2021年江苏省徐州市高考数学三调试卷

第1页，共17页 2021年江苏省徐州市高考数学三调试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知全集U，集合M，N是U的子集，且𝑀⫋𝑁，则下列结论中一定正确的是( )

A. (∁𝑈𝑀)∪(∁𝑈𝑁)=𝑈 B. 𝑀∩(∁𝑈𝑁)=⌀

C. 𝑀∪(∁𝑈𝑁)=𝑈 D. (∁𝑈𝑀)∩𝑁=⌀

2. 清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为( )

A. 112

B.

13

C.

12 D. 34

3. 已知𝑧1，𝑧2是复数，下列结论错误的是( )

A. 若|𝑧1−𝑧2|=0，则𝑧1=𝑧2 B. 若 𝑧1=𝑧2，则𝑧1=𝑧2

C. 若|𝑧1|=|𝑧2|，则𝑧1⋅𝑧1=𝑧2𝑧2 D. 若|𝑧1|=|𝑧2|，则𝑧12=𝑧22

4. 函数𝑓(𝑥)=5𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑥3𝑥−3−𝑥(𝑥∈[−𝜋,0)∪(0,𝜋])的大致图象为( )

A. B.

C. D.

5. 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是( )

A. 小寒比大寒的晷长长一尺 B. 春分和秋分两个节气的晷长相同

C. 小雪的晷长为一丈五寸 D. 立春的晷长比立秋的晷长长

6. 某圆锥母线长为2，底面半径为√3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为( )

A. 2 B. √3 C. √2 D. 1

7. 抛物线C：𝑦2=4𝑥的焦点为F，P是其上一动点，点𝑀(1,1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是( ) 第2页，共17页 A. |𝑃𝑀|+|𝑃𝐹|的最小值是2

B. 动点P到点H (3,0)的距离最小值为3

C. 存在直线l，使得A，B两点关于直线𝑥+𝑦−3=0对称

D. 与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点(2,0)，则点N在抛物线C的准线上

8. 已知函数𝑓(𝑥)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数，满足𝑓(𝑥)>0且𝑓(𝑥)+𝑓′(𝑥)<0(𝑓′(𝑥)为函数的导函数)，若0<𝑎<1<𝑏且𝑎𝑏=1，则下列不等式一定成立的是( )

A. 𝑓(𝑎)>(𝑎+1)𝑓(𝑏) B. 𝑓(𝑏)>(1−𝑎)𝑓(𝑎)

C. 𝑎𝑓(𝑎)>𝑏𝑓(𝑏) D. 𝑎𝑓(𝑏)>𝑏𝑓(𝑎)

二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 设正实数a，b满足𝑎+𝑏=1，则( )

A. log2𝑎+log2𝑏≥−2 B. 𝑎𝑏+1𝑎𝑏≥174

C.

2𝑎+1𝑏≤3+2√2 D. 2𝑎−𝑏>12

10. 已知(1−2𝑥)2021=𝑎𝑜+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥3+⋯+𝑎2021𝑥2021，则( )

A. 展开式中所有项的二项式系数和为22021           

B. 展开式中所有奇次项系数和为32021−12

C. 展开式中所有偶次项系数和为32021−12

D. 𝑎12+𝑎222+𝑎323+⋅⋅⋅+𝑎202122021=−1

11. 半正多面体(𝑠𝑒𝑚𝑖𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若它的所有棱长都为√2，则( )

A. 𝐵𝐹⊥平面EAB

B. 该二十四等边体的体积为203

C. 该二十四等边体外接球的表面积为8𝜋

D. PN与平面EBFN所成角的正弦值为√22

12. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑒𝑐𝑜𝑠𝑥，其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是( )

A. 𝑓(𝑥)在(0,𝜋2)是增函数

B. 𝑓(𝑥+𝜋4)是奇函数

C. 𝑓(𝑥)在(0,𝜋)上有两个极值点

D. 设𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥，则满足𝑔(𝑛4𝜋)>𝑔(𝑛+14𝜋)的正整数n的最小值是2

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 如图，在平面四边形ABCD中，已知𝐴𝐷=3，𝐵𝐶=4，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．

第3页，共17页 14. 为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足𝑚1−𝑚2=2.5(𝑙𝑔𝐸2−𝑙𝑔𝐸1)，其中星等为𝑚𝑘的星的亮度为𝐸𝑘(𝑘=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的______ 倍.(结果精确到0.01.当|𝑥|较小时，10𝑥≈1+2.3𝑥+2.7𝑥2)

15. 已知双曲线𝐸：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，过点𝐹1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△𝐴𝐵𝐹2的内切圆与边AB、𝐵𝐹2、𝐴𝐹2分别相切于点M、NP，且AP的长为4，则a的值为______．

16. 在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量𝑋～𝐵(𝑛,𝑝)，记𝑝𝑘=𝐶𝑛𝑘𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘，𝑘=0，1，2，…，𝑛.在研究𝑝𝑘的最大值时，小组同学发现：若(𝑛+1)𝑝为正整数，则𝑘=(𝑛+1)𝑝时，𝑝𝑘=𝑝𝑘−1，此时这两项概率均为最大值；若(𝑛+1)𝑝为非整数，当k取(𝑛+1)𝑝的整数部分，则𝑝𝑘是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为______ 的概率最大．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 设△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵=1，𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴=2．

(Ⅰ)求sin(𝐴+𝐶)和边长a；

(Ⅱ)当𝑏2+𝑐2取最小值时，求△𝐴𝐵𝐶的面积．

18. 数列{𝑎𝑛}中，𝑎2=7且2𝑆𝑛=𝑛𝑎𝑛+4𝑛(𝑛∈𝑁∗)，其中𝑆𝑛为{𝑎𝑛}的前n项和．

(Ⅰ)求{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛；

(Ⅱ)证明：1𝑎12+1𝑎22+1𝑎32+⋯+1𝑎𝑛2<13−19𝑛+3(𝑛∈𝑁∗).

19. 在如图所示的圆柱𝑂1𝑂2中，AB为圆𝑂1的直径，C，D是𝐴𝐵⏜的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱𝑂1𝑂2的母线．

(1)求证：𝐹𝑂1//平面ADE；

(2)若𝐵𝐶=𝐹𝐶=2，求二面角𝐵−𝐴𝐹−𝐶的余弦值．

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20. 某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2𝑛−1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．

(1)当𝑛=2，𝑝=12时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设𝜉为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求𝜉的分布列与数学期望；

(2)为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？

21. 某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，𝐴𝐵=2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．

(1)若𝑂𝐸=3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；

(2)若椭圆的离心率为√32，当线段OG长为何值时，游乐区域△𝑂𝑀𝑁的面积最大？

22. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥−12𝑥2+(2𝑎−1)𝑥(𝑎∈𝑅)．

(1)讨论函数𝑓(𝑥)的极值点的个数； 第5页，共17页 (2)已知函数𝑔(𝑥)=𝑒𝑥𝑥−𝑓′(𝑥)有两个不同的零点𝑥1，𝑥2，且𝑥1<𝑥2.证明：𝑥2−𝑥1<4𝑎2−2𝑎−12𝑎−1．