一元二次方程根与系数的关系教案

1、一元二次方程)0(02acbxax的求根公式为

2、一元二次方程)0(02acbxax根的判别式为：acb42

（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根。

（2） 当0时，方程有两个相等的实数根。

（3） 当0时，方程没有实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。

[韦达定理相关知识]

1若一元二次方程)0(02acbxax有两个实数根21xx和，那么21xx ，•21xx 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。

2、如果一元二次方程02qpxx的两个根是21xx和，则21xx ，•21xx 。

3、以21xx和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212•xxxxxx

4、在一元二次方程)0(02acbxax中，有一根为0，则c ；有一根为1，则cba ；有一根为1，则cba ；若两根互为倒数,则c ；若两根互为相反数，则b 。

5、二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式cbxax2的因式时，如果可用公式求出方程

)0(02acbxax的两个根21xx和，那么))((212xxxxacbxax．如果方程)0(02acbxax无根,则此二次三项式cbxax2不能分解.

[基础运用]

例1：已知方程02)1(32xkx的一个根是1，则另一个根是 ，k 。 变式训练：

1、已知1x是方程0232kxx的一个根，则另一根和k的值分别是多少？

九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关》教案、教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1. 理解一元二次方程的根的概念，掌握根的判别式的计算方法，并能熟练运用判别式判断方程的根的情况。

2. 掌握韦达定理，理解并掌握其推导过程，能够运用韦达定理解决实际问题。

3. 能够运用一元二次方程的根与系数的关系解决几何、物理等实际问题，提高学生的数学应用能力。

（二）过程与方法

1. 通过实际问题引入，激发学生的学习兴趣，引导学生通过观察、分析、归纳发现一元二次方程的根与系数之间的关系。

2. 采用小组合作、讨论交流等形式，让学生在探究过程中相互启发、共同提高，培养学生的团队协作能力。

3. 通过课后作业、课堂练习等形式，巩固所学知识，提高学生的解题技能。

（三）情感态度与价值观

1. 培养学生对待数学问题的认真态度，严谨治学，克服困难，勇于探索。

2. 培养学生用数学的眼光观察世界，认识世界，增强学生的数学应用意识。

3. 培养学生的创新精神，激发学生的学习兴趣，使学生在学习过程中体验成功，树立自信心。

在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。

二、学情分析

九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的求解方法有初步的了解。在此基础上，他们对一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的探究欲望，但可能对根的判别式和韦达定理的理解还不够深入。因此，在教学过程中，教师应充分调动学生的积极性，引导他们通过观察、思考、总结，逐步理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。

此外，学生在解决实际问题时可能会遇到一定的困难，需要教师耐心指导，帮助学生建立数学模型，提高学生的数学应用能力。同时，学生的个体差异较大，教师应关注每个学生的学习进度，针对性地进行教学辅导，使他们在原有基础上得到提高。

一元二次方程根与系数的关系

教学目标：

1、掌握一元二次方程根与系数的关系。

2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。

3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。

教学重点

1、根与系数关系及运用

教学难点

1、如何通过求根公式发现韦达定理。

2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。

过程

一、复习提问

（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

ax2+bx+c=0 (a≠0) x= (b2-4ac≥0)

(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为

①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2

二、新课讲解

如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2 那么有

x1+ x2=-p, x1 •x2=q

猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？

问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？

设x1 、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？

x1+x2= x1·x2=

三、巩固练习 aacbb242abac

口答下列方程的两根之和和与两根之积。

1）x2-3x+1=0 2) x2-2x=2 3) 2x2-3x=0 4) 3x2=1

判断对错，如果错了，说明理由。

1) 2x2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。

2） x2+2=0两根之和0，两根之积2。

3） x2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。

四、能力提高

例题1 已知方程x2+kx+k+2=0的两个实数根是x1,x2且x12+x22=4求k的值

解：（略）

引申:（1、若ax2bxc0 (a0 且 0)

（1）若两根互为相反数,则b0;

一元二次方程的根与系数的关系导学案

学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明成立；

2.会运用根与系数关系解决有关问题；

学习重点：根与系数的关系及推导

学习难点：正确理解根与系数的关系

一． 学前准备

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

二． 探究活动

（一）尝试探索，发现规律：

1．若x1、x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与a、b、c有何关系？请你直接写出关系式

2、请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程的系数有什么联系？

小结：

1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．

2．如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________________________．

注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________

（二）巩固练习

１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）：

① x2 + 3x -1= 0 ② x2 + 6x +2= 0 ③ 3x2 －4x+1= 0 (4)4x2 -2x -7= 0

2.已知关于x的方程x2 + mx －3= 0的一个根是-1，求m的值及另一个根.

一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2

+6x-2=0

-2x-3=0

2-3x+2=0

5+4x-1=0 2x2x2x2x三.达标测试

1．如果一元二次方程0752xx的两个根为则.,的值为 。