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苏教版高二数学选修4-5 5.4.1 柯西不等式 学案

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5.4.1 柯西不等式

自主整理

柯西不等式

(1)代数形式:设a、b、c、d均为实数,则_______________,当且仅当ad=bc时取“=”.

(2)向量形式:设α、β为平面上的两个向量,则_______,当且仅当两个向量方向相同或相反时取“=”.

(3)三角形不等式:设x1、y1、x2、y2、x3、y3为任意实数,则221221)()(yyxx

232232)()(yyxx≥________________.

向量表示:设α、β、γ为平面上的向量,则____________,当且仅当向量α-β与β-γ同向时取“=”.

(4)一般形式:设n为大于1的自然数,ai、bi(i=1,2,…,n)为任意实数,则______________.

当且仅当nnababab2211时取“=”(当ai=0时,约定bi=0,i=1,2,…,n).

(5)在n个实数a1,a2,…,an和为定值S时,它们的平方和不小于21Sn,当且仅当a1=a2=…=an时,平方和取最小值21Sn.

高手笔记

1.柯西不等式可由基本不等式推证,其形式比较整齐、优美.

因用到的字母较多,不易记忆,可联想其几何意义(即向量形式)就比较好理解了,由α·β=｜α｜｜β｜cosα≤｜α｜·｜β｜,所以只需记住向量数量积定义即可.

2.记忆三角形不等式时只需记住三角形中两边之和大于第三边及平面内两点间的距离公式即可写出,注意联想记忆.

3.柯西不等式的几种形式间是等价的,但要注意结构形式的变化对数值的要求,对“=”取到的条件要从推导过程中 理解.

名师解惑

对柯西不等式的理解

剖析:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因此,柯西不等式可以理解为四个有顺序的数对应的一种不等关系或构造的一个不等式,如基本不等式是由两个数 构造的(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,但怎样构造要仔细体会,(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2)≥(ad+bc)2,谁与谁组合联系,要根据需要.柯西不等式取“=”的条件,可以多方面联系 记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取“=”的条件是“ad=bc”,有点像a、b、c、d成等比数列时ad=bc的结论.柯西不等式的向量形式中,α·β≤｜α｜·｜β｜取“=”的条件是β=0或存在实数k,使α=kβ,我们可以从向量的数量积的角度 理解记忆.

讲练互动

【例1】设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=cdab,Q=ndmbncma,试确定P与Q的大小. 分析:从结构上观察,被开方数为(ma+nc)(ndmb),可用柯西不等式.

解:∵m、n、a、b、c、d为正数,

∴(ma+nc)(ndmb)

=［(ma)2+(nc)2］·［(mb)2+(nd)2］

≥(mandncmb)2

=(cdab)2,

即Q≥P,当且仅当mbncndma时取“=”.

绿色通道

解答问题时注意观察式子的结构是否符合柯西不等式的形式,并构造不等式.

变式训练

1.已知不等式(x+y)(yax1)≥9对于任意正实数x、y恒成立,求正实数a的最小值.

解:设z=(x+y)(x1+ya),不等式(x+y)(x1+ya)≥9对于任意的正实数x、y恒成立,等价于zmin≥9,

∵x、y、a∈R+,

∴z=(x+y)(x1+ya)

=［(x)2+(y)2］［(x1)2+(ya)2］

≥(yayxx1)2=(1+a)2.

∴zmin=(1+a)2.

∴(1+a)2≥9.

∴1+a≥3,即a≥4.

∴a的最小值为4.

【例2】已知a、b∈R,求证:(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2. 分析:虽然可以作乘法展开上式的两边,然后再比较它们,但是如果注意到不等式的两边形式与柯西不等式的一致性,可以避免繁杂的运算.

证明:根据柯西不等式有(a4+b4)(a2+b2)≥(a2·a+b2·b)2=(a3+b3)2.

绿色通道

在证明不等式时,要观察不等式的结构,若联系经典不等式,既可以启发证明思路,又可以简化运算.

变式训练

2.已知a、b∈R,求证:(a4+b4)(a2+b2)≥a2b2(a+b)2.

证明:由柯西不等式,得(a4+b4)(a2+b2)=(a4+b4)(b2+a2)≥(a2b+b2a)2=［ab(a+b)］2=a2b2(a+b)2.

【例3】求函数y=xx5324的最大值.

分析:利用不等式求函数的最值,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取“=”的条件.这个函数的解析式是两部分的和,若能化为ac+bd的形式就可利用柯西不等式进行平方合并求最值.

解:函数的定义域为［2,5］且y>0.

y2=(xx5324)2≤(42+32)［(2x)2+(x5)2］=25×3,

∴y≤35,当且仅当x54=23x时等号成立,即x=2598时取“=”,y取最大值35.

绿色通道

学会观察函数的结构,并构造不等式,注意柯西不等式的等号成立的条件,弄清谁是a、b、c、d.

变式训练

3.求函数y=xx101的最大值.

解法一:函数的定义域为［1,10］,且y>0,

y=1×1x+1×x10≤2211×2)10()1(22xx×3=23,

当且仅当xx101,即x=211时取max=23.

解法二:函数的定义域为［1,10］,且y>0.

y2=(xx101)2

=x-1+10-x+2)10)(1(xx

=9+2)10)(1(xx

≤9+(x-1)+(10-x)=18.

∴y≤23,当且仅当x-1=10-x时,即x=211时,取“=”,ymax=23.

【例4】已知a、b、c、d、e、f是不全相等的正数,求证:a2+b22+d2+e2+f2>ab+bc+cd+de+ef+fa.

分析:上式两边的结构比较整齐,左边为平方和,右边为顺序乘积的和,可由柯西不等式证明.

证明:∵(a2+b2+c2+d2+e2+f2)2

=(a2+b2+c2+d2+e2+f2)(b2+c2+d2+e2+f2+a2) ≥(ab+bc+cd+de+ef+fa)2,

又∵a、b、c、d、e、f是不全相等的正数,

∴上面“=”取不到.

∴a2+b2+c2+d2+e2+f2>ab+bc+cd+de+ef+fa成立.

绿色通道

学会构造柯西不等式,注意观察结构和规律.

变式训练

4.已知a、b、c、d∈R+,且a+b+c+d=1,求证:a2+b2+c2+d2≥41.

证明:∵(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)≥(a×1+b×1+c×1+d×1)2=(a+b+c+d)2=1,

即4(a2+b2+c2+d2)≥1,

∴a2+b2+c2+d2≥41成立.

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高中数学 3.3一般形式的柯西不等式教案 新人教A版选修4-5

高中数学 3.3一般形式的柯西不等式教案 新人教A版选修4-5

一般形式的柯西不等式

教学目标：

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法

教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。

教学过程：

一、复习引入：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设dcba,,,均为实数，则

22222)())((bdacdcba，其中等号当且仅当bcad时成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,yxyxyx为任意实数，则：

231231232232221221)()()()()()(yyxxyyxxyyxx

二、讲授新课：

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到成立.1,2,3)时，等号(b使得a，或存在一个实数k， 0β 即共线时， β ， α 当且仅当)babab(a)bb)(baa(a2332211232221232221iiik这就是三维形式的柯西不等式.

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，iiba,（i1，2，…，n）为任意实数，则：22222212121122()()()nnnnaaabbbababab

即

211212)(niiiniiniibaba，其中等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，…，n）。

证明：构造二次函数：2222211)()()()(nnbxabxabxaxf

教学设计：选修4-5+第三讲+柯西不等式与排序不等式(4课时)

教学设计：选修4-5+第三讲+柯西不等式与排序不等式(4课时)

教学后记： 板书设计： 第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）

教学要求：1、认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义；

2、并会证明二维柯西不等式及向量形式.

教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.

教学难点：理解几何意义.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？

答案：(0,0)2ababab及几种变式.

2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd

证法：（比较法）22222()()()abcdacbd=….=2()0adbc

二、讲授新课：

1. 教学柯西不等式：

① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd.

→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？

② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？

证法二：（综合法）222222222222()()abcdacadbcbd

222()()()acbdadbcacbd. （要点：展开→配方）

证法三：（向量法）设向量(,)mab，(,)ncd，则22||mab，22||ncd.

∵ mnacbd，且||||cos,mnmnmn，则||||||mnmn. ∴ …..

证法四：（函数法）设22222()()2()fxabxacbdxcd，则

22()()()fxaxcbxd≥0恒成立.

∴ 22222[2()]4()()acbdabcd≤0，即…..

③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

变式：2222||abcdacbd 或 2222||||abcdacbd

苏教版高二数学选修4-5 反证法 (1) 课时作业

苏教版高二数学选修4-5 反证法 (1) 课时作业

反证法

一、单选题

1．用反证法证明命题“设为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是 ( )

A. 方程没有实根 B. 方程至多有一实根

C. 方程至多有两实根 D. 方程恰好有两实根

2．用反证法证明 若整系数一元二次方程有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )

A. 假设a、b、c都不是偶数 B. 假设a、b、c都是偶数

C. 假设a、b、c至多有一个偶数 D. 假设a、b、c至多有两个偶数

3．用反证法证明命题“设 a， b 为实数，则方程 20xaxb∣∣ 至少有一个实根”时，要做的假设是 

A. 方程 20xaxb∣∣ 没有实根

B. 方程 20xaxb∣∣ 至少有一个实根

C. 方程 20xaxb∣∣ 至少有两个实根

D. 方程 20xaxb∣∣ 恰好有两个实根

4．设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于 ( )

A. 0 B. 13 C. 12 D. 1

5．已知a>b>0,用反证法证明na≥nb (n∈N*)时.假设的内容是 ( )

A. na=nb成立 B. na≤nb成立

C. na

6．用反证法证明命题 “已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是 ( )

A. 方程x2+ax+b=0没有实根

B. 方程x2+ax+b=0至多有一个实根

C. 方程x2+ax+b=0至多有两个实根

D. 方程x2+ax+b=0恰好有两个实根

7．下列关于反证法的说法正确的有 ( )

①反证法的应用需要逆向思维;②反证法是一种间接证法,否定结论时,一定要全面否定;③反证法推出的矛盾不能与已知矛盾;④使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种情况时,论证一种即可. A. ①② B. ①③

高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考二 柯西不等式

高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考二 柯西不等式

23c=，则半短轴b=2.又椭圆的焦点在x轴上，

所以椭圆的标准方程为221164xy+=.

而椭圆方程221164xy+=在伸缩变换','2xxyy==作

用下，变为圆的方程2216xy+=，此时点(2,1)A变为点(2,2)A′.要求△ABC面积的最大值问题转化为先求过原点做直径BC′′，使△ABC′′′面积最大.又根据圆的性质，当OABC′′′⊥时，点A′到直径BC′′的距离取到最大值，此时△ABC′′′的面积为1128228222ROA′=××=最大.

再由定理，知182422ABCABCbSSa′′′==×=.

故填42.

4.利用伸缩变换解高考题

例5(2006年高考山东文科卷)已知椭圆的中心在

坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点

所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.

(I)求椭圆的方程；

(II)直线l过点P(0，2)且与椭圆相交于A、B两

点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程.

解析：(I)易求椭圆方程为22121xy+=.

(II)椭圆22121xy+=在伸缩变换',

'2xx

yy=

=作用

下，变为圆的方程222xy+=，此时点P(0，2)在伸缩变换10

02作用下变为(0,22)P′.

由题意知直线l的斜率K存在且0K≠时，设直线l的方程为2yKx=+，则直线l′的方程为

22ykx=+1()2bKkka==，

原点到该直线l′的距离222

1dk=+，

弦长22222826222211kABRdkk′′===++，

故ΔAOB面积为

22211262222211AOBkSABdkk′′′′′==++

2222622(1)(1)kkk=++

令226(0),mkm=>则2262mk+=，

从而21224218612AOBmSmmm′′′==≤+++，

当且仅当8mm=，

即22m=时，

max1S=，

此时7k=±.所以原直线l的斜率

114(7)22bKka==×±=±，

故所求直线方程为14240xy±+=.