小学三角形知识点教师版

人教版数学四升五衔接讲义（复习进阶）专题05 三角形知识互联网知识导航知识点一：三角形的特性1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合）.叫三角形。

2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线.顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.这条对边叫做三角形的底。

三角形只有3条高。

重点：三角形高的画法：一落二移三画四标3、三角形具有稳定性。

如：自行车的三角架.电线杆上的三角架。

4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

两边之差〈第三边〈两边之和。

判断三条线段能不能组成三角形.只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。

5、为了表达方便.用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点.三角形可表示成三角形ABC。

知识点二：三角形的分类1、按照角大小来分：锐角三角形.直角三角形.钝角三角形。

2、按照边长短来分：三边不等的△.三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。

3、等边△的三边相等.每个角是60度。

（顶角、底角、腰、底的概念）4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。

8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

9、三条边都相等的三角形叫等边三角形.也叫正三角形。

10、等边三角形是特殊的等腰三角形知识点三：三角形的内角和1、三角形的内角和是180°。

四边形的内角和是360°。

一个三角形中至少有两个锐角.每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。

可以根据最大的角判断三角形的类型。

最大的角是哪类角.就属于那类三角形。

最大的角是直角.就是直角三角形。

最大的角是钝角.就是钝角三角形。

2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时.就可以拼成四边形。

1 / 22【例1】 下列说法正确的是（）A ．全等三角形是指形状相同的三角形B ．全等三角形是指面积相等的三角形C ．全等三角形的周长和面积都相等D ．所有的等边三角形都全等 【难度】★ 【答案】C【解析】A 错，形状相同，大小也要相同；B 错，面积相等不一定全等，反例同底等高 的三角形；D 错，大小不一定相等． 【总结】本题主要考查全等三角形的概念．【例2】 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）A ．形状相同B ．周长相等C ．面积相等D ．全等【难度】★ 【答案】C【解析】等底同高，所以面积相等．【总结】本题主要考查同底等高的两个三角形的面积相等的运用．【例3】 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（） A ．∠1＝∠2 B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC【难度】★ 【答案】D【解析】全等三角形对应角相等，对应边相等． 【总结】考察学生对全等三角形性质的理解及运用．【例4】 下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边 【难度】★ 【答案】C【解析】C 选项是边边角，不能作为全等的判定条件． 【总结】考查全等三角形的判定定理的运用．例题解析21ABCD【例5】 练习画出下列条件的三角形：（1） 画,ABC ∆使40,45,4A B AB cm ∠=︒∠=︒=； （2） 画,ABC ∆使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===； （3） 画,ABC ∆使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=︒； （4） 画,ABC ∆使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=︒． 【难度】★ 【答案】略 【解析】略．【例6】 下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】B【解析】（1）错，大小不一定相等；（2）面积相等不一定全等，反例同底等高；（3）对； （4）对，故选B ．【总结】考察学生对全等三角形的概念及性质的理解． 【例7】 下列说法中错误的是（）A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角B ．全等三角形的公共边也是对应边C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边 【难度】★★ 【答案】C【解析】全等三角形的公共顶点不一定是对应顶点，两个全等三角形任意放置，使得三 角形的一个顶点与另一个三角形的不对应的顶点重合．【总结】考察学生对全等三角形的概念的辨析能力，以及正确的举反例．【例8】 如图所示，ABE ADC ABC ∆∆∆和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ） A ．80°B ．100°C ．60°D ．45°【难度】★★α321ABCDEP3 / 22【答案】A【解析】设1=28x ∠，25x ∠=，33x ∠=，则36180x =，解得：5x =． 1140∴∠=︒，225∠=︒，315∠=︒， 22ABC ACB ∴∠∂=∠+∠212280=∠+∠=︒．【总结】考察学生对全等三角形的应用以及翻折知识的理解及运用．【例9】 如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB 交DC 于点E ，连接BE ，过E 作EF ⊥BE交AD 于F .（1）∠DEF 和∠CBE 相等吗?请说明理由；（2）请找出图中与ED 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由. 【难度】★★【答案】（1）相等；（2）ED BC AD ==．【解析】（1）90DEF CEB ∠+∠=︒，90CBE CEB ∠+∠=︒， DEF CBE ∴∠=∠（同角的余角相等） （2）AE 平分DAB ∠， 45DAE ∴∠=︒，DE AD ∴=．AD BC =， DE AD BC ∴==．【总结】考察学生对图形的理解和掌握，能够迅速的根据图形发现同角的余角相等，再 利用特殊的角度45得出等腰直角三角形，从而解题．【例10】 如图所示，30255ADF BCE B F BC cm ∆≅∆∠=︒∠=︒=，，，，14CD cm DF cm ==，．求：（1）1∠的度数；（2）AC 的长． 【难度】★★【答案】（1）1=55∠°；（2）4AC cm =． 【解析】（1）ADF BCE ≅，30A B ∴∠=∠=︒，AD BC =，155A F ∴∠=∠+∠=︒； （2）ADF BCE ≅，AD BC ∴=， 514AC AD CD cm ∴=-=-=．【总结】考察学生对全等三角形对应边相等，对应角相等的掌握，并且学会正确运用．【例11】 如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠ACB =2:5:11，若将△ABC 绕点C 逆时针旋转，试旋转前后的△A ’B ’C ’中的顶点B ’在原三角形的边AC 的延长线上，求∠BCA ’的度数． 【难度】★★ 【答案】40︒．【解析】设2A x ∠=，5B x ∠=，11ACB x ∠=，1ABC DEFABCA’B ’则18180x =， 解得：10x =， ∴110BCA ∠=，70BCB '∠=．110A CB ''∠=， 40BCA '∴∠=．【总结】考察学生对旋转的理解，注意利用全等三角形的性质进行解题．【例12】 如图，已知△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交AD 于点F ，交AE 的延长线于G ，∠ACB =1050，∠CAD =100，∠ADE =250，求∠DFB 和∠AGB 的度数． 【难度】★★【答案】∠DFB =85︒，∠AGB =45︒． 【解析】证明：ABC ADE ≅， 25ADE ABC ∴∠=∠=︒，50CAB EAD ∠=∠=︒， 10502585DFB ∴∠=︒+︒+︒=︒， 1801102545AGB ∠=︒-︒-︒=︒．【总结】本题主要考察学生对全等三角形的性质及三角形外角性质和内角和定理的综合 运用．【例13】 如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED 的度数为x ， ∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少?（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律． 【难度】★★★【答案】（1）AED A ED '≅，A A '∠=∠， AED A ED '∠=∠，ADE A DE '∠=∠； （2）11802x ∠=-，21802y ∠=-； （3）()1122A ∠=∠+∠． 【解析】（3）证明：∵()180A x y ∠=-+，1+2=3602()x y ∠∠-+， ∴()1122A ∠=∠+∠． 【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查全等三角形的性质及三角形内角和 定理的运用．ABC DEF G 21AB C DEA ’【例14】 如图（1）所示，把△ABC 沿直线BC 移动线段BC 那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图（3）所示，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：如图（4），△ABC ≌△DEF ，B 和E 、C 和F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．ABC DE（1）ABCD（2）A BCDE（3）ABC（4）DEF【难度】★★★【答案】翻折变换，平移变换或旋转变换，平移变换． 【解析】AB ED =，BC EF =，AC DF =．【总结】考察学生对图形的运动的理解和掌握，需要学生进行一定的空间想象．【例15】 如图，已知∠B =∠D ，∠1=∠2，AC =AE ，说明△ABC ≌△ADE 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】证明：12∠=∠，12DAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠． 在ABC 和DAE 中，B D BAC DAE AC AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ADE （A.A.S ）．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．【例16】 如图，已知∠C =∠E ，BE =CD ，说明△ABE 与△ADC 全等的理由，AB 与AD相等吗?为什么? 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】证明：在ABE 和ADC 中，A A C E BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE ADC ∴≅（A.A.S ）， AB AD ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．ABCDEF21AB CDE【例17】 如图，已知AD =BC ，AE =BE ．说明AC =BD ，∠C =∠D 的理由． 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】证明：AD BC =，AE BE =，DE CE ∴=．在ACE 和BDE 中，AE BE = AEC BED ∠=∠， CE DE =ACE BDE ∴≅（S.A.S ）AC BD ∴=，C D ∠=∠（全等三角形的对应边相等，对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．【例18】 如图，已知AB =CD ，AD =BC ，说明∠A =∠C 的理由． 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】证明：连接BD 在ABD 和CDB 中，AB CD AD BC BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABD CDB S S S ∴≅ A C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．【例19】 如图，已知BD 是△ABC 的中线，B 、D 、E 、F 在一条直线上，且AE ∥CF ，说明△ADE 与△CDF 全等的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】//AE CF ， E EFC ∴∠=∠．∵BD 是△ABC 的中线， ∴AD CD =．在ADE 和CDF 中，E EFCADE FDC AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ADE CDF ∴≅（A.A.S ）． 【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．ABCDEABCDEFAB CD【例20】 如图，已知AC ∥BD ，AC =BD ，（1）说明△AOC 与△BOD 全等的理由；（2）说明EO =FO 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】证明：（1）//AC BD ，C D ∴∠=∠．在AOC 和BOD 中，C DAOC BOD AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AOC BOD ∴≅（A.A.S ）； （2）AOC BOD ≅， CO DO ∴=．在CEO 和DFO 中，C D CO DOCOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()CEO DFO ASA ∴≅， EO FO ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．【例21】 如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD =OE ，说明AB =AC 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】CD AB BE AC ⊥⊥，， 90BDC DEC ∴∠=∠=︒． 在BDO 和CEO 中，BDC BEC DO EODOB COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)BDO CEO A S A ∴≅． DO EO ∴=，B C ∠=∠，BO CO =， BE CD ∴=．在ABE 和ACD 中，A A BE CDBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABE ≌ACD （A.S.A ）， AB AC ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意利用多次全等．ABCDEFOABCDEO【例22】 如图，已知AD ∥BC ，BF ∥DE ，AE =CF ．（1） △ADE 与△CBF 全等吗，为什么? （2） 说明AB =CD 的理由； （3） 图中有哪几对全等三角形? 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】证明：（1）全等， //AD BC ， DAC ACB ∴∠=∠．//BF DE ，DEF BFE ∴∠=∠， AED BFC ∴∠=∠．在AED 和BFC 中，DAC ACB AE CF AED BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)ADE CBF A S A ∴≅； （2）ADE CBF ≅， AD BC ∴=．在ABC 和ADC 中AD BC DAC ACB AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABC ADC S A S ∴≅， AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）；（3）AED CFB ≅；DEC BFA ≅；ABC CDA ≅． 【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用．【例23】 如图，已知AB =CD ，BM =CM ，AC =BD ，说明AM =DM 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】在ABC 和BCD 中，AB CDAC BD BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABC DCB S S S ∴≅， ABC BCD ∴∠=∠， 在ABM 和DCM 中，AB CD ABC BCD BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABM DCM S A S ∴≅， AM DM ∴=． 【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用，利用多次全等进行证明．AB CDMABCDEF【例24】 如图，∠1=∠2，AC =BD ，E 、A 、B 、F 在同一条直线上，说明：∠CAD =∠DBC 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】12∠=∠， CAB DBA ∴∠=∠．在CAB 和DBA 中，AC BD CAB DBA AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)CAB DBA S A S ∴≅， CBA DAB ∴∠=∠，又CAB DBA ∠=∠，CAD DBC ∴∠=∠．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与角的和差的综合运用．【例25】 如图所示，AB =AC ，CE =BE ，连结AE 并延长交BC 于D ，说明AD ⊥BC 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】证明：在ABE 和ACE 中，AB AC BE CE AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(..)ABE ACE S S S ∴≅， BAD CAD ∴∠=∠．在ABD 和ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ABD ACD S A S ∴≅， 90ADB ADC ∴∠=∠=， AD BC ∴⊥．【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，通过多次全等得到垂直．21ABC DEFABCDE【例26】 如图所示，BE 、CD 相交于O ，AB =AC ，AD =AE ，说明OD =OE 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】证明：在ADC 和AEB 中， AD AE A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴(..)ADC AEB S A S ≅ B C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等） AB CA =，AD AE =，BD CE ∴=．在BDO 和CEO 中，DOB COE ∠=∠ B C ∠=∠ BD CE =(..)BDO CEO A A S ∴≅， OD OE ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，注意对全等的多次运用．【例27】 如图，已知AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ．试说明：AC ⊥CE ，若将CD 沿CB 方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余的条件不变， 结论AC 1⊥C 2E 还成立吗?请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】证明：（1）AB BD ⊥，DE BD ⊥， 90B D ∴∠=∠=︒在ABC 和CDE 中，AB CDB D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ABC CDE S A S ∴≅， A ECD∴∠=∠．90A ACB ∠+∠=，90ACB ECB ∴∠+∠=， 即AC CE ⊥．ABCD EMAB C 2D EC 1AB C 1D EM AB C 2 DEM C 1MAB C 1D EC 2ABCDEO（2）12ABC C ED ≅， 2A E CD ∴∠=∠．190A AC B ∠+∠=，2190EC D AC B ∴∠+∠=， 1290C MC ∴∠=， 12AC C E ∴⊥．【总结】本题主要考察全等三角形的判定及垂直的综合运用，说理时注意分析．【例28】 如图，线段BE 上有一点C ,以BC 、CE 为边分别在BE 的同侧作等边三角形ABC 、DCE ，连结AE 、BD ，分别交CD 、CA 于Q 、P ．（1）找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外)，并说明你的理由； （2）取AE 的中点M 、BD 的中点N ，连结MN ，试判断△CMN 的形状． 【难度】★★★【答案】（1）BD AE =，（2）等边三角形． 【解析】（1）∵等边三角形ABC 和 等边三角形DCE ， ∴BC AC =，CD CE =， BCA DCE ∠=∠=60°．BCA ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠．在BCD 和ACE 中，BC ACBCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， BCD ACE ∴≅（S.A.S ），BD AE ∴=（全等三角形的对应边相等）； （2）BCD ACE ≅， DBE EAC ∴∠=∠．M 、N 分别为BD 、AE 的中点， BN ND ∴=，AM ME =，BD AE =， BN AM ∴=．在BCN 和ACM 中，BC ACCBN CAM BN AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， BCN ACM ∴≅（S.A.S ），CM CN ∴=，BCN ACM ∠=∠，60NCM BCA ∴∠==︒， CM CN =， ∴△CMN 是等边三角形．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意在复杂的图形中准确的找出全 等三角形及其对应条件．2121A BCDEQP ABCDEMNPQ【例29】 如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中CA =CB ，四边形CDEF 是正方形，连接AF 、BD ．（1）观察图形，猜想AF 与BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF 绕点C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）AF BD =，AF BD ⊥；（2）成立．【解析】证明：（1）△ABC 是等腰直角三角形，四边形CDEF 是正方形，CF CD ∴=，AC BC =，90DCF ACB ∠=∠=， FCA DCB ∴∠=∠．在FCA 和DCB 中，CF CD FCA DCB AC CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FCA DCB SAS ∴≅．AF DB ∴=，DBC FAC ∠=∠．90DBC ABD BAC ∠+∠+∠=， 90FAC ABD BAC ∴∠+∠+∠=，AF BD ∴⊥．（2）成立，证明过程同（1）．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意根据旋转图形的不变性进行解 题．【习题1】 下列命题中正确的是 （ ）A ．全等三角形的高相等B ．全等三角形的中线相等C ．全等三角形的角平分线相等D ．全等三角形对应角的平分线相等【难度】★ 【答案】D【解析】A 错，全等三角形对应边上的高相等；B 错，全等三角形对应边上的中线相等； C 错，全等三角形对应角的平分线相等；D 对． 【总结】考察学生对全等三角形的相关概念的理解．随堂检测ABC D E F【习题2】 如图，△ABD ≌△CDB ，且AB 、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是（ ）A ．△ABD 和△CDB 的面积相等 B ．△ABD 和△CDB 的周长相等C ．∠A +∠ABD =∠C +∠CBD D ．AD ∥BC ，且AD =BC 【难度】★ 【答案】C【解析】C 错，正确答案是∠A +∠ABD =∠C +∠CDB ，A ，B ，D 均对． 【总结】主要考察学生对全等三角形的概念的理解．【习题3】 如图，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD =7厘米，DM =5厘米，∠DAM =390，则AN =______厘米，NM =___________厘米，∠NAB =_______． 【难度】★【答案】7；5；12°．【解析】由翻折的性质，可得：ADM ANM ≅， 则7AN AD ==厘米，5MN DM ==厘米，39MAN MAD ∠=∠=， 故9023912NAB ∠=-⨯=．【总结】本题主要考查翻折性质与全等三角形性质的综合运用．【习题4】 尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS【难度】★ 【答案】D【解析】∵AC AD =，PC PD =，OP OP =，(..)DCP ODP S S S ∴≅【总结】根据画图考察学生对画图过程中不变性的理解和掌握．A BCDA BC DM NABCDPO【习题5】如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据_________；（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据_________；（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据_________；（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF．则△ACE≌△BDF，根据_________．【难度】★★【答案】（1）A.A.S；（2）A.S.A；（3）S.A.S；（4）S.S.S．【解析】//AC BD，A B∴∠=∠，C D∠=∠，则（1）、（2）、（3）、（4）分别得证．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的熟练掌握．【习题6】如图，已知△ABC≌△ADE, ∠CAD=150，∠DFB=900，∠B=250．求∠E和∠DGB的度数．【难度】★★【答案】105E∠=︒，65DEG∠=︒．【解析】AD BG⊥，90AFB∴∠=︒（垂直的意义）15DAC∠=︒，75FCA∴∠=︒（互余的意义）105ACB∴∠=︒（邻补角的意义）ACB AED≅，105E ACB∴∠=∠=︒，25B D∠=∠=︒902565DGB∴∠=︒-︒=︒（互余的意义）【总结】考察学生对全等三角形的性质的理解，并且对邻补角和互余等知识点要熟练掌握并应用．【习题7】如图：A、E、F、C四点在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作BE⊥AC、DF⊥AC，且AB∥CD，AB=CD．试说明：BD平分EF．【难度】★★【答案】见解析．【解析】//AB CD，A C∴∠=∠，ABD CDB∠=∠在ABG和CDG中，ABD CDBAB CDA C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABG CGD ASA∴≅，AG CG∴=，AE CF=，EG GF∴=，BD∴平分EF．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用．ABCEDFA BCDEFGABDE FG【习题8】 如图所示，△ABC 绕顶点A 顺时针旋转，若∠B ＝40°，∠C ＝30°，（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB 'C '的顶点C '与原三角形的顶点B 和A 在同一直线上?（原△ABC 是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C 、A 、C '在同一直线上? 【难度】★★【答案】（1）110︒；（2）70︒．【解析】（1）1803040110CAB ∠=︒-︒-︒=︒； （2）18011070︒-︒=︒．【总结】考察学生对旋转的理解，注意旋转过程中的不变性．【习题9】 已知：如图，△ABC 是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG ∥BC ，交AC于点G ，•在GD 的延长线上取点E ，使DE =DB ，连结AE 、CD ． 试说明：△AGE ≌△DAC ． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】ABC 是等边三角形．AB AC BC ∴==，60BAC ACB B ∠=∠=∠=（等边三角形的性质） //DG BC ，60ADG B ∴∠=∠=°，60AGD ACB ∠=∠=°， ADG AGD ∴∠=∠．ED DB =，又DG AD =， DE DG DB AD ∴+=+，即AB EG =．AB AC =，AC EG ∴=．在ADG 和ADC 中，AG ADAGE DAC EG AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)AGE DAC S A S ∴≅∠．【总结】考察学生对全等三角形的判定的掌握和应用以及等边三角形的性质综合运用．ABCDE FG【习题10】 在∠O 的两边上分别取点A 、D 和B 、C ，连接AC 、BD 相交于P ．（1）若∠A ＝∠B ，P A ＝PB ，试说明OA ＝OB 的理由； （2）若OA ＝OB ，P A ＝PB ，试说明PC ＝PD 的理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）在ADP 和BCP 中，A BPA PBDPA CPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)ADP BCP A S A ∴≅，DP CP ∴=（全等三角形对应边相等）． AP BP =， AC BD ∴=（等式性质）． 在OAC 和ODB 中，O OA B AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)AOC BOD A A S ∴≅，AO BO ∴=（全等三角形的对应边相等）； （2）连接OP在AOP 和BOP 中，OA OBPA PB OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(..)AOP BOP S S S ∴≅，A B ∴∠=∠，AP = BP （全等三角形的对应角相等、对应边相等）． 在ADP 和PCB 中，A BAP PB APD CPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(..)ADP PCB A S A ∴≅，PC PD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和掌握，注意多次全等的综合运用．ABCDP OABCDP O【习题11】 如图，△ABC 、△ADE 都是等腰直角三角形，绕着顶点A 旋转后位置如下：（1） 当C 、A 、D 在同一直线上，说明CE 与BD 有何关系?为什么?（2） 当△ADE 再继续旋转到（2）、（3）、（4）的位置后，CE 与BD 又有何关系． 【难度】★★★【答案】（1）CE BD =，CE BD ⊥；（2）CE BD =，CE BD ⊥．【解析】（1）证明：△ABC 、△ADE 都是等腰直角三角形，AD AE ∴=，AC AB =，90BAD CAB ∠=∠=︒（等边三角形的性质）在ADB 和AEC 中，AD AEDAE CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ADB AEC S A S ∴≅，CE BD ∴=，ACE ABD ∠=∠（全等三角形的对应边相等，对应角相等）90ACE BCE CBE ∠+∠+∠=， 90ABD BCE CBE ∴∠+∠+∠=，CE BD ∴⊥．（2）CE BD =，CE BD ⊥，证明过程同上．【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定和性质的综合运用， 注意认真分析题目中的条件．【作业1】 如图，△ABC ≌△ABD ，C 和D 是对应顶点，若AB =6cm ，AC =5cm ，BC =4cm ，则AD 的长为_________cm ． 【难度】★ 【答案】5【解析】全等三角形的对应边相等，5AD AC ==． 【总结】本题主要考查全等三角形的性质．课后作业A BCDE（1）（2）ABDCE（3） （4）AB CE DABCDE ABCD【作业2】 如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF ===∠∠，，； ③B E BC EF C F ===∠∠∠∠，，； ④AB DE AC DF B E ===∠∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有 （ ） A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【难度】★ 【答案】C【解析】（1）S.S.S ；（2）S.A.S ；（3）A.S.A ；（4）S.S.A 不符合，所以正确答案 是（1）、（2）、（3），故选C ．【总结】考察学生对全等三角形的判定定理的掌握．【作业3】 下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边 【难度】★ 【答案】C【解析】边边角不能作为全等三角形的判定条件．【作业4】 已知△ABC ≌△DEF ，若△ABC 的周长为32，AB =8，BC =12，DE =_______，DF =_______，EF = _______． 【难度】★★ 【答案】8；12；12． 【解析】△ABC ≌△DEF ，8DE AB ∴==，3212812DF AC ==--=，12EF BC ==． 【总结】本题主要考察全等三角形的性质的运用．ABCDEF【作业5】 如图△ACE ≌△DBF ，AE =DF ，CE =BF ，AD =8，BC =2．（1）求AC 的长度；（2）说明CE ∥BF 的理由． 【难度】★★【答案】（1）5；（2）见解析． 【解析】（1）△ACE ≌△DBF ，AC BD ∴=（全等三角形对应边相等）AB BC CD BC ∴+=+（等式性质），即AB CD =． 8AD =，2BC =，3AB CD ∴==， 5AC ∴=；（2）△ACE ≌△DBFECA DBF ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等） //CE BF ∴（内错角相等，两直线平行）【总结】考察学生对全等三角形的性质的掌握及运用．【作业6】 如图，已知△ABC ≌△AED ，AE =AB ，AD =AC ，∠D -∠E =200，∠BAC =600，求∠C 的度数． 【难度】★★ 【答案】70︒．【解析】设E x ∠=，20D x ∠=+，△ABC ≌△AED ， 60BAC EAD ∴∠=∠=︒，C D ∠=∠2060180x x ∴+++=︒，50x ∴=，70D ∴∠=︒， 70C ∴∠=︒．【总结】考察学生对全等三角形的性质的理解和运用，注意利用设未知数解题．【作业7】 如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，点C 在线段AB 上，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论①△ACE ≌△DCB ；②CM =CN ；③AC =DN ．其中正确的结论是_______________，证明正确的结论． 【难度】★★ 【答案】①和②正确．【解析】①△DAC 和△EBC 均是等边三角形， ∴AC DC =，BC EC =，60ACD BCE ∠=∠=︒， ACE DCB ∴∠=∠．在ACE 和DCB 中，AC CD ACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ACE DCB S A S ∴≅；ABCDA BCD EMNABCDEF（2）ACE DCB≅，CAE CDB∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）60ACD BCE∠=∠=︒，60DCE ACD∴∠=∠=︒．在ACM和DCN中，AC DCACD DCECAE BDC=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，ACM DCN∴≅（A.A.S）CM CN∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和运用．【作业8】如图，AD⊥AB，AC⊥AE，且AD＝AB，AC＝AE．试说明：DC＝BE，DC⊥BE．【难度】★★【答案】见解析．【解析】AD⊥AB，AC⊥AE，90DAB EAC∴∠=∠=︒（垂直的意义）DAC BAE∴∠=∠（等式性质）在DAC和BAE中，AD ABDAC BAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)DAC ABE S A S∴≅DC BE∴=，B D∠=∠（全等三角形的对应角相等，对应边相等）设BE与DC交于点F，DGA BGC∠=∠，90D DGA∠+∠=，90B BGC∴∠+∠=，90BFG∴∠=︒，DC BE∴⊥（垂直的意义）．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定及三角形内角和定理的综合运用，注意归纳总结证明垂直的方法．ABCDEFGE【作业9】 如图，已知AE =CF ，∠DAF =∠BCE ，AD =CB ． （1）问△ADF 与△CBE 全等吗?请说明理由；（2）如果将△BEC 沿CA 边方向平行移动，可有图中3幅图，如上面的条件不变， 结论仍成立吗?请选择一幅图说明理由． 【难度】★★ 【答案】（1）全等； （2）成立，全等． 【解析】（1）AE CF =，AE EF CF EF ∴-=-，即AF CE =（等式性质）．在ADF 和BCE 中，AF CEA C AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ADF BCE S A S ∴≅；（2）成立，证明过如（1）．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和运用．【作业10】 如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边△ABD 和等边△ACE ，BE与CD 相交于点F ．（1）请说明△ABE ≌△ADC 的理由； （2）求∠1的度数． 【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）1120∠=︒．【解析】（1）证明：在等边△ABD 和等边△ACE 中，AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，DAB BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠， DAC BAE ∠=∠即．在ABE 和DAC 中，AD ABDAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴(..)ABE ADC S A S ≅；（2）ABE ADC ≅， DCA BEA ∴∠=∠（全等三角形对应角相等）1DCE BEC ∠=∠+∠， 又DCA BEA ∠=∠ 1ACE AEB BEC ∴∠=∠+∠+∠6060120=︒+︒=︒．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和掌握，综合性较强，注意利用外 角进行适当的转化，把未知的角度转化为和题目有关的已知角，从而进行解题．ABCD EF A BCD E FAB CDEFC （A ）BD。

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d cb a =4、比例外项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

相似三角形解题方法、技巧、步骤 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形(1)三角形相似的条件： ①；②；③.三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证:BAACAF AE =（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。

解三角形之最值型【题集】转化为正弦型（1）（2）1.在中，，，分别为角，，的对边，且．求．若，求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）　，则，则，可得，因为，所以．由，得，其中，．由得，所以得最大值为，所以得最大值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的余弦；正弦定理；正余弦定理综合求解边角2.在平面四边形中，已知，，，．（1）（2）求．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由条件即求的长，在中，设，，则，∵，∴，∴，整理得：，解得或，当时，可得，与矛盾，故舍去，∴．在中，设，则，∴，，∴，∴周长最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）3.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．若，求．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理得：．因为的内角和，，所以，因为，所以，因为，所以，当即时，面积取得最大值．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）4.的内角，，的对边分别为，，，已知，且满足．求角的大小．求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）在中，由正弦定理可得，，又由余弦定理，∴，即，又，则．由正弦定理可得，∴，又，即，，，∴原式，其中，由，，∴一定存在使得，此时，此时最大为．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角；求边长相关最值或范围问题均值不等式（1）（2）5.的内角，，的对边分别为，，，若，且外接圆的半径为．求角．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理，有，∴，，，代入，得，则，即，由余弦定理得，∵，∴．由正弦定理得，由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立，∴，∴的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正余弦定理综合求解边角；正弦定理（1）（2）6.在中，内角，，的对边分别是，，，且．求角的大小．若，求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）在中，∵，∴，由正弦定理，得，整理，得，∴，∴，又，∴．∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）7.如图，在中，、、分别为的内角、、所对的边，外接圆的半径为，．求．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理及，得，由，得，∴，∵，∴，∴．∵，∴．又外接圆的半径，∴，∴．∵，∴，由，得，∴，当且仅当时，等号成立．又∵，∴周长的最大值为．【标注】【知识点】余弦定理；正余弦定理综合求解边角（1）（2）8.在平面四边形中，，，．求的面积．设为的中点，且，求四边形周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）连接，在中，由余弦定理得，设，则，即，解得或（舍去），所以，因此的面积．由为的中点，得为的边的中线，又，得，所以，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，即四边形的周长的最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题9.如图，在平面四边形中，，，．（1）（2）求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，，均为锐角，∴，，∴，为直角三角形，∴，∴．由（）知，，在中，由余弦定理得，∴，，，∴四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）10.的内角，，的对边分别为，，，已知．求角的大小．若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理得，所以，所以．，因为，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立．所以的面积的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正弦定理11.在中，内角，，所对的边分别为，，，是边的中点，若，且，求面积的最大值．【答案】．【解析】由题意及正弦定理得到，于是可得，又，，又因为是的中点，所以，故，则，则，当且仅当时等号成立，所以，即面积的最大值是．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）12.在中，内角、、所对的边长分别为，，，．求角．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．面积的最大值为．【解析】（1）（2）由，可得：，，因为，所以，．由，得，，，所以，当时，面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）13.的内角，，的对边分别为，，，且．求．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由题意得，即，所以，因为，∴．由余弦定理得：，，故，则，当时，的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）14.在中，角，，的对边分别为，，，已知，．求的余弦值．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）由已知条件得：，由正弦定理得，则，即，由，整理得：，即，即，由，故．（2）由（）知，则，由余弦定理得：，而，则，由得，即，所以，当时取等号．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；边角互化（利用正弦定理）（1）（2）15.设，，分别为锐角内角，，的对边，且满足，．求角的大小．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由可得，则即，所以有，又因为锐角，则．由（Ⅰ）可知，且有，由余弦定理可得：，则，．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）16.已知在中，内角，，的对边分别为，，，且．求角的值．若的外接圆半径为，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．当时取最大值．．【解析】（1）方法一：方法二：（2）∵，，，∵，则．由题：，，，，，，当时取最大值．由题：，∵，，则（当，取“”），．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角（1）（2）17.在中，，，分别是角，，的对边，．求角的大小；若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）因为．可得，即，，．，（2），．由余弦定理得：，．即，当且仅当时取等号．，那么：的面积．的面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）18.已知，，是的内角，，，分别是角，，的对边，若．求角的大小．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理及得由余弦定理，又，则．由（）得，又，得，又可得，∴，当时取得等号，所以的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）19.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．求的值．若，求的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由以及正弦定理可知，，即，因为，所以，所以．∵，∴．由余弦定理，可得：，又，可得，当且仅当时等号成立，即存在的最小值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）20.在中，，，分别是角，，所对的边，且．求的值．若，当角最大时，求的面积．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，∴，由正弦定理得，，由余弦定理得，化简得，∴．因为，由知，，∴由余弦定理得，，即，且．根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，∴．∴当角取最大值时，，．∴的面积．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）21.在中，，，分别是角，，所对的边，且．求的值．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，∴，由正弦定理得，，由余弦定理得，化简得，∴．因为，由（I ）知，，∴由余弦定理得，，根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，∴．由，得，且，∴的面积．∵，∴．∴．∴的面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；正余弦定理综合求解边角（1）22.已知的内角，，满足．求角．（2）若的外接圆半径为，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）（2）设内角，，所对的边分别为，，．根据及正弦定理，可得，得，所以，又因为，所以．设的外接圆半径为，则．因为，所以，所以，所以（当且仅当时取等号）．故的面积的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正余弦定理综合求解边角（1）（2）23.的内角，，的对边分别为，，，已知．求角；若点在边上，且，，求的最大值．【答案】（1）（2）．的最大值．【解析】（1）（2）∵，由正弦定理可得，，即，∵，∴，∵，∴．令，，，∵，，∴，中，由余弦定理可得，∴，整理可得，，解不等式可得，，即的最大值．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题；边角互化（利用余弦定理）；边角互化（利用正弦定理）（1）（2）24.如图，在平面四边形中，，，，．若，求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）连接，在中，由余弦定理得：，（2）所以，又，所以为等腰三角形，作于，则，在中，，所以，所以．由题意知，在中，由余弦定理得，所以，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以．所以．故四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；多个三角形拼接的解三角形问题；三角形面积公式（1）（2）25.在中，角，，的对边分别为，，，且．求角的大小．若的面积为，是钝角，求的最小值．【答案】（1）（2）或．的最小值为．【解析】方法一：（1）由已知得：，由正弦定理得：，∴，又在中，，∴，方法二：（2）∴或．∵，∴，∴，∴，∴，∴或．由，，可得：，又， ，当且仅当时取等号，∴的最小值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）26.已知，，分别是三个内角，，所对的边，且．求角的大小．已知，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，，分别是三个内角，，所对的边，且，∴，即，解得（舍）或，解得．由（）知，又，根据余弦定理得，把，，代入得，∴，解得，∴面积，∴的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；SAS 类三角形（利用余弦定理）（1）（2）27.在中，角，，的对边分别为，，，且．求角；若的面积为，求的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理可知：，，，，由，则，∴，由，，，，则；由，则，由，∴，当且仅当时取等号，∴，故的最小值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；求边长相关最值或范围问题（1）（2）28.已知的内角，，的对边分别为，，，．求角；若，求的周长的最大值．【答案】（1）（2）.周长的最大值为.【解析】（1）根据正弦定理，由已知得：，即，∴，∵，∴，∴，从而．∵，∴．（2）由()和余弦定理得，即，∴，即(当且仅当时等号成立)．所以，周长的最大值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；求边长相关最值或范围问题（1）（2）29.在中，角，，的对边分别为，，，且．求．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）根据正弦定理得，即，则，即，由于，所以．根据余弦定理，，由于，即，所以面积，当且仅当时等号成立．故面积的最大值为．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角；求面积最值或范围问题（1）（2）30.已知的内角、、的对边分别为、、其面积为，且．求角．若，，当有且只有一解时，求实数的范围及的最大值．【答案】（1）（2）．，．【解析】（1）由己知．所以：，（2）由余弦定理得，所以，即，，，所以：，即：．由己知，当有且只有一解时，或，所以；当，．由余弦定理可得，所以，当且仅当时，等号成立．∴三角形面积为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）31.已知内角、、的对边分别为，，，若且．求角．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由可得，故，．由，，由余弦定理可得，由基本不等式可得，，当且仅当时，“”成立，从而，故面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）32.的内角，，的对边分别为，，，且满足，．角的大小．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）依题意：，，，由正弦定理，得，，∵，∴，．依题意，，，，∴，∵，∴，，，∴，当且仅当时取等号．【标注】【知识点】余弦定理的其他应用（1）（2）33.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．求角的大小．若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）已知．正弦定理化简可得：．即．∵，．∴．即．∴．∵，．余弦定理：．可得：．∴，当且仅当时取等号．解得：．那么三角形面积．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）34.在中，内角，，的对边分别为，，，已知．若，求和．求的最小值．【答案】（1）（2），．．【解析】（1）（2）因为，代入，得，所以，，得，所以，．把余弦定理代入，得，解得，，当且仅当，即时，取最小值．【标注】【知识点】三角形面积公式；AAS 类三角形（利用正弦定理）；SSS 类三角形（利用余弦定理）（1）（2）35.如图，在三角形中，，，，平面内的动点与点位于直线的异侧，且满足．求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．四边形面积的最大值为．【解析】（1）（2）在中，因，，，由余弦定理得：，所以，再由正弦定理得：，所以．由()知的面积为定值，所以当的面积最大时，四边形的面积取得最大值．在中，由，．方法：设，，则，于是，即，当且仅当时等号成立．故的面积取得最大值．又的面积，所以四边形面积的最大值为．方法：设，则，，所以，当时，的面积取得最大值．又的面积，所以四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）36.在中，角、、所对的边分别为、、，已知．求的值．当角取最大值时，求的值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由，∴，∴，化为，∴，∴．由于，则，，又，当且仅当，即时，取等号，可得的最大值为，可得，由正弦定理可得．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用。

三角形的内角和专题1．如图，DE分别交△ABC的边AB，AC于D、E，且交BC的延长线于F，∠B＝66°，∠1＝74°，∠2＝46°，求∠3的度数．【答案】解：66∠=︒，Q，174∠=︒BA B∴∠=︒-∠-∠=︒，180140Q，∠=︒246∴∠=∠+∠=︒．A32862．如图，在海面上停着三艘船A、B、C，C船在A船的北偏西40°方向，B船在A船的南偏西80°方向，C船在B船的北偏东35°方向，从C船看到A、B两船，视线CA、CB 的夹角∠ACB是多少度？【答案】解：根据题意得：40∠=∠=︒．EBC BCGCAD ACG∠=∠=︒，35∴∠=∠+∠=︒．ACB BCG ACG753．如图，在△ABC中，O是高AD、BE的交点，若∠C＝75°，求∠AOB的度数．【答案】解：Q 直角ACD ∆中，90907515CAD C ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴在直角AOE ∆中，9015105AOB AEO CAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒．4．如图，在△ABC 中， AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，（1）若∠B ＝63°，∠C ＝51°，求∠DAE 的度数．（2）若10B C ∠-∠=︒，求DAE ∠的度数．【答案】（1）易得66BAC ∠=︒，27BAD ∠=︒，∴33276DAE ∠=︒-︒=︒（2）()11802DAE B C BAD ∠=︒-∠-∠-∠ ()()1180902B C B =︒-∠-∠-︒-∠ ()12B C =∠-∠ 5=︒5．如图，AD 平分△ABC 的外角∠CAE ，（1）若2100∠=︒，330∠=︒，求1∠的度数；（2）求证：()13212∠=∠-∠．【答案】（1）40°；（2）依题意得()21312∠+∠=∠+∠ 整理可得：()13212∠=∠-∠。

全等三角形知识点总结(精选18篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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第三讲三角形中的模型专题解析本讲主要是通过等积变形体会鸟头模型的证明，并在复杂图形中找到鸟头模型来解决相关面积问题。

典型例题解析例1：用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．解析：省略。

练习1(1)用三种不同的方法，把任意一个三角形分成六个面积相等的三角形．解析：省略。

(2)用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为1∶3∶4．(3)如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？解析：12÷4=3（倍）(4)如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？解析：12÷4=3（倍）(5)如右图，在梯形ABCD 中，AC 与BD 是对角线，其交点O ，问：△AOB 与△COD 面积是否相等？解析：相等。

(6)正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF面积为多少平方厘米？解析：10÷2=5（平方厘米）(7)图中三角形AOB 的面积为15平方厘米,线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD的面积。

解析：15+5+15+45=80（平方厘米）(8)如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若1=∆ADES ，求△BEF 的面积。

解析：△BEF 的面积为1。

(9)如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。

问：阴影部分与空白部分的面积比为多少？解析：5x 4x 4x 3x 3x 2x 2x x x例2（1）已知三角形ADE 的面积是1，AD:AB=2:3，AE:AC=1:4，求三角形ABC 的面积。

解析：4×3÷（2×1）×1=6（2）在△ABC 中，D 在AB 的延长线上，BA DA 21=， E 在AC 的延长线上，EC EA 31=，两个三角形的总面积为250平方厘米。