一元二次方程的根与系数的关系》教案
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一元二次方程的根与系数的关系》教案
一元二次方程的根与系数的关系
知识与技能】
掌握一元二次方程根与系数的关系，能够使用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并解决一些简单的问题。
过程与方法】
通过探究一元二次方程根与系数的关系，培养学生的观察思考、归纳概括能力和解决问题的能力，渗透整体的数学思想和求简思想。
情感态度】
通过学生自主探究，发现根与系数的关系，增强研究的信心，培养科学探究精神。
教学重点】
根与系数的关系及运用。
教学难点】
定理的发现及运用。
一、情境导入，初步认识
我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，而我们的数学学科中更蕴藏着大量的规律。那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天我们一起去探究，感受一次当科学家的滋味。
二、思考探究，获取新知
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
教学说明】
通过让学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，引导学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。
归纳总结】
一般地，对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式可知：
x1=(-b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b^2-4ac))/2a
则有以下结果：
x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a
教学说明】
让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。
三、运用新知，深化理解
1.求下列方程的两根之和与两根之积。
1）x2-6x-15=0；
2）5x-1=4x2；
3）x2=4；
4）2x2=3x。
2.已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.
1）求k的取值范围；
2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值。
教学说明】让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积。
3.已知方程5x^2+kx-6=0的一个根为2，求它的另一个根及k的值。
解：设方程的另一个根是x1，那么2x1=-(5/k)∴x1=-5/k
又x1+2=-(5/k)∴k=-7
因此，方程的另一个根是3/5，k的值为-7.
4.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x^2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和。
解：设方程的两个根分别为x1，x2。 那么x1+x2=-3/2，x1x2=-1/2.
1）∵(x1+x2)^2=x1^2+2x1x2+x2^2。
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=13/4.
2）∵1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2。
1/x1+1/x2=-4.
5.已知关于x的方程x^2-(k+1)x+1/(4k^2+1)=0，且方程两实根的积为5，求k的值。
解：∵方程两实根的积为5。
2Δ=[-(k+1)]^2-4(4k^2+1)≥0
k≥3/4或k≤-3/4.
又因为k^2+1=5k，所以k=±4.
当k=4时，方程两实根的积为5.
6.已知关于x的一元二次方程x^2+2(k-1)x+k^2-1=0有两个不相等的实数根。（1）求实数k的取值范围；（2）可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由。
解：（1）Δ=[2(k-1)]^2-4(k^2-1)=8k-4
方程有两个不相等的实数根的条件是8k-4>0，即k>1/2.
2）假设是方程的一个根，则代入得2+2(k-1)·0+k^2-1=0，解得k=-1或k=1（舍去）.
即当k=-1时，就为原方程的一个根.
此时，原方程变为x^2-4x=0，解得x1=0，x2=4，所以它的另一个根是4.
教学说明】目的是考察学生灵活运用知识解决问题的能力，让学生了解到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性。
四、师生互动，课堂小结
不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值：（1）先化成一般形式，再确定a,b,c.
当且仅当b²-4ac≥0时，才能应用根与系数的关系。同时需要注意符号，两个根的和是负号。
本节课主要研究了一元二次方程的根与系数关系。我们先从二次项系数为1的方程入手，通过观察和归纳得出规律，然后推广到二次项系数不为1的方程。最终，我们提出了一般的一元二次方程的根与系数的关系，并进行了证明。这个过程对于培养学生正确的思考方法具有很大的价值。
作业安排包括教材“题2.8”中的第2、3题以及本课时的“课时作业”部分。教师可以适当引导和点拨学生，让他们更好地掌握本节课的知识和方法。
