集合的含义与表示(学案及练习)

集合的含义与表示 学案(1)

学习目标：

（1） 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；

（2） 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；

（3） 掌握常用数集及其记法；

学习内容：

（一）集合的有关概念

1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们

能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3. 关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1） 大于3小于11的偶数；

（2） 我国的小河流；

（3） 非负奇数；

（4） 方程210x的解；

（5） 某校2007级新生；

（6） 血压很高的人；

（7） 着名的数学家；

（8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点

（9） 全班成绩好的学生。

5. 元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：aA

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A

4A，等等。

6．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。

７．常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R； （二）相关例题：

例1．用“∈”或“”符号填空：

（1）8 N； （2）0 N；

（3）-3 Z； （4）2 Q；

（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。

例2．已知集合P的元素为21,,33mmm, 若3∈P且-1P，求实数m的值。

集合的含义与表示 学案(2)

学习目标：

（1）了解集合的表示方法；

（2）能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

学习过程：

一、复习回顾：

１．集合和元素的定义；元素的三个特性；元素与集合的关系；常用的数集及表示。

２．集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么有何关系

二、新课学习

（一）．集合的表示方法

我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考

虑元素的顺序。

2．各个元素之间要用逗号隔开；

3．元素不能重复；

4．集合中的元素可以数，点，代数式等；

5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,......

例1．（课本例1）用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；

（3）由1到20以内的所有质数组成的集合； （4）方程组20;20.xyxy的解组成的集合。

思考2：（课本P4的思考题）得出描述法的定义：

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }内。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：()xApx

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…；

说明：

1．课本P5最后一段话；

2．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y=

x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

例2．（课本例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x2—2=0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；

（3）方程组3;1.xyxy的解。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（二）．相关练习：

１．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数

2．集合A＝{x|43x∈Z，x∈N}，则它的元素是 。

3．已知集合A＝{x|-3

第一章 集 合 集合的含义与表示

一、选择题

1．下列各组对象

①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体；

③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；

⑤2的近似值的全体．

其中能构成集合的组数有( )

A．2组 B．3组 C．4组 D．5组

2．设集合M＝{大于0小于1的有理数}，

N＝{小于1050的正整数}，

P＝{定圆C的内接三角形}，

Q＝{所有能被7整除的数}，

其中无限集是( )

A．M、N、P B．M、P、Q

C．N、P、Q D．M、N、Q

3．下列命题中正确的是( )

A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义

B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合

C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合

D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合

4．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是( )

A．第一象限内的点 B．第三象限内的点

C．第一或第三象限内的点 D．非第二、第四象限内的点

5．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，则( )

A．x＋y∈M B．x＋y∈X C．x＋y∈Y D．x＋yM

6．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是( )

A．M＝{x∈R｜x2＋＝0}，P＝{x｜x2＝0}

B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R}

C．M＝{y｜y＝t2＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)2＋1，y∈R}

D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z}

二、填空题

7．由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个．

8．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______．

9．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．

10．用符号∈或填空：

①1______N，0______N．－3______Q，，2______R．

②21______R，5______Q，｜－3|______N＋，｜－3｜______Z．

11．若方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的解集为{－2，－1}，则m＝______，n＝______．

12．若集合A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝______，b＝______． 13．方程组321xzzyyx的解集为______．

14．已知集合P＝{0，1，2，3，4}，Q＝{x｜x＝ab，a，b∈P，a≠b}，用列举法表示集合Q＝______．

15．用描述法表示下列各集合：

①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________．

②{2，3，4}___________________________________________________________．

③}75,64,53,42,31{______________________________________________________．

16．已知集合A＝{－2，－1，0，1}，集合B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，则B＝______．

三、解答题

17．集合A＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素试画出这些元素来．

18．设A表示集合{2，3，a2＋2a－3}，B表示集合{a＋3，2}，若已知5∈A，且5B，求实数a的值．

19．实数集A满足条件：1A，若a∈A，则Aa11．

(1)若2∈A，求A；

(2)集合A能否为单元素集若能，求出A；若不能，说明理由；

(3)求证：Aa11．

20．已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R