集合的含义与表示(学案及练习)

集合的含义与表示 学案 （1）

学习目标 ：

（1） 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；

（2） 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；

（3） 掌握常用数集及其记法； 学习内容：

（一）集合的有关概念

1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地，我们把研究对象统称为 元素（ element ），一些元素组成的总体 叫集合（ set ），也简称集。

3. 关于集合的元素的特征

（1）确定性：设 A 是一个给定的集合， x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性： 一个给定集合中的元素， 指属于这个集合的互不相同的个 体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4. 思考 1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1） 大于 3小于 11的偶数；

（2） 我国的小河流；

（3） 非负奇数；

（4） 方程 x2 1 0的解；

（5） 某校 2007 级新生；

（6） 血压很高的人；

（7） 著名的数学家；

（ 8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点

（9） 全班成绩好的学生。

5. 元素与集合的关系；

（1） 如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to） A，记作：a€ A

（2） 如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to） A，记

作： a A

例如，我们A表示“ 1~20以内的所有质数”组成的集合，则有 3€ A

4 A ，等等。

6•集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母 A, B, C…表示，集合

的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。

7•常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集） ，记作 N； 正整数集，记作N*或N + ； 整数集，记作 Z； 有理数集，记作 Q； 实数集，记作 R；

(二)相关例题：

例1•用“ €”或

(1) 8—N; (2) 0 ___ N; 符号填空:

(3) -3_Z; (4) . 2 _Q;

(5) ________________________________________ 设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 __________________________________ A，美国 ______ A ,

印度 ____A，英国 _____ A。

例2•已知集合P的元素为1,m,m2 3m 3,若3€ P且-1 P,求实数m的 值。

集合的含义与表示学案(2)

学习目标：

(1 )了解集合的表示方法；

(2) 能正确选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同 的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

学习过程：

一、 复习回顾：

1 •集合和元素的定义；元素的三个特性；元素与集合的关系；常用的数集

及表示。

2 •集合｛1,2｝、｛(1,2)｝、｛(2,1)｝、｛2,1｝的元素分别是什么？有何关系

二、 新课学习

(一).集合的表示方法

我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很 多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来

表示集合的方法叫列举法。

如: ｛1，2, 3, 4, 5｝，｛x2, 3x+2, 5y3-x，x2+y2｝，…；

说明：1.集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考 虑元素的顺序。

2. 各个元素之间要用逗号隔开；

3. 元素不能重复；

4. 集合中的元素可以数，点，代数式等；

5. 对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的 规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集N用列举法表示为

123,4,5,……

例1.(课本例1)用列举法表示下列集合：

(1) 小于10的所有自然数组成的集合；

(2) 方程x2=x的所有实数根组成的集合；

(3) 由1到20以内的所有质数组成的集合；合B用列举法表示是

⑷方程组2x2y 0;的解组成的集合。

思考2:(课本P4的思考题)得出描述法的定义：

(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号 ｛ ｝

内。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或 变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共 同特征。

一般格式：x A p(x)

女如: ｛x|x-3>2｝ , ｛(x,y)|y=x 2+1｝, ｛x| 直角三角形｝，…；

说明：

1 •课本P5最后一段话；

2 •描述法表示集合应注意集合的 代表元素，姐｛(x,y)|y= x2+3x+2｝与｛y|y=

x2+3x+2｝是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，

例如：｛x|整数｝，即代表整数集Z。

辨析：这里的｛ ｝已包含“所有”的意思，所以不必写｛全体整数｝。下列

写法｛实数集｝，｛R｝也是错误的。

例2.(课本例2)试分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1) 方程X2— 2=0的所有实数根组成的集合；

(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合；

(3) 方程组x y 3;的解。

x y 1.

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示 法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

(二).相关练习：

1 .用适当的方法表示集合：大于 0的所有奇数

2•集合A= ｛x| — € Z，x € N｝，则它的元素是 _______ 。

x 3

3.已知集合 A= {x|-3

第一章集合

1.1.1集合的含义与表示

一、选择题

I. 下列各组对象

① 接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体；

③平面上到点0的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；

⑤,2的近似值的全体.

其中能构成集合的组数有( )

A . 2组 B . 3组 C . 4组 D . 5组

2 .设集合M = {大于0小于1的有理数},

N = {小于1050的正整数},

P= {定圆C的内接三角形},

Q= {所有能被7整除的数},

其中无限集是()

A. M、N、P B . M、P、Q

C. N、P、Q D . M、N、Q

3. 下列命题中正确的是 ( )

A . {x | x2+ 2= 0}在实数范围内无意义

B. {(1 , 2)}与{(2, 1)}表示同一个集合

C. {4, 5}与{5, 4}表示相同的集合

D . {4, 5}与{5, 4}表示不同的集合

4.

直角坐标平面内，集合M = {(x, y) | xy> 0, x€ R, y€ R}的元素所对应的点是( )

A .第一象限内的点 B .第三象限内的点

C.第一或第三象限内的点 D .非第二、第四象限内的点

5. 已知 M = {m | m= 2k, k€ Z} , X= {x | x= 2k+ 1, k€ Z} , Y= {y | y= 4k+ 1, k€

Z}，则()

A . x+ y€ M B. x+ y€ X C. x+ y€ Y D . x+ y M

6. 下列各选项中的 M与P表示同一个集合的是( )

A . M= {x€ R | x2+ 0.01 = 0}, P= {x | x2= 0}

B. M = {(x, y) | y= x2+ 1, x€ R} , P = {(x, y) | x = y2 + 1, x€ R}

C. M = {y | y= t2+ 1, t€ R} , P= {t | t = (y- 1)2+ 1, y€ R}

D. M= {x | x= 2k, k€ Z} , P = {x | x= 4k + 2, k€ Z}

二、填空题

7. ____________________________________________________ 由实数x,- x,| x |所组成的集合，其元素最多有 ___________________________________________ 个.

&集合{3, x, x2-2x}中，x应满足的条件是 _____________ .

9. 对于集合 A= {2, 4, 6}，若a€ A，则6- a€ A，那么a的值是 _________ .

10. 用符号€或 填空：

① 1 ___ N , 0 _____ N . - 3 ____ Q , 0.5 _____ Z ,42 _______ R . 1

② 1 ______ R，罷 ______ Q ,| - 3| ______ N + ,| — | _____ Z .

2

II. 若方程 x2+ mx+ n = 0(m, n€ R)的解集为{ — 2,- 1}，贝V m = _______ , n = ______ . 1 a

(1)若 2 € A, 求 A;

⑵集合A能否为单元素集？若能，求出 A;若不能，说明理由;

⑶求证：1

12.若集合A = {x | x2 + (a— 1)x+ b = 0｝中，仅有一个兀素 a，则a = ,b =

x y 1

13.方程组 y z 2的解集为

z x 3

14. 已知集合 P= ｛0,

1, 2, 3, 4｝, Q = ｛x| x= ab, a, b€ P, b｝，用列举法表示

集合Q = ______ .

15. 用描述法表示下列各集合：

① ｛2, 4, 6, 8, 10, 12｝ _____________________________________________ . 2 1

② ｛2, 3, 4｝_

③ ｛1 2 3 4 5｝

｛3,4,5,6,7 .

16. 已知集合 A= ｛ — 2,— 1, 0, 1｝，集合 B = ｛x | x=| y |, y € A｝，贝U B= ___

三、解答题

17•集合A = ｛有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形｝中有多少个元素？试画出 这些元素来.

18•设A表示集合｛2, 3, a2 + 2a — 3｝, B表示集合｛ a+ 3, 2｝，若已知5€ A，且5 B,

求实数a的值.

1

19 .实数集A满足条件：1 A，若a € A,贝U A .