2019-2020学年北京市西城区数学高二下期末考试试题含解析
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2019-2020学年北京市西城区数学高二(下)期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．若2223340abc，则直线0axbyc++=被圆221xy所截得的弦长为（ ）
A．23 B．1 C．12 D．34
2．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（ ）
A．54 B．45 C．·45C D．45A
3．已知函数()1n(3)xfxex,则下面对函数()fx的描述正确的是（ ）
A．1(3,),()3xfx B．1(3,),()2xfx
C．00(3,),()1xfx D．min()(0,1)fx
4．已知a＝253()5，b＝352()5，c＝252()5，则( )
A．a
C．c
5．从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )
A．2829 B．2729 C．1114 D．1314
6．设fx是定义在R上的偶函数，且当0x时，21,0122,1xxxfxx，若对任意的,1xmm，不等式1fxfxm恒成立，则实数m的最大值是（ ）
A．1 B．13 C．12 D．13
7．设函数'()fx是奇函数()fx（xR）的导函数，(1)0f，当0x时，'()()0xfxfx，则使得()0fx成立的x的取值范围是（ ）
A．(,1)(0,1)U B．(1,0)(1,)-??
C．(,1)(1,0)U D．(0,1)(1,)
8．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝231aa，则实数a的取值范围为( )
A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2) 9．已知函数22xfxxe（e为自然对数的底数），1,Rgxmxm，若对于任意的11,1x，总存在01,1x，使得01gxfx 成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．22,11,ee B．221,1ee
C．22,11,ee D．221,1ee
10．函数lnfxxx的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数21xfxa与函数321gxxaxaR，下列选项中不可能是函数fx与gx图象的是(
)
A． B．
C． D．
12．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是
A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．求曲线3231yxx在点1,1处的切线方程是________.
14．已知关于x的不等式13axx的解集为2xx，则实数a______.
15．已知正项数列{an}满足22116nnnnaaaa，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．
16．对于任意的实数b，总存在0,1x，使得21xaxb成立，则实数a的取值范围为_____.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．命题:p方程2221mxmy表示双曲线；命题:q不等式21120mxmx的解集是R. pq为假， pq为真，求m的取值范围.
18．已知定圆M：22(1)16xy，动圆N过点F(1,0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．
(1)求曲线E的方程；
(2)已知直线:l1yx交圆M于,AB两点.,CD是曲线E上两点，若四边形ACBD的对角线ABCD，求四边形ACBD面积的最大值.
19．（6分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12xxyy后，曲线C的方程变为221xy.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为33sin（-）.
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）过点(1,0)P作l的垂线l0交C于A，B两点，点A在x轴上方，求11||||PAPB的值.
20．（6分）如图，直三棱柱111ABCABC中，ABAC且ABAC，D，E分别为1AA，1BC的中点.
（1）证明：DE平面1BCC；
（2）若直线1BC与平面BCD所成的角的大小为30°，求锐二面角ABDC的正切值.
21．（6分）已知03x是函数sincosfxmxx（0）的一条对称轴，且fx的最小正周期为. （1）求m值和fx的单调递增区间；
（2）设角,,ABC为ABC的三个内角，对应边分别为,,abc，若2fB， 3b，求2ca的取值范围.
22．（8分）央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”.
（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；
（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．B
【解析】
因为22243abc，所以圆心(0,0)O到直线0axbyc++=的距离2232cdab，所以2212212lrd，应选答案B。
2．A
【解析】
【分析】
通过分析每人有4种借阅可能，即可得到答案.
【详解】 对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据乘法原理，故共
有54种可能，答案为A.
【点睛】
本题主要考查乘法分步原理，难度不大.
3．B
【解析】
分析：首先对函数求导，可以得到其导函数是增函数，利用零点存在性定理，可以将其零点限定在某个区间上，结合函数的单调性，求得函数的最小值所满足的条件，利用不等式的传递性求得结果.
详解：因为()ln(3)xfxex，所以1'()3xfxex，导函数'()fx在(3,)上是增函数，又21'(2)10fe，1'(1)ln20fe，所以'()0fx在(3,)上有唯一的实根，设为0x，且0(2,1)x，则0xx为()fx的最小值点，且0013xex，即00ln(3)xx，故000()()ln(3)xfxfxex00xex12，故选B.
点睛：该题考查的是有关函数最值的范围，首先应用导数的符号确定函数的单调区间，而此时导数的零点是无法求出确切值的，应用零点存在性定理，将导数的零点限定在某个范围内，再根据不等式的传递性求得结果.
4．D
【解析】
【分析】
分别考查指数函数2()5xy在R上单调性和幂函数25yx在（0，+∞）上单调性即可得出．
【详解】
∵y＝2()5x在R上为减函数，35 >25，∴b
又∵y＝25x在(0，＋∞)上为增函数，35 >25，
∴a>c，∴b
故选：D
【点睛】
熟练掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
由题可知为古典概型，总的可能结果有48C种，满足条件的方案有三类：一是一男三女，一是两男两女，另一类是三男一女；每类中都用分步计数原理计算，再将三类组数相加，即可求得满足条件的结果，代入古典概型概率计算公式即可得到概率.
【详解】
根据题意，选4名同学总的可能结果有488765704321C种.
选到的4名同学中既有男同学又有女同学方案有三类：
（1）一男三女，有1353=51=5CC种，
（2）两男两女，有22535432==3022CC种.
（3）三男一女，有3153543=3=3032CC种.
共5+30+30=65种结果.
由古典概型概率计算公式，65137014P.
故选D.
【点睛】
本题考查古典概型与排列组合的综合问题，利用排列组合的公式计算满足条件的种类是解决本题的关键.
6．B
【解析】
【分析】
由题意，函数fx在[0,)上单调递减，又由函数fx是定义上的偶函数，得到函数fx在(,0)单调递增，把不等式(1)()fxfxm转化为1xxm，即可求解.
【详解】
易知函数fx在0,上单调递减，
又函数fx是定义在R上的偶函数，
所以函数fx在,0上单调递增，
则由1fxfxm，
得1xxm，即221xxm，
即22210gxmxm在,1xmm上恒成立，
则3110121310gmmmgmmm，
解得113m，
