一元二次方程的根与系数的关系教案

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word版本 一元二次方程的根与系数的关系

一、目标认知

学习目标

1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；

2．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的对称式的值；

3．能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根；

4．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程．

重点

对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用．

难点

一元二次方程的根与系数的关系的运用．

二、知识要点梳理

一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1， x2，那么.

注意它的使用条件为a≠0，

Δ≥0.

三、规律方法指导

一元二次方程根与系数的关系的用法：

①不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的根；

②已知方程的一个根，求另一个根及未知系数；

③不解方程，求已知一元二次方程的根的对称式的值；

④已知方程的两根，求这个一元二次方程；

⑤已知两个数的和与积，求这两数；

⑥已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值；

⑦讨论方程根的性质。

四、经典例题透析

1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值.

1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值.

思路点拨：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.

解：法一：把x=2代入原方程，得

22-6×2+m2-2m+5=0

即 m2-2m-3=0

解得m1=3，m2=-1

当m1=3，m2=-1时，原方程都化为

一元二次方程的根与系数的关系

教材分析：中学阶段涉及的一元二次内容有函数的二次函数，研究几何图形中的有二次曲线，一元二次方程的求根公式向我们揭示了两根与系数间的的密切关系，而韦达定理介绍的根与系数的关系是在求根公式的基础上，根与系数的进一步发现，这一发现在数学学科中具有较强的实用价值，学生在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．

学情分析:1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，自主探究根与系数的关系是完全可能的。2.学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3.向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．

教学目标

知识目标：

1.经历一元二次方程根与系数关系的探究过程培养学生的观察思考，归纳概括能力

2.掌握一元二次方程的根与系数的关系．

能力目标：

通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

情感目标:

1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；

2.经历观察、探索、猜想、证明的过程，得出一元二次方程根与系数的关系，让学生经历合情推理到演绎推理的认识事物的模式，培养学生用辨证思想认识事物.

教学重点和难点

重点：一元二次方程根与系数的关系;

难点：如何通过求根公式发现韦达定理，正确理解根与系数的关系.

教学关键:1.激发学生对根与系数关系的求知欲望;

2.引导启发学生来发现如何推导根与系数的关系

教学过程

一、课前游戏环节：你知道陈老师今年多大吗？猜猜，。。。，对于我来说年龄绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我们现在在学习一元二次方程，我的年龄是0180272xx的两根之和，你们猜一猜，不解方程，能不能求

中国教育研究论丛（2009）

－122－ CHINA EDUCATION RESEARCH ANALECTS 让学生思考，为学生铺路搭桥，帮助学生建立知识间的联系，教给思维的方法，最终形成解题思路，提高相关能力。最后还要进行矫正练习，及时巩固提高。 4．切忌面面俱到逐题讲解 讲评就是要有针对性，要突出重点，要抓住关键性、典型性问题加以点拨剖析，进行拓展。要搞好讲评课的集体备课，学生存在哪些问题，讲评哪些习题，怎么讲评，讲评到什么分寸，用哪些题进行矫正练习等都要经过集体研究。 5．正确处理讲练评的关系 讲要精讲，不能泛泛而讲，要讲应考的重点、难点，讲学生的薄弱环节。 练是巩固知识，提高能力的必要措施。但练也要精当，在量上不能失控。若让练成了题海，学生就会在题海中迷失自我，练一定要在质上严格把关，精心选题。 评是为了解决“练”中发现的问题，评要有针对性和侧重点，一定要切合学生的实际，切忌面面俱到。要学生弄清楚错误的原因，是知识问题，还是能力的问题，还是思维的偏差。 对正确的典型题目，从三个方面去评：解题的根据是什么？是否有其他解法？还能有怎样的变化？ 对学生能够自评的题目，指导学生做到如下三点：让学生理清解题思路，归纳解题方法，辨析解题的关键。教师予以点拨，鼓励学生独立解决问题。 对于学生解错的题目，从三个方面讲：错在哪里？错因何在？如何改变题目的条件和问题，对学生进行变式训练。对于学生大面积含糊的知识难点、漏点、疑点，应组织学生讨论，使老师的评和学生的质疑相结合，与学生共同探讨解决问题的途径。 四、实践后的启示 在经过近两年的研究与实践后，我发现这种教学模式比较适应新课程改革对测试讲评课的需要。改变了传统课程教学中在理念上的“重知识传授、轻理论探究”及其在方法上的“重知识与技能、轻过程与方法”的教育观念和教学方法，使讲评课教学有了一个基本框架，一条基本思路，注意了对学生探索化学知识的过程和学习方法的训练，激发了学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的兴趣，从而培养了创新意识和创造能力。 一元二次方程的根与系数关系的应用 尹清华 四川省仁寿县满井镇初级中学 一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1，x2。那么，x1＋x2＝－ab，x1x2＝ac。 一元二次方程的根与系数的关系应用非常广泛，用它可以由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数；构造两个实数为根的一元二次方程；不解方程，判断两根的性质；解决有关综合问题等。 用一元二次方程的根与系数确定未知数的值必须检验： （1）一元二次方程的二次项系数不等于零。 （2）b2－4ac≥0。下面举例说明它的应用。 一、由已知一元二次方程的一个根求出它的另一个根及未知系数 例1，已知方程6x2＋x＋c＝0的一个根是21，求它的另一个根及c的值。 解：设方程的另一个根是x1，那么21＋x1＝－61，∴x1＝－32。 又∵21・（－32）＝6c。 答：方程的另一个根是－32，c的值是－2。 二、构造一元二次方程 以两个实数x1，x2为根的一元二次方程（二次项的系数为1）是：x2－（x1＋x2）x＋x1・x2＝0。 例2，已知方程x2＋2x－7＝0，求做一个新方程，使所求的方程一根为已知方程两根的平方和，另一根为已知方程两根的倒数和。 解：设原方程x2＋2x－7＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－7，新方程的两根为α＝x12＋x22，β＝2111xx+。 中等教育研究 — 理科教学

1.3一元二次方程的根与系数的关系 教案

教学目标

使学生熟练地掌握一元二次方程根的判别式。

教学重点

一元二次方程根的判别式。

教学难点

一元二次方程根的判别式运用

教学过程

教学活动内容 个人主页

一、情境创设

不解方程 ，你能判断下列方程根的情况吗？

（1）x2+2x-8=0 （2 ）x2=4x-4（3 ）x2-3x=-3

二、新知探究

教师提出如下问题 ：

一元二次方程根的情况与一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？有什么关系？

解下列方程

（1）x2+x-1=0（1）x2-2x+3=0（1）2x2-2x+1=0

通过解方程得出一元二次方程根的情况由b2－4ac来判定

（1）当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.

（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根.

（3）当b2－4ac<0时，方程没有实数根.

把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式

注：（1）当b2－4ac≥0时，方程的根的情况如何叙述？

（2）上述的叙述：反过来也成立.

三、尝试应用

例1.不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2+3x－4 = 0；

（2）1.6y2+0.9 = 2.4y；

（3）5（x2+1）－7x = 0.

注意：用一元二次方程根的判别式时一定要把方程整理成一般形式。

四、解决问题

例2.已知：关于x的方程：

2x2－（4k+1）x+2k2－1 = 0.

当k为何值时：

（1） 方程有两个不相等的实数根；

（2） 方程有两个相等的实数根；

（3） 方程没有实数根.

五、小结

本节课你有哪些主要收获？

六、作业

关于x的方程： 2kx2－（4k+1）x+2k－1 = 0，

当k为何值时方程有两个不相等的实数根？（注意k≠0）