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数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想

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－ 1 － 专题知识突破五 数学思想方法（一）

（整体思想、转化思想、分类讨论思想）

一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲

考点一：整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 （2014•德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是 ．

思路分析：观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．．

考点二：转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 （2014•潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．

－ 2 － 思路分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．

考点三：分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

例3 （2014•潍坊）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；

（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？

（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．

思路分析：（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；

（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；

（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．

四、中考真题演练

一、选择题

1．（2014•威海）已知x2－2=y，则x（x－3y）+y（3x－1）－2的值是（ ）

A．－2 B．0 C．2 D．4

2．（2014•临沂）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（ ）

A．2π2cm B．4π2cm C．8π2cm D．16π2cm － 3 － 3．（2014•济南）如图，直线y=－33x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（ ）

A．33（，） B．33（，） C．3（2，2） D．3（2，4）

4．（2014•青岛）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（ ）

A．4 B．32 C．4.5 D．5

5．（2013•菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为12SS， ，则12SS 的值为（ ）

A．16 B．17 C．18 D．19

6．（2014•临沂）在平面直角坐标系中，函数22yxx （x≥0）的图象为1C ，1C关于原点对称的图象为2C ，则直线y=a（a为常数）与12CC、 的交点共有（ ）

A．1个 B．1个或2个 C．1个或2个或3个 D．1个或2个或3个或4个

7．（2014•天门）已知m，n是方程x2－x－1=0的两实数根，则11mn

的值为（ ） － 4 － － 5 － 14．（2014•东营）若函数21212ymxmxm（） 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为 ．

15．（2014•烟台）如图，∠AOB=45°，点1O 在OA上，17OO ，⊙1O 的半径为2，点2O 在射线OB上运动，且⊙2O始终与OA相切，当⊙2O和⊙1O相切时，⊙2O的半径等于 ．

16．（2014•济南）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于 ．

17．（2014•济南）如图，

△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，

∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=kx在第一象限的图象经过点B．若2212OAAB ，则k的值为 ．

18．（2014•东营）在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm， － 6 － ACCDBD ，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是 cm．

三、解答题

19．2014•台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．

（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；

（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入－经营总成本）．

①求w关于x的函数关系式；

②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？

（3）第二次，该公司准备投入132万元，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．

20．（2014•德州）问题背景：

如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；

探索延伸： － 7 － 如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

21．（2014•潍坊）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB．

22．（2014•义乌市）受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：

月份x 1 2 3 4 5 6 7

成本（元/件） 56 58 60 62 64 66 68

8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．

（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．

（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）； 8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2=－0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．

23．（2014•宿迁）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；

（2）求证：∠DHF=∠DEF．

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数学思想方法专题1

数学思想方法专题1

1 数学思想方法专题

一、函数与方程思想

要点一 构造函数关系，利用函数性质解决有关问题

例1 设函数f(x)＝ax－(a＋1)ln(x＋1)，其中a>0.

(1)求函数f(x)的单调区间； (2)设f(x)的最小值为g(a)，证明：－1a

变式题：如果关于实数x的方程ax2＋1x＝3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为( )

A．{a|－2≤a≤2} B．{a|a≤0或a＝2} C．{a|a≥2或a<－2} D．{a|a≥0或a＝－2}

要点二 准确认识函数关系中的主从变量，解决有关问题

例2 已知A、B、C是直线l上的三点，向量OA→，OB→，OC→满足：OA→－[y＋2f′(1)]OB→＋ln(x＋1)OC→＝0. (1)求函数y＝f(x)的表达式； (2)若x>0，证明：f(x)>2xx＋2；

(3)若不等式12x2≤f(x2)＋m2－2bm－3时，x∈[－1,1]及b∈[－1,1]都恒成立，求实数m的取值范围．

变式题：对于满足0≤p≤4的所有实数p，不等式x2＋px＞4x＋p－3都成立，则实数x的取值范围是____________．

2 要点三 利用函数与方程的相互转化，解决有关问题

例3 (1)设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[]a，2a，都有y∈[]a，a2满足方程logax＋logay＝c，这时a的取值的集合为____________．

(2)函数f(x)＝sinx5＋4cosx(0≤x≤2π)的值域是(

)

A.－14，14 B.－13，13 C.－12，12 D.－23，23

要点四 运用函数、方程、不等式的相互转化，解决有关问题

例4 若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1

)

A.－34，0 B.－34，0 C.0，34 D.0，34

数学方法与思想方法

数学方法与思想方法

数学方法与思想方法

数学方法与思想方法

数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。以下是店铺整理的数学方法与思想方法，希望能够帮助到大家！

初中数学常见的思想方法1

初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．

（1）转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．

初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．

（2）数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数”）与直观的图象（“形“）结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用． 譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度．

三角形问题中的数学思想方法

三角形问题中的数学思想方法

- 1 - 三角形问题中的数学思想方法

数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用.

一、分类讨论思想

由于题目的约束较弱(条件趋一般)或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考查全面(所有不同情况)才能把握问题的实质.此种情况下应当进行适当分类，就每种情形研究讨论结论的正确性.

例1 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm两部分，求三角形各边的长.

分析:要注意等腰三角形有两边相等， 一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm，哪一段为6cm，故需分类讨论.

解:设腰长为xcm，底边为ycm，即AB=x，则AD=CD=21x，BC=y

⑴ 若x+21x=6时，则y+21x=15.

由x+21x=6得x=4.把x=4代入y+21x=15得y=13.

因为4+4<13，所以不能构成三角形.

⑵ 若x+21x=15时，则y+21x=6.

由x+21x=15得x=10.把x=10代入y+21x=15得y=1.

10+1>10符合题意， 所以三角形三边分别为10cm、10cm、1cm.

例2 已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在直线交于H，求∠BHC的度数.

分析:三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论.

解:⑴当△ABC为锐角三角形时(图2)

∵BD、CE是△ABC的高， ∠A=45°， ∴∠ADB=∠BEH=90°.

在△ABD中， ∠ABD=180°－90°－45°=45°. A

C B D

图1

数学思想方法

数学思想方法

数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法, 在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。常用的数学方法：配方法，换元法，消元法，待定系数法；常用的数学思想：数形结合思想，方程与函数思想，建模思想，分类讨论思想和化归与转化思想等。数学思想方法主要来源于：观察与实验，概括与抽象，类比，归纳和演绎等

中考数学专题复习一常用的数学思想和方法 北师大版

一、常用的数学思想（数学中的四大思想）

1.函数与方程的思想

用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。

深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。

2．数形结合思想

在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。

3．分类讨论思想

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。

分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。

4.等价转化思想