第六讲 三角形

第六讲直角三角形斜边上的中线基本图形：图形性质：△ABC中，∠ACB=90°AD=BD<=>CD=AD=AB，AD=BD<=>∠DCA=∠DAC，∠BDC=2∠DAC，应用条件：出现了直角三角形斜边的中点，添线方法：添加直角三角形斜边上的中线，难度：★★权重：★★★应用条件：出现了线段之间的倍半关系，且倍线段是一个直角三角形的斜边，添线方法：取斜边的中点，再添加直角三角形斜边上的中线，难度：★★★★权重：★★★应用条件：出现了一个等腰三角形的底边再一个直角的直角边上，添线方法：将等腰三角形的一条腰延长到与另一条直角的边相交，难度：★★★★★★权重：★★★★★应用条件：出现了由线段的中点发出的两条相等线段，添线方法：将相等线段中的一条延长一倍后，联结成直角三角形斜边上中线的基本图形，难度：★★★★★★权重：★★例1，已知：△ABC中，∠ACB=90°，延长AB到D，AB=2CD，过D作DE∥CA交CB的延长线于E．求证：∠CDE=3∠ADE，分析：本题的条件中给出了AB=2CD，是两条线段之间的倍半关系，又因为∠ACB=90°，所以其中的倍线段AB就是直角△ABC的斜边，从而可应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明，这是本题的第一个关键思维节点，就是由出现的两条线段之间的倍半关系，且的倍线段是一个直角三角形的斜边，就要想到应用或添加直角三角形斜边上的中线的基本图形进行证明，添加的方法就是将直角三角形斜边上的中线添上，由于图形中是有直角三角形而没有出现斜边上的中线，所以应将斜边上的中线添上，也就是取AB的中点F，联结CF，就可得AB=2CF，由条件AB=2CD，就有CD=CF，这是两条具有公共端点C的相等线段，它们可组成一个等腰三角形，应用等腰三角形的性质可得∠CDF=∠CFD，这是本题的第二个关键思维节点，就是由出现的两条具有公共端点的相等线段，想到要应用等腰三角形的性质进行证明，而由直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质又可得∠CFD=2∠BAC，所以∠CDF=2∠BAC，又因为ED∥CA，这两条平行线可以看作是被AD所截，∠EDA和∠BAC是一组同位角，所以可应用与同位角有关的平行线的基本图形进行证明，所以∠EDA=∠BAC，∠CDA=2∠EDA，从而就可得∠CDE=∠CDA+∠EDA=3∠ADE.例2，已知：△ABC中，∠ABC=2∠ACB，AD⊥BC垂足是D，E是BC的中点．求证：DE=AB，分析一：本题给出了条件AD⊥BC，而要证明的结论DE=AB是两条线段之间的倍半关系，且其中的倍线段AB是直角△ABD的斜边，所以就可应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明，现在图形中是有直角三角形，而没有斜边上的中线，于是要将斜边上的中线添上，这是本题的第一个关键思维节点，就是由出现的两条线段之间的倍半关系，且的倍线段是一个直角三角形的斜边，就要想到应用或添加直角三角形斜边上的中线的基本图形进行证明，添加的方法就是将直角三角形斜边上的中线添上，也就是取AB的中点F，联结DF，可得DF=AB，从而问题就转化成为应证DF=DE，而由所作的F是AB的中点和条件中给出的E是BC的中点，出现了两个中点，是多个中点问题，从而可应用三角形的中位线的基本图形的性质进行证明，这是本题的第二个关键思维节点，就是由出现的两个中点，是多个中点问题，从而想到可应用三角形的中位线的基本图形的性质进行证明，由于中点E、F所在线段BC、BA有公共端点B，可以组成三角形，所以E、F这两个中点的连线就是三角形的一条中位线，但现在图形中是有三角形而没有中位线，从而需将中位线添上，也就是联结EF，可得EF∥CA，这就是具体的添线方法，现在我们要证的性质是DF=DE，是两条具有公共端点D的相等线段，就可以组成一个等腰三角形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题，又因为E、D、B成一直线，图形中出现了这个要证明的等腰三角形的顶角的外角，所以要证明DE=DF，就可以转化成要证它的等价性质∠FDB=2∠FEB，这是本题的第三个关键思维节点，就是由出现的两条具有公共端点的相等线段，想到要应用等腰三角形的性质进行证明，又因为由直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质，可得FD=FB，∠FDB=∠FBD，而由条件∠ABC=2∠ACB，所以问题就成为要证∠ACB=∠FEB，由于这两个角是FE、AC被BC所截得到的同位角，所以可应用与同位角有关的平行线的基本图形进行证明，由于已证EF∥CA，所以分析可以完成。

第六讲 直角三角形的边角关系【基础知识精讲】一、正弦与余弦，正切：1、 在ABC ∆中，C ∠为直角，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，⋅=∠=caA A 斜边的对边sin)90sin(cos )90cos(sin A A A A -︒=-︒= tan (90)A A =︒-五、同角三角函数：1cos sin 22=+A A 1tan tan =⋅B A六、坡比（坡度）：坡面的铅直高度h 与水平宽度L 的比叫做坡角的正切或坡比. 用字母i 表示，即i= tana = lhla h【例题巧解点拨】例1.计算：（1）02222289sin 88sin 3sin 2sin 1sin +++++变式训练：1. （2011苏州）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ）A.43B.34C.53D. 542．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们 的角为α，则它们的重叠部分的面积为_________.例4.（2007北京） 在Rt ⊿ABC 中，︒=∠90C ，斜边c=5，两直角边的长a 、b 是关于x 的一元二次方程0222=-+-m mx x 的两个根，求Rt ⊿ABC 较小锐角的正弦值.米，长为1.2米，落在地面上的影子长为2.4米，则树高为_____米。

5.（2010咸宁）如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条 平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点 分别在四条直线上，则sin α= ．A B CD α1l 3l 2l4lE6.（2012福州）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是 .（结果保留根号）四、解答题：9.（2012•湘潭）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，请你计算车位所占的宽度EF约为多少米？（，结果保留两位有效数字．）DA望子成龙学校家庭作业姓名：_______一、选择、填空题：1.（2010常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB= .2.（2010温州）如图，已知一商场自动扶梯的长z为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于( )。

第六讲认识三角形1．三角形的概念：(1)什么是三角形呢?三角形是由条不在同一条直线上的线段连结组成的图形，这三条线段就是三角形的。

如图：AB、BC、AC是这个三角形的，两边的公共点叫三角形的。

(如点A)三角形约顶点用大写字母表示，整个三角形表示为△ABC。

C(2)三角形的内角，外角的概念：每两条边叫做三角形的内角，如∠BAC。

每个三角形有几个内角?三角形中内角的一边与另一边的所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ABC的一个外角，它与内角∠ACB相邻。

（请标记出一下三角形的外角）B D与△ABC的内角∠ACB相邻的外角有几个?它们之间有什么关系?练习：(1)下图中有几个三角形?并把它们表示出来。

B C(2)指出△ADC的三个内角、三条边。

提问：∠ADC能写成∠D吗?∠ACD能写成∠C吗?为什么?4、有人说CD是△ACD和△BCD的公共的边，对吗? AD是△ACD和△ABC的公共边，对吗?(4)∠BDC是△BCD的什么角?是△ACD的什么角?∠BCD是△ACD的外角，对吗?(5)请你画出与△BCD的内角∠B相邻的外角。

2．三角形按角分类。

?并用量角器或三角板加以验证。

23第一个三角形三个内角都是角；第二个三角形有一个内角是角；第三个三角形有一个内角是角。

定义：叫锐角三角形；叫直角三角形；叫钝角三角形。

三角形按角分类可分为：锐角三角形( 个内角都是锐角)直角三角形( 个内角是直角)钝角三角形( 个内角是钝角)3．等腰三角形、等边三角形的概念：给一下以下三个三角形标上顶点，并说明它们的边各有什么特点?（是否相等？）1经过观察，测量可知：第一个三角形的三边；第二个三角形有条边相等( ＝)；第三个三角形的三边。

定义：(1)等腰三角形：。

叫做等腰三角形的腰，如上图(2)中的是这个等腰三角形的腰。

(2)等边三角形：问：等边三角形是不是等腰三角形?三、巩固练习1、在如图所示的图形中，三角形的个数共有个。

知识点一：三角形的特性1、三角形的定义：由 围成的图形（每相邻两条线段的端点 ），叫三角形。

2、从三角形的 ，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

三角形只有 条高。

重点：三角形高的画法：一落二移三画四标3、三角形具有 。

如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。

学生/课程年级 四年级 学科 数学 授课教师日期 时段 核心内容 三角形（第6讲）教学目标 1、认识三角形的特性，掌握三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180°2、认识三角形的分类，了解这些三角形的特点并能够辨认和区别它们3、培养应用数学知识解决实际问题的能力4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和第三边。

三角形任意两边之差第三边。

两边第三边〈两边。

判断三条线段能不能组成三角形，只要看两条边的和是不是大于。

5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。

知识点二：三角形的分类1、按照角大小来分：三角形，三角形，三角形。

2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。

3、等边△的三边，每个角是度。

（顶角、底角、腰、底的概念）4、三个角都是的三角形叫做锐角三角形。

5、有一个角是的三角形叫做直角三角形。

6、有一个角是的三角形叫做钝角三角形。

7、每个三角形都至少有两个；每个三角形都至多有1个；每个三角形都至多有1个。

8、两条边的三角形叫做等腰三角形。

9、三条边都的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。

10、等边三角形是三角形知识点三：三角形的内角和1、三角形的内角和是。

四边形的内角和是。

一个三角形中至少有两个，每个三角形都至多有一个；每个三角形都至多有一个。

可以根据最大的角判断三角形的类型。

最大的角是哪类角，就属于那类三角形。

最大的角是直角，就是直角三角形。

最大的角是钝角，就是钝角三角形。

2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成。

第六讲：直角三角形的判定（HL ）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”“HL ”) 注意：首先要说明这两个三角形是直角三角形，然后找到直角边和斜边。

迄今为止：所有的判断三角形全等的方法：补充：直角三角形的性质：1.在直角三角形中, 上的中线等于 的一半.2.在直角三角形中,如果一个锐角等于 ,那么 .例1：①已知：如图①，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，AE=DF ，AB=DC ，则△ ≌△ （HL ）． ②如图②，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度．图① 图②例2：如图，点B 、E 、F 、C 在同一直线上，且AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，AB=DC ，BF=CE ，试判断AB 与CD 的位置关系.例3：如图已知AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，那么，CE=DF 吗？谈谈你的理由!ABCDEFFED CB A例4：如图，已知AB=AC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，AD ，BC 相交于点E ，求证：（1）CE=BE ；（2）CB ⊥AD.例5：如图△ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，M 是AB 的中点，点N 在BC 上，MN ⊥AB ，求证:AN 平分∠BAC 。

例6：已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC .你能说明BE 与DF 相等吗？例7：如图1，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E 点，BF ⊥AC 于F 点，若AB=CD,AF =CE,BD 交AC 于M 点。

（1）求证：MB =MD,ME=MF;(2)当E 、F 两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，给予证明。

第6讲 三角形知识点1三角形初步1.三角形的定义：由3条不在同一直线上的线段，首尾顺次连接组成的封闭图形称为三角形. 如下的图形就是一个三角形.2.三角形的各组成部分：（1）边：组成三角形的三条线段就是三角形的三条边；（2）顶点：三角形任意两边的交点均为三角形的顶点；（3）通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△”来表示一个三角形，在表示三角形时，三个字母之间并无顺序关系.如上图中，此三角形可以表示为，△ABC 或△BAC或△CCBA.（4）内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角.例如上图△ABC中，∠A，∠B，∠C都是三角形的内角.3、其他概念与定理三角形内角和定理：三角形的内角之和为180°.三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.三角形中边角关系：大边对大角，等边对等角.高：顶点到对边的距离叫做三角形的一条高.三角形角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.中线：三角形顶点到对边中点的连线叫三角形的中线.中线把原来整个三角形分成两个面积相等的小三角形.4、三角形分类：(1)按角分：三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形⎧⎪⎨⎪⎩（2按边分：三角形普通三角形等腰三角形等边三角形⎧⎪⎨⎪⎩5、三角形的特性：稳定性【典例】例1（2020秋•涪城区校级期末）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最大值是（）A．16B．17C．18D．19例2（2020秋•齐河县期末）如图，共有个三角形．例3（2020秋•涪城区校级期末）如图，在△ABC中，AM是△ABC的高线，AN是△ABC的角平分线，已知∠B＝50°，∠BAC＝100°，分别求出∠C和∠MAN的度数．【随堂练习】1．（2020秋•濉溪县期中）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，并且AC为偶数，求△ABC的周长．2．（2020秋•顺平县期中）如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°．（1）求∠B的度数；（2）若∠D＝42°，求∠AFE的度数．3．（2020秋•庐阳区校级期中）如图所示，AE为△ABC的角平分线，CD为△ABC的高，若∠B＝30°，∠ACB为70°．（1）求∠CAF的度数；（2）求∠AFC的度数．4．（2020秋•全椒县期中）如图，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA 的延长线于点E．（1）如果∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．知识点2等腰三角形等腰三角形的概念与性质1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰，第三边叫做三角形的底.2、等腰三角形的性质①等腰三角形的腰相等②等腰三角形的两个底角相等（简记为”等边对等角“）③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，称为”三线合一“【典例】例1（2020秋•乐亭县期末）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BC的长度为（）A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm例2 （2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°例3 （2020秋•南关区期末）图①、图②均是三个角分别为20°，40°，120°的三角形．在图①、图②中，过三角形的一个顶点作直线把此三角形分成两个等腰三角形（图①、图②中的分割线不同）．要求画出分割线，并标出等腰三角形底角的度数．【随堂练习】1．（2020秋•长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB 上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为度．2．（2020秋•丛台区期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（）A．2B．3C．3.5D．43．（2020秋•朝阳区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数．知识点3等边三角形等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.等边三角形的性质：①三边相等②三个内角相等，都是60°③它是轴对称图形，对称轴分别是三边上的高.【典例】例1（2020秋•覃塘区期中）如图，△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，则下列结论错误是（）A．CE=12AB B．BD＝ED C．∠BDE＝∠DCE D．∠ADE＝120°例2（2020秋•沧州期中）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（）A．90°B．70°C．45°D．30°例3（2020春•松江区期末）如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．【随堂练习】1．（2020秋•五常市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论不正确的是（）A．AD⊥BC B．EF＝FD C．BE＝BD D．AE＝AC2．（2020秋•南关区校级期末）如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q．延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，则△MGQ周长是（）A．8+2√3B．6+4√3C．8+4√3D．6+2√33．（2020秋•福州期中）如图，已知等边△ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝α，∠BDE＝180°﹣2α，则∠DBE的度数是（）A．120°﹣αB．180°﹣2αC．2α﹣90°D．α﹣60°知识点4直角三角形直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.1、直角三角形的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.性质2：在直角三角形中，两个锐角互余.性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2.（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.3.勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．【典例】例1（2020秋•萧山区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例2（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．169例3（2020秋•新华区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC=12AB，图中为60°的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【随堂练习】1．（2020秋•松江区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝2√2，AB＝2√7，BC＝10，CD ＝8，∠BAD＝90°，那么四边形ABCD的面积是．2．（2019秋•南岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．知识点5全等三角形1、全等三角形及相关的概念（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角.（3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC≌△DEF.符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等.（4）全等三角形的书写：①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,则AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边，∠A和∠D、∠B 和∠E、∠C和∠F时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；（5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的位置关系.对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角.易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写.2、全等三角形的性质性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.还具备：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等，面积也相等.易错提示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等.3、一般三角形全等的判定方法①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）4、直角三角形全等的判定方法①一般三角形全等的判定方法都可应用于判定两个直角三角形全等.②斜边、直角边定理（HL）文字描述：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.【典例】例1 （2020秋•二道区期末）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°例2（2020秋•梁子湖区期中）如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠B＝65°．（1）求∠DCA的度数；（2）若∠A＝20°，求∠DF A的度数．例3（2020秋•洮北区期末）如图，AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2，证明：△ABE≌△CBF．例4 （2020秋•铁西区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA＝2√2，点D是射线AB上一点，连接CD，在CD右侧作∠DCE＝90°，且CE＝CD，连接AE，已知AE＝1．（1）如图，当点D在线段AB上时，①求∠CAE的度数；②求CD的长；（2）当点D在线段AB的延长线上时，请直接写出∠CAE的度数和CD的长．【随堂练习】1．（2020秋•乐亭县期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．47°B．57°C．60°D．73°2．（2020秋•朔州月考）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在同一条直线上．（1）若BE⊥AD，∠F＝63°，求∠A的大小．（2）若AD＝11cm，BC＝5cm，求AB的长．3．（2020秋•崆峒区期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边AC，AB上的点，且AE＝CD，BD交CE于点P．（1）如图①，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接P A，PM，如图②，若点A，P，M三点共线，求证：AP＝2PM．知识点6相似三角形1、相似三角形的概念与性质：相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.两个全等的三角形是特殊的相似三角形，它们的相似比为1：1.2、相似三角形的性质：①相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.3、相似三角形的判定①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.③如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.4、黄金分割一般地，点C 把线段AB 分成两条线段 AC 和 BC （如图）， 如果AC BC AB AC=，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割， 点C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.黄金比0.618AC AB =≈.【典例】例1 （2021•长宁区一模）如图，己知在△ABC 中，点D 、点E 是边BC 上的两点，联结AD 、AE ，且AD ＝AE ，如果△ABE ∽△CBA ，那么下列等式错误的是（ ）A ．AB 2＝BE •BCB ．CD •AB ＝AD •AC C ．AE 2＝CD •BED ．AB •AC ＝BE •CD例2 （2020秋•金川区期末）如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，如果△ADE ∽△ABC ，AD ：AB ＝1：4，BC ＝8cm ，那么△ADE 的周长等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．12cm例3（2020秋•蜀山区校级月考）如图，在△ABC ，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，△ADE ∽△ACB ，相似比为AD ：AC ＝2：3，△ABC 的角平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F ，求AG 与GF 的比．例4（2020秋•双流区校级月考）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm 每秒的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒，△PBQ 与△ABC 相似？（AB ＝6cm ，BC ＝8cm ）【随堂练习】1．（2020秋•二道区期末）在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）A ．13B ．16C ．19D ．1122．（2020秋•市中区期中）已知△ABC 的三边长分别为6，8，10，和△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最长边长30，求△A ′B ′C ′的另两条边的长、周长及最大角的大小．3．（2020秋•荥阳市期中）已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC相似？综合运用1．（2020秋•浦北县期中）如图，在等边△ABC中，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，且等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（）A．5B．4C．3D．22．（2020春•荔湾区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上的中点，则CD为（）A．10B．3C．5D．43．（2020秋•兰州期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC 为直角三角形，并求出其面积．4．（2020春•宽城区期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长．5．（2020秋•文山市期末）如图是一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．6．（2020秋•陕西期中）已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．7．（2020秋•利通区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）求∠ADB的度数．8．（2020春•内江期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．9．（2020秋•香坊区期末）已知：等边△ABC，点D为AC上一点，DF⊥BC，垂足为点F，点E为BC延长线上一点，分别连接DB、DE，AD＝CE．（1）如图1，AD≠CD，求证：BF＝EF；（2）如图2，点G为BC中点，连接DG，若AD＝CD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有是△DFG面积二倍的三角形．10．（2020秋•东城区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△P AF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出P A的长．。

巴学教育培优训练第六讲直角三角形全等的判定选择题1、如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A、全部正确B、仅①和②正确C、仅①正确D、仅①和③正确第1题第2题第3题第4题2、已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（）A、1B、2C、5D、无法确定3、如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A、PA=PBB、PO平分∠APBC、OA=OBD、AB垂直平分OP4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（）A、2个B、3个C、4个D、1个5、如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA=GP；②S△PAC：S△PAB=AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP=FC；其中正确的判断有（）A、只有①②B、只有③④C、只有①③④D、①②③④6第5题第6题第7题第8题、在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A、3.8cmB、7.6cmC、11.4cmD、11.2cm7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D．过C点作CG⊥AB于G，交AD于E．过D点作DF⊥AB于F．下列结论：①∠CED=∠CDE；②S△AEC：S△AEG=AC：AG；③∠ADF=2∠FDB；④CE=DF．其中正确的结论是（）A、①②④B、②③④C、只有①③D、①②③④8、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=30，BD：CD=3：2，则点D到AB的距离为（）A、18 B、12 C、15 D、不能确定9、已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠B交AC于点D，则点D（）A、是AC的中点B、在AB的垂直平分线上C、在AB的中点D、不能确定10、下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等A、1个B、2个C、3个D、4个11、如图，ABC中，AD是它的角平分线，AB=4，AC=3，那么△ABD与△ADC的面积比是（）A、1：1B、3：4C、4：3D、不能确定第11题第12题第14题12、下列各语句中不正确的是（）A、全等三角形的周长相等B、全等三角形的对应角相等C、到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上D、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等13、一个角的对称轴是（）A、这个角的其中的一条边B、这个角的其中的一条边的垂线C、这个角的平分线D、这个角的平分线所在的直线14、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为填空题15、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=度．第15题第16题第17题第18题16、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是．17、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，则D到边AB的距离是．18、如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB 的周长为．19、如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是错误！未找到引用源。

A 第6讲 等边三角形知识要点：1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．例题精讲例1、如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上。

AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，AE 与BD 交于点F （1）求证：△ACE ≌△DCB; （2）求∠AFD 的度数； （3）判断△CMN 的形状类题演练1．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQQ C2．如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长．例2、P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠P AB ＝∠P AC ＝22°，求∠APC 的度数解析：直接利用相关知识，求不出来，那就必须要作辅助线了。

看到角平分线，常见的辅助线有三种（在第二讲中学习过）。

在AC 的延长线上截取AF=AB ，连BF ，PF ，延长AP 交BC 于D ，交BF 于E 显然△APB ≌△APF （SAS ） ∴ PB=PF ，∠ABP=∠AFP=8°，∠APB=∠APF又∵∠P AB ＝∠P AC ＝22° ∴∠FPE=∠BPE=30°，故∠BPF=60°∴ △PBF 为等边三角形 ∴ ∠PBC ＝∠FBC=30°由等腰三角形的三线合一可知，BC 垂直平分PF ∴ CP=CF ，故∠CPF =∠CFP=8° ∠BPE=∠BAP +∠ABP =30°=∠PBC 则△APB ≌△APF∴AP 垂直平分BF ，∠AFP =8°∴∠APC=180°-∠FPE -∠CPF =142°类题演练3．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为△ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数．4．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．C B A C BB例3、如图1，△ABC 等边三角形，△BDC 是顶角120°的等腰三角形，以D 为顶点作60°的角，它的两边分别与AB 、AC 交于点M 和N ，连接MN ．（1）探究：BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明；（2）若点M 、N 分别在射线AB 、CA 上，其他条件不变，再探究线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图2中画出相应的图形．并就结论说明理由类题演练5、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，求证：AC ＝BC ＋DC ．例4、问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′P B 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．图3B类题演练6、M 为等边△ABC 外一点，∠BMC＝120°，把△ABM 绕着点A 按逆时针方向旋转60°到△CAN 的位置。

全等三角形判定一（SSS ，SAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”； 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等. 【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知）， ∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）． 即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定. 举一反三：【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等） 类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE 在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD 证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB ＝BC ，BD ＝BE 在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等） ∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90° ∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，求证：QC ＝QB【答案】证明：∵ AP 平分∠BAC ∴∠BAP ＝∠CAP 在△ABQ 与△ACQ 中∵∴△ABQ ≌△ACQ(SAS) ∴ QC ＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△DEH ≌△DFH(SSS) ∴∠DEH ＝∠DFH ．【总结升华】证明△DEH ≌△DFH ，就可以得到∠DEH ＝∠DFH ，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS ”定理就能解决问题. 举一反三： 【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，边OB 上分别取OD ＝OE ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D 、E 重合，这时过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线，你能先说明△OPE 与△OPD 全等，再说明OP 平分∠AOB 吗？【答案】证明： 在△OPE 与△OPD 中∵OE OD OP OP PE PD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ △OPE ≌△OPD （SSS ）∴ ∠EOP ＝∠DOP(全等三角形对应角相等) ∴ OP 平分∠AOB.【巩固练习】 一、选择题1. △ABC 和△'''A B C 中，若AB ＝''A B ，BC ＝''B C ，AC ＝''A C .则（ ） A.△ABC ≌△'''A C B B. △ABC ≌△'''A B C C. △ABC ≌△'''C A B D. △ABC ≌△'''C B A2. 如图，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，则下列结论中错误的是（ ） A.AB ∥DC B.∠B ＝∠D C.∠A ＝∠C D.AB ＝BC3. 下列判断正确的是（ ） A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等4. 如图，AB 、CD 、EF 相交于O ，且被O 点平分，DF ＝CE ，BF ＝AE ，则图中全等三角形的对数共有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对5. 如图，将两根钢条'AA ，'BB 的中点O 连在一起，使'AA ，'BB 可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△''OA B 的理由是( )A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边6. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，AB ＝CD ，BC ＝ED ，以下结论不正确的是（ ） A.EC ⊥AC B.EC ＝AC C.ED ＋AB ＝DB D.DC ＝CB二、填空题7. 如图，AB ＝CD ，AC ＝DB ，∠ABD ＝25°，∠AOB ＝82°，则∠DCB ＝_________.8. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相平分，则图中全等三角形共有_____对.9. 如图，在△ABC 和△EFD 中，AD ＝FC ，AB ＝FE ，当添加条件_______时，就可得△ABC ≌△EFD （SSS ）10. 如图，AC ＝AD ，CB ＝DB ，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE ＝_______.11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C＝_______．12. 已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌ .三、解答题13. 已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：CO＝DO．14. 已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB∥CD （），∴∠______＝∠______ （），在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （ ）． ∴ ∠______＝∠______ （ ）． ∴ ______∥______（ ）．15. 如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE 求证：AE ＝DE.【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】B ；【解析】注意对应顶点写在相应的位置. 2. 【答案】D ；【解析】连接AC 或BD 证全等. 3. 【答案】D ； 4. 【答案】C ；【解析】△DOF ≌△COE ，△BOF ≌△AOE ，△DOB ≌△COA. 5. 【答案】A ；【解析】将两根钢条'AA ，'BB 的中点O 连在一起，说明OA ＝'OA ，OB ＝'OB ，再由对顶角相等可证.6. 【答案】D ； 【解析】△ABC ≌△EDC ，∠ECD ＋∠ACB ＝∠CAB ＋∠ACB ＝90°，所以EC ⊥AC ，ED ＋AB ＝BC ＋CD ＝DB.二.填空题7. 【答案】66°；【解析】可由SSS 证明△ABC ≌△DCB ，∠OBC ＝∠OCB ＝82412︒=︒， 所以∠DCB ＝ ∠ABC ＝25°＋41°＝66°8. 【答案】4；【解析】△AOD ≌△COB ，△AOB ≌△COD ，△ABD ≌△CDB ，△ABC ≌△CDA. 9. 【答案】BC ＝ED ； 10.【答案】56°；【解析】∠CBE ＝26°＋30°＝56°. 11.【答案】20°；【解析】△ABE ≌△ACD （SAS ） 12.【答案】△DCB ，△DAB ；【解析】注意对应顶点写在相应的位置上. 三.解答题13.【解析】证明：在△ADC 与△BCD 中，,,,DC CD ADC BCD AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()...ADC BCD SAS ACD BDC OC OD ∠=∠=∴△≌△∴∴ 14. 【解析】3，4； ABD ，CDB ； 已知；1，2；两直线平行，内错角相等； ABD ，CDB ； AB ，CD ，已知； ∠1＝∠2，已证； BD ＝DB ，公共边； ABD ，CDB ，SAS ；3，4，全等三角形对应角相等； AD ，BC ，内错角相等，两直线平行.15.【解析】证明：在△ABC 和△DCB 中AB DC AC DB BC =CB ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝∴△ABC ≌△DCB （SSS ） ∴∠ABC ＝∠DCB ， 在△ABE 和△DCE 中ABC DCB AB DC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCE （SAS ） ∴AE ＝DE.DBA。

第6讲 正弦定理和余弦定理1.正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆的半径，则2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝□0112ac sin B ＝□0212ab sin C . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba ＝2，则该三角形的形状是( )A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 A解析 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由ba＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．(3)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.(4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝52＋62－422×5×6＝34，所以sin2Asin C＝2sin A cos Asin C＝2a cos Ac＝2×4×346＝1.题型一利用正、余弦定理解三角形角度1 用正弦定理解三角形1.(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________；(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b ＝6，c＝3，则A＝________.答案(1)1 (2)75°解析(1)因为sin B＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6，又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3，又a＝3，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.(2) 如图，由正弦定理，得3sin60°＝6sin B，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°. 角度2 用余弦定理解三角形2.(1)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π6，则cos5B ＝( )A.－32B.12C.12或－1 D ．－32或0 (2)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322 B.332 C.32D ．3 3 答案 (1)A (2)B解析 (1)因为b ＝1，c ＝3，A ＝π6，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋3－2×1×3×32＝1， 所以a ＝1.由a ＝b ＝1，得B ＝A ＝π6，所以cos5B ＝cos 5π6＝－cos π6＝－32.(2)由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝32＋42－1322×3×4＝12， ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， ∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332. 角度3 综合利用正、余弦定理解三角形3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解 (1)∵2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得2sin A cos C －sin C ＝2sin B,2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝2，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC2－2AB ·AC ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π3＝6，∴a ＝ 6.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边①用三角形内角和定理求第三个角． ②用正弦定理求另外两条边． (2)已知两边及其中一边所对的角 ①用正弦定理(适用于优先求角的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例： a ．根据正弦定理，经讨论求B ；b ．求出B 后，由A ＋B ＋C ＝180°，求出C ；c ．再根据正弦定理a sin A ＝csin C ，求出边c .②用余弦定理(适用于优先求边的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例：列出以边c 为元的一元二次方程c 2－(2b cos A )c ＋(b 2－a 2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c ，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B ，C .(3)已知两边和它们的夹角 ①用余弦定理求第三边．②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角． (4)已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A ＋B ＋C ＝180°，求出第三个角.1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.66 B.65 C.64 D.63答案 C解析因为a＝62b，A＝2B，所以由正弦定理可得62bsin2B＝bsin B，所以622sin B cos B＝1sin B，所以cos B＝64.2.(2018·和平区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝3 bc，且sin C＝23sin B，则角A的大小为________．答案π6解析由sin C＝23·sin B得c＝23b.∴a2－b2＝3bc＝3·23b2，即a2＝7b2.则cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b243b2＝32.又A∈(0，π)．∴A＝π6.3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.答案562解析在△ACD中，由余弦定理可得cos C＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C＝5314.在△ABC中，由正弦定理可得ABsin C＝ACsin B，则AB＝AC sin Csin B＝7×531422＝562.题型二利用正、余弦定理判定三角形的形状1.(2018·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A.钝角三角形 B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 因为c b<cos A ，所以c <b cos A ， 由正弦定理得sin C <sin B cos A ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 所以sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，又sin A >0，所以cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形. 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A.直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．条件探究1 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“a cos A ＝b cos B ”，判断△ABC 的形状．解 因为a cos A ＝b cos B ， 所以sin A cos A ＝sin B cos B ， 所以sin2A ＝sin2B ，又因为0<2A <2π，0<2B <2π，0<A ＋B <π， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．条件探究2 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“cos 2B 2＝a ＋c 2c”，判断△ABC 的形状．解 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c， 所以12(1＋cos B )＝a ＋c 2c ，在△ABC 中，由余弦定理得 12＋12·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2c. 化简得2ac ＋a 2＋c 2－b 2＝2a (a ＋c )， 则c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形.1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC 中，c 是最大的边．若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形； 若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形； 若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形． 2．判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.1.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，设a ＝5t ，b ＝11t ，c ＝13t (t >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝5t2＋11t 2－13t 22×5t ×11t<0，所以C 是钝角，△ABC 是钝角三角形.2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 根据正弦定理，由b cos C ＋c cos B ＝a sin A 得sin B ·cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2.所以△ABC 是直角三角形.题型 三 与三角形面积有关的问题(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.(2018·洛阳三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A .(1)求角A 的大小；(2)若sin B sin C ＝38，且△ABC 的面积为23，求a .解 (1)由b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A 及正弦定理得b 2＋(c －b )c ＝a 2，即b 2＋c 2－bc ＝a 2， 所以b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可得b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin Csin A·sin A＝a 2sin B sin C2sin A＝2 3.又sin B sin C ＝38，sin A ＝32，∴38a 2＝23，解得a ＝4.高频考点 用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化考点分析 在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决．[典例1] (2018·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2D ．(1,2]答案 B解析 由正、余弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C .即 2cos C sin(A ＋B )＝sin C .所以2cos C sin C ＝sin C ，因为sin C ≠0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，且 (a ＋b )2≥4ab ，所以ab ≤1. 所以c 2≥1，即c ≥1，又c <a ＋b ＝2. 所以1≤c <2.[典例2] (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.答案π3解析 解法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得11 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3. 解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12. 又0<B <π，∴B ＝π3. [典例3] (2018·东北三省四市教研联合体模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，且2b cos B ＝a cos C ＋c cos A .(1)求B 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝Csin C可得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，∵sin B >0，故cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)由b ＝2，B ＝π3及余弦定理可得ac ＝a 2＋c 2－4， 由基本不等式可得ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4，ac ≤4，而且仅当a ＝c ＝2时，S △ABC ＝12ac sin B 取得最大值12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3.方法指导 1.两种主要方法1全部化为角的关系，用三角恒等变换及三角函数的性质解答.2全部化为边的关系，用因式分解、配方等方法变形.2.基本原则1若出现边的一次式一般采用正弦定理；2若出现边的二次式一般采用余弦定理.。

小学五年级数学讲义第六讲三角形的等积变换1、全等形：如果两个平面图形叠合在一起，能够处处重合，则称这两个图形为全等形。

2、等积形：面积相等的两个图形称为等积形（注意：全等形一定是等积形，反之则不然，即等积形不一定是全等形）。

3、把一个封闭图形分成若干部分，则这个图形的面积等于分成的所有各个部分图形的面积之和。

4、三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换，前三条是等积变形理论基础，同时也为我们计算某些图形面积提供了方法。

5、三角形面积计算公式：S△＝底×高÷26、三角形等积变形中常用到的几个重要结论：（1）平形线间的距离处处相等。

（2）等底等高的两个三角形面积相等。

（3）底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的顶点是同一个，这样的两个三角形面积相等。

（4）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

（5）若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中间的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。

典例分折例1用三种不同的方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。

例2 如图 1 已知正方形ABCD和正方形DEFG，且正方形ABCD的边长为8分米，请问图中阴影部分面积是多少平方分米？图1例3 如图 2 正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，求长方形的宽。

]例4 如图 3 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、P 、F 分别是AD 、CE 、BP 的中点，求△DBF 的面积例 5 如图4 已知梯形ABCD 的面积为5,DA 与EB 平行，ED 与CA 平行，求四边形EDAC 的面积。

例 6 如图5 在△ABC 中，已知M ，N 分别在AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ，若△AOM ，△ABO 和△OBN 的面积分别为3、2、1,求△MNC 的面积。

第6讲 正弦定理和余弦定理1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【复习指导】1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝csin C ， 即1032＝c 22.∴c ＝1063. 答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案 B3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )． A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π， ∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32， 故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°， ∴sin A ＝32. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin Acos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 联立解得sin A ＝255， 再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， 代入数据解得a ＝210.答案255 210考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12. ∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解(1)由2cos2A2＋cos A＝0，得1＋cos A＋cos A＝0，即cos A＝－1 2，∵0＜A＜π，∴A＝2π3.(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC ＝12bc sin A＝ 3.考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状．[审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，即b2sin A cos B＝a2cos A sin B，即sin2B sin A cos B＝sin2A cos B sin B，所以sin 2B＝sin 2A，由于A，B是三角形的内角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)．∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题． 解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2. (2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6， a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103， 所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35， 所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.所以a＋c＝210.阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a ＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．错因忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．实录由1＋2cos(B＋C)＝0，知cos A＝12，∴A＝π3，根据正弦定理asin A＝bsin B得：sin B＝b sin Aa＝22，∴B＝π4或3π4.以下解答过程略．正解∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos A，∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝π3.在△ABC中，根据正弦定理asin A＝bsin B，∴sin B＝b sin Aa＝22.∵a＞b，∴B＝π4，∴C＝π－(A＋B)＝5 12π.∴sin C＝sin(B＋A)＝sin B cos A＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24.∴BC边上的高为b sin C＝2×6＋24＝3＋12.【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[尝试解答](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B＞0，故cos B＝22，所以B＝45°.。

相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的3个性质定理．重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合．1、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形的性质内容分析知识结构模块一：相似三角形性质定理1知识精讲【例1】 已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、 B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长． 【难度】★ 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BE A B E B ∴=即11362E B =，114E B ∴= 【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．【例2】 已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119AC =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长． 【难度】★ 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD AC A D ∴=即1296AD=，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8． 【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【例3】 求证：相似三角形对应高的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADk A D =． 证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽，1B B ∴∠=∠，11ABk A B =； 又Q AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高， 11190BDA B D A ∴∠=∠=o ，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例题解析【例4】 求证：相似三角形对应中线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线． 求证：11ADk A D =． 证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽， 1B B ∴∠=∠，1111AB CBk A B C B ==； 又Q AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D BC =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB AD k A B A D ∴==． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．【例5】 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽， 1B B ∴∠=∠，111BAC B AC ∠=∠，11ABk A B =； 又Q AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B AC ∴∠=∠∠=∠，111BAD BA D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．ABEA 1E 1D 1 C 1B 1 ABCDEF 【例6】 如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =． 求证：1111AD BEA DB E =【难度】★★ 【答案】略 【解析】 证明：1111AB ADA B A D =Q ，又Q 111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽， 111ABD A B D ∴∠=∠，又Q 1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又Q BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．【例7】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ． 【难度】★★【答案】12．【解析】 解：Q BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又Q BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE∴=，又Q BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠ BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．AB CDEF GHKAB CE FGDH P【例8】 如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩 形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积． 【难度】★★ 【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm =-Q 矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=o ，， GF AGBC AB∴=,又Q AH 是高，90AHB ∴∠=o ， GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴, DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC∴+=,3813248x x -∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．【例9】 如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域． 【难度】★★★【答案】()233055y x x x =-+<<．【解析】解：Q 矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠=o ，GD ADBC AB∴=，又Q AH 是高，90AHC ∴∠=o ， DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴, DE BD AH AB ∴=，1DG DEBC AH∴+=，153x DE ∴+=，又Q DEFG S y x DE ==•矩形，20x ∴=，∴y DE x =，153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =-+<<． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．【例10】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【难度】★★★【答案】甲同学方案好，理由略．【解析】解：211.52ABC S AB BC m ∆=•=,又Q 1.5AB m =，2CB m ∴= ∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．① 按甲的设计：设DE x =，Q 正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴， DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG ADBH AB∴=, 设DE x =，则DG x =，Q 正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DGCA HB∴+=，Q 1122ABC S AB BC AC BH ∆=•=•，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=， 3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正； 综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．BCDEF1、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．【例11】若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( ) （A ）1:4（B ）1:2（C ）2:1（D ）1:2【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例12】 ABC ∆∽111A B C ∆，它们的对应的中线比为2:3，则它们的周长比是．【难度】★ 【答案】2:3 【解析】略【总结】相似三角形对应中线的比等于相似比，周长比等于相似比．模块二：相似三角形性质定理2知识精讲例题解析AD EF【例13】已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【难度】★【答案】112015BC A B ==，． 【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==； 又Q111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==． 【总结】本题考查相似三角形的性质．【例14】如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【难度】★★ 【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三角形周长为2acm ，则5260a a -=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ． 【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例15】如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为． 【难度】★★ 【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，Q AD 是BC 上的高，//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=Q ，312AEF C ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．A BCD PACP Q 【例16】 如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【难度】★★【答案】152cm ．【解析】解：Q 梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+-梯形，31667PDC PDC C C ∆∆∴=+-，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．【例17】如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长． 【难度】★★ 【答案】247．【解析】解：Q CPQ PABQ C C ∆=四边形，CP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=-+-+，5AB =Q ，3BC =，90C ∠=o ，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=-+-+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB Q ，CP CQCA CB∴=， ∴643CP CP -=，247CP =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．ACDEF【例18】 如图，等边三角形ABC 边长是7厘米，点D 、E 分别在AB 和AC 上，且43AD AE =，将ADE ∆沿DE 翻折，使点A 落在BC 上的点F 上． （1）求证：BDF ∆∽CFE ∆； （2）求BF 的长． 【难度】★★★【答案】（1）略；（2）5．【解析】（1）证明：ADE ∆翻折成FDE ∆．ADE FDE ∴∆≅∆，A EFD ∴∠=∠，Q ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，60EFD B C ∴∠=∠=∠=o ，DFC DFE EFC ∠=∠+∠Q ，DFC B BDF ∠=∠+∠， EFC BDF ∴∠=∠， BDF CFE ∴∆∆∽．（2）由（1）知BDF CFE ∆∆∽，BDF CFE C DFC EF∆∆∴=，又ADE FDE ∆≅∆Q ， AD DF AE EF ∴==，，43BDF CFE C AD C AE ∆∆∴==，43BF BD DF BF AB CE FC EF CF AC +++∴==+++， 74773BF BF +∴=-+，5BF ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，轴对称的性质，应用相似三角形周长比等 于相似比是解决本题的关键．模块三：相似三角形性质定理3知识精讲1、相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析【例19】（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【难度】★【答案】（1）10000；（2）10．【解析】略【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．【例20】两个相似三角形的面积分别为5cm2和16cm2，则它们的对应角的平分线的比为（）（A）25:256（B）5:16（C）5:4（D）以上都不对．【难度】★【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方．【总结】本题考查相似三角形的性质．AB CD EAB CD EAB CD【例21】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【难度】★ 【答案】36．【解析】解：//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．【例22】如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【难度】★ 【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠Q ，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又28ACD S cm ∆=Q ，218ABC S cm ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质． 【例23】如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED的面积相等，求AD :BD 的值． 【难度】★★1．【解析】解：//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCED S S ∆=Q 四边形， 12ADE ABC S S ∆∆∴=，AD AB ∴=1AD DB ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．A BCEF【例24】 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于（） （A ）1:3 （B ）2:3 （C2 （D【难度】★★ 【答案】A【解析】解：Q ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，又DE AC ⊥Q ，EF AB ⊥，FD BC ⊥， 90AFE FDB DEC ∴∠=∠=∠=o ， 30AEF BFD EDC ∴∠=∠=∠=o ， 60EFD FDE FED ∴∠=∠=∠=o，12BD BD BF DF ==， ∴FDE ∆是等边三角形，AFE BDF ∴∆≅∆， AF BD ∴=， FDE ABC ∴∆∆∽，2DEF ABC S DF S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 设AF x =，则BD x =，2BF x =，DF =，DF AB ∴=13DEF ABC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识．AB CDF【例25】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【难度】★★ 【答案】3．【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥Q ，，90CDA BEC ∴∠=∠=o ． 90CDA BEC ∴∠=∠=o ，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=o ，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=oQ ，30CBE CAD ∴∠=∠=o ，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=Q ，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【例26】 如图，BE 、CD 是ABC ∆的边AC 、AB 上的中线，且相交于点F ，联结DE ．求ADE BFC SS ∆∆的值．【难度】★★ 【答案】43． 【解析】分别过点A 、F 作AH BC ⊥、FG BC ⊥，交BC 分别于点H 、G ，得//FG AH ，FG KFAH AK=． 联结AF 并延长交BC 于点K ．CD Q 、BE 是ABC ∆的中线，//DE BC ∴，12DE BC =， F Q 是重心，13KF AK ∴=，13GF AH ∴=． 11113322444ADES DE AH DE AH DE FG DE FG ∆====Q g g g g ， 11222BFC S BC FG DE FG DE FG ∆===g g g ，34ADE BFC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形一边的平行线，重心的意义，三角形中位线及三角形的面积等．A BCDEF OA BCDEFG【例27】 如图，在矩形ABCD 中，AB = 2cm ，BC = 4cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在BC 边上，DE 于AC 交于点F ，EDC ADB ∠=∠．求：（1）BE 的长； （2）CEF ∆的面积．【难度】★★【答案】（1）3cm ；（2）215cm ．【解析】解：（1）Θ矩形ABCD ，2AB DC cm ∴==，且//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，EDC ADB ∠=∠Q ，EDC DBC ∴∠=∠，CDE CBD ∴∆∆∽，CD CECB CD∴=，242CE∴=，1CE cm ∴=，3BE cm ∴=； （2）//AD BC Q ，∴4AD DFEC EF ==，5DCE CFES DE S EF ∆∆∴==，又11212CDE S ∆=⨯⨯=Q ，215CFE S cm ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，矩形的性质，同高三角形的面积比等于底边的比等知识．【例28】 如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CF AD 的值．【难度】★★ 【答案】21． 【解析】解：//EF BD Q ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEGEBCG S S ∆=Q 四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆Q ，90ACD ACB ∴∠=∠=o ，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．ABCDEOABC DEF 【例29】 如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，EC 和BD 相交于点O ，联结DE ．若16EOD S ∆=，36BOC S ∆=，求AEAC 的值．【难度】★★★ 【答案】23． 【解析】解：BD AC CE AB ⊥⊥Q ，， 90BEO CDO ∴∠=∠=o ，A A ∠=∠Q ,AEC ADB ∴∆∆∽，AE ADAC AB∴=， ADE ABC ∴∆∆∽，AE DEAC BC∴=．EOB DOC ∠=∠Q ，EOB DOC ∴∆∆∽，EO BOOD OC∴=，EOD BOC ∠=∠Q ，EOD BOC ∴∆∆∽，2164369EOD BOC S ED S CB ∆∆⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭，23ED BC ∴=，23AE AC ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定知识． 【例30】 如图，90ACB ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，45EF BE =，14DCE BFE S S ∆∆=，且CE = 5，求：（1）BC 的长；（2）CEF S ∆．【难度】★★★【答案】（1）352；（2）15．【解析】解：（1）FD AB ⊥Q ，90EFB ∴∠=o ， 90ACB ∠=o Q ，90BCD ∴∠=o ，EFB BCD ∴∠=∠，FEB CED ∠=∠Q ，BFE DCE ∴∆∆∽，2BFE DCE S EF S CE ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又14DCE BFE S S ∆∆=Q ，2FE CE ∴=，45FE BE =Q ，25CE BE ∴=．5CE =Q ，252BE ∴=，352BC ∴=； （2）45FE BE =Q，10EF ∴=，152BF =，17522BEF S BF EF ∆∴==g ， 又52BFE FEC S EB S CE ∆∆==Q ，15FEC S ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【习题1】 已知ABC ∆∽'''A B C ∆，AD 、''A D 分别是ABC ∆和'''A B C ∆的角平分线，且3''2AD A D =，9AB =，则''A B =． 【难度】★ 【答案】6．【解析】解：'''ABC A B C ∆∆Q ∽，AD 、''A D 分别是对应角平分线，''''32AB AD A B A D ∴==，9AB =Q ，''6A B ∴=．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【习题2】 若一个三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为21厘米，则其余两边长的和为．【难度】★ 【答案】24．【解析】解：设三角形的三边长为3a ，5a ，7a ，由题知，721a =，3a ∴=， 35824a a a ∴+==．【总结】本题考查相似三角形的性质．【习题3】 两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ，则它们的对应角的平分线的比为（）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】本题考查相似三角形对应周长的比、对应角平分线的比都等于相似比．随堂检测【习题4】 已知：D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点．求证：=4ABC DEF S S ∆∆． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：D Q 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点，12DF EF DE AC BC AB ∴===，DEF ABC ∴∆∆∽，214DEF ABC S DF S AC ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，4ABC DEF S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形中位线，相似三角形的性质及判定知识．【习题5】 如图，DE 是ABC ∆的中位线，N 是DE 的中点，CN 的延长线交AB 于点M ，若ABC S ∆= 24，求AMNE S 四边形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：联结AN ．DE Q 是ABC ∆的中位线， //DE BC ∴，12DE BC =，ADE ABC ∴∆∆∽， 164ADE ABC S S ∆∆∴== ，N Q 是DE 的中点， 132ADN ADE S S ∆∆∴==，//DE BC Q ，14DN BC =，14DM BM ∴=，1133DM BD AD ∴==，113DMN ADN S S ∆∆∴==错误!未找到引用源。

第六讲 等边三角形例1 如图1，△ABD 和△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到//D AB 的位置，得到图2，则阴影部分的周长为___________.例2如图1，已知线段AB 的长为2a ，点P 是AB 上的动点（点P 不与点A ，B 重合），分别以AP ，PB 为边向线段AB 的同一侧作等边三角形APC 和等边三角形PBD.(1)连结AD ，BC ，相交于点Q ，设,α=∠AQC 那么α的大小是否会随点P 的移动而变化？请说明理由．(2)如图2，若点P 固定，将△PBD 绕点P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180)，此时α的大小是否会发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）例3 如图，P 是等边三角形ABC 的AB 边上一点，过P 作⊥PE AC 于点E ，在BC 的延长线上截取,AP CQ =连结PQ 交AC 于点D ．(1)若,28=∠Q 求∠EPD 的度数． (2)求证：.QD PD =例4 如图，点0是等边三角形ABC 内一点，.,110α=∠=∠BOC AOB 以OC 为一边作等边三角形OCD ，连结AD ．(1)当150=α时，试判断△AOD 的形状，并说明理由． (2)探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？例5 已知等边三角形ABC 的边长为a ． (1)探究：如图1，过等边三角形ABC 的顶点A ，B ，C 依次作AB ，BC ，CA 的垂线围成△MNG ，求证：△MNG 是等边三角形且.3a MN =(2)探究：在等边三角形ABC 内取一点0，过点O 分别作,,,CA OF BC OE AB OD ⊥⊥⊥垂足分别为点D ，E ，F ．如图2，若点0是△ABC 的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1：;23a OF OE OD =++结论2：.23a CF BE AD =++如图3，若点0是等边三角形ABC 内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.例 如图，在△ABC 中，,AC AB =点D 为△ABC 外一点，且=∠ABD .2190,60BDC ADB ∠-=∠试判断线段CD ，BD 与AB 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．拓展训练 A 组1．下列条件中，不一定是等边三角形的是( )．A ．有两个内角是60的三角形 B ．三边都相等的三角形 C ．有一个角是60的等腰三角形 D ．有两个外角相等的等腰三角形2．如图，,//m l 等边三角形ABC 的顶点B 在直线m 上，边BC 与直线m 所夹锐角为,20 则α∠的度数为( )．60.A 45.B 40.C 30.D（第2题） （第3题） （第4题）3．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，,AD AF =则∠EDC 的度数为( )．30.A 20.B 25.C o D 15.4．如图，在钝角三角形ABC 中，∠ABC 为钝角，以点B 为圆心、AB 长为半径画弧，再以点C 为圆心、AC 长为半径画弧，两弧交于点D ，连结AD ，BD ，CD ，CB 的延长线交AD 于点E.下列结论错误的是( )． A. CE 垂直平分AD B ．CE 平分∠ACD C ．△ABD 是等腰三角形 D ．△ACD 是等边三角形 5．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且AD AE BD ,=与CE 交于点F ，则∠DFC 的度数为( )．60.A 45.B 40.C 30.D（第5题） （第7题） （第8题） （第9题）6．下列各命题的逆命题成立的是( )．A ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等B ．全等三角形的对应角相等C ．两直线平行，同位角相等D ．如果两个角都是,45 那么这两个角相等7．如图，在等边三角形ABC 的底边BC 上任取一点D ，过点D 作AC DE //交AB 于点E ，作DF AB //交AC 于点,3,5,cm DF cm DF F ==则△ABC 的周长为________.cm8．如图，已知△ABC 和△BDE 均为等边三角形，连结AE ，CD ，若,39 =∠BAF 则=∠BCD ________度． 9．如图，点D 为等边△ABC 内一点，,,,DBC DBP AB BP BD AD ∠=∠==则=∠BPD ______度． 10.如图，在等边三角形ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且BP ACQ ABP ,∠=∠,CQ =问：△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．（第10题）11.如图，已知点B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，BE 交AC 于点F ．AD 交CE 于点H.求证：.)1(ACD BCE ∆≅∆ .//)2(BD FH（第11题）12.如图，点P ，Q 分别是边长为4 cm 的等边三角形ABC 边AB ，BC 上的动点，点P 从顶点A 沿AB 向点B 运动，点Q 同时从顶点B 沿BC 向点C 运动，它们的运动速度都为1 cm/s ，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为t(s)，连结AQ ，CP 交于点M. (1)求证：△ABQ≌ △CAP.(2)点P ，Q 在运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． (3)当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？（第12题）B 组13.如图，△ABC 是等边三角形，AE PR PQ AQ ⊥=,于点AC PS R ⊥,于点,,PS PR S =则下列结论： ①点P 在∠A 的平分线上；.;//;QSP BRP AR QP AR AS ∆≅∆=④③②其中正确的有( )．1.A 个2.B 个3.C 个4.D 个（第13题） （第14题）14．如图，OP AOB ,120 =∠平分∠AOB ，且.2=OP 若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有( )．2.A 个3.B 个4.C 个 D ．无数个15.如图，已知△ABC 和△CDE 都是正三角形，且,62 =∠EBD 则∠AEB 的度数是( )．124.A 122.B 120.C 118.D（第15题） （第16题） （第17题）16.如图，一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形按如图放置，已知等腰三角形的底角,643 =∠则=∠+∠21_________.17.如图，六边形ABCDEF 的六个角都是,120边长====DE cm CD cm BC cm AB ,3,3,1,2cm 则这个六边形的周长是____________.18．在Rt△ABC 中，.30,90=∠=∠CAB ACB 分别以AB ，AC 为边，向外作等边△ABD 和等边△ACE ．(1)如图1，连结线段BE ，CD.求证：.CD BE =(2)如图2，连结DE 交AB 于点F.求证：点F 为DE 中点．（第18题）19.已知△ABC 是等边三角形，D 是直线BC 上一动点，连结AD ，在线段AD 的右侧作射线DP 且使,30 =∠ADP 作点A 关于射线DP 的对称点E ，连结DE ，CE. (1) 当点D 在线段BC 上运动时．①依题意将图1补全．②请用等式表示线段AB ，CE ，CD 之间的数量关系，并证明．(2)当点D 在直线BC 上运动时，请直接写出AB ，CE ，CD 之间的数量关系，不需证明．（第19题）走进重高1．【福建】如图，在等边三角形ABC 中，,BC AD ⊥垂足为点D ，点E 在线段AD 上，,45 =∠EBC 则 ∠ACE 等于( )．15.A 30.B 45.C 60.D（第1题） 2．【兰州】如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则△ADE 的面积是( )．3.A 23.B 433.C 32.D（第2题） （第3题） （第4题）3．【淄博】如图，等腰直角三角形BDC 的顶点D 在等边三角形ABC 的内部，,90=∠BDC 连结AD ，过点D 作一条直线将△ABD 分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角的度数分别是____． 4．【葫芦岛】如图，,30=∠MON 点1B 在边OM 上，且,21=OB 过点1B 作OM A B ⊥11交ON 于点,1A以11B A 为边在11B A 右侧作等边三角形;111C B A 过点1C 作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点,,22A B 以22B A 为边在22B A 的右侧作等边三角形;222C B A 过点2C 作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点,,33A B 以33B A 为边在33B A 的右侧作等边三角形 333C B A 按此规律进行下去，则n n n C A A 1-∆的面积为_______（用含正整数n 的代数式表示）．5．如图，在等边三角形ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 上的点，且AD CD AE ,=与BE 相交于点.,BE CF F ⊥ 求证：.)1(AD BE =.2)2(AF BF =（第5题）6．已知△ABC，△EFG 是边长相等的等边三角形，D 是边BC ，EF 的中点．(1)如图l ，连结AD ，GD ，则=∠ADC ________度；=∠GDF ________度；AD 与GD 的数量关系是_____ ；DC 与DF 的数量关系是(2)如图2，直线AG ，FC 相交于点M ，求∠AMF 的大小．（第6题）高分夺冠1．如图，在等边三角形ABC 中，在AC 边上取两点M ，N ，使.30=∠MBN 若,,x MN m AM ==,n CN = 则以x ，m ，n 为边长的三角形的形状为( )．A.锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．随x ，m ，n 的值而定（第1题） （第2题） （第4题）2．如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2 cm 时，这个六边形的周长为( )．cm A 30. cm B 40. cm C 50. cm D 60.3．在等边三角形ABC 所在的平面内求一点P ，使△PAB，△PBC，△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有( )．A.1个 B ．4个 C ．7个 D ．10个4．如图，等边三角形RST 的顶点R ，S ，T 分别在等腰三角形ABC 的边AB ，BC ，CA 上，设,0x ART =∠,,00z STC y RSB =∠=∠用含y ，z 的代数式表示x 是_________.5．如图，点P 是等边三角形ABC 内部一点，且.130,117 =∠=∠BPC APC 求以CP BP AP ,,为边的三角形的三内角的度数．（第5题）答案。