动态均衡
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第一章 变分法
第一节 问题的性质（动态优化简介）
一、静态优化问题
如果一个企业要确定一个最优产出水平x以最大利润F（x）：
0max()xFx （1）
这样的问题的解是一数，即确定选择变量的单个最优值。通常有一阶条件()0Fx。
并不是有多期的时间就．．．．．．．．．．是动态问题．．．．．。考虑企业的多期（multiperiod）问题：
1max(,)TttFtx
(0,1)txtT描述的是每阶段的产出组成的序列，即给出了一个产出的时间路径。显而易见，利润不是由单期的产出决定，而是由整个的产出的时间路径确定，所以要使利润最大化，实质上是要找到一条最优的路径（而不是单个期的tx）。但由于t期利润只与t期的产出有关，所以要在整个时间序列内最大化利润，就只要分别在每一期最大化利润即可（这一问题似乎是一种没有资本的很简单的生产活动）。即这一个问题的解是一个有T个数的集合，,Txx。所以由于作到一产量只影响该期利润，问题（2）实际上是一系列的静态问题，即在每一期选择当前产量使该期利润最大化。可有类似的T个一阶条件。各期的一阶条件之间没有联系。
二、动态问题
具有动态性质的问题是，当前的产出不但影响到当前的利润，还影响到未．．．．．来．的利润。 11max(,,)TtttFtxx 00(0)0,1txxxstxtT给定或 （3）
这个问题中，每一期的利润不但取决于当前产量，还与过去的产量有关；换句话说，t期选择的产量tx不但影响t期的利润，还会影响到以后的利润。注意，上述问题中已指定了0x，因为0x影响到了以后的利润（即总利润）。
问题（3）与问题（2）不同，它的最优解的T个一阶条件不能分别确定，而是要同时确定，也就是我们实际上要“一次性”确定一条最优路径．．．．．．．．．．．．．。每产出一路径对应一个利润（目标值），这种路径（而不是单个值）与到实数之间的映射关系叫泛函．．。在动态优化中，我们处理的问题的目标函数通常是泛函形式，称为目标泛函．．．．。简而言之，函数是值到值的对应关系，而泛函是路径到值的对应关系。
问题（3）中，我们假设了一个给定的初始点，即初始时间给定，且初始时刻的产出（状态）已知。注意初始点有两个维度．．．．：时间与状态．．．．．。有时终结点也给定的，即已知结束的时间与状态。
三、连续时间情形
问题（2）与（3）的连续时间对应物分别是问题（4）与（5）：
0max(,()) ()0 (4)TFtxtdtstxt
00max(,(),()) ()0, (0) (5)TFtxtxtdtstxtxx
和前面一样，只有（5）才真正具有“动态”性质：即现在与将来相关。注意（5）中是以()xt作为自变量，而（3）中是1tx，其原因在于在连续时间下“以前时期”没有明确含义，所以用状态的变化率来表示这种动态性。
四、问题的不同形式
我们后面处理的动态优化问题都是连续的形式（离散时间问题的处理都可用拉格朗日方法）。动态优化问题会因端点（起始点与终结点）不同而所有不同。一般经济学中遇到的问题都可认为起始点设定，下面我们讨论不同终结点的变形。图1表述的固定终结点的三条不同时间路径A、B、C，目标函数是不同路径的泛函。这个问题中，终结点已知，时间为T，状态为Z，即()xTz。
（图1、图2、图3、图4略）
图2：垂直终结线（固定时间）问题；图3：水平终结线，图4：终结曲线。
图2、3、4中，终结点要自由一些。图2中终结的时间已限定，但状态可自由变化；图3中相反；图4中时间与状态均未限定，但两者有一个约束条件()zT。
这三种形式的问题中，对路径的选择比前面更自由，所以为了推导出最优的目标值，要对路径选择加以限制，即以一个附加条件来确定所选的确切路径。这个条件就是横截性条件．．．．．（．TVC．．．）．，它描述的是最优路径如何跨越（穿过）终结线。在固定终结点问题中已知了这样的条件，而可变端点（即终结点）时，要推导出一个条件。
五、三种处理方法
总体来说，有三种常用的处理动态优化问题的方法：变分法、最优控制和动态规划。
1、变分（variation）是指状态的整个路径的变化（如产出tx的变化）。变分的基本问题如下：
0max(min) ,(),()TVyFtytytdt （6）
(0) () (A,T,ZstyAyTZ给定）
推导的思路（和静态优化一样）：假定已找到了使目标值最优的路径（极值曲线y，给它一个很小的扰动，应有0dvd。只不过这里扰动的是时间路径。
变分法的特点：①直接从状态入手，即路径入手；②要求进入问题的函数可微；③处理角点解问题不方便。
2、最优控制
最优控制的基本问题为： 0max,,TVyFtyudt （7）
(,,) (0) y(t) (A,TstyftyuyA自由给定）
（7）与（6）不同：①进入目标函数的不是y，而是u。u是控制变量，控制了y的变动。方程yf叫运动（转移状态）方程。②基本形式中()yT自由，原因后述。
最优控制问题导求解决问题的思路是试图找到最优的控制路径而不是状态路径。与变分法另有不同在于：①u可跳跃，所以最优控制是变化的扩展，但更直观，y只要连续但y可以只要求分段可微；②处理角点问题方便些。
三、动态规划
动态规划一般处理离散、不确定性问题更方便。它关注的是最优值v，寻找在不同阶段不同状态达到最优值的方法，即策略函数（最优）。基本方法是将最优化问题嵌入于一系列的优化问题之中，运用迭代的方法找到最优值函数和最优策略函数，思想为最优性原理：如果找到了最优路径A、D、H、J、Z，则从D到Z的最优路径一定是D、H、J、Z。以某人的婚姻生活为例：
如果从一生来看A、D、H、J、Z最优，则只要你已与D结婚，D、H、J、Z就最优的。（注意，如果从C出发到z，可能是（F、I、Z最优）。
第二节 变分法的基本问题——欧拉方程
欧拉方程描述的是动态的一阶条件（如果是离散的，则是跨期一阶条件），即“相邻”时间的决策最优化规则。变分法最基本的问题如下：
0max,,TVyFtyydt
(0) y(T) (A,T,zstyAz给定)
y必是连续可导的，F二次可导的。
一、欧拉方程的推导：
假定y是极值曲线，有一个任意的扰动曲线()pty和确定y，其中是很小的数。
(0)()0 (1) (2)ppTyyp，
由（2）得到：
(3)yyp
当0时，yy，V最大值。由不同的确定了不同的y，可将V看作是的函数（不是泛函）V，有00dvd（这就是最优化的一阶条件的思想，动态与静态都一样）。
【步骤1】：（表述V）
0,,TVFtypypdt
y y
0TdVFdtd
0000()0TTyyTTyyFdyFdydtydvdFpFpdtFpdtFpdt 【（2）、（3）式对求导】
即：000TTyydVFpdtFpdtd
（4）
【步骤2】：（消除p）
【回忆分部积分公式bbaabvduvuudva】
用分部积分公式表述（4）中的后一个积分0TyFpdt。 ,yyyyyvFupdFdvdvdtdtdtdtdupdtvduFpdtvuFpdudvpFdtdt
由此可得：
0000TTTTyyyyddFpdtFppFdtpFdtdtdt （5）
【因为0(0)()00TyppTFp】
所以优化问题的一阶必要条件变成了：
000000()TTyyTTyyTyydVFpdtFpdtddFpdtpFdtdtdFpFdtdt
【步骤3】；消除p
由于p是任意给定的一个函数，所以上式等于0必定与P无关，即dFyFydt必等于0。
【引理】：对于()gt，如果12()()0ttgtptdt，对于任一()pt成立（P如我们上述定义），则有()0gt。
由此得到 0yydFFdt
（6）
此即欧拉方程(0,)tT，它的微分式积分形式：
yyFFdt （7）
展开形式： 0yyyytyyFyFyFF (8) 微分式和积分式好记，但展开式计算不容易错。
二、例题
【例2-1】：求极值曲线
220(12) .. (0)0,(2)8Vytyydtscyy
解：2131212,2,2,21203,yyydFFyFyytdtytcytctc
再由两个已知条件确定3120ccyt
【例2-2】：求最优路径：
15213() (1)3 , (5)7Vytydtstyy
解：1213223()110,(),(),024yyyyyytyFtyFFyFyFF
由展开式得到：321121()()040()yytyycytctc
由初始条件求得：121,22ccyt
【例2-3】：求极值曲线
520(3)(0)0
(5)3 Vytyydtyy
解：232 F=3yyFtyyFy
由微分式得0200dFyyydt
这与(5)3y矛盾，此问题无解 例2-4：
0(0)2 ()TvyydtyyT
0 Fy=1 0dFyFfFydt
欧拉方程成立，实际上上式可直接积分：
700TVyydty
V的值与路径无关。
注意：如果F对y是线性的，可能出现上两例中的情况无解或总是成立。原因在于，如果F对y是线性的，欧拉方程不是二阶微分方程，可能是一阶的。但是两个初始条件可以确定两个积分常数，但是通解没有两个常数，所以通解除非很特殊地通过了端点，否则不能成为极值曲线。这样的问题出现在两个固定端点且目标函数F对y是线性的。
三、经济学的例子与“无套利条件”
