高考极坐标与参数方程题型总结
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（一）极坐标中的运算
1．在直角坐标系xOy中，直线1C:x=2，圆2C：22121xy,以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴成立极坐标系.
（Ⅰ）求1C，2C的极坐标方程；
（Ⅱ）假设直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N ,求2CMN的面积.
2．【2021高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，曲线1cos,:sin,xtCyt（t为参数，0t），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sinC，曲线3:23cosC．
（Ⅰ）.求2C与1C交点的直角坐标；
（Ⅱ）.若2C与1C相交于点A，3C与1C相交于点B，求AB的最大值．
【答案】（Ⅰ）(0,0)和33(,)22；（Ⅱ）4．
（Ⅱ）曲线1C的极坐标方程为(,0)R，其中0．因此A取得极坐标为(2sin,)，B的极坐标为(23cos,)．因此2sin23cosAB4in()3s，当56时，AB取得最大值，最大值为4．
3．（2016年全国I高考）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.
（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0知足tan α0=2，假设曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：⑴ cos1sinxatyat （t均为参数）
∴2221xya ①
∴1C为以01，为圆心，a为半径的圆．方程为222210xyya
∵222sinxyy，
∴222sin10a 即为1C的极坐标方程
⑵ 24cosC：
两边同乘得22224coscosxyx，
224xyx
即2224xy ②
3C：化为一般方程为2yx
由题意：1C和2C的公共方程所在直线即为3C
①—②得：24210xya，即为3C
∴210a
∴1a
4：已知圆C的圆心C的极坐标为(2,π)，半径为√3，过极点O的直线L与圆C交于A,B两点，𝑂𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝑂𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，直线的向上的方向与极轴所成的角为α
（1） 求圆C的极坐标方程；
（2） 当α=135°时，求A,B两点的极坐标和弦|𝑂𝑂|的长 5：在直角坐标系xoy中，曲线𝑂1的参数方程为{𝑂=4−√22𝑂𝑂=√22𝑂（为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴成立极坐标系.曲线𝑂2的极坐标方程为ρ=2cos𝑂
（1） 求曲线𝑂1的极坐标方程和𝑂2的参数方程；
（2） 假设射线θ=𝑂°(𝑂>0)与曲线𝑂1,𝑂2别离交于M,N且|ON|=μ|𝑂𝑂|，求实数μ的最大值.
（二）.参数方程中任意点（或动点）
例：曲线𝑂1:{𝑂=−4+𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂=3+𝑂𝑂𝑂𝑂(t为参数)，𝑂2：{𝑂=8𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂=3𝑂𝑂𝑂𝑂(θ为参数)
（1）.化𝑂1，𝑂2为直角坐标系方程，并说明表示什么曲线。
(2).若𝑂1上的点P对应的参数为t=π2,Q为𝑂2上的动点，求PQ中点M到直线𝑂3{𝑂=3+2𝑂𝑂=−2+𝑂(t为参数)距离最小值。
例：在极坐标中，射线L:θ=𝑂6与圆c:ρ=2交于A点，椭圆D的方程为𝑂2=31+2𝑂𝑂𝑂2𝑂，以极点为原点，极轴为x正半轴成立平面直角坐标系xoy
（1） 求点A的直角坐标和椭圆D的参数方程；
（2） 若E为椭圆D的下极点，F为椭圆D上任意一点，求𝑂𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .𝑂𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围。
例：在直角坐标系中，圆𝑂1𝑂2+𝑂2=1通过伸缩变换{𝑂′=3𝑂𝑂′=2𝑂后取得曲线𝑂2以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，直线L的极坐标方程为cos𝑂+2sin𝑂=10𝑂 .
（1） 求曲线𝑂2的直角坐标方程及直线L的直角坐标方程；
（2） 设点M是𝑂2上一动点，求点M到直线L的距离的最小值.
例（2016年全国III高考）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，成立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（I）写出的一般方程和的直角坐标方程；
（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及现在P的直角坐标.
三．直线与曲线相交问题
例（2016年全国II高考）在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴成立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．
解：⑴整理圆的方程得2212110xy，
由222cossinxyxy可知圆C的极坐标方程为212cos110．
⑵记直线的斜率为k，那么直线的方程为0kxy，
由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk，
即22369014kk，整理得253k，那么153k．
例（2021）湖南已知直线352:132xtlyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos. xOy1C3cos()sinxy为参数x2Csin()2241C2C1C2CxOyC22(6)25xyxClcossinxtyttlC,AB||10ABl（1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2） 设点M的直角坐标为(5,3)，直线l与曲线C 的交点为A，B，求||||MAMB的值.
例：在平面直角坐标系xoy中，曲线𝑂1的参数方程为{𝑂=cos𝑂𝑂=sin𝑂，(α为参数，且α𝑂⟦0，π））以O为极点，x轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，.曲线𝑂2的极坐标方程
四．求点坐标，图形面积，轨迹方程等的计算。
例：（全国新课标理23）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线𝑂1的参数方程为 {𝑂=2𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂=2+2𝑂𝑂𝑂𝑂 (α 为参数 ) M为𝑂1上的动点，P点知足，点P的轨迹为曲线𝑂2．
（I）求𝑂2的方程；
（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=𝑂3与𝑂1的异于极点的交点为A，与𝑂2的异于极点的交点为B，求|AB|.
解：
（I）设P(x，y)，那么由条件知M（𝑂2,𝑂2）由于M点在𝑂1上，因此{𝑂2=2𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂2=2+2𝑂𝑂𝑂𝑂
从而的参数方程为
（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为．
因此.
例：在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数为{𝑂=𝑂+𝑂cos𝑂𝑂=𝑂sin𝑂(a>0)，以O为极点x，轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，直线L的极坐标方程ρcos𝑂−𝑂3)=32 .
(1) 假设曲线C与L只有一个公共点，求a的值；
(2) A,B为曲线C上的两点且∠AOB=𝑂3，求△OAB的面积最大值. 习题训练：
1.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线的极坐标方程为𝑂2−2√2𝑂sin(𝑂−𝑂4)-2=0曲线的极坐标方程为θ=𝑂4(𝑂∈𝑂),𝑂1与𝑂2相交于A,B两点.
（1）求和的直角坐标方程；
(2)假设点P为𝑂1上的动点，求|𝑂𝑂|2+|𝑂𝑂|2的取值范围.
2. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线的参数方程{𝑂=4−√22𝑂𝑂=√22𝑂 (t为参数）曲线的极坐标方程为ρ=2cosθ
(1) 求的极坐标方程和𝑂2的参数方程;
(2)假设射线θ=𝑂0（ρ>0）与曲线𝑂1，𝑂2别离交于M,N且|𝑂𝑂|=𝑂|𝑂𝑂|，求实数λ的最大值.
3. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C和直线L的极坐标方程别离为ρ=4√2cos(θ−𝑂4)，ρ(√3𝑂𝑂𝑂𝑂−𝑂𝑂𝑂𝑂)=2.
(1) 将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）直线L与曲线C交于A,B两点，点P（√3，1）求1|𝑂𝑂|2+1|𝑂𝑂|2的值.
4. 在极坐标系中，已知曲线C：ρcos(θ+𝑂4)=1,过极点O作射线与曲线C交于Q，在射线OQ上取一点P，使|𝑂𝑂|∙|𝑂𝑂|=√2
（1）求点P的轨迹𝑂1的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴成立直角坐标系，假设直线L：y=−√3𝑂与（1）的曲线𝑂1相交于E（异于点O）,与曲线𝑂2:{𝑂=12−√22𝑂𝑂=√22𝑂(t为参数）相交于点F，求|𝑂𝑂|的值.
5. 在直角坐标系中，曲线的参数方程{𝑂=1+√2𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂=2+√2𝑂𝑂𝑂𝑂 (θ为参数）假设M是曲线𝑂1上的一点，点P是曲线𝑂2上任意一点，且知足𝑂𝑂→ =3𝑂𝑂→ .
（1）求曲线𝑂2的直角坐标方程；
(2) 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴成立极坐标系，已知直线L:ρsinθ−ρcosθ−7=0，在直线L上两动点E,F知足|𝑂𝑂|=4√2，试求△MEF面积的最大值. 2OPOM2C4cos44sinxy1C4sin2C8sin31CA14sin332CB28sin321||||23ABxOyx1C2C1C2CxOyx1C2C1CxOyxxxOyxOy1Cx6．在直角坐标系中，曲线L的参数方程{𝑂=−√32𝑂𝑂=1+12𝑂 (t为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线的极坐标方程ρ=364√3𝑂𝑂𝑂𝑂−12𝑂𝑂𝑂𝑂−𝑂定点M(6，0)，点N是曲线𝑂1上的动点，Q为MN的中点；
（1）求点Q的轨迹𝑂2的直角坐标方程；
（2）已知直线L与x轴的交点为P，与曲线𝑂2的交点为A,B假设AB的中点为D，求|𝑂𝑂|的长.
7. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线𝑂1的极坐标方程为𝑂2-2√2ρsin(θ−𝑂4)-2=0, 曲线𝑂2的极坐标方程为θ=𝑂4(ρ∈R),𝑂1与𝑂2的交点为A,B.
(1) 将曲线𝑂1,𝑂2极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A,B的直角坐标；
（2）假设P为𝑂1上的动点，求|𝑂𝑂|2+|𝑂𝑂|2的取值范围. xOyx1CxOyx
