浙江省杭州市西湖高级中学高二数学5月月考试题

西湖高级中学2021-2021学年高二10月月考数学理试题一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕1．以下说法正确的选项是 ( )A ．三点确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．不重合的平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2．函数24)1ln(1)(x x x f -++=的定义域为 〔 〕A ．]2,0()0,2[⋃-B ．]2,0()0,1(⋃-C ．]2,2[-D ．]2,1(-3．设l 是直线,α,β是两个不同的平面 〔 〕A ．假设l ∥α,l ∥β,那么α∥βB ．假设l ∥α,l ⊥β,那么α⊥βC ．假设α⊥β,l ⊥α,那么l ⊥βD ．假设α⊥β,l ∥α,那么l ⊥β4．在正方体1111ABCD A BC D -中，以下几种说法正确的选项是〔 〕A ．11AC AD ⊥B ．11DC AB ⊥ C ．1AC 与DC 成45角D ．11AC 与1BC成60角 5．某几何体的三视图如以下列图,它的体积为〔 〕 A ．12π B ．45π C ．57π D ．81π6．如图，一个封闭的立方体，它的六个外表各标有A,B,C,D,E,F这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，那么字母A,B,C 对面的字母分别为( )A ．D,E,FB ．F,D,EC ．E,F,D D ．E,D,FCB AAD CEB C7．在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么〔 〕 A ．点P 必在直线AC 上 B ．点P 必在直线BD 上C ．点P 必在平面ABC 内D ．点P 必在平面ABC 外8．二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于 〔 〕A ．34B ．35C ．77D ．3779．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，那么四棱锥B —APQC 的体积为〔 〕A ．2VB ．3VC ．4VD ．5VQP C'B'A'CBA10．正四棱柱1111ABCD A BC D -中,12,AB CC E ==为1CC 的中点,那么直线1AC与平面BED 的距离为〔 〕A ．2 B．1 二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分〕11.直线a //平面α，平面α//平面β，那么a 与β的位置关系为 ▲12.利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的选项是 ▲13.一个半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，那么这个圆柱的全面积是▲_. 14. 假设关于x 的方程0sin cos 2=+-a x x 有解，那么实数a 的取值范是▲ .15.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,那么异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是_ ▲___.三、解答题〔本大题共5小题，共50分〕16．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

浙江省杭州市西湖高级中学【最新】高二下学期6月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =则U A B =（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,7C ．{}1,2D ．{}1,2,3 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．323．已知变量x ，y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z =x -2y 的最大值为（ ）A ．3-B ．1C ．3D ．04．已知角α的终边上的一点(1,2)P ，则sin()3sin 22cos sin()παααπα+++-的值为（ ） A ．14 B ．34 C ．54 D ．745．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面.下列说法正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n α⊥，则//m nC ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥6．已知函数()y f x =的定义域为{|0}x x ≠，满足()()0f x f x +-= ，当0x >时，()1f x lnx x =-+，则函数()y f x =的大致图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若153a a +=，2165a a +=，则11S =（ ） A ．48 B ．22 C ．12 D ．368．若两个非零向量a ，b 满足()()0a b a b +⋅-=，且3a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．13± B ．45± C ．13 D ．459．已知正数x ，y 满足：1312x y +=+，则x ＋y 的最小值为() A ．2+B ．2+C ．6D ．6+ 10．设函数21(0)()lg (0)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2()()20f x af x -+=恰有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（）A ．(2,B ．()C ．()3,4 D ．()4二、双空题11．函数()ln(2)f x x =++的定义域为__________；已知函数13log ,0()2,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，则[(9)]f f 的值是__________.12．函数()23log 2y x x =-的单调减区间是__________；已知函数()32cos f x x =+的图象经过点,3b π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则b =__________. 13．各项均为正数的等比数列{}n a 中，22a ，4a ，33a 成等差数列，则2547a a a a +=+_________.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*12n n S S n N +=∈，则10a =________. 14．若向量(7,5)a =，b 为单位向量，a 与b 的夹角为3π，则⋅=a b ______.已知向量(3,1)a =-，(3,1)b =，则a 在b 方向上的投影为___________.三、填空题15．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB=，1AA =D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 成角的大小为_______．16．已知()()1f x ax a R =+∈，不等式()3f x ≤的解集为{}21x x -≤≤，则a =________．17．在ABC 中，已知向量cos ,12A B m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，且254m =，记角,,A B C 的对边依次为,,a b c .若2c =，且ABC 是锐角三角形，则22a b +的取值范围为______________.四、解答题18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边为,,a b c ，sin sin sin sin b B c C C a A += （1）求A ；（2）若60,2,B a ︒==求,b c ．19．如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形,3ABC π∠=,PA ⊥平面ABCD ,点M 是棱PC 的中点.（1）证明：//PA 平面BMD ；（2）当PA =,求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 中，11a =，112n n n na a a a ++-=. （1）证明数列1{}na 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若1n n nb a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．已知点(sin 2,1)A x ，B π1,cos 26x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设函数()()f x OA OB x R =⋅∈，其中O 为坐标原点．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值； 22．已知函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数(2)y f x =-是偶函数. （1）求()g x 的解析式；（2）若不等式(ln )ln 0g x n x -≥在21[,1)e 上恒成立，求n 的取值范围.参考答案1．C【分析】利用集合的交、并、补运算即可求解.【详解】由集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5,6B =，所以{}1,2,7U B =，又集合{}1,2,3,4A =，所以U AB ={}1,2.故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交、并、补的混合运算，属于基础题.2．B【分析】根据三视图可知，该几何体为四棱锥，其中底面是直角梯形，一条侧棱垂直于底面，根据三视图的数据，代入棱锥体积公式求解.【详解】如图所示该几何体为四棱锥，其中四边形ABCD 是直角梯形，且PA ⊥平面ABCD ， 由三视图得：其体积112111322V +=⨯⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题. 3．B【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z ＝x ﹣2y 对应的直线进行平移，可得当x ＝1，y ＝0时，z 取得最大值1．【详解】作出不等式组21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （﹣1，1），B （2，1），C （1，0）设z ＝F （x ，y ）＝x ﹣2y ，将直线l ：z ＝x ﹣2y 进行平移，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值∴z 最大值＝F （1，0）＝1故选：B ．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z ＝x ﹣2y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．4．D【分析】先根据诱导公式以及弦化切进行化简，再根据三角函数定义得tan α值，最后代入求解.【详解】sin()3sin cos 3sin 13tan 22cossin()2cos sin 2tan πααααααπαααα++++==+-++又因为角α的终边上的一点(1,2)P ，所以2tan 21α==， 所以sin()3sin 132722cos sin()224παααπα+++⨯==+-+. 故选：D【点睛】本题考查诱导公式、三角函数定义以及弦化切，考查基本分析求解能力，属中档题. 5．B【分析】A ．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B ．运用线面垂直的性质，即可判断；C ．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D ．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【详解】A ．若m ∥α，n ∥α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m ⊥α，n α⊥，由线面垂直的性质定理可知//m n ，故B 正确；C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错；D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n ⊥α，故D 错．故选B ．【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟定理是解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．6．A【解析】试题分析：由()()0f x f x +-=，知()f x 是奇函数，故排除C,D ；当12x =时，12111111()ln 1ln ln 2ln ln 20222222f e =-+=+=-=-<，从而A 正确. 考点：函数的图像，函数的性质，对数函数.7．B【分析】根据等差数列下标和的性质可计算求得结果.【详解】15323a a a +==，216925a a a +==，332a ∴=，952a =， ()()1113911111111422222a a a a S ++∴===⨯=. 故选：B .【点睛】本题考查等差数列下标和性质的应用，属于基础题.8．D【分析】根据题意，设a 与b 的夹角为θ.由()()0a b a b +⋅-=，可得a b =，再将3a b a b +=-两边同时平方，将a b =代入，变形可得cos θ的值，即可得答案.【详解】设a 与b 的夹角为θ.∵()()0a b a b +⋅-=，∴220a b -=， ∴a b =.① ∵3a b a b +=-，∴22222cos 918cos 9a a b b a a b b θθ++=-+②由①②，解得4cos 5θ=. 故选：D.【点睛】本题考查向量数量积的计算，属于基础题.9．B【分析】将所求表示转化为()22x y ++-，由于乘以1不变，故原式可化为()13222x y x y ⎛⎫⎡⎤+++- ⎪⎣⎦+⎝⎭，将其整理化简后由基本不等式求得最小值即可. 【详解】由题可知，()()1322222x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++-=+++- ⎪⎣⎦+⎝⎭232222y x x y +=++≥+=++（当且仅当3=22y x x y ++时取等号）所以x ＋y 的最小值为2+故选：B【点睛】本题考查由基本不等式求和的最小值，属于中档题.10．B【分析】 由已知中函数21(0)()lg (0)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2()()20f x af x -+=恰有6个不同的实数解，可以根据函数()f x 的图象分析出实数a 的取值范围．【详解】 函数21(0)()lg (0)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下图所示：关于x 的方程2()()20f x gf x -+=恰有6个不同的实数解，令t ＝f （x ），可得t 2﹣at +2＝0，（*）则方程（*）的两个解在（1，2]， 可得2120422012280a a a a -+>⎧⎪-+≥⎪⎪⎨<<⎪⎪->⎪⎩，解得()a ∈， 故选：B.【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键．11．(2,3)-14【分析】根据分数分母不为零，二次根式下大于等于零，对数的真数大于零，即可求得()ln(2)f x x =++的定义域；因为13log ,0()2,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，先求得(9)f ，即可求得[(9)]f f .【详解】()ln(2)f x x =++ 根据分数分母不为零，二次根式大于等于零，对数的真数大于零可得：3020x x ->⎧⎨+>⎩，解得23x -<<故：函数()ln(2)f x x =++的定义域为：(2,3)-. 13log ,0()2,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩11332123(9)log 9log f -⎛⎫=- ⎪⎝=⎭=故：()21[(9)]224f f f -=-==故答案为：2-；14. 【点睛】本题主要考查了求函数定义域和分段函数求值问题，解题关键是掌握对数真是大于零和分段函数求值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 12．(,0)-∞ 4 【分析】首先求出函数()23log 2y x x =-的定义域，然后利用对数函数和二次函数的知识可求出()23log 2y x x =-的单调递减区间，由函数()32cos f x x =+的图象经过点,3b π⎛⎫⎪⎝⎭可直接求出b . 【详解】函数()23log 2y x x =-的定义域为()(),02,-∞+∞因为二次函数22y x x =-的开口向上，对称轴轴为1x = 所以函数()23log 2y x x =-的单调减区间是(,0)-∞；因为函数()32cos f x x =+的图象经过点,3b π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以32cos3b π+=，所以4b =故答案为：(,0)-∞；4 【点睛】求函数单调性时应先求函数的定义域. 13．14256 【分析】第一个空；根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可； 第二个空：根据等比数列的定义，结合等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】解第一个空：设正数的等比数列{}n a 的公比为q ，因此有10,0a q >>， 因为22a ，4a ，33a 成等差数列，所以423223a a a =+，即有32111223a q a q a q =+，因为10,0a q >>，所以22320q q --=，因为0q >，所以解得：2q，222252252525752411(4)q q a a a a a a a a a a a a q q +++====+++； 解第二个空：因为()*12n n S S n N+=∈，所以数列{}nS 是以111Sa ==为首项，2为公比的等比数列，因此11122n n n S --=⋅=，所以98810109=222256a S S =--==.故答案为：14；256 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的判断和通项公式的应用，考查了,n n S a 之间的关系应用，考查了数学运算能力. 141 【分析】利用平面向量在坐标形式下的相关计算公式计算即可.【详解】若向量(7,5)a =，b 为单位向量，a 与b 的夹角为3π，则75a =+=12312⋅=⋅⋅=a b 若向量(3,1)a =-，(3,1)b =，则a 在b 方向上的投影为3112a b b⋅⋅==1 【点睛】本题考查的是平面向量在坐标形式下的相关计算，较简单. 15．6π 【分析】利用向量的方法，以1,,AA AC AB 为基底表示AD ，1CB ，并计算1⋅AD CB ，然后根据空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】 如图，1111111122AD AA A D AA A B AA AB =+=+=+， 111CB CA AB BB AA AC AB =++=-+，由侧棱和底面垂直，所以110,0⋅=⋅=AA AB AA AC且12,AB AC BC AA ====∴()11112⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭AD CB AA AB AA AC AB 22111122⋅=-⋅+AD CB AA AB AC AB 111182249222⋅=-⨯⨯⨯+⨯=AD CB ，13,AD CB ===∴1cos ,<>==AD CB 1,[0,]π∈AD CB ， ∴1,6π<>=AD CB ，∴异面直线AD 与1CB 成角的大小为6π． 故答案为：6π． 【点睛】本题考查利用向量的方法求解异面直线所成的角，本题关键在于选择合适的向量作为基底，考查计算能力，属基础题. 16．2 【分析】由条件有13ax +≤，所以313ax -+≤≤，即42ax -≤≤，再分a 的符号进行讨论得出解集，再与条件对照求出答案. 【详解】不等式()3f x ≤，即13ax +≤，所以313ax -+≤≤，得42ax -≤≤ 当0a =时，不等式()3f x ≤的解集为R ，不满足条件. 当0a >时，有42x a a-≤≤，由不等式()3f x ≤的解集为{}21x x -≤≤. 所以4221a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a =.当0a <时，有24ax a -≥≥,由不等式()3f x ≤的解集为{}21x x -≤≤.所以4122a a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，此时方程组无解.故答案为：2 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，根据不等式的解集求参数的值，属于中档题. 17．222083a b <+≤ 【分析】 由向量cos,12A B m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，且254m =可得A B +的值，即可求出C 的大小，再2c =，且ABC 是锐角三角形，由正弦定理可以将22a b +转化为一个只含A 的三角函数，根据正弦函数的性质即可求出22a b +的取值范围. 【详解】由题意得：向量cos ,12A B m +⎛⎫=⎪⎝⎭，且254m =，则 ()221cos 5cos 11224A B A B m +++=+=+=， 即()1cos 2A B +=-， 因为0A B π<+<， 所以23A Bπ+=即3C π=，因为2c =，由正弦定理得：sin sin sin3a b c AB C ===， 即2,3333a A b B A π⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 则22221621684sin sin cos 2cos 233333a A A A b A ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎣+⎦⎦1681168cos 2cos 22sin 23322336A A A A π⎡⎤⎛⎫=---=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 因为ABC 是锐角三角形，即02A π<<且2032B A ππ<=-<， 所以62A ππ<<，即有52666A πππ<-<， 所以有1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭， 所以222083a b <+≤ 故答案为：222083a b <+≤ 【点睛】本题考查了利用正弦定理把边转化成角，再利用三角函数的二倍角公式，两角和差公式进行化简求三角函数的范围，考查了学生的计算能力，属于一般题.18．（1）045A =； （2）1b c ==.【分析】（1）由题目中告诉的sin sin sin sin b B c C C a A +=，利用正弦定理则可得到222b c a +=，再结合余弦定理公式2222cos a b c bc A =+-求出角A 的值．（2）根据第一问求得的A 的值和题目中告诉的角B 的值可求得角C 的值，再利用正弦定理可求得边b 和c 的值． 【详解】(1)由正弦定理，得222b c a +=，由余弦定理，得222cos 22b c a A bc +-==，又000180A << 所以045A =．(2) 由（1）知：045A =,又060B = 所以0018075C A B =--=，又2a =，根据正弦定理，得2sinsina BbA⨯===2sin1sina CcA⨯===，所以1b c==【点睛】本题考查利用正余弦定理求解边与角．19．（1）证明过程详见解析（2【分析】（1）连结AC，交BD于点O，连结MO，推导出//PA MO，由此能证明//PA平面BMD．（2）取线段BC的中点H，连结AH，分别以AH，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM与平面PBC所成角的正弦值．【详解】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接MO.,M O分别为,PC AC中点，//PA MO∴.PA ⊄平面BMD，MO⊂平面BMD，//PA∴平面BMD.（2）解：如图，取线段BC的中点H，连结AH.ABCD 为菱形，3ABC π∠=，AH AD ∴⊥.分别以,,AH AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，()))0,0,0,1,0,A BC∴-，(1,,222P M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.31,,222AM ⎛∴= ⎝⎭，()0,2,0BC =，(3,1,PC =.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =.由•0•0m BC m PC ⎧=⎨=⎩，得200y y =⎧⎪+=.取1z =，()1,0,1m ∴=. 设直线AM 与平面PBC 所成角为θ.331•2sin cos ,mAM m AM m AMθ⨯∴====. ∴直线AM 与平面PBC所成角的正弦值为7.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题 ． 20．（1）证明见解析，121n a n =-；（2）21n n T n =+. 【分析】（1）已知条件变形为1112n na a +-=，再求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，最后求数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可知()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项相消法求和.【详解】（1）由题意可知112n n n n a a a a ++-= 两边同时除以1n n a a +，得1112n n a a +-=，且111a ，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，所以()111221n n n a =+-⨯=-，故121n a n =-； （2）()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，12...n n T b b b =+++1111111...23352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查由数列的递推公式求通项公式，裂项相消法求和，重点考查转化与化归的思想，计算变形能力，属于基础题型.21．（1）π；（2）最大值为：1，最小值为：． 【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积的公式，三角恒等变换求得()f x 的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数()f x 的最大值与最小值； 【详解】（1）()sin 2,1,1,cos 26A x B x π⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(sin 2,1)OA x ∴=π1,cos 26OB x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin 2cos 26f x OA OB x x π⎛⎫∴=⋅=++ ⎪⎝⎭sin 2cos 2cossin 2sin66x x x ππ=+-1sin 222x x =+ sin 2coscos 2sin33x x ππ=+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故()f x 的最小正周期22T ππ== （2）02x π≤≤， 42333x πππ∴≤+≤sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭()f x ∴的最大值和最小值分别为1和【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性､定义域和值域和最值，在研究函数()y Asin x ωϕ=+的单调性和值域时，一般采用的是整体思想，将x ωϕ+看做一个整体地位等同于sin x 中的x ，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．22．（1）6()4(0)g x x x x =-+≠ ；（2）52n ≥-. 【分析】（1）根据题意，结合(2)y f x =-是偶函数的条件，列出等量关系，求得6m =，得到本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

杭西高2018年5月考高二数学试卷本试卷有卷I 和卷II 组成，卷I 为《数学选修2—2》的模块考卷，分值100分；卷II 为加试部分，分值50分，总分150分。

卷I一、选择题（每小题4分，共40分）1．“a ＝0”是“复数z ＝a ＋bi 为纯虚数”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．复数2i i z +=(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 7＋b 7＝( )A ．18B ．29C ．47D ．764．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n <n ＋1(n >1)，当n ＝2时，中间式子等于 ( )A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋145．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( ) A ．a 1a 2a 3…a 9＝29 B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29 C ．a 1a 2…a 9＝2×9 D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9 6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60° C ．假设三内角至多有一个大于60° D ．假设三内角至多有两个大于60°7．复数()()223456z m m m m i =--+-- ()m R ∈在复平面内所对应的点位于第四象限,则m 的取值范围是( )A ．(-1，6)B ．(－∞，1)C ．(4,6)D ．(1，＋∞) 8．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间(-3,-1)内单调递增；②当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ③函数y ＝f (x )在区间()4，5内单调递增；④当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．③ 9．设函数f (x )在x =1处存在导数为2,则()()113x f x f lim x∆→+∆-∆= ( )A ．23B ．6C ．13D ．1210．设函数f(x)＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f(x)的极大值点B ．x ＝1为f(x)的极小值点C ．x ＝－1为f(x)的极大值点D ．x ＝－1为f(x)的极小值点 二、填空题（每小题4分，共20分）11．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为____________． 12．复数z ＝i1＋i (其中i 为虚数单位)的虚部是________．13．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.14．已知f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(π)＝________．15．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 三、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知函数()322f x x x x =-++（Ⅰ）求曲线()f x 在点(1,f(1))处的切线方程; （Ⅱ）求经过点A （1,3）的曲线()f x 的切线方程.17．用数学归纳法证明：当n ∈N *时，1＋22＋33＋…＋n n <(n ＋1)n .18．已知函数f (x )＝a3x 3＋x 2－2ax －1，f ′(－1)＝0.（Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）如果对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3，求b 的取值范围．卷II一、选择题（每小题5分，共10分）1．已知A,B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 2．已知函数()y f x =的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是12y x =+2,则()()11f f +'的值等于( ) A. 0 B. 1 C.52D.3 二、填空题（每小题6分，共12分）：3．设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧+-,2,x 22x x 0x 0x ≥＜，f （2）= ，若f （f （x ））≥9，则实数x 的取值范围是 。

杭西高2015年5月高二数学试卷问卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U R =，集合{}{}2,1,1,(1)(2)0A B x x x =--=+-<，则U AC B =（ ▲ ）． A ．{}2,1-- B ．{}2,1- C ．{}1,1- D ．{}2,1,1-- 2. 某几何体的正视图如左图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．的是（ ▲ ）3．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（▲ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 4.已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平面,αβ，有如下命题：①若,,//,////l m l m ααββαβ⊂⊂，则； ②若,//,//l l m l m αβαβ⊂⋂=，则；③若,//l l αββα⊥⊥，则，其中正确命题的个数是( ▲ ) A.3B.2C.1D.05．若函数()(01)xxf x ka a a a -=->≠且在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是 （ ▲ ）6．已知直线)(2sin cos :R y x l ∈=⋅+⋅ααα，圆0sin 2cos 2:22=⋅+⋅++y x y x C θθ )(R ∈θ，则直线l 与圆C 的位置关系是（▲ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与θα,相关7．已知函数⎩⎨⎧>-≤+=0,420,1)(x x x x f x ，若函数])([a x f f y +=有四个零点，则实数a 的取值范围为（▲ ）A ．)2,2[-B ．)5,1[C ．)2,1[D ．)5,2[-8．如图，⊙O ：1622=+y x ，)0,2(-A ，)0,2(B 为两个定点，l 是⊙O 的一条切线，若过A ，B 两点的抛 物线以直线l 为准线，则该抛物线的焦点的轨迹是(▲ )A ．圆B ．双曲线C ．椭圆D ．抛物线二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分）9．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，首项41=a ，且1351,,a a a 依次成等比数列，则该数列的通项公式=n a ▲ ，数列}2{n a 的前6项和为 ▲ .10．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥-1422y y ax y x ，目标函数y x z 2+=.若1=a ，则z 的最大值为 ▲ ；若z 存在最大值，则a 的取值范围为 ▲ ．11. M 是抛物线x y 42=上一点，F 是焦点，且4=MF ．过点M 作准线l 的垂线，垂足为K ，则三角形MFK的面积为 ▲ ．该抛物线的焦点与双曲线22221x y a b -=的一个焦点相同，且双曲线的离心率为2，那么该双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为___▲______.12．设函数3[11]()93(13)22x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，，，，，，则3(log 2)f -=____ ▲____；若(())[01]f f t ∈，，则实数t 的取值范围是___▲_ __.13.已知ABC ∆的面积为S ，且S AC AB 2=⋅． 求cos A = ▲ ．14．设函数12()log f x x =，给出下列四个命题：①函数()f x 为偶函数；②若()()f a f b = 其中0,0,a b a b >>≠，则1ab =；③函数2(2)f x x -+在()1,2上为单调增函数；④若01a <<，则(1)(1)f a f a +<-。

杭西高2016年5月高二语文试卷命题人:童珍珍审核人:俞红琴选择题部分一、选择题（本大题共34小题,每小题2分，共68分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)1．下列词语中加点的字，注音全都正确的一项是A．佣．金(yōng）褫．夺（chǐ）捋．虎须（luō) 落拓．不羁（tu ò）B．熊罴．(pí）睇眄．（miǎn）迫．击炮（pǎi）管窥蠡．测（l í）C．艾蒿．（hāo）款识．(zhì）大不韪．（wěi）潜．移默化（qiǎn) D．体．己（tǐ）贾．祸（gǔ）冠．名权(guàn）装模．作样（m ú）2．下列各句中,没有错别字的一项是A．英国《卫报》一名记者说，斯诺登目前尚属有选择地揭密，已经口下留情，如果和盘托出他所掌握的文件，或将是美国“最可怕的噩梦”。

B．经政府部门统一布署，我市备受关注的城市中央绿轴建设将于2017年全面完成。

届时,中央绿轴贯穿南北，景观公园绿树成荫,绿轴两侧高楼林立，传统现代相得益彰。

C．夸夸其谈、好大喜功历来为国人所不耻，在利益多元、诉求多样的今天，如果一个领导干部还满嘴“假大空”，老百姓怎么可能信任你？D．傅斯年不低调，不谦虚,不设城府,不留退路,不工于心计,不屑于安排，他更像一位敢怒敢言的西方斗士，而不像厚貌深衷的东方学者.3．下列各句中，加点的词语运用正确的一项是A．近年来，我们克服了地震、洪水等自然灾害，平稳渡过了金融的成就，国际地位得到大幅度提升。

危机，取得了令全世界为之侧目．．当如“文火炖B．一部优秀图书作品的诞生,从不会一蹴而就，反而．．菜”，将学识慢慢滋养到书中每一个句子和每一幅图片中，历经长久才能炼就而成。

C．等待的同时，各方传来的信息引起了人们各种猜测。

一天之后，。

马航客机失联一事似乎更加扣人心弦．．．．D．温州市群众体育运动蓬勃发展，不仅墙内开花墙外香,而且还香．．．．．．．飘万里。

一、语言基础运用题（1—4每题2分，5题2分，6题4分，共14分）1、下列词语中读音完全正确的一组是A、粗犷．(kuáng) 镌．刻(juān) 量．体裁衣(liàng)卷帙．浩繁（zhì）B、埋．怨(mán) 载．体(zài) 暴殄．天物(tiǎn)戛．然而止(jiá)C、宝藏．(zàng) 应．届(yìng)恪．守不渝(kâ)擢．发难数(zhuó)D、熨．帖(yùn) 熟稔．(rěn) 相形见绌．(chù) 徇．私枉法(xùn)2．下列各句中，没有错别字的一项是A．福岛核泄漏事故发生以来，有关放射性污染和清理等方面的信息批露缺乏透明度，日本政府和相关企业的不断遮掩、欺瞒之举让本国民众和国际社会长期不安。

B．仰望夜空，总是会有不可名状的失落感涌上心头。

多么怀念幼时曾见的如金钢钻般闪耀的星辰，那些闪烁的光亮总能引起我们无限的遐想。

C．“十一”长假，杭州西湖出现“只见人头不见桥头"的画面，游客们涌人各大景区，万头攒动，磨肩接踵。

根据统计，2日当天游客量破天荒达到100万人次。

D．“土豪"称谓的流行，与其说是揶揄，不如说是焦虑。

焦虑的背后，则是物质日渐走向丰裕之后，对精神生活更上层楼的迷茫和向往。

3. 下列各句中，加点的词语运用不正确的一项是A．近年来，空气污染加剧，影响了人们的日常生活和身体健康。

在过去的一年中，自年初至年末，由北向南，雾霾波及．．大半个中国。

B．等待的同时，各方传来的信息引起了人们各种猜测。

一天之后，马航客机失联一事似乎更加扣人心弦．．．．。

C．树立大国风范，涵养．．大国心态，让世界看到中国的开放、包容和自信，看到中国人民的团结、理性和智慧。

D．在陕西谢朝平事件、江西宜黄血拆事件中，微博狙击潜规则的表现可圈可点．．．．，对事件最终走向良性解决，几乎起到决定性的作用。

浙江省杭州市西湖高级中学2013-2014学年高一5月考试数学试题试卷 Ⅰ一. 选择题 ：本大题共10小题 ，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选择项中,只有一项是符合题目要求的。

1．若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．ac bc >C ．22ac bc >D ．a c b c ->- 2．已知数列1是这个数列的（ ） A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项 D ．第21项3．若ABC ∆的三角::1:2:3A B C =，则A 、B 、C 分别所对边::a b c =（ ）A ．1:2:3 B． C．2 D．1:2 4．在等差数列}{n a 中，已知53a =， 96a =，则13a =（ ） A ．9 B ．12 C ．15 D ．18 5．在等比数列}{n a 中，已知19a =，13q =-，19n a =，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 7．在等比数列{}n a ，37232a a ==，，则q =（）A ． 2B ．－2C ．±2D ． 48.等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和是( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．2609．在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是 （ ）A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]10．若关于x 的不等式24x x m -≥对任意[0,1]x ∈恒成立，则 实数m 的取值范围是（ ）A ．3m ≤-B ．3m ≥-C ．30m -≤≤D ．3m ≤-或0m ≥二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．11．111122334+++⨯⨯⨯……1(1)n n +=+_____ _____。

浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高二数学10月月考试题一.选择题（共40分，每题4分，请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个）1.下列多面体是五面体的是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱柱 D．五棱锥2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为( )A.3∶1B.3∶2 C．2∶ 3 D.3∶33.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为( )A．48 B．64 C．80 D．1205.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是BB1， BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )6. 设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：①若P∈a，P∈α，则a⊂α；②若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β；③若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α；④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b.其中真命题是( ) A．①②B．②③ C．①④D．③④7. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中，正确结论的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．48.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF9.如图所示，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SB B．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角10.如图所示，在正四棱锥S­ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN(不包括端点)上运动，给出下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.其中，恒成立的为( )A．①③B．③④C．①②D．②③④二.填空题（共36分，双空题每空3分，单空题每空4分）11.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3，则异面直线PC与BD所成的角为________，直线PC与平面ABCD所成的角为________.12.如图所示，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，则与平面PAB垂直的平面有和 .13.如图2­2­3所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则与EO平行的平面有________和________.14.若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是，可能是也可能不是的几何体是 .A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 E.四棱柱 F.圆台15.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．若在PB上存在一点Q，使平面MNQ∥平面PAD，则PQ∶QB＝________．16.下列叙述不正确的是________．①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；④直线a 与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．17.如图所示，已知边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，且BC＝22，M为BC的中点，则二面角P ­ AM ­ D的大小为三.解答题（共74分，请写出必要的解题过程和步骤）18.（14分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小．19. （15分）如图，在四棱锥P­ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC＝45°，AD ＝AC ＝1，PO⊥平面ABCD ，O 点在AC 上，PO ＝2，M 为PD 中点．(1)证明：AD⊥平面PAC ； (2)求三棱锥M­AC P 的体积．20. （15分）如图所示，在四棱锥P­ABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，求证：(1)平面PAC⊥平面PBD ； (2)二面角P­BC­D 的大小为45°.21. （15分）如图，已知四棱柱ABCD­A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，该菱形的边长为1，∠ABC＝60°，AA 1⊥平面AC.(1)设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： A 1O ∥平面B 1D 1C ；(2)若四棱柱的体积V ＝32，求C 1C 与平面B 1D 1C 所成角的正弦值．22. （15分）如图所示，PA⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN∥平面PAD ； (2)求证：MN⊥CD；(3)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求证：平面BMN⊥平面PCD.杭西高2019年10月高二数学参考答案一.选择题（共40分，每题4分，请从A 、B 、C 、D 四个选项中选出最符合题意的一个）1.下列多面体是五面体的是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱柱D ．五棱锥B [解析] 三棱柱有3个侧面，2个底面，共5个面，所以三棱柱为五面体．2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为( )A .∶1B .∶2C ．2∶D .∶3C [解析] 设正方体的棱长为a ，其外接球的半径为R .易知(2R )2＝a 2＋a 2＋a 2＝3a 2，则R ＝23a ，故正方体的棱长和其外接球的半径的之比为a ∶23a ＝2∶.3.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形C [解析] 如图，在原图形OABC 中，应有OA ＝O ′A ′＝6 cm ，OD ＝2O ′D ′＝2×2＝4 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝＝＝6 cm ，∴OA ＝OC .故四边形OABC 是菱形．4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为 ( )A ．48B ．64C ．80D ．120C [解析] 根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为侧面△PAB 的边AB 上的高，且PE ＝5.所以此几何体的侧面积是S ＝4S △PAB ＝4×21×8×5＝80.5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )A [解析] 由正投影的定义可知，点M在平面ADD1A1上的正投影为AA1的中点，点N在平面ADD1A1上的正投影为AD的中点，易知选A.6. 设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：①若P∈a，P∈α，则a⊂α；②若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β；③若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α；④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b.其中真命题是( )A．①②B．②③C．①④D．③④D [解析] 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；当a∩β＝P时，②错；如图所示，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．7. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中，正确结论的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4C [解析] 矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点．在△PBD中，M 是PB的中点，所以OM∥PD，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交．8.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEFA [解析] 原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，又FH∩EH＝H，所以AH⊥平面EFH.9.如图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SB B．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D [解析] 由AC⊥BD，AC⊥SD，且BD∩SD＝D，得AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确．由AB∥CD，得AB∥平面SCD，故B正确．记AC与BD交于点O，连接SO，则∠ASO为SA与平面SBD所成的角，∠CSO为SC与平面SBD所成的角，可证明△SAO≌△SCO，∴SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确．显然D错误．10.如图所示，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN(不包括端点)上运动，给出下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.其中，恒成立的为( )A．①③B．③④C．①②D．②③④A [解析] 设AC，BD交于点O，连接SO，EN，EM.①由SABCD是正四棱锥，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.又∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD.又EM∩MN＝N，SD∩BD＝D，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP，故①正确．②由异面直线的定义可知EP与BD是异面直线，不可能有EP∥BD，因此②不正确．③由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此③正确．④∵BD⊥AC，EM∥BD，∴EM⊥AC.又EM⊥SO，SO∩AC＝O，∴EM⊥平面SAC.若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，故④不正确．故选A.二.填空题（共36分，双空题每空3分，单空题每空4分）11.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3，则异面直线PC与BD所成的角为________，直线PC与平面ABCD所成的角为________.图23445° [解析] 连接AC.因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．在△PAC中，PA⊥AC，且PA＝5，AC＝＝＝5，所以∠PCA＝45°，即异面直线PC与BD所成的角为45°，直线PC与平面ABCD所成的角为45°.12.如图所示，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，则与平面PAB垂直的平面有和 .[解析] 平面PBC、平面PAD∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直13.如图223所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则与EO平行的平面有________和________.图223平面PAD、平面PCD[解析] 在△DPB中，∵O为BD的中点，E为PB的中点，∴EO∥PD，又EO在平面PAD、PCD外，PD在平面PAD、PCD内，所以EO与平面PAD、平面PCD平行．14.若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是，可能是也可能不是的几何体是 .A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 E.四棱柱 F.圆台D、F； B、E.15.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．若在PB上存在一点Q，使平面MNQ∥平面PAD，则PQ∶QB＝________．1∶1 [解析] 若平面MNQ∥平面PAD，则应有MQ∥PA，∵M是AB的中点，∴Q是PB的中点．所以PQ∶QB＝1∶1.16.下列叙述不正确的是________．①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；④直线a 与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．①②④ [解析] ①②中的两条直线可以相交，也可以异面，还可以平行，故①②错误；对于④，异面直线不具有传递性，故④错误．17.如图所示，已知边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，且BC＝2，M为BC的中点，则二面角P AM D的大小为________．45° [解析] 如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA .∵△PCD 为等边三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝2sin 60°＝.又∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，∴PE ⊥平面ABCD .∵AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM .∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝，AM ＝，AE ＝3，∴EM 2＋AM 2＝AE 2，∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM ，∴∠PME 是二面角PAMD 的平面角．∵tan ∠PME ＝EM PE ＝33＝1，∴∠PME ＝45°，∴二面角PAMD 的大小为45°.三.解答题（共74分，请写出必要的解题过程和步骤） 18.（14分）如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)若MN ＝BC ＝4，PA ＝4，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小．解： (1)证明：取PD 的中点H ，连接AH ，NH .∵N 是PC 的中点，∴NH //21DC .∵M 是AB 的中点，且DC //AB ，∴NH //AM ，即四边形AMNH 为平行四边形．∴MN ∥AH .∵MN ⊄平面PAD ，AH ⊂平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .(2)连接AC 并取其中点O ，连接OM ，ON ，∴OM //21BC ，ON //21PA .∴∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，PA ＝4，得OM ＝2，ON ＝2.∴MO 2＋ON 2＝MN 2，∴∠MON ＝90°，∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 成30°的角．19. （15分）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，PO ⊥平面ABCD ，O 点在AC 上，PO ＝2，M 为PD 中点．(1)证明：AD ⊥平面PAC ； (2)求三棱锥MACP 的体积．图236解：(1)证明：∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠ADC ＝45°，∴AD ⊥AC .∵PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥AD ，又∵AC ∩PO ＝O ，且AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，∴AD ⊥平面PAC .(2)∵M 是PD 的中点，∴M 到平面ABCD 的距离为21PO ＝1.由(1)知，S △ACD ＝21AD ·AC ＝21.∴三棱锥MACD 的体积V ＝31×21×1＝61. 三棱锥PACD 的体积V ＝31×21×2＝31.∴三棱锥MACP 的体积V ＝31 -61 ＝61.20. （15分）如图所示，在四棱锥PABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PD ＝a ，PA ＝PC ＝a ，求证：(1)平面PAC ⊥平面PBD ；(2)二面角PBCD 的大小为45°.证明：(1)∵PD ＝a ，DC ＝a ，PC ＝a ，∴PC 2＝PD 2＋DC 2，∴PD ⊥DC .同理可证PD ⊥AD ，又AD ∩DC ＝D ，∴PD ⊥平面ABCD .∴PD ⊥AC .又四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .又BD ∩PD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD .又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD .(2)由(1)知PD ⊥BC ，又BC ⊥DC ，且PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC .∴BC ⊥PC .∴∠PCD 为二面角PBCD 的平面角．在Rt △PDC 中，PD ＝DC ＝a ，∴∠PCD ＝45°.∴二面角PBCD 的大小为45°.21. （15分）如图，已知四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，该菱形的边长为1，∠ABC ＝60°，AA 1⊥平面AC.(1)设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： A 1O ∥平面B 1D 1C ；(2)若四棱柱的体积V ＝23，求C 1C 与平面B 1D 1C 所成角的正弦值．解： (1)证明：连接A 1C 1，与B 1D 1交于点G ，连接GC ，因为A 1G ∥CO ，A 1G ＝CO ，于是四边形A 1GCO 是平行四边形，故A 1O ∥CG ，又CG ⊂平面B 1D 1C ，故A 1O ∥平面B 1D 1C .(2)设AA 1＝h ，因为S 底＝AB ·BC ·sin ∠ABC ＝23，所以V ＝Sh ＝23，所以h ＝1.因为B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D 1⊥A 1A ，所以B 1D 1⊥平面A 1C ，所以平面B 1D 1C ⊥平面A 1C ，过C 1作C 1H ⊥GC 于H ，于是C 1H ⊥平面B 1D 1C ，所以∠C 1CG 为所求角，且sin ∠C 1CG ＝GC C1G ＝55.22. （15分）如图所示，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ； (2)求证：MN ⊥CD ；(3)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求证：平面BMN ⊥平面PCD.解：(1)证明：如图所示，取PD 的中点E ，连接AE 、EN ，则有EN //21CD //21AB //AM ，故AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE ，∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .(2)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN ，又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD .(3)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，又∠PDA ＝45°，E 是PD 的中点，∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD ， 又MN ⊥CD ，∴MN ⊥平面PCD ，又MN ⊂平面BMN ，∴平面BMN ⊥平面PCD .。

一 、选择题： 本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U=R ，集合M ＝{|1}x x >，P ＝2{|1}x x >,则下列关系正确的是（ ▲ ） A. M=P B. (C U M)⋂P=Φ C. P ⊆M D. M ⊆P2. 函数f(x)＝ln(x 2＋1)的图像大致是 （ ▲ ）3．函数cos y x =的一个单调递增区间为 ( ▲ ) A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 4．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的 ( ▲ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+=⋅a b a b ，则n = ( ▲ ) A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 6．函数f(x)＝）（1x ln 1+＋2-4x 的定义域为 ( ▲ )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]7.函数f (x )=ln x –x2的零点所在的大致区间是 ( ▲ ) A ．(1, 2) B ．(2, 3) C ．(1,e1)和(3, 4) D ．(e, +∞)8.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为（▲）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，9.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是 （ ▲ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]310. 已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则 （ ▲ ） A ．x<y<z B ．z<x<y C ．z<y<x D ．y<z<x 二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分. 11．计算222log 32+＝ ▲ .12. 方程||(cos1)1x a =+有两个根，则a 的范围为 ▲ .13. 设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝ ▲ .14．函数5()sin 1f x x x =++(x ∈R ),若()2f a =,则()f a -的值为 ▲ . 15．已知3,,sin 25πθπθ⎛⎫∈=⎪⎝⎭，则tan θ= ▲ ． 16．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = ▲ ．17．已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==u u u r u u u r则与的夹角的大小为 ▲ .三、解答题：（10+10+10+12，共42分，请写出必要的解题步骤） 18.（本题满分10分）设函数21()log 1xf x x-=+. （I ）讨论该函数的奇偶性。

杭西高2018年5月考高二数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1.1.“”是“复数为纯虚数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：为纯虚数且，则a=0是复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的必要但不充分条件．考点：1．复数的概念；2．充分条件与必要条件．2.2.复数 (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据，化简得复平面内坐标，即可判断所在象限。

【详解】化简得所以z在复平面内的坐标为所以点在第二象限所以选B【点睛】本题考查了复平面内对应点的象限，属于基础题。

3.3.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a7＋b7＝( )A. 18B. 29C. 47D. 76【答案】B【解析】【分析】根据所给例题，归纳出数据特征得到正确的解。

【详解】根据所给示例，得出后面的值等于前面两项的和所以，所以选B【点睛】本题考查了归纳推理的简单应用，属于基础题。

4.4.证明：，当时，中间式子等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：时中间式子的最后一项为，中间式子为考点：数学归纳法5.5.已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A. a1a2a3…a9＝29B. a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C. a1a2a3…a9＝2×9D. a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【答案】D【解析】试题分析：因为等比数列中，而等差数列中有，所以在等差数列中的结论应为：，故选D.考点：类比推理.6.6.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A. 假设三内角都不大于60度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】试题分析：由于本题所给的命题是一个特称命题，故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可解：用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应由于此命题是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60°”故选：B点评：本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题，要注意记忆与领会．7.7.复数在复平面内所对应的点位于第四象限,则m的取值范围是( )A. (-1，6)B. (－∞，1)C. (4,6)D. (1，＋∞)【答案】C【解析】【分析】根据复平面内点所对应的象限，列出不等式组，解不等式组得m的取值范围。

浙江省杭州市西湖高级中学2014-2015学年高二10月月考数学试题一、选择题1．在下列命题中，不是公理的是 (A )A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线2.下列图形中不一定是平面图形的是（D ）A.三角形B.平行四边形C.梯形D.四边相等的四边形3．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图（1）示，则该几何体的正视图为(d)4．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列结论中为错误．．的是( C ) A.若,//,ααn m ⊥则n m ⊥ B.若,,,//α⊥m n m 则α⊥nC.若,,//βαα⊥l 则β⊥lD.若αγββα⊥m ,//,//，则γ⊥m5已知正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球半径的比值为（ B ）（A ）3 （B ）33 （C ）23 （D ）332 6．正方体1AC 中，F 、E 分别是线段D 1C BC 、的中点，则直线B A 1与直线F E 的位置关系是（ A ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直 7.如图，空间四边形ABCD 中， AD=BC=2,E,F 分别是AB,CD 的中点， EF ＝3，则异面直线AD,BC 所成的角为（ C ）A ．30°B ．45°C ． 60°D ．90°8．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB 与CD 的位置关系是（D ）A ．AB ∥CD B ．AB ⊥CDC ．异面且成90︒角D ．异面且成60︒角9． 如图正三棱柱C B A ABC '''-的底面边长为3，高为2，一只蚂蚁要从顶点A 沿三棱柱的表面爬到顶点C '，若侧面C C A A ''紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（ A ）A.13B.32+C. 4D.73+10．如图，在四面体ABCD 中，DA ＝DB ＝DC ＝1，且DA ,DB ,DC 两两互相垂直，点O 是△ABC 的中心，将△DAO 绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与BC 所成角的余弦值的取值范围是（ A ）A ．]36,0[B ．]23,0[C ．]22,0[ D ．]33,0[非选择题部分(共70分)二、填空题11.正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、Q 分别为111,,AB BB C D 的中点，过M 、N 、Q 的平面与正方体相交截得的图形是六 边形12.如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -的四个面中，直角三角形的个数有4个13.如图正方形OABC 的边长为cm 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 cm 8 ． 14.已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为2π，那么它的体积为π31515．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有 24 对．16．如图，在直角梯形ABCD 中，,BC DC AE DC ⊥⊥，M 、N 分别是AD 、BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，下列说法正确的是___①②④ （填上所有正确的序号）。

杭西高2019年4月高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共15小题，每小题5分，共75 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合M={x|2-x 2>0},N={x|-2<x<1,x ∈Z}，则M N =（ ）A .{}1B .{}1,0-C .{}1,0,1-D .∅2.函数f (x )=sin(-2x )的一个递增区间是( ) A . B .CD .3.()()231f x x xf =+'，则()'2f =（ ） A .1 B .2 C .4 D . 84.已知向量a =(0，2，1)，b =(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为 ( ) A .0°B .45°C .90°D .180°5.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位: cm),则这个几何体的体积是( )A .8 cm 3B .12 cm 3C .24 cm 3D .72 cm 36.已知R a ∈，则“1a ≤”是“112a a ++-=”的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件7.设函数错误！未找到引用源。

，则( )A.x=错误！未找到引用源。

为f(x)的极大值点B.x=错误！未找到引用源。

为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点8.已知曲线321y x x =++在1x =处的切线平行于直线230ax y --=，则实数a 的值为（ ） A .25-B .52- C .10 D .10- 9.函数f (x )＝xe x ，x ∈[0，4]的最大值是（ ）A.0B.1eC.4e 4D.2e210.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，若12AF F △12124F AF AF F ∠=∠，则椭圆的方程为（ ）A .2213x y +=B .22132x y += C .2214x y +=D .22143x y += 11.点P 是曲线xy e x =+上的点， Q 是直线21y x =-上的点，则PQ 的最小值为（ ）A .12.已知函数()f x 21cos 4x x =+，'()f x 是函数()f x 的导函数，则'()f x 的图象大致是（）aA A8.已知 ()x x x f sin 21+=，[,]22x ππ∈-，则导函数()'f x 是 C （ ）13.已知函数21,0,()3,0,x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩若函数()()(1)g x f x k x =-+在(,1]-∞恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A .[1,3)B .(1,3]C .[2,3)D .(3,)+∞14.方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）A .sin cos ϕϕθ=B .sin cos ϕϕθ=-C .cos sin ϕθθ=D .sin sin θθϕ=-15.已知P ABC -是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E 是PA 中点， F 是BC 上靠近点B 的三等分点，设EF 与PA 、PB 、PC 所成角分别为α、β、γ，则（ ）A .βγα>>B . γβα>>C .αβγ>>D . αγβ>>二、填空题（本大题共7小题，单空题每题4分，其余每题6分，共36分.） 16.设(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，则()f x 的定义域为 ，(sin )6f π的值为 .17.抛物线2(0)y ax a =>上的点03,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离为2，则a = ， POF ∆的面积为__________；18已知变量x,y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数z=4x+y 的最大值为________________.19.已知函数，则在处的切线方程为_________；单调递减区间是_______．20.椭圆221x y m+=的离心率2e =，则m 的值为 ，过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为 ．21. 若函数有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是___________．22.函数f (x )=x 3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x 1,x 2,都有|f(x 1)f(x 2)|≤t ,则实数t的最小值是 ．三、解答题（本题共3个小题，共39分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 23.如图，在四棱锥ABCD P -中， PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为矩形，点E 在棱PD 上，且满足PD AE ⊥.（1）求证：平面BAE ⊥平面PCD ；（2）若AB=1，AD=PA=2，求直线AE 与平面PBC 所成角的余弦值.D APE24.已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）若,求函数在区间上的最大值；（2）若,关于的方程有且仅有一个根, 求实数的取值范围；（3）若对任意,不等式均成立, 求实数的取值范围.25.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，离心率e ＝22.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝3分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值．答案一． 选择题1-5CDACB 6-10BDCBC 11-15BAABD 二． 填空题16.[—, ], —17. 2 ,18. 819. y=—3x, (-1,1)20. 4或1/4，21. 10<<a 22. 20 三．解答题23（1）∵底面ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ⊥ADPA ABCD PA AB AB PAD AB PD ⊥⊥⊥⊥∵底面，∴，∴面，∴AE PD AB AE A PD BAE PD PCD PCD BAE⊥=⊥⊂⊥又，，∴面，又面，∴面面（4分）(2) 以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，P(0，0，2)，E （0，1，1）()()()=0111,0,2,1,2,2AE PB PC =-=-则，，， (6分)()202=,,,2200x z x z m PBC m x y z x y z y -==⎧⎧⊥⇒⎨⎨+-==⎩⎩设面，则()2,0,1m =∴ （8分）cos ,2sin cos 101010AE m AE m AE mθθ∙<>=====∴∴∴直线AE 与平面PBC 所成角的余弦值为24（1）当时,, 故在上单调递减,上单调递增, 当时,,当时,, 故在区间上．（2）当时, 关于的方程为有且仅有一个实根,则有且仅有一个实根, 设,则,因此在和上单调递减, 在上单调递增,, 如图所示, 实数的取值范围是．（3）不妨设,则恒成立．因此恒成立, 即恒成立,且恒成立, 因此和均在上单调递增,设,则在上上恒成立, 因此在上恒成立因此,而在上单调递减, 因此时,．由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此,设,则．当时,, 因此在内单调递减, 在内单调递增,因此．综上述,．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性25. 解：(1)由题意得2a ＝4，故a ＝2， ……………1分 ∵e ＝c a ＝22，∴c ＝2，b 2＝22－(2)2＝2，……………3分 ∴所求的椭圆方程为x 24＋y 22＝1. ……………4分(2)依题意，直线AS 的斜率k 存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)，从而M (3,5k )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋x 24＋y22＝1得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0. (6)分设S (x 1，y 1)，则(－2)×x 1＝8k 2－41＋2k 2，得x 1＝2－4k 21＋2k 2，从而y 1＝4k1＋2k2，即S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2， ……………8分又由B (2,0)可得直线SB 的方程为y －04k 1＋2k 2－0＝x －22－4k21＋2k2－2， 化简得y ＝－12k (x －2)， ……………10分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12k x －，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－12k ，∴N ⎝⎛⎭⎪⎫3，－12k ，……………11分故|MN |＝5k ＋12k ，……………12分又∵k >0，∴|MN |＝5k ＋12k≥25k ·12k＝10，…………14分当且仅当5k ＝12k ，即k ＝1010时等号成立．∴k ＝1010时，线段MN 的长度取最小值10.……………15分。

浙江省杭州市西湖高级中学高一数学下学期5月月考试题一、选择题（每小题5分，共8小题）1．若非零实数a , b 满足a >b ，则 ( )A ．a 3>b 3B.2211b a >C.a 2>b 2D.ba 11< 2．为得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数)62sin(π+=x y 的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度3．不等式0322322<--+-x x x x 的解集是( ) A ．(-∞, -1)∪(1, 2)∪(3, +∞) B ．(-1, 1)∪(2, 3) C ．(-1, 1) ∪(1, 2)D ．(1, 2)∪(2, 3)4. 设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB ( )A ．AD B.12AD C. 12BC D. BC 5.若βα,为锐角，且满足53)cos(,54cos =+=βαα，则βsin 的值是（ ）（A ）2517 （B ）53 （C ）257（D ）516．已知平面向量→OA 、→OB 、→OC 为三个单位向量，且→OA 0=⋅→OB ， 满足→OC +=→OA x ),(R y x OB y ∈→，则y x +的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 7.ABC ∆各角的对应边分别为c b a ,,,满足1≥+++ba cc a b ,则角A 的范围是（ ） A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ 8.在锐角三角形ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,若A ＝2B ,给出下列命题： ①64B ππ<<；②(2,3]a b∈；③22a b bc =+．其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题9．已知31)4cos(-=-απ，则)43cos(απ+的值为____ ____ 10.ABC ∆满足AC AB =，2=BC ，G 为ABC ∆的重心，则=⋅BC BG11．设平面上有4个互异的点,,,A B C D 已知(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=,则ABC ∆的形状是________________________12.已知:),3(),2,1(m OB OA =-=,若OB OA ⊥，则=m ;若OB OA //,则=m13. 已知函数f （x ）=（x ＞1），当且仅当x= 时，f （x ）取到最小值为 ．14．已知向量(1,2)a =-，(2,3)b =，若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是________15．已知ABC ∆的内角C B A ,,所对的边为c b a ,,，60,13,1A a b =︒==，则c = ，=++++CB A cb a sin sin sin ___三、解答题16. 已知向量()1,3cos m α=，()1,4tan n α=，()22ππα∈-,，且5m n ⋅=．（1）求m n +； （2）设向量m 与n 的夹角为β，求tan()αβ+的值．17．设函数()f x m n =⋅，其中向量(2cos ,1)m x =，(cos 32)n x x =，x R ∈． （1）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知2)(=A f ，1=b ，△ABC 的面积为23，求a ．18. 在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知()b b a c a ⋅-=-22．（Ⅰ）若2cos2B-8cos B +5=0，判断ABC ∆的形状； （Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，求2abc的取值范围．19. 某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足31kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件。

西湖高级中学2021-2021学年高一5月月考数学试题第一局部：模块测试题一．选择题(每题4分,共32分)〔1〕数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，那么数列的第5项为〔 〕 〔A 〕110 〔B 〕16 〔C 〕15 〔D 〕12〔2〕数列1，3，6，10，…的一个通项公式a n ＝ 〔 〕〔A 〕n 2－n ＋1 〔B 〕1(1)2n n - 〔C 〕1(1)2n n + 〔D 〕123n +- 〔3〕数列{n a }的通项公式是n a ＝122+n n (n ∈*N )，那么n a 与1+n a 的大小关系是〔 〕〔A 〕n a ＞1+n a 〔B 〕n a ＜1+n a 〔C 〕n a ＝ 1+n a 〔D 〕不能确定〔4〕某厂在1995年底制定生产方案，要使2021 年底的总产量在1995年底的根底上翻两番，那么年平均增长率为〔 〕〔A 1 〔B 〕1 〔C 1 〔D 〕1 〔5〕在△ABC 中，假设22()3b c a bc +-=，那么角A ＝〔 〕〔A 〕30° 〔B 〕60° 〔C 〕120° 〔D 〕150° 〔6〕在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是〔 〕 〔A 〕锐角三角形 〔B 〕直角三角形〔C 〕等腰三角形〔D 〕等腰三角形或直角三角形〔7〕假设,,a b c ∈R ，且b a >，那么以下不等式一定成立的是〔 〕 〔A 〕c b c a -≥+〔B 〕bc ac >〔C 〕02>-ba c 〔D 〕0)(2≥-cb a 〔8〕不等式x x 452>-的解集为〔 〕〔A 〕〔－5，1〕 〔B 〕〔－1，5〕 〔C 〕〔－∞，－5〕∪〔1，＋∞〕 〔D 〕〔－∞，－1〕∪〔5，＋∞〕二．填空题(每题5分,共20分)〔9〕在等差数列{}n a 中，2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于 . 〔10〕在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 那么数列{}n a 的通项公式是_________=n a ；前n 项和n S ＝ .〔11〕在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，那么此三角形的最大边长为 . 〔12〕△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，那么cos C ＝ . 三．简答题(共48分) 〔13〕〔本小题总分值16分〕设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，3a ＝24，011=S ． (Ⅰ) 求数列{n a }的通项公式； 〔Ⅱ〕求数列{n a }的前n 项和n S ；〔Ⅲ〕当n 为何值时，n S 最大，并求n S 的最大值． 〔14〕〔本小题总分值16分〕如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，求AB 的长.〔15〕〔本小题总分值16分〕某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润为900元，每1吨乙种棉纱的利润为600元.工厂在生产这两种棉纱的方案中，要求消耗一级籽棉不超过250吨，二级籽棉不超过300吨.问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大？并求出利润总额的最大值.第二局部：加试题〔1〕假设0＜a ＜1，0＜b ＜1，把a ＋b ，，2ab 中最大与最小者分别记为M 和m ，那么〔 〕〔A 〕M ＝a ＋b ， m ＝2ab 〔B 〕M ＝2ab ， m ＝〔C 〕M ＝a ＋b ， m ＝ 〔D 〕M ＝， m ＝2ab 〔2〕设x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，那么x ＋y 的最小值是〔 〕〔A 〕32〔B 〕1 + 3 〔C 〕2 3 －2 〔D 〕2－ 3〔3〕设z y x ,,是不相等的三个数，那么使z y x ,,成等差数列, 且y z x ,,成等比数列的条件是〔 〕(A) 2:1:4::=z y x (B) )2(:1:4::-=z y x (C) 2:1:)4(::-=z y x (D) 2:)1(:4::-=z y x〔4〕如果一个一元二次不等式的解集为〔2，3〕，那么这样的一元二次不等式可以是 〔写出一个符合条件的不等式即可〕.〔5〕关于x 的不等式22(21)0x m x m m -+++<的解集为 ． 〔6〕〔本小题总分值15分〕集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝〔2a ，a 2＋1〕. 〔Ⅰ〕当a ＝2时，求AB ；〔Ⅱ〕求使B ⊆A 的实数a 的取值范围.(7). (本小题总分值15分)函数f(x)= m·log2x + t的图象经过点A〔4，1〕、点B〔16，3〕及点C〔S n，n〕，其中S n为数列{a n}的前n项和，n∈N*.〔Ⅰ〕求S n和a n；〔Ⅱ〕设数列{b n}的前n项和为T n , b n = f(a n) – 1, 求不等式T n≤ b n的解集，n∈N*. 参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C B D B D D A〔9〕4 〔10〕na＝12-n；nS＝21n-〔11〕52〔12〕41-〔15〕解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x、y吨，利润总额为z，那么z＝900x＋600yxyOM且225023000,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩作出以上不等式组所表示的平面区域〔如图〕，即可行域. 作直线l ：900x ＋600y ＝0，即3x ＋2y ＝0， 把直线l 向右上方平移至过直线2x ＋y ＝250与直线x ＋2y ＝300的交点位置M 〔3200，3350〕，此时所求利润总额z ＝900x ＋600y 取最大值130000元.加试1 2 3 ACB〔4〕2560x x -+< 〔5〕〔m ，m ＋1〕3x ＋2y ＝0〔2〕 0,111===T b n 时当, 不等式成立.,2时当≥n b n = f(a n ) – 1= n – 2 ,.2232)1)(20(02+-=--++=n n n n T n02)3)(2(265)2(22322≤--=+-=--+-=-n n n n n n n b T n n ,解得: .32≤≤n =∴∈*n N n ,2,3所求不等式的解集为{1, 2，3 }.。

浙江省杭州市西湖高级中学2021-2022高二数学10月月考试题一.选择题（共40分，每题4分，请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个）1.下列多面体是五面体的是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱柱 D．五棱锥2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为( )A.3∶1B.3∶2 C．2∶ 3 D.3∶33.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为( )A．48 B．64 C．80 D．1205.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是BB1， BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )6. 设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：①若P∈a，P∈α，则a⊂α；②若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β；③若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α；④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b.其中真命题是( ) A．①②B．②③ C．①④D．③④7. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC. 其中，正确结论的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．48.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF9.如图所示，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SB B．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角10.如图所示，在正四棱锥S­ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN(不包括端点)上运动，给出下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.其中，恒成立的为( )A．①③B．③④C．①②D．②③④二.填空题（共36分，双空题每空3分，单空题每空4分）11.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3，则异面直线PC与BD所成的角为________，直线PC与平面ABCD所成的角为________.12.如图所示，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，则与平面PAB垂直的平面有和 .13.如图2­2­3所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则与EO平行的平面有________和________.14.若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是，可能是也可能不是的几何体是 .A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 E.四棱柱 F.圆台15.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．若在PB上存在一点Q，使平面MNQ∥平面PAD，则PQ∶QB＝________．16.下列叙述不正确的是________．①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；④直线a 与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．17.如图所示，已知边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，且BC＝22，M为BC的中点，则二面角P ­ AM ­ D的大小为________．三.解答题（共74分，请写出必要的解题过程和步骤）18.（14分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)若MN＝BC＝4，PA＝43，求异面直线PA与MN所成的角的大小．19. （15分）如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC ＝1，PO⊥平面ABCD，O点在AC上，PO＝2，M为PD中点．(1)证明：AD⊥平面PAC； (2)求三棱锥M­AC P的体积．20. （15分）如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA ＝PC＝2a，求证：(1)平面PAC⊥平面PBD； (2)二面角P­BC­D的大小为45°.21. （15分）如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，该菱形的边长为1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面AC.(1)设棱形ABCD的对角线的交点为O，求证： A1O∥平面B1D1C；(2)若四棱柱的体积V＝32，求C1C与平面B1D1C所成角的正弦值．22. （15分）如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD； (2)求证：MN⊥CD；(3)若二面角P-CD-A的大小为45°，求证：平面BMN⊥平面PCD.杭西高2021年10月高二数学参考答案一.选择题（共40分，每题4分，请从A 、B 、C 、D 四个选项中选出最符合题意的一个）1.下列多面体是五面体的是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱柱D ．五棱锥 B [解析] 三棱柱有3个侧面，2个底面，共5个面，所以三棱柱为五面体．2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为( )A .∶1B .∶2C ．2∶D .∶3C [解析] 设正方体的棱长为a ，其外接球的半径为R .易知(2R )2＝a 2＋a 2＋a 2＝3a 2，则R ＝23a ，故正方体的棱长和其外接球的半径的之比为a ∶23a ＝2∶. 3.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形C [解析] 如图，在原图形OABC 中，应有OA ＝O ′A ′＝6 cm ，OD ＝2O ′D ′＝2×2＝4 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝＝＝6 cm ，∴OA ＝OC .故四边形OABC 是菱形．4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为 ( )A ．48B ．64C ．80D ．120C [解析] 根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为侧面△PAB 的边AB 上的高，且PE ＝5.所以此几何体的侧面积是S ＝4S △PAB ＝4×21×8×5＝80.5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )A [解析] 由正投影的定义可知，点M在平面ADD1A1上的正投影为AA1的中点，点N在平面ADD1A1上的正投影为AD的中点，易知选A.6. 设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：①若P∈a，P∈α，则a⊂α；②若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β；③若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α；④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b.其中真命题是( )A．①②B．②③C．①④D．③④D [解析] 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；当a∩β＝P时，②错；如图所示，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．7. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中，正确结论的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4C [解析] 矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点．在△PBD中，M 是PB的中点，所以OM∥PD，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交．8.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEFA [解析] 原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，又FH∩EH＝H，所以AH⊥平面EFH.9.如图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SB B．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D [解析] 由AC⊥BD，AC⊥SD，且BD∩SD＝D，得AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确．由AB∥CD，得AB∥平面SCD，故B正确．记AC与BD交于点O，连接SO，则∠ASO为SA与平面SBD所成的角，∠CSO为SC与平面SBD所成的角，可证明△SAO≌△SCO，∴SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确．显然D错误．10.如图所示，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN(不包括端点)上运动，给出下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.其中，恒成立的为( )A．①③B．③④C．①②D．②③④A [解析] 设AC，BD交于点O，连接SO，EN，EM.①由SABCD是正四棱锥，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.又∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD.又EM∩MN＝N，SD∩BD＝D，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP，故①正确．②由异面直线的定义可知EP与BD是异面直线，不可能有EP∥BD，因此②不正确．③由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此③正确．④∵BD⊥AC，EM∥BD，∴EM⊥AC.又EM⊥SO，SO∩AC＝O，∴EM⊥平面SAC.若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，故④不正确．故选A.二.填空题（共36分，双空题每空3分，单空题每空4分）11.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3，则异面直线PC与BD所成的角为________，直线PC与平面ABCD所成的角为________.图23445° [解析] 连接AC.因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．在△PAC中，PA⊥AC，且PA＝5，AC＝＝＝5，所以∠PCA＝45°，即异面直线PC与BD所成的角为45°，直线PC与平面ABCD所成的角为45°.12.如图所示，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，则与平面PAB垂直的平面有和 .[解析] 平面PBC、平面PAD∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直13.如图223所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则与EO平行的平面有________和________.图223平面PAD、平面PCD[解析] 在△DPB中，∵O为BD的中点，E为PB的中点，∴EO∥PD，又EO在平面PAD、PCD外，PD在平面PAD、PCD内，所以EO与平面PAD、平面PCD平行．14.若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是，可能是也可能不是的几何体是 .A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 E.四棱柱 F.圆台D、F； B、E.15.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．若在PB上存在一点Q，使平面MNQ∥平面PAD，则PQ∶QB＝________．1∶1 [解析] 若平面MNQ∥平面PAD，则应有MQ∥PA，∵M是AB的中点，∴Q是PB的中点．所以PQ∶QB＝1∶1.16.下列叙述不正确的是________．①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；④直线a 与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．①②④ [解析] ①②中的两条直线可以相交，也可以异面，还可以平行，故①②错误；对于④，异面直线不具有传递性，故④错误．17.如图所示，已知边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，且BC＝2，M为BC的中点，则二面角P AM D的大小为________．45° [解析] 如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA .∵△PCD 为等边三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝2sin 60°＝.又∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，∴PE ⊥平面ABCD .∵AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM .∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝，AM ＝，AE ＝3，∴EM 2＋AM 2＝AE 2，∴AM ⊥EM . 又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM ，∴∠PME 是二面角PAMD 的平面角．∵tan ∠PME ＝EM PE ＝33＝1，∴∠PME ＝45°，∴二面角PAMD 的大小为45°.三.解答题（共74分，请写出必要的解题过程和步骤） 18.（14分）如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)若MN ＝BC ＝4，PA ＝4，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小．解： (1)证明：取PD 的中点H ，连接AH ，NH .∵N 是PC 的中点，∴NH //21DC .∵M 是AB 的中点，且DC //AB ，∴NH //AM ，即四边形AMNH 为平行四边形．∴MN ∥AH .∵MN ⊄平面PAD ，AH ⊂平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .(2)连接AC 并取其中点O ，连接OM ，ON ，∴OM //21BC ，ON //21PA .∴∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，PA ＝4，得OM ＝2，ON ＝2. ∴MO 2＋ON 2＝MN 2，∴∠MON ＝90°，∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 成30°的角．19. （15分）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，PO ⊥平面ABCD ，O 点在AC 上，PO ＝2，M 为PD 中点．(1)证明：AD ⊥平面PAC ； (2)求三棱锥MACP 的体积．图236解：(1)证明：∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠ADC ＝45°，∴AD ⊥AC . ∵PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥AD ，又∵AC ∩PO ＝O ，且AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，∴AD ⊥平面PAC .(2)∵M 是PD 的中点，∴M 到平面ABCD 的距离为21PO ＝1.由(1)知，S △ACD ＝21AD ·AC ＝21.∴三棱锥MACD 的体积V ＝31×21×1＝61. 三棱锥PACD 的体积V ＝31×21×2＝31.∴三棱锥MACP 的体积V ＝31 -61 ＝61.20. （15分）如图所示，在四棱锥PABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PD ＝a ，PA ＝PC ＝a ，求证：(1)平面PAC ⊥平面PBD ；(2)二面角PBCD 的大小为45°.证明：(1)∵PD ＝a ，DC ＝a ，PC ＝a ，∴PC 2＝PD 2＋DC 2，∴PD ⊥DC .同理可证PD ⊥AD ，又AD ∩DC ＝D ，∴PD ⊥平面ABCD .∴PD ⊥AC .又四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .又BD ∩PD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD .又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD . (2)由(1)知PD ⊥BC ， 又BC ⊥DC ，且PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC .∴BC ⊥PC .∴∠PCD 为二面角PBCD 的平面角．在Rt △PDC 中，PD ＝DC ＝a ，∴∠PCD ＝45°.∴二面角PBCD 的大小为45°.21. （15分）如图，已知四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，该菱形的边长为1，∠ABC ＝60°，AA 1⊥平面AC.(1)设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： A 1O ∥平面B 1D 1C ；(2)若四棱柱的体积V ＝23，求C 1C 与平面B 1D 1C 所成角的正弦值．解： (1)证明：连接A 1C 1，与B 1D 1交于点G ，连接GC ，因为A 1G ∥CO ，A 1G ＝CO ，于是四边形A 1GCO 是平行四边形，故A 1O ∥CG ，又CG ⊂平面B 1D 1C ，故A 1O ∥平面B 1D 1C .(2)设AA 1＝h ，因为S 底＝AB ·BC ·sin ∠ABC ＝23，所以V ＝Sh ＝23，所以h ＝1.因为B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D 1⊥A 1A ，所以B 1D 1⊥平面A 1C ，所以平面B 1D 1C ⊥平面A 1C ，过C 1作C 1H ⊥GC 于H ，于是C 1H ⊥平面B 1D 1C ，所以∠C 1CG 为所求角，且sin ∠C 1CG ＝GC C1G ＝55.22. （15分）如图所示，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ； (2)求证：MN ⊥CD ；(3)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求证：平面BMN ⊥平面PCD.解：(1)证明：如图所示，取PD 的中点E ，连接AE 、EN ，则有EN //21CD //21AB //AM ，故AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE ，∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .(2)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN ，又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD .(3)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，又∠PDA ＝45°，E 是PD 的中点，∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD ，又MN ⊥CD ，∴MN ⊥平面PCD ，又MN ⊂平面BMN ，∴平面BMN ⊥平面PCD .。