【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第2章函数教案苏教版必修12．1函数的概念2．1.1 函数的概念和图象第1课时函数的概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2．过程与方法(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；(2)了解构成函数的要素；(3)会求一些简单函数的定义域和值域；(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；3．情感、态度与价值观使学生感受到学习函数的必要性与重要性，激发学习的积极性．●重点、难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y＝f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示．(教师用书独具)●教学建议1．用集合和对应的观点来理解函数建议教师在学生学过的初中函数概念的基础上，利用对不同实例的探究，通过学生积极参与问题讨论并结合对应的观点，引导学生从集合的角度总结函数的概念．2．对函数符号y＝f(x)的理解建议教师通过丰富的实例，将问题中两个变量存在的依赖关系抽象为一种对应关系，然后用集合的语言进行刻画，从而得到函数更为确切的定义．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!课标解读1.在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题(重点、难点)．2．会求几种简单函数的定义域、值域(重点).函数的概念【问题导思】汽车匀速行驶在高速公路上，行驶速度为v，行驶路程为s，行驶时间为t. 1．上述三个量中，哪个是常量？哪个是变量？【提示】v是常量，s、t是变量．2．三者之间有何关系？【提示】s＝vt，s随时间t而变化．3．s，t有何限制？【提示】t≥0，s≥0.4．t给定，s是否确定？【提示】确定并且唯一．1．函数的定义一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2．函数值域若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.函数的概念判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.【思路探究】求解本题的关键是判断在对应法则f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．【自主解答】(1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±9＝±3，即在对应法则f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．(2)对于A中的元素x＝2，在f作用下，|2－2|＝0∉B，故不能构成函数．(3)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f之下，在B 中都有唯一元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.【解析】能否构成从集合A到集合B的函数，就是看自变量在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之对应．容易作出题中给出的前三个函数的图象，结合图象可知它们是函数关系，对于④中函数y＝4－x2，集合A中的2对应的数为0，但0不在集合B 中，所以不能构成从A到B的函数．由于⑤中的集合A不是数集，所以此对应法则一定不是函数．故填④⑤.【答案】④⑤函数的定义域求下列函数的定义域．(1)y ＝x －1＋1－x ；(2)y ＝x ＋32|x |－3＋2－x ；(3)y ＝x ＋10|x |－x.【思路探究】 由函数解析式，列出自变量满足的不等式组求解． 【自主解答】 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤1，∴x ＝1，即函数的定义域为{1}． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，|x |－3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x ≠±3，∴x ≤2且x ≠－3，即函数定义域为{x |x ≤2，且x ≠－3}． (3)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x <0且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x <0，且x ≠－1}．1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．3．定义域的求法(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．求下列函数的定义域： (1)y ＝x －2·x ＋5；(2)y ＝x －4|x |－5.【解】 (1)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0x ＋5≥0，∴x ≥2，即函数定义域为[2，＋∞)．(2)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0|x |－5≠0，解得x ≥4且x ≠5.即函数定义域为[4,5)∪(5，＋∞)．求函数值若f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)，求f (0)，f (1)，f (1－x )，f (f (x ))．【思路探究】 将相应的x 的值代入函数解析式． 【自主解答】 f (0)＝1－01＋0＝1；f (1)＝1－11＋1＝0；f (1－x )＝1－1－x 1＋1－x ＝x2－x(x ≠2)．f (f (x ))＝1－f x1＋f x ＝1－1－x 1＋x 1＋1－x1＋x＝x (x ≠－1)．1．求函数值时，只需将f (x )中的x 用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即可． 2．求f (f (x ))时，一般要遵循由里到外的原则．已知f (x )＝11＋x (x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )，求：(1)f (2)，g (2)的值；(2)f (g (2))的值．【解】 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13，又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)由(1)知g (2)＝6，∴f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.求函数值域求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；(2)y ＝x ＋1； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5]．【思路探究】 (1)采用代入法；(2)采用直接法；(3)采用配方法． 【自主解答】 (1)∵y ＝2x ＋1，且x ∈{1,2,3,4,5}， ∴y ∈{3,5,7,9,11}，∴函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)∵x ≥0，∴x ＋1≥1，∴函数的值域为[1，＋∞)．(3)配方得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5]，由例题)图知2≤y≤11，即函数的值域为[2,11]．常用的求值域的几种类型：(1)用表格形式给出的函数，其值域是表格中实数y的值构成的集合；(2)用图象形式给出的函数，其值域是图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；(3)用解析式给出的函数：用相应方法(如观察法、配方法，换元法等)，由解析式与定义域去确定；(4)实际问题给出的函数：由实际问题的意义确定．在(3)中，如果x的范围改为x∈[4,5]，结果又如何？【解】配方得：y＝(x－2)2＋2，∵x∈[4,5]，由例题图知：f(4)≤y≤f(5)，即6≤y≤11，即该函数的值域为[6,11]．函数的概念理解不清致误判断下列各组函数是否表示同一函数．(1)y ＝x 2－1x －1与y ＝x ＋1；(2)y ＝x 2－1与y ＝x －1.【错解】 (1)∵y ＝x 2－1x －1＝x ＋1x －1x －1＝x ＋1，∴y ＝x 2－1x －1与y ＝x ＋1表示同一函数．(2)∵y ＝x 2－1＝x －1，∴y ＝x 2－1与y ＝x －1表示同一函数．【错因分析】 (1)y ＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，而y ＝x ＋1的定义域为R ，定义域不同．(2)∵y ＝x 2－1＝|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1x ≥0，－x －1x <0，∴y ＝x 2－1与y ＝x －1的对应关系不相同．【防范措施】 函数的三要素：定义域、对应法则和值域，实质上有两个关键要素：定义域和对应法则，因为值域通常可以由定义域和对应法则推出来，但是在解题时常常由于忘记了定义域而导致错误．【正解】 (1)∵y ＝x 2－1x －1的定义域与y ＝x ＋1的定义域不相同，∴两个函数不是同一函数．(2)∵y ＝x 2－1与y ＝x －1的对应关系不相同， ∴两个函数不是同一函数．函数的概念既是本节课的重点也是本节课的难点，准确理解函数的概念，应明确以下几点：(1)定义域、对应法则和值域是函数的三要素，实际上，值域是由定义域和对应法则决定的，所以看两个函数是否相同，只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同．(2)y＝f(x)中f为对应法则，当情况比较简单时，对应关系f可用一个解析式来表示．但在不少问题中，对应关系f也可能不便用或不能用一个解析式来表示，这时就必须采用其他方式，如数表或图象等．(3)函数定义域是使函数有意义的自变量的范围，实际问题要结合自变量的实际意义求解．(4)函数值域是函数值的集合，目前求函数值域仅限于在定义域下求二次函数、一次函数、反比例函数的值域.1．有以下4个对应法则：①A＝R，B＝R，f：x→y＝－1 x ；②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝3x；③A＝R，B＝R，f：x→y＝x2＋3x－4；④A＝R，B＝R，f：x→y2＝x.其中不能构成从集合A到集合B的函数关系的是________．(填序号)【解析】①中，当集合A中的元素取0时，在集合B中无元素和它对应；②③容易作出题中给出的函数的图象，结合图象可以知道它们是函数关系；④中，当集合A中的x为正数时，集合B中有两个元素和它对应，而当x为负数时，集合B中无元素和它对应．【答案】①④2．函数y＝1x＋1的定义域是________．【解析】 由题意可知，要使函数有意义，只需x ＋1>0，解得x >－1.故函数y ＝1x ＋1的定义域是{x |x >－1}．【答案】 {x |x >－1}3．函数g (x )＝3x ＋1，x ∈{0,1,2,3,4}的值域为________．【解析】 ∵x ∈{0,1,2,3,4}，∴当x 依次取值时，对应g (x )的值为{1,4,7,10,13}． 【答案】 {1,4,7,10,13} 4．求下列函数的定义域． (1)f (x )＝x ＋2·x －2； (2)f (x )＝11＋1x.【解】 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≥2，∴x ≥2，故函数定义域为[2，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1＋1x≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＝≠－1，故函数定义域为{x |x ∈R ，且x ≠－1，x ≠0}.一、填空题1．下列式子：(1)x 2＋y 2＝2；(2)x －1＋y －1＝1；(3)y ＝x －3＋1－x .能确定y 是x 的函数的是________．【解析】 (1)由x 2＋y 2＝2，得y ＝±2－x 2，每给一个定义域内的x 值则可能有两个y 值与之对应，由此它不能确定y 是x 的函数．(2)由x －1＋y －1＝1，得y ＝(1－x －1)2＋1，所以当x 在{x |x ≥1}中任取一个数时，有唯一确定的y 值与之对应，故由它可确定y 是x 的函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥01－x ≥0，得x ∈∅，故由它不能确定y 是x 的函数．【答案】 (2)2．(2013·济宁高一检测)函数f (x )＝2－xx ＋3的定义域是________． 【解析】 要使f (x )＝2－xx ＋3有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x ＋3≠0，解得x ≤2且x ≠－3，故所求函数的定义域为{x |x ≤2且x ≠－3}．【答案】 {x |x ≤2且x ≠－3}3．若f (x )＝x 2＋a ，f (2)＝3，则f (3)＝________. 【解析】 ∵f (2)＝2＋a ＝3，∴a ＝1. ∴f (3)＝3＋a ＝3＋1＝4.【答案】 44．(2013·东营高一检测)函数f (x )＝x 2＋2x 2＋1的值域为________．【解析】 f (x )＝x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1＝1＋1x 2＋1，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1,1<1＋1x 2＋1≤2， ∴f (x )值域为(1,2]． 【答案】 (1,2]5．已知四组函数：①f (x )＝x ，g (x )＝(x )2；②f (x )＝x ，g (x )＝(3x )3；③f (n )＝2n －1，g (n )＝2n ＋1；④f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.其中表示同一函数的是________．【解析】 在①中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≥0}，在③中两个函数的对应法则不同，故①③中两个函数是不同函数．在②中(3x )3＝x ，且两函数的定义域均为R ，而④中虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应法则都相同，故②④中的两个函数表示同一函数．【答案】 ②④6．若f (x )＝9x ＋1，g (x )＝x 2，则f (g (1))＝________. 【解析】 由已知得g (1)＝12＝1， ∴f (g (1))＝f (1)＝9×1＋1＝10. 【答案】 107．(2013·杭州高一检测)已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________. 【解析】 f (2x ＋1)＝3x ＋2，令2x ＋1＝a ，则x ＝a －12，∴f (a )＝3×a －12＋2＝4，解得a ＝73.【答案】 738．已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为________．【解析】 由题意可知0<y <10，即0<10－2x <10， 解得0<x <5，又底边长y 与腰长x 应满足2x >y ， 即4x >10，x >52，综上可知52<x <5.【答案】 {x |52<x <5}二、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋x －1. (1)求f (2)；(2)若f (x )＝5，求x 的值． 【解】 (1)f (2)＝22＋2－1＝5. (2)由f (x )＝5，即x 2＋x －1＝5， ∴(x －2)(x ＋3)＝0，∴x ＝2或x ＝－3. 10．求下列函数的值域． (1)y ＝x 2－3x ＋1；(2)f (x )＝1x ，x ∈{－3，－2，－1,1,2}；(3)f (x )＝1x，x ∈[1,2]．【解】 (1)y ＝(x －32)2－94＋1＝(x －32)2－54≥－54，故函数f (x )＝x 2－3x ＋1的值域为[－54，＋∞)．(2)函数的定义域为{－3，－2，－1,1,2}，因为f (－3)＝－13，f (－2)＝－12，f (－1)＝－1，f (1)＝1，f (2)＝12，所以这个函数的值域为{1，12，－13，－12，－1}．(3)当1≤x ≤2时，12≤1x≤1，∴函数f (x )＝1x ，x ∈[1,2]的值域为[12，1]．11．(2013·贵阳高一检测)已知 f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2.(1)求f (2)和g (a )； (2)求g [f (2)]和f [g (x )]．【解】 (1)f (2)＝11＋2＝13，g (a )＝a 2＋2；(2)f (2)＝13，g [f (2)]＝(13)2＋2＝199，f[g(x)]＝f(x2＋2)＝11＋x2＋2＝13＋x2.(教师用书独具)知识扩展复合函数的概念和定义域1．复合函数的概念如果函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f与g在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内函数，y＝f(t)叫做外函数．2．复合函数的定义域复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定的．对于复合函数f(g(x))：(1)如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围；(2)如果f(g(x))的定义域为A，那么函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域．第2课时函数的图象(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象．(2)能根据函数图象比较函数值的大小．2．过程与方法通过作出函数的图象，渗透数形结合的思想．3．情感、态度与价值观培养学生勇于探索、善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质．●重点、难点重点：根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象．难点：函数图象的应用．(教师用书独具)●教学建议1．关于函数图象的教学建议教师从初中已学习过的一次函数、二次函数、反比例函数的图象以及现实生活中的常见的函数图象如心电图等入手，让学生先有感性认识，然后再从这些例子中抽象出函数图象的教学定义．这样做符合认识事物的规律，从而使数学的学习变得轻松自如．在作函数图象时，建议教师先让学生回忆初中学过的知识，然后再讲解说明描点作图法作函数图象的步骤以及应注意的地方．要特别提醒学生在画函数图象时注意：一是x的取值分布要恰当，二是连线时要用光滑曲线连结，不要把光滑的曲线画成踞齿状．2．关于应用函数的图象比较函数值大小的教学建议教师在教学中，着重引导学生学习如何作函数的图象，并应用函数图象比较函数值的大小，同时注意数形结合思想的应用．●教学流程通过具体实例，引入学生抽象出函数图象的定义⇒引导学生回忆初中学过的作函数图象的知识，总结用描点法函数图象的基本步骤及注意要点⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握画定义域为某一区间的函数图象的方法⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握函数图象的识别方法⇒错误!⇒错误!⇒错误!课标解读1.理解函数图象的概念，并能画出一些比较简单的函数的图象(重点)．2．能够利用图象解决一些简单的函数问题(难点).函数的图象【问题导思】你能画出函数y＝x和函数y＝x2的图象吗？【提示】将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．画函数的图象作下列函数的图象，并指出其值域．(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x(－2≤x <1，且x ≠0)．【思路探究】 采用描点法很快可以作出这两个函数的图象，但要注意定义域对它的限制．由图可知y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)的值域为[－14，2]；y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)的值域为(－∞，－1]∪(2，＋∞)．【自主解答】 (1)如图(1)所示．其值域为[－14，2]．(2)如图(2)所示．其值域为(－∞，－1]∪(2，＋∞)．(1) (2)1．利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线2．在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．作出下列函数的图象：(1)y＝1＋x(x∈Z)；(2)y＝x2－2x，x∈[0,3)．【解】(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如图(1)所示．(2)∵x∈[0,3)，∴这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x在0≤x<3之间的一段弧，如图(2)所示．函数图象的识别(2013·常州高一检测)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是________．(填序号)【思路探究】分析每个函数图象→提取相应a，b，c的信息→判断abc>0是否成立→得出正确结论【自主解答】①不正确，由图①可知a<0，f(0)＝c<0，－b2a<0，∴abc<0与abc>0相矛盾；②不正确，由图②可知a<0，f(0)＝c>0，－b2a>0，∴abc<0与abc>0相矛盾；③不正确，由③可知a>0，f(0)＝c<0，－b2a<0，∴abc<0与abc>0相矛盾；④正确，由图④可知a>0，f(0)＝c<0，－b2a>0，∴abc>0.符合题意．【答案】④求解与二次函数图象有关的问题时，常根据二次函数图像开口向上或向下，分a>0或a<0两种情况分类考虑，另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，对称轴的位置或定点坐标等对系数a，b，c的影响．如图所示，函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax＋b(a≠0)的图象可能是________(填序号)．【解析】(1)由抛物线的对称轴是y轴可知b＝0，而此时直线应该过原点，故不可能；(2)由抛物线图象可知，a>0，－b2a>0，所以b<0，而此时直线应该与y轴负半轴相交，故不可能；(3)由抛物线图象可知，a<0，－b2a>0，所以b>0，而此时直线应该与y轴正半轴相交，故不可能，由此可知(4)可能是两个函数的图象．【答案】(4)函数图象的应用画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域．【思路探究】画图→识图→分析→下结论【自主解答】因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：x …－2－101234…y …－503430－5…描点，连线，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)<f(0)<f(1)．(2)根据图象，容易发现当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．1．函数图象较形象直观的反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自变量变化而变化的趋势．2．常借助函数图象求解以下几类问题：(1)比较函数值的大小；(2)求函数的值域；(3)分析两函数图象交点个数；(4)求解不等式或参数范围．在题设不变的情况下，求“若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k 的取值范围”．【解】原方程可变形为：－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3和函数y ＝k的交点个数问题，根据f(x)＝－x2＋2x＋3在[－1,2]的图象，移动y＝k，易知0≤k<3或k＝4时，只有一个交点．∴0≤k<3或k＝4.数形结合思想在方程问题中的应用(12分)若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．【思路点拨】将方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图象进行解决．【规范解答】原方程变形为x2－4x＋4＝1－m，2分即(x－2)2＝1－m，设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图象如图所示，由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0，∴m＝1或－3<m≤0，(此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1，x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图象求解．)一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图象直观解决，简单明了．此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求(也注意结合图象分析只有一个x值)．画函数的图象一般还是采用列表、描点、绘图的描点法，主要解决两个问题：位置和形状．函数图象位置的确定是以它的定义域为主要依据；函数图象形状的刻画是依据对应法则而定的．函数的图象也可以是一些点，一些线段，一段曲线等，从函数的图象可以直观地指出函数的定义域和值域．1．已知函数f(x)的图象如图2－1－1所示，则此函数的定义域是________，值域是________．图2－1－1【解析】由图可知，f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．【答案】[－3,3] [－2,2]2．函数y＝x＋1，x∈Z，且|x|<2的图象是________．(填序号)【解析】由题意知，函数的定义域是{－1,0,1}，值域是{0,1,2}，函数的图象是三个点，故③正确．【答案】③图2－1－23．(2013·绵阳高一检测)如图2－1－2，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(1f3)的值等于________．【解析】由图象可知：f(3)＝1，∴f(1f3)＝f(1)＝2. 【答案】 24．画出函数y＝x2＋2x，x∈[－2,2]的图象，并求其值域．【解】列表如图所示：x －2－101 2y 0－1038描点并连线得如上图象，由图象可得函数的值域为[－1,8]．一、填空题1．下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是________．【解析】由函数定义知，一个x只能对应一个y值，而在④中当x>0时，一个x值有两个y值与之对应；所以④不可能是函数y＝f(x)的图象．【答案】④2．一个函数f (x )的图象如图2－1－3：图2－1－3则该函数的值域是________．【解析】 由图可知f (x )≥－1，故函数的值域为[－1，＋∞)． 【答案】 [－1，＋∞)图2－1－43．已知函数y ＝ax 2＋b 的图象如图2－1－4所示，则a ＝________，b ＝________. 【解析】 由图象可知，当x ＝1时，y ＝0； 当x ＝0时，y ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1.【答案】 1 －14．函数y ＝f (x )的图象如图2－1－5所示，则：图2－1－5(1)使f (x )＝0成立的x 的集合________；(2)若1<x 1<x 2<2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是________； (3)若1<x 0<3，则f (x 0)的符号为________．(填正或负) 【解析】 (1)由图可知，使f (x )＝0成立的x 值有－1,1,3； (2)由图可知当1<x 1<x 2<2时，f (x 1)>f (x 2)；(3)由于当1<x 0<3时，f (x )的图象在x 轴的下方，故f (x 0)的符号为负． 【答案】 {－1,1,3} f (x 1)>f (x 2) 负5．(2013·连云港高一检测)函数y ＝|x |x＋x 的图象是________．【解析】 函数y ＝|x |x＋x 的定义域为{x |x ≠0}，故图象与y 轴交点处应为空心小圆圈，故排除①、②. 当x <0时，y ＝－1＋x <0，故排除④. 【答案】 ③6．作出函数y ＝1x，x ∈[1,3]的图象后，可知函数的值域为________．【解析】 作出y ＝1x，x ∈[1,3]的图象如图．由图可知y ＝1x ，x ∈[1,3]的值域为[13，1]．【答案】 [13，1]7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2(填“>”“<”或“＝”)．【解析】 因为对称轴为x ＝1，所以当x ＝2时与x ＝0时的函数值相等． 作出如图所示的大致图象，由图象可知y 1>y 2. 【答案】 >8．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一：则a 的值为________．【解析】 由x ＝－b2a知，当a >0时，对称轴在y 轴左侧，开口向上；当a <0时，对称轴在y 轴右侧，开口向下，故第三个图正确，由图得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 0＝0，∴a ＝－1.【答案】 －1 二、解答题9．画出下列函数的图象，并求其值域． (1)f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[0,5]； (2)f (x )＝－1x＋2，x ∈(2,4]．【解】 f (x )＝－x 2＋4x(1)＝－(x －2)2＋4在[0,5]上简图如图(1)．故f (x )max ＝f (2)＝4，f (x )min ＝f (5)＝－5.所以f (x )的值为[－5,4]． (2)由f (x )＝－1x＋2在(2,4]上简图如图(2)．(2)可知函数有最大值，无最小值， 且f (x )max ＝f (4)＝－14＋2＝74.f (x )min >f (2)＝－12＋2＝32.∴f (x )的值域为(32，74]．10．已知函数f (x )＝12(x －1)2＋1的定义域与值域都是[1，b ]，其中b >1，求实数b 的值．【解】 f (x )＝12(x －1)2＋1，图象如图所示．∵x ∈[1，b ]时，f (x )的图象是上升的， 又值域为[1，b ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f b ＝b ⇒12b －12＋1＝b ，解得b ＝1或b ＝3. ∵b >1，∴b ＝3.11．若关于x 的方程2x 2－3x －k ＝0在(－1,1)内仅有一个实根，求k 的取值范围．【解】 本题可转化为函数y ＝2x 2－3x 与函数y ＝k 在区间(－1,1)内交点个数问题，作出函数y ＝2x 2－3x ＝2(x －34)2－98在(－1,1)上的图象，如图所示．由图象知当－1≤k <5或k ＝－98时，y ＝k 与y ＝2x 2－3x 仅有一个交点．知识拓展 函数图象的变换有些函数的解析式之间有一定的联系，因此它们的图象之间也有一定的联系． (1)左右平移：函数y ＝f (x )的图象向右(a >0)或向左(a <0)平移|a |个单位长度得到函数y ＝f (x －a )的图象．(2)上下平移：函数y ＝f (x )的图象向上(k >0)或向下(k <0)平移|k |个单位长度得到函数y ＝f (x )＋k 的图象．平移遵循“左加、右减”，“上加、下减”原则．平移问题除了要分清平移的先后顺序，即平移的方向，还要注意平移的长度．例如：用“x －1”换“x ”是把y ＝f (x )的图象向右平移一个单位长度，得到y ＝f (x －1)的图象；点(0，f (0))――→平移到点(1，f (0))，点(1，f (1))――→平移到点(2，f (1))……这样把y ＝f (x )的图象上的每个点向右平移一个单位长度即可．因此函数解析式中的变量的替换就带来了函数图象的平移了．2．1.2 函数的表示方法(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)明确函数的三种表示方法；(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数； (2)通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情感、态度与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法．●重点、难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象．(教师用书独具)●教学建议1．关于选用适当的方法来表示函数的教学建议教师在教学中，多结合一些实例，使学生了解各种不同的表示函数的方法的特点，并能学会选择适当的方法表示函数．2．对于函数与其图象的关系的理解与把握建议教师从函数概念出发，结合对应的概念，使学生能够从数形结合的角度准确把握函数与其图象的关系．●教学流程创设问题情境，通过实例，列出函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法⇒引导学生探究3种函数表示方法的特点，并结合一些实例，说明如何选择合适的方法表示函数⇒通过实例，引出分段函数的定义，并探究求分段函数的定义域、值域的方法⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求函数解析式的几种常用方法⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握解决有关分段函数的综合问题的方法⇒通过例3及其变式训练，使学生初步掌握函数在实际问题中的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正课标解读1.理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数(重点)．2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值(重点、难点).函数的表示方法。
