2004考研数二真题及解析

2004年考研数学试题答案与解析（数学一）

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）曲线y=lnx上与直线1yx垂直的切线方程为1xy.

【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标.

【详解】 由11)(lnxxy，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为

)1(10xy， 即 1xy.

【评注】 本题也可先设切点为)ln,(00xx，曲线y=lnx过此切点的导数为1100xyxx，得10x，由此可知所求切线方程为)1(10xy， 即 1xy.

本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.

（2）已知xxxeef)(，且f(1)=0, 则f(x)= 2)(ln21x .

【分析】 先求出)(xf的表达式，再积分即可.

【详解】 令tex，则txln，于是有

tttfln)(， 即 .ln)(xxxf

积分得 Cxdxxxxf2)(ln21ln)(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln21x.

【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.

（3）设L为正向圆周222yx在第一象限中的部分，则曲线积分Lydxxdy2的值为 23 .

【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.

【详解】 正向圆周222yx在第一象限中的部分，可表示为

.20:,sin2,cos2yx

于是 dydxxdyL]sin2sin22cos2cos2[220 =.23sin2202d

2004 Text 3（英语⼆）购物者该做什么？Text 3When it comes to the slowing economy, Ellen Spero isn't biting her nails just yet.But the 47-year-old manicurist isn't cutting, filing or polishing as many nails as she'd like to, either.Most of her clients spend $12 to $50 weekly, but last month two longtime customers suddenly stopped showing up.Spero blames the softening economy.“I'm a good economic indicator,” she says. “I provide a service that people can do without when they're concerned about saving some dollars.”So Spero is downscaling, shopping at middle-brow Dillard's near her suburban Cleveland home, instead of .“I don't know if other clients are going to abandon me, too.” she says.Even before Alan Greenspan's admission that America's red-hot economy is cooling, lots of working folks had already seen signs of the slowdown themselves.From car dealerships to Gap outlets, sales have been lagging for months as shoppers短⽂3经济发展速度开始减慢时，艾琳·斯派罗还不⾄于束⼿⽆策。但是，这位四⼗七岁的指甲修饰师修剪、锉磨、上油的指甲数量却难遂其愿了。她的⼤多数顾客每周花费⼗⼆⾄五⼗美元，可上周两位⻓期客户突然不来了。斯派罗抱怨起疲软的经济。她说：“我是个准确的经济晴⾬表。我提供的服务在当⼈们想攒钱时就变成可有可⽆。”department storeNeiman Marcus因此斯派罗相应地节约起开⽀，买东⻄就在克利夫兰郊区的她家附近的中档迪拉德百货公司，⽽不再去内曼·玛科斯。她说“我不知道其他顾客会不会也不再光顾我。”即使在格林斯潘还未承认美国过热的经济正在冷却的时候，许许多多的劳动者已经看出经济渐缓的迹象。temper their spending.For retailers, who last year took in 24 percent of their revenue between Thanksgiving and Christmas, the cautious approach is coming at a crucial time.Already, experts say, holiday sales are off 7 percent from last year's pace. But don't sound any alarms just yet.Consumers seem only mildly concerned, not panicked, and many say they remain optimistic about the economy's long-term prospects, even as they do some modest belt-tightening.Consumers say they're not in despair because, despite the dreadful headlines, their own fortunes still feel .Home prices are holding steady in most regions.In , “there's a new happening in the $4 million to $10 million range, predominantly fed by bonuses,” says broker Barbara Corcoran.In , prices are still rising even as frenzied overbidding quiets.“Instead of 20 to 30 offers, now maybe you can get two or three,” says John Tealdi, a .由于购物者节约他们的⽀出，从汽⻋代理商到 Gap名牌零售折扣店，数⽉以来销售⼀直滞缓。去年在感恩节和圣诞节之间零售商的销售收⼊是全年的百分之⼆⼗四。对于他们来讲，在关键时期该谨慎⾏事了。专家⾔之有据，较之去年假⽇销 售速度已经减缓了百分之七。不过，⽬前还不必敲什么警钟。

Born to win

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 若0sinlim(cos)5xxxxbea，则a =，b =.

(2) 设1lnarctan22xxxeeey，则1xdydx.

(3) 设21,12121,)(2xxxexfx，则212(1)fxdx.

(4) 设100001010A，APPB1，其中P为三阶可逆矩阵,

则200422BA．

(5) 设33ijaA是实正交矩阵，且111a，Tb)0,0,1(，则线性方程组bAx的解是

．

(6) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则}{DXXP.

二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(xxxxxxf在下列哪个区间内有界( )

(A) (1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).

(8) 设f (x)在(,)内有定义，且axfx)(lim，0,00,)1()(xxxfxg，则( )

(A)0x必是()gx的第一类间断点.

(B) 0x必是()gx的第二类间断点.

(C) 0x必是()gx的连续点.

(D) ()gx在点0x处的连续性与a的取值有关.

(9) 设()(1)fxxx, 则 ( ) Born to win

(A) 0x是()fx的极值点, 但(0,0)不是曲线()yfx的拐点.

一、填空题

(1)【答案】 y =x −1

【详解】方法 1：因为直线 x +y =1

的斜率k

1 − =1

，所以与其垂直的直线的斜率k

2 满足

1

21kk

，所以

21k



，即

21k

，

曲线lnyx

上与直线1yx

垂直的切线方程的斜率为1，即

11

)(ln



xxy

，得1x

，把1x

代入lnyx

，得切点坐标为)0,1(

，根据点斜

式公式得所求切线方程为：)1(10xy

，即1xy

方法2：本题也可先设切点为)l

n,(

00xx

，曲线lnyx过此切点的导数为11

00

xy

xx，

得1

0x

，所以切点为

0

0(,ln)1,0xx

，由此可知所求切线方程为)1(10xy

，

即1xy

.

(2)【答案】2

)(ln

21

x

【详解】先求出)(xf

的表达式，再积分即可.

方法1：令tex



，则txln，1

x

e

t

，于是有

tt

tfln

)(，即.ln

)(

xx

xf两边积分得2ln1

()lnln(ln)

2x

fxdxxdxxC

x

.

利用初始条件(1)0f

,代入上式：21

(1)(ln1)0

2fCC

，即0C

，故所

求函数为()fx=2

)(ln

21

x

.

方法2：由lnx

xe

，所以xx

xeef



)(ln

lnx

xx

xe

ee

e

，所以.ln

)(

xx

xf

下同.

(3)【答案】

23

【详解】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

L

为正向圆周222

yx在第一象限中的部分，用参数式可表示为

.

20:

,sin2,cos2











yx

于是2

Lx

dyydx

2

02

cos2sin22sin2cosdd











2

0[

2cos2cos22sin2sin]d









2

2222

22

00[2cos4sin][2cossin2sin]dd





