高一必修一数学第二单元知识点：一次函数和二次函数

二次函数与一次函数的关系知识点概述:二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型，它们在图像、性质和应用等方面都有着一定的联系和区别。

本文将从几个关键的知识点展开，来详细介绍二次函数与一次函数之间的关系。

知识点一：基本定义与特征1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，通常表示为y = mx + c的形式，其中m为斜率，c为y轴截距。

一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。

2. 二次函数：二次函数是一个以x为自变量，y为因变量的函数，通常表示为y = ax^2 + bx + c的形式，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

二次函数的图像是一条抛物线，开口的方向由a的正负决定，a为正时抛物线开口向上，a为负时开口向下。

知识点二：图像比较1. 一次函数的图像是一条直线，直线的特点是方向固定，斜率不变。

斜率为正时直线向上倾斜，斜率为负时直线向下倾斜。

直线与x轴和y轴的交点分别为x轴截距和y轴截距。

2. 二次函数的图像是一条抛物线，抛物线的特点是开口方向和形状不固定。

a的正负决定了抛物线的开口方向，a的绝对值越大，抛物线的开口越宽。

抛物线的顶点坐标即为最值点，对称轴为过顶点且垂直于x轴的直线。

知识点三：性质比较1. 一次函数的性质：(1) 一次函数的导数恒为常数，代表了直线的斜率。

(2) 一次函数的增减性由斜率的正负决定，斜率为正则函数递增，斜率为负则函数递减。

(3) 一次函数的零点即为方程y = mx + c的解，也即直线与x轴的交点。

2. 二次函数的性质：(1) 二次函数的导数恒为一次函数，代表了抛物线在不同点的斜率。

(2) 二次函数的增减性由导数的正负决定，导数为正则函数在该区间递增，导数为负则函数在该区间递减。

(3) 二次函数的零点即为方程y = ax^2 + bx + c的解，也即抛物线与x轴的交点。

知识点四：应用比较1. 一次函数的应用：一次函数常用于描述线性的关系或者恒定的速率问题，比如速度与时间的关系、货币兑换等。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第二章第二单元一次函数和二次函数1．一次函数（1）一次函数的概念函数叫做一次函数，它的定义域是R，值域为R.一次函数的图象是，其中k叫做该直线的，b叫做该直线在y轴上的．一次函数又叫．（2）一次函数的性质①函数的改变量Δy＝与自变量改变量Δx＝的比值等于，k的大小表示直线与x轴的．②当k>0时，一次函数是；当k<0时，一次函数是．③当b＝0时，一次函数为，是；当b≠0时，它．④直线y＝kx＋b与x轴的交点为，与y轴的交点为。

2．二次函数（1）函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做，它的定义域为R.（2）二次函数的性质与图象图象函数性质a＞0 a＜0 定义域x∈R值域a>0 a<024[,)4ac bya-∈+∞24(,]4ac bya-∈-∞奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a>0 a<0(,],2bxa∈-∞-时递增[,)2bxa∈-+∞时递减(,],2bxa∈-∞-时递减[,)2bxa∈-+∞时递增图象特点()()241:;2:(,)224b b ac b x a a a-=--对称轴顶点 最值抛物线有最低点， 当2bx a=-时，y 有最小值2min44ac b y a-=抛物线有最高点， 当2bx a=-时，y 有最大值2max44ac b y a-=(3) 配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 配成顶点式y ＝x (a(－)h)2＋k 来求抛物线的顶点和函数y 的最值问题．配方法是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质．（4）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f （x ）= ax 2+bx+c(a ≠0) .②顶点式：f(x)= f(x)=a(x-h)2+k (a ≠0) ，(k ，h)为顶点坐标． ③两根式：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) ， x 1、x 2为两实根． 3．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。

高一所有类型函数知识点在高中数学学习中，函数是一个重要的概念。

学习函数的类型是理解和掌握数学知识的基础。

在这篇文章中，将详细介绍高一阶段学习的所有类型函数的知识点。

一、一次函数一次函数又称为线性函数，其形式为f(x) = ax + b，其中a和b 为常数，a不为零。

一次函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。

通过斜率和截距，我们可以确定一次函数的图像、性质和方程。

二、二次函数二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c为常数，且a不为零。

二次函数的图像是一条抛物线，开口方向由a 的正负决定。

通过顶点、判别式、因式分解等方法，我们可以确定二次函数的图像、性质和方程。

三、指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为常数，且a大于零且不等于1。

指数函数的图像是一条平行于y轴的曲线，呈现指数递增或递减的特点。

通过底数a的大小和正负，我们可以确定指数函数的图像、性质和方程。

四、对数函数对数函数是指满足f(x) = loga x的函数，其中a为底数，x为正实数。

对数函数与指数函数是互为反函数的关系。

对数函数的图像是一条对称于y = x的曲线。

通过底数a的大小和正负，我们可以确定对数函数的图像、性质和方程。

五、幂函数幂函数是形如f(x) = x^a的函数，其中a为常数。

幂函数的图像形状不尽相同，可以是一条直线、一条抛物线或者更复杂的曲线。

通过指数a的大小和正负，我们可以确定幂函数的图像、性质和方程。

六、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的定义由单位圆上的点的坐标决定。

三角函数的图像具有周期性和对称性。

通过对应关系、单位圆和性质，我们可以确定三角函数的图像、性质和方程。

七、反三角函数反三角函数是指满足特定关系的函数，包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

反三角函数与三角函数是互为反函数的关系。

通过对应关系、定义域和值域，我们可以确定反三角函数的图像、性质和方程。

二次函数与一次函数的比较知识点总结在数学中，函数是一种数学关系，用来描述输入和输出之间的关系。

二次函数和一次函数是常见的函数类型，它们在数学和实际问题中都具有重要的应用。

本文将对二次函数和一次函数的比较进行知识点总结。

一、函数的定义函数是一个映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

一般表示为 f(x)，其中 x 表示自变量，f(x) 表示因变量。

二、一次函数一次函数，也叫线性函数，是一个多项式函数，其最高次数是一。

一次函数的一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，k 表示斜率，b 表示y轴截距。

三、二次函数二次函数，也叫平方函数，是一个多项式函数，其最高次数是二。

二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且 a不等于零。

四、图像特征1. 一次函数的图像是一条直线，而二次函数的图像是一个抛物线。

一次函数的斜率决定了直线的趋势，二次函数的二次项决定了抛物线的开口方向。

2. 二次函数的抛物线可能开口向上或向下，具体由二次项的系数 a 的正负决定。

当 a 大于零时，抛物线开口向上；当 a 小于零时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。

对称轴的方程为 x = -b / (2a)，对称轴上的点称为抛物线的顶点。

五、零点和交点1. 一次函数的零点是使得函数值等于零的 x 值，即方程 kx + b = 0 的解 x = -b / k。

一次函数只有一个零点。

2. 二次函数的零点是使得函数值等于零的 x 值，即方程 ax^2 + bx +c = 0 的解。

二次函数可能有两个、一个或零个零点。

六、增减性1. 一次函数的增减性由斜率 k 决定。

当 k 大于零时，函数增加；当k 小于零时，函数减少。

一次函数是直线，具有恒定的增减性。

2. 二次函数的增减性由二次项系数 a 的正负决定。

当 a 大于零时，函数开口向上，增加至顶点后减少；当 a 小于零时，函数开口向下，减少至顶点后增加。

高一必修一上册数学知识点一、整式与分式1. 整式整式是由有理数和代数符号通过加、减、乘、乘方运算得到的表达式。

整式可以是常数、单项式、多项式或零多项式。

例如： -2, 3xy, 2x^2 + 3y - 5, 02. 分式分式是由一个整式的分子和分母组成的表达式，其中分母不能为0。

分式可以是有理数、单项式的比、多项式的比或零多项式的比。

例如：3/4, (2x)/(3y), (x^2 + 1)/(x - 1)二、一次函数与二次函数1. 一次函数一次函数是指函数表达式为f(x) = ax + b的函数，其中a和b为常数，且a不为0。

一次函数的图像为一条直线，斜率为a，截距为b。

2. 二次函数二次函数是指函数表达式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c为常数，且a不为0。

二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线。

三、函数的概念与初等函数1. 函数的概念函数是指对于集合A和集合B之间的关系f，如果对于A中的每个元素x，都存在唯一的B中的元素y与之对应，则称f为从A到B的函数，记作f: A → B。

函数可以表示为一种映射关系，将自变量x映射到因变量y上。

2. 初等函数初等函数是指由代数函数、三角函数、指数函数和对数函数所组成的函数。

常见的初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

四、平方根与解二次方程1. 平方根平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。

例如，√4= 2，√9 = 3。

2. 解二次方程二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c为常数，且a不为0。

解二次方程可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法。

五、三角函数与解直角三角形1. 三角函数三角函数是指以一个锐角的两条直角边的比值为变量的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

2. 解直角三角形解直角三角形是指根据已知的某些角度或边长，利用三角函数的性质求解未知角度或边长的过程。

高一数学公式及理解知识点一、一次函数1. 定义：一次函数是指函数的自变量的最高次数为1的函数。

2. 公式：y = kx + b，其中k和b为常数，k为斜率，b为截距。

3. 理解知识点：- 斜率：代表了函数图像的倾斜程度，正值表示递增趋势，负值表示递减趋势，斜率为0表示水平线。

- 截距：代表函数与y轴的交点，y轴上的值。

二、二次函数1. 定义：二次函数是指函数的自变量的最高次数为2的函数。

2. 公式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。

3. 理解知识点：- 抛物线：二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的曲线，称为抛物线。

- 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h为x轴对称的值，k为抛物线的最值。

- 轴对称性：二次函数关于垂直于x轴的直线x = h对称。

三、三角函数1. 定义：三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。

2. 常见三角函数：- 正弦函数（Sine function）：y = sin(x)- 余弦函数（Cosine function）：y = cos(x)- 正切函数（Tangent function）：y = tan(x)3. 理解知识点：- 周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。

- 幅值：正弦函数和余弦函数的函数值介于-1和1之间，正切函数的函数值没有上下界。

- 正交性：在一个周期内，正弦函数和余弦函数是相互正交的。

四、概率与统计1. 定义：概率与统计是研究随机现象的规律性和统计规律的数学分支。

2. 知识点：- 事件与样本空间：事件是样本空间的子集，样本空间是所有可能结果的集合。

- 随机变量：随机变量是样本空间到实数轴上的一个映射。

- 概率：概率是事件发生的可能性的度量，用一个介于0和1之间的数来表示。

五、立体几何1. 定义：立体几何是研究三维空间内图形的形状、大小、位置关系等的数学分支。

2. 知识点：- 体积：立体图形所占的三维空间的大小。

高一数学1到3章知识点一、函数与方程函数函数是一个输入与输出之间的关系，可以表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。

函数的定义域是所有使函数有意义的实数集合，值域是函数的所有可能输出的实数集合。

函数的图像是在坐标系中表示函数关系的曲线或者线段。

方程方程是一个包含未知数的等式，通过解方程可以求出未知数的值。

1.1 一次函数一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b是常数。

1.2 二次函数二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b和c是常数。

二次函数的图像为抛物线。

1.3 反函数如果两个函数f和g满足f(g(x))=x和g(f(x))=x，则称f和g互为反函数。

1.4 复合函数复合函数是一种函数的运算，将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

1.5 方程的解方程的解是使方程成立的变量值。

一元一次方程的解为单个实数，一元二次方程的解可能为实数或者复数。

二、代数式与整式代数式是由数、字母和运算符号组成的表达式。

2.1 整式整式是只包含有理数的代数式，可以进行加减乘除运算。

2.2 多项式多项式是由多个单项式相加或相减而成的整式。

2.3 单项式单项式是只包含一个项的多项式，形如ax^n，其中a是系数，n是指数。

2.4 同类项同类项是具有相同字母和相同指数的项。

2.5 化简与展开将代数式进行化简是合并同类项和进行运算的过程，将代数式展开是将多项式按照规则展开成和式。

三、集合论与逻辑集合集合是具有某种特定性质的对象的总体，可以用大写字母表示。

3.1 集合的表示与操作集合可以用描述法或枚举法进行表示。

集合的操作有并集、交集、差集和补集。

3.2 集合间的关系包含关系、相等关系和相交关系是集合之间的常见关系。

逻辑逻辑是基于推理和判断的思维方式，用符号表示命题的真值。

3.3 命题与命题连接词命题是可以判断真假的陈述句，命题连接词包括非、与、或、蕴含和等价。

3.4 命题的合取、析取和逆否命题的合取是指多个命题连接词为与的组合，命题的析取是指多个命题连接词为或的组合，命题的逆否是指将命题的否定和逆命题互换。

(每日一练)人教版高中数学必修一一次函数与二次函数重点归纳笔记单选题1、二次函数f(x)=−x2+2tx在[1,+∞）上最大值为3,则实数t=（）A．±√3B．√3C．2D．2或√3答案：B解析：f(x)=−x2+2tx对称轴x=t,开口向下,比较对称轴与区间端点的关系,进而求解．f(x)=−x2+2tx对称轴x=t，开口向下,①t≤1，则f(1)=−12+2t=3⇒t=2,无解，②t＞1，则f(t)=−t2+2t⋅t=3⇒t=√3．故选B小提示：本题考查了二次函数在区间上的最值求参数问题,分类讨论是解题的关键.2、已知函数f(x)=ax2+bx+c，若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−1 , 3)，则A．f(4)>f(0)>f(1)B．f(1)>f(0)>f(4)C．f(0)>f(1)>f(4)D．f(1)>f(4)>f(0)答案：B解析：由题意可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，运用韦达定理可得a ，b ，c 的关系，可得f(x)的解析式，计算f(0)，f （1），f （4），比较可得所求大小关系．关于x 的不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，可得−1+3=−b a ，−1×3=c a ，即b =−2a ，c =−3a ， f(x)=ax 2−2ax −3a ，a <0，可得f(0)=−3a ，f （1）=−4a ，f （4）=5a ，可得f （4）<f(0)<f （1），故选B ．小提示：本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．3、已知直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)与两坐标轴分别交于A 、B 两点．当△OAB 的面积取最小值时（O 为坐标原点），则m 的值为（ ）A ．13B ．−13C ．−15D ．15答案：C解析：由直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)，可得A (3(1+m )2m+1,0)，B (0,3(1+m )1−m )，代入三角形面积计算公式，再令1+m =t ∈(12,32)，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出．由直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)， 可得A (3(1+m )2m+1,0)，B (0,3(1+m )1−m )，所以当△OAB 的面积S =12×3(1+m)2m+1×3(1+m)1−m =92×(m+1)2−2m 2+m+1，令1+m=t∈(12,32)，所以S=92×t2−2t2+5t−2=92×1−2(1t−54)2+98，所以当t=45，即m=−15时，S取得最小值．故选：C小提示：求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基本不等式或用求导的方法．填空题4、甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是_______.(填序号)①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.答案：④.解析：此题为路程S与时间t的图像，速度v=St，其几何意义是直线的斜率，有图可得答案.对①，由图知，甲、乙两人同时出发，故①错误；对②，甲、乙的路程S取值范围相同，故②错误；对③，速度v=St，其几何意义是直线的斜率，显然甲的速度快，故②错误；对④，由图知，甲到达终点时用时较少，故④正确；所以答案是：④.【点晴】此类题型要注意横纵坐标代表的几何意义.5、设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0,g(x)=x2f(x−1)，则函数g(x)的递减区间是__________.答案：[0,1)解析：先得出函数g(x)的解析式，再运用二次函数的单调性可得答案.因为f(x)={1,x>0 0,x=0−1,x<0,g(x)=x2f(x−1)，所以g(x)={x2，x>10,x=1−x2,x<1，所以函数g(x)的递减区间是[0,1).所以答案是：[0,1).小提示：本题考查分段函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.。

高一数学第二章题型知识点第一节一次函数与二次函数在高一数学第二章的学习中，我们将会接触到一次函数与二次函数这两个重要的数学概念。

这两种函数在现实生活中的应用非常广泛，所以掌握它们的基本知识是非常重要的。

下面我们来具体了解一下这两个概念及其相关的题型知识点。

一、一次函数一次函数是指函数的最高次项是一次幂的函数，其一般表达式为：y = kx + b其中，k表示直线的斜率，b表示直线与y轴的交点。

1. 斜率的意义斜率代表了直线的倾斜程度，可以用来描述函数图像的特征。

斜率越大，表示直线越陡峭；斜率为正值，表示直线是递增的；斜率为负值，表示直线是递减的。

2. 截距的意义截距表示了直线与y轴的交点在y轴上的坐标，可以通过截距来确定直线与y轴的位置关系。

当截距为正值时，表示直线在y轴的上方与y轴相交；当截距为负值时，表示直线在y轴的下方与y轴相交；当截距为零时，表示直线经过原点。

3. 求解一次函数的图像与解析式根据一次函数的斜率和截距信息，我们可以画出该函数的图像。

反过来，通过观察一次函数的图像，我们可以估计出该函数的斜率和截距的取值范围。

二、二次函数二次函数是指函数的最高次项是二次幂的函数，其一般表达式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

1. 抛物线的开口方向二次函数的抛物线开口方向与二次项系数a的正负有关。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

2. 求解二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，在求解最值问题时十分重要。

顶点的横坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 求得，纵坐标则通过代入横坐标到函数中求得。

3. 求解二次函数的零点二次函数的零点是函数与x轴相交的点，也就是函数值等于0的解。

可以通过因式分解、配方法或求根公式来求解二次函数的零点。

结语通过学习第二章的一次函数与二次函数知识点，我们将会更深入地理解函数的性质与解析式之间的联系。

高一数学知识点总结归纳高一数学学科是学生进入高中阶段后必修的一门学科，它涵盖了多个重要的数学知识点。

本文将对高一数学的主要知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地学习和理解数学。

一、函数与方程1. 一次函数与二次函数一次函数的标准式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距；二次函数的标准式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表三个系数，a决定了抛物线的开口方向。

2. 指数函数与对数函数指数函数的形式为y = a^x，其中a为底数，x为指数；对数函数则与指数函数相反，形式为y = loga x。

两者是互为逆运算的函数。

3. 线性方程与二元一次方程组线性方程的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知数；二元一次方程组则包含两个线性方程，形式为{ax + by = c,dx + ey = f}。

二、平面几何1. 直线与曲线直线是平面上最简单的几何图形，由无数相连的点组成；曲线则是线段连续延伸而成的图形，包括圆、椭圆、双曲线等。

2. 三角形与多边形三角形是由三条边和三个角组成的图形，根据边长和角度可以分为等边三角形、等腰三角形等；多边形则是由多个边和角组成的图形，如四边形、五边形等。

3. 相似与全等相似指两个图形具有相同的形状但大小可能不同，可以通过比例关系来描述；全等指两个图形既具有相同的形状也具有相同的大小。

三、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差；等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

2. 数列的求和与通项数列的求和公式分别为等差数列的Sn = (n/2)(a1 + an)，等比数列的Sn = a1(1-q^n)/(1-q)。

通项公式则是求解数列中的第n项的公式。

3. 数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法，分为基础步和归纳步，通过已知命题的真伪来推导出下一个命题的真伪。