·全国卷Ⅱ] 已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．20．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2， 得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得直线OM 的方程为y ＝－9k x .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9.将点⎝⎛⎭⎫m 3，m 的坐标代入(1)中l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m 3（k 2＋9）. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M ， 于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9），解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k >0，k ≠3，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形． 21．B14[2015·全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 21．解：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x . 若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0. 若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1. ① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1.当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，故当t ∈[－1，1]时，g (t )≤0. 故当m ∈[－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m >1时，由g (t )的单调性，知g (m )>0，即e m －m >e －1；当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1. 综上，m 的取值范围是[－1，1]． 22．N1[2015·全国卷Ⅱ] 选修4-1：几何证明选讲 如图1-8，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．(1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积．图1-822．解：(1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线．又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF ，从而EF ∥BC .(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.23．N3[2015·全国卷Ⅱ] 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．23．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)， B 的极坐标为(23cos α，α)，所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4sin ⎝⎛⎭⎫α－π3.故当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.24．N4[2015·全国卷Ⅱ] 选修4-5：不等式选讲 设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 24．证明：(1)(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2， 因此a ＋b >c ＋d .(2)(i)若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即 (a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . (ii)若a ＋b >c ＋d ， 则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2， 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．。