一元二次方程根与系数的关系教案

九年级（上）数学教案

武胜县三溪初中数学教师：易延高

2008．10．30晚。

课题：一元二次方程的根与系数的关系

目标：（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。

（2）能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；

根据方程求代数式的值。

（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问

题的能力。

重点：一元二次方程根与系数的关系。

难点：运用韦达定理解决问题。

教学方法：（1）谈话法；（2）讨论法；（3）情景教学法等。

教学流程：

一．创设情景。

同学们，我们在前面学习过用公式法解一元二次方程，在那里，我们已经看出：一元二次方程的根由系数决定，这说明一元二次方程的根与系数有密切的关系，究竟有怎样的关系呢？那我们今天和大家一起来探索。好吗？

二．探索新知。

1． 请大家完成下面的表格：

方程 x1 x2 21xx 21xx

x0322x

0652x

2.观擦上面的规律，运用你发现的规律填空：

（1）已知方程x2074-x的根是x1和x2，则21xx= ；21xx=

（2）已知方程x2+3x－5=0的根是x1和x2，则21xx= ；21xx=

3．猜想：如果方程0x2nmx的根是x1和x2，则21xx=

；21xx=

4．同学们，你们的猜想对不对，请同学们分组来证明你们的猜想，好吗?（合作探讨）

5．同学们展示自己的证明。

6．（教师演示）

如果方程0x2nmx的根是x1和x2，那么21xx=－m，21xx=n

证明：方程0x2nmx的△=m2n4

第四册一元二次方程根与系数的关系

八年级数学教案

一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程

ax2+bx+c=0(a

≠

0)

的根

x1

、

2

=

得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数

x1

、

x2

为根的一元二次方程的求方程模型。然后是通过

4

个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。

根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。

通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。

通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

（二）重点、难点

一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方

程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。

（三）教学目标

1

、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。

2

、能力目标：通过韦达定理的教学过程 ，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程 ，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

一、教学目标

1.要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程的根与系数的关系，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.

2.通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.

二、教学重难点

重点

掌握一元二次方程的根与系数的关系.

难点

一元二次方程的根与系数关系的推导过程及其应用.

重难点解读

在使用一元二次方程的根与系数的关系时，应注意：

（1）方程不是一般形式的要先化为一般形式.

（2）使用x1+x2=ba时，“-”不要漏写.

（3）根与系数关系是在方程ax2+bx+c=0（a≠0）有根的前提下（即b2-4ac≥0）才成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负.

（4）若已知方程“有两个实数根”，则该方程是一元二次方程，即存在隐含条件：二次项系数不为零.

三、教学过程

活动1 旧知回顾

提出问题：

（1）一元二次方程的一般形式是什么？

（2）请同学们写出一元二次方程的求根公式.

（3）在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？

（4）一元二次方程的根与系数有着密切的关系，其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系呢？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系. 活动2 探究新知

1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？用语言叙述你发现的规律.

一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2

x2+6x-16=0

x2-2x-5=0

一元二次方程根与系数关系教案



一、素质教育目标

（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．

（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．

（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．

二、教学重点、难点

1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．

2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．

三、教学步骤

（一）明确目标

1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．

2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？ 教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．

板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．

（二）整体感知

通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程