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2012学年预备级年第一学期期中考试知识点整理第一章数的整除概念1、正整数、负整数、整数、自然数：（1）用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。
-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。
0、1、2、3、4……，叫做自然数（2）零和正整数统称为自然数，0是最小的自然数，没有最大的自然数。
（3）正整数、零和负整数，统称为整数。
2、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或÷=也叫整除）。
者说b能整除a。
（050整除的条件：（1）除数、被除数都是整数。
（2）被除数除以除数，商是整数而且没有余数。
3、整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
（1）一个数的因数是有限的。
最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数通常是成对出现的（用两数相乘去检验是否遗漏）。
（2）一个数的倍数的个数是无限的。
最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（3）因数与倍数是相互依存的。
如果光说谁是倍数，或谁是因数是不完整的。
4、能被特殊的数字整除的特征：（重点掌握前4个）（1）能被2整除的整数，个位上数字为0、2、4、6、8，即：是偶数。
（2）能被5整除的整数，个位上数字为0、5。
（3）能同时被2和5整除的整数（即能被10整除），个位上数字为0。
（4）一个整数的各个位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（5）一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
注：一个整数能被n和m整除，则这个数能被m·n整除。
5、整数按能否被2整除可以分为：奇数和偶数。
在正整数中奇数和偶数都是相邻的。
定义：如果一个整数能被2整除，称该整数为偶数。
如果一个整数不能被2整除，称该整数为奇数。
6、（1）只含有因数1和本身的整数叫做素数或质数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（2）几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，最大的一个数叫做这几个数的最大公因数。
整除1、整数：正整数，零和负整数，统称为整数。
零和正整数统称为自然数。
正整数：在数（shǔ）的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4……叫做正整数。
用0可以表示没有物体，不可以表示量过程中某种量的基准数。
Eg：0摄氏度2、整除的意义（1）整数数a除以整数数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
（2）整除、除尽、除不尽三个概念的区分。
整除：若整数a除以大于0的整数b，商为整数，且余数为0.除尽：数a除以数b(b≠0)时，所得的商是整数或有限小数，我们就说a能被b除尽。
除不尽：两个数相除，不用余数表示，商是无限小数，这样的两个数叫做除不尽。
整除的条件：1、除数，被除数都是整数。
2、被除数除以除数，商是整数而且余数为0。
3、因数、倍数若a÷b=c（a、b、c为整数），即整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的因数（也成为约数）。
因数和倍数是相互依存的。
一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
4、求一个数的因数的方法：（1）列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数。
（2）列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数。
数的整除特性奇数和偶数偶数：能被2整除的整数叫做偶数。
奇数：不能被2整除的整数叫做奇数。
能被2整除数的特征：个位上是0,2,4,6,8的整数都能被2整除。
能被5整除数的特征：个位上是0或5的整数都能被5整除。
既能被2整除又能被5整除的数的特征：个位上是0的整数。
能被3（或9）整除的数的特征：一个数的各位数字之和能被3（或9）整除。
能被4（或25）整除的数的特征：一个数的末两位数能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（以大减小）是11的倍数。
4.数的整除知识要点梳理一、整除意义整数a除以整数b(b≠O)，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除;或者说b能整除a。
整除的条件:1.除数、被除数都是整数。
2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
二、因数和倍数1.如果a×b=c(且a、b、c均为非0自然数)，那么我们说。
就是a与b的倍数，a与b就是。
的因数，因数和倍数是相互依存的。
我们只在自然数(零除外)范围内研究倍数和因数。
2.一个数因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身;一个数倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
3.求一个数因数的方法:利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。
如16=1×16=2×8 =4×4，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。
4.求一个数倍数的方法:这个数本身分别乘以1、2、3、4、5…(即正整数)得到的积就是这个数的倍数。
三、常见数的倍数的特征2的倍数的特征:数的个位是0,2,4,6,8。
5的倍数的特征:数的个位是0,5。
3的倍数的特征:数的各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
9的倍数特征:数的各个数位上数字的和是9的倍数。
4或25倍数的特征:数的末两位数是4或25的倍数。
8或125的倍数特征:数的末三位数是8或125的倍数。
7、11、13倍数特征:数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(大减小)是7、11或13的倍数。
11倍数特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除，那么它必能被11整除。
四、质数、合数、分解质因数1.若一个数的因数只有1和它本身，这个数就是质数，也叫素数。
最小的质数是2，也是质数中唯一的偶数。
2.若一个数的因数除了1和它本身外还有其他的因数，这个数就是合数。
整除知识点总结与练习一、整除的定义整除是指对于两个整数a和b，如果a能够被b整除，即a除以b的结果是一个整数，则称a能够被b整除，记作b|a。
其中a称为被除数，b称为除数，整数的除法结果称为商。
例如，6÷3=2，6除以3的结果是2，因此6能够被3整除，即3|6。
整除的定义表明了整除的两个基本特点：1. 整数a能够被整数b整除的定义是a÷b的结果是一个整数。
2. 整除的概念是具有传递性的，即如果a能够被b整除，b能够被c整除，则a能够被c整除。
二、整除的判定在计算整除时，通常需要用到整除的判定方法。
整除的判定方法主要有以下几种：1. 除法判定法：即直接计算被除数除以除数的结果是否为整数。
2. 因数判定法：利用被除数和除数的因数来判断整除关系。
3. 余数判定法：如果a能够被b整除，那么a÷b的余数为0。
4. 分解质因数判定法：将被除数和除数分解质因数，如果被除数分解后能够完全包含除数分解质因数的情况，那么a能够被b整除。
下面通过一些实例来说明整除的判定方法：例1：判断24能否被6整除？方法一：除法判定法，直接计算24÷6=4，结果为整数，因此24能够被6整除。
方法二：因数判定法，24的因数包括1、2、3、4、6、8、12，其中6是24的因数，因此24能够被6整除。
方法三：余数判定法，24÷6=4余0，余数为0，因此24能够被6整除。
方法四：分解质因数判定法，24=2³×3，6=2×3，24的分解质因数包含6的分解质因数，因此24能够被6整除。
综上所述，24能够被6整除。
例2：判断35能否被5整除？方法一：除法判定法，35÷5=7，结果为整数，因此35能够被5整除。
方法二：因数判定法，35的因数包括1、5、7、35，其中5是35的因数，因此35能够被5整除。
方法三：余数判定法，35÷5=7余0，余数为0，因此35能够被5整除。
一. 数的分类第一种分法 : 树状图 韦恩图整数第二种分法 整数第三种分法：正整数一些关于数的结论:1.0是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除1.整除定义（概念）：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a 相当于被除数，b 相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即a 能被b 整除,则a 一定能被b 除尽，反之则不一定（即a 能被b 除尽，则a 不一定能被b 整除）。
如4÷2=2, 4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8, 4能被5除尽，却不能说4能被5整除三．因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除，a 就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（约数）。
注意点：1.因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。
如：6÷3=2，不能说6是倍数，3是因数；要说6是3的倍数，3是6的因数。
2.因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4÷0.2=20，一般是不说4是0.2的倍数，0.2是4的因数。
2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。
因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍数的个数是无限的。
3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。
如16=1×16=2×8=4×4，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。
整数与整除（后附难点题型）一、知识要点：要点1：在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……叫做正整数.在正整数1、2、3、4…，的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……叫做负整数.要点2：零和正整数统称为自然数.正整数、零和负整数，统称为整数.要点3：整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而余数为零，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a.（1）注意整除的两种表述方法（2）归纳整除的条件；除数、被除数都是整数.被除数除以除数，商是整数而且没有余数.要点4：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）.例如：35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数一个数的因数是有限，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身.（倍数和因数是相互依存的）例如：10的因数有：1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
例如：3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
要点5：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数.个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除.例如：202、480、304，都能被2整除.个位上是0或者是5的整数都能被5整除.例如：5、30、405都能被5整除.整数：自然数（正整数、0）、负整数自然数：0和正整数正整数：奇数和偶数（按能否被2整除分）二、例题讲解：例1：把下列各数填在适当的圈内： 12、 -6、 0、 1.23、76、 2005、 -19.6、 9 正整数 自然数 整数思考：1、最小的自然数、最小的正整数是同一个数吗？不是同一个数，那么分别是什么？2、是否有最大的正整数、负整数、自然数？3、是否有最小的正整数、负整数、自然数？例2：观察下面两组算式卡片中的运算有什么异同？ （1）24÷2 = 12 （2） 6÷5 = 1.2 48÷8 = 6 17÷5 = 3.416÷4 = 4 35÷6 = 5 (5)例3：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？10÷3 48÷8 6÷4 解：因为10÷3＝3……1 48÷8＝6 6÷4＝1.5所以，被除数能被除数整除的算式是48÷8思考：2.6÷1.3＝2，能不能说2.6能被1.3整除？说明理由 2.5÷5=0.5，能说2.5被5整除？ 6÷4＝1.5，能说6被4整除？例4：找因数和倍数（1）找出36的所有因数？方法1：想乘法算式：36×1=36，36和1是36的因数；18×2=36，18和2是36的因数；12×3=36，12和3是36的因数；9×4=36，9和4是36的因数；6×6=36，6是36的因数。
第一章 数的整除一、 整数和整除的意义：知识梳理：1、__________________统称为自然数。
2、整数的两种分类： 整数⎪⎩⎪⎨⎧_____________________ 整数⎩⎨⎧________________ 3、整除的概念：整数a 除以整数b ，如果得到的商是__________，且_________，我们就说a 能够被b 整除，或者说______________。
4、整除的条件：（1）____________________________,（2）____________________________.配套练习：1、把下列各数填在适当的圈内：12、-6、0、1.23、76、2005、-19.6、9 正整数 自然数 整数2、判断题：（1）36可以被72整除。
……………………………（ ）（2）20能够整除5。
…………………………………（ ）（3）因为55.25.12=÷，所以12.5能被2.5整除……………………（ ）（4）有最小的自然数……………………………………（ ）（5）有最大的整数……………………………………（ ）（6）没有最大的负整数………………………………（ ）二、因数和倍数：知识梳理：1、 整数a 能够被整数b_______，a 叫做b 的倍数，b 叫做a 的_____。
2、 一个整数最小的因数是______，最大的因数是________。
3、 一个整数最小的倍数是______，_________（填“有”或“没有”）最大的倍数。
4、 一个整数的因数有_______个（填“有限”或“无限”），一个整数的倍数有_______个（填“有限”或“无限”）配套练习：1、判断（1）15的倍数一定大于15。
…………………………………（ ）（2）一个数的最大因数和它的最小倍数相等。
…………… （ ）（3）36的最小倍数和最大因数都是36。
……………………（ ）（4）1没有因数。
第一章数的整除1.1 整数和整除的意义1、在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2、在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3、零和正整数统称为自然数4、正整数、负整数和零统称为整数5、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a1.2 因数和倍数1、如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数2、倍数和因数是相互依存的3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3 能被2, 5整除的数1、个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2、整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3、在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5、个位数字是0,5的数都能被5整除6、0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1、只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2、除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3、1既不是素数也不是合数4、奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数7、分解素因数方法：树枝分解法、短除法1.5 公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2、如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3、把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4、如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5、如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6 公倍数与最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2、几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3、求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4、如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
一. 数的分类第一种分法 : 树状图 韦恩图整数第二种分法 整数第三种分法： 正整数一些关于数的结论:是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除1.整除定义概念：整数a 除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁,这里的a相当于被除数,b 相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数,商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽如正方形是特殊的长方形一样,即a 能被b 整除,则a 一定能被b 除尽,反之则不一定即a 能被b 除尽,则a 不一定能被b 整除;如4÷2=2, 4既能被2除尽,也能被2整除；4÷5=, 4能被5除尽,却不能说4能被5整除三．因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除,a 就叫做b的倍数,b就叫做a的因数约数;注意点：1.因数和倍数是相互依存的,不能简单的说某个数是因数,某个数是倍数;如：6÷3=2,不能说6是倍数,3是因数；要说6是3的倍数,3是6的因数;2.因数与倍数是建立在整除的基础上的,所以如4÷=20,一般是不说4是的倍数,是4的因数;2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身,没有最大的倍数;因数的个数是有限的,都能一一列举出来,倍数的个数是无限的;3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找,找出哪两个数的乘积等于这个数,那么这两个数就是这个数的因数;如16=1×16=2×8=4×4,那么16的因数就有1、2、4、8、16,计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数,注意按照一定的顺序以防遗漏;4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、2、3、4、5……即正整数得到的积就是这个数的倍数;若用n表示所有的正整数,则2的倍数可表示为2n, 5的倍数可表示为5n四．能被2、5、3整除的数的特点1.能被2整除的数即2的倍数个位上的数字是0、2、4、6、8,反之,个位上的数字是0、2、4、6、8的数也能被2整除2.能被5整除的数即5的倍数个位上的数字是0、5,反之,个位上的数字是0、5的数都能被5整除3.能被3整除的数即3的倍数各个位数上的数字之和是3的倍数,反之,各个位数上的数字之和是3的倍数的数都能被3整除4.能被2、5同时整除的数的个位数字都是0,个位数字为0的数也能被10整除,能被10整除的数一定能被2或5其中的一个或两个同时整除;五．奇数、偶数1.奇数与偶数的定义：能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数;按照能否被2整除来划分奇数与偶数2.奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、83.在连续的正整数中除1外,与奇数相邻的两个数是偶数,与偶数相邻的两个数是奇数4.相邻的奇数或偶数数字相差2,奇数可用2n-1或2n+1表示,偶数可用2n表示;5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数利用此结论可检验一些运算是否正确,同时也要注意结论的逆向运用,如偶数奇数可拆成哪些奇数或偶数的和、积六.素数、合数1.素数与合数定义：一个正整数如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数质数,如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数;注意点：1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的,素数只有2个因数1和本身,合数至少有三个因数；任何一个数除1外都有1和它本身两个因数;2. 1既不是素数也不是合数;3．最小的素数是2,最小的合数是42.素数与奇数的联系和区别奇数不一定都是素数;√1既不是素数也不是合数,9、15等是奇数但是合数所有素数都是奇数; ×2是素数,但2是偶数3.合数与偶数的联系与区别合数不一定都是偶数;√9、15等都是合数,但它们是奇数偶数都是合数; ×2是偶数但2是素数注意:判断题对的要说明原因,错的要举出反例;七．素因数与分解素因数1.素因数与分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数;把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数;注意：1.求一个数的素因数时,先把这个数分解素因数,有几个素因数就写几个;如24=2×2×2×3,则素因数是2、2、2、3,而不是2、32.因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数,素因数一定是素数;一个数的素因数一定是这个数的因数,因数的个数一定比素因数的个数多;2.分解素因数的方法树枝分解法：过程中注意不要漏写乘号,分解要彻底,直到没有合数出现,也不能出现1.要分解的合数写在等号左边,把它的素因数用相乘的形式写在等号右边,再把这几个素因数按从小到大的顺序排列;短除法：1.先用一个能整除这个合数的素数去除通常从最小的开始,偶数肯定先用2除,奇数一般从3开始一个个带入验算2.得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到得出的商是素数为止;3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式;3.由一个数分解素因数求这个数的因数12=2×2×3,素因数是2、2、3,除1外由单个的素因数组成因数有2、3,由两个素因数组成的因数有2×2=4,2×3=6,由三个素因数组成的因数有2×2×3=12,所以12的因数有1、2、3、4、6、12.4. 由一个数分解素因数求这个数因数的个数1所有素因数都相同时,因数的个数是它素因数的个数+1,如8=2×2×2,素因数是2、2、2,则8的因数的个数是它素因数的个数+1,即4个2素因数不完全相同时,因数的个数是每个素因数个数+1后相乘的积,如12=2×2×3,素因数2的个数是2,素因数3的个数是1,则12的因数的个数是2+1×1+1=6八.公因数与最大公因数1.公因数与最大公因数定义:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.2.互素定义：如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素;如8和9注意：互素是两个数之间,素数是指一个数,互素的两个数的最大公因数就是1.两个互素的数未必都是素数; √8和9互素,但8和9都是合数两个不同的素数一定互素. √若缺少“不同的”,则错,因为3和3都是素数但不互素3. 求两个数最大公因数的方法：1 一般方法：写出两个数所有的因数,再找出它们共同的最大的因数2 分解素因数的方法：把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,把它们所有的公有的素因数相乘,所得的积就是它们的最大公因数;3 短除法：先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最大公因数就是左侧的除数的乘积. 类比用短除法分解素因数的方法4. 两个整数中,如果某个数是另一个数的因数,那么这个数就是这两个数的最大公因数;如果这两个数互素,那么它们的最大公因数就是1.九.公倍数和最小公倍数1.公倍数与最小公倍数定义:几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.2.求两个数最小公倍数的方法:1一般方法:从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数2分解素因数的方法: 把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积,就是这两个数的最小公倍数.3短除法: 先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最小公倍数就是左侧的除数与底部商的乘积.注意点:1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相同,只是最后写结论时注意需要乘哪些数.2.求两个数的最大公因数和最小公倍数,先判断这两个数是否存在因数倍数关系或互素关系,存在因数倍数关系时,最大公因数就是较小的那个数,最小公倍数就是较大的那个数;两数互素时,最大公因数就是1,最小公倍数就是它们的乘积.3.两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数拓展1求三个整数的最大公因数:同样也是三种方法,只需找出三个数共同的因数,最大的因数就是最大公因数.注意与三个数的最小公倍数区分2求三个整数的最小公倍数:一般方法:写出三个数的倍数,再找出最小公倍数.分解素因数法:分别分解素因数,先找出三个数共同的素因数,再找出每两个数公有的素因数,再取各自剩余的素因数,把这些素因数连乘所得的积就是这三个数的最小公倍数.短除法:先用三个数公有的素因数去除直到三个数没有公有的素因数,再用其中两个数公有的素因数去除,直到除得的三个商两两互素为止即三对互素数。
小学六年级整除知识点在小学六年级的数学学习中，整除是一个重要的知识点。
了解和掌握整除的规则和特点，将有助于学生在解决数学问题时更加得心应手。
本文将介绍小学六年级整除的相关知识点。
一、整除的概念和特点整数a能被整数b整除，即a÷b的商为整数，我们就说a能被b整除，记作b|a。
在整除的运算中，有以下几个重要的特点需要注意：1. 整数a能被1整除，即1|a，任何一个整数都能被1整除。
2. 任何一个整数a都能被自身整除，即a|a。
3. 整数0不能被任何数整除（因为任何数除以0都是没有意义的）。
4. 如果整数a能被整数b整除，那么b也能够整出a的倍数。
即如果b|a，则对任意的整数k，都有b|ka。
二、整除的判断方法在小学六年级，判断一个整数能否被另一个整数整除，可以通过以下几种方法来进行判断：1. 因数分解法：将被除数和除数进行因数分解，如果被除数中含有除数的所有因数，则说明被除数能够被除数整除。
例如，判断24能否被3整除，我们可以将24和3进行因数分解：24=2×2×2×3，3=3×1，则3是24的因数，所以24能被3整除。
2. 除法法则：如果被除数能够整除除数，那么被除数除以除数的商必然是整数。
例如，判断36能否被4整除，我们可以用36除以4，得到商为9，由于商是整数，所以36能被4整除。
3. 余数法：如果被除数除以除数的余数为0，那么被除数能被除数整除。
例如，判断56能否被7整除，我们用56除以7，得到商为8，余数为0，由于余数为0，所以56能被7整除。
三、整除与倍数的关系整除与倍数是密切相关的概念。
如果一个整数a能被另一个整数b整除，那么a就是b的倍数。
例如，12能够被3整除，那么12就是3的倍数。
同样地，如果一个整数a是另一个整数b的倍数，那么a能够被b整除。
例如，24是6的倍数，那么24能被6整除。
四、整除的应用举例整除在日常生活和数学问题中有着广泛的应用。
第一章:数的整除
1. 零和正整数统称为自然数。
正整数、零、负整数统称为整数。
重点题型：
1. 在8，－10，0，0.25，－50，
7
3
，100，－8.5中，正整数有 ， 自然数有 ，整数有 2.最小的自然数是
提高：非负整数，如小于3的非负整数有
2. 整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
用式子表示:如果 a ÷b=c(其中a 、b ，c 都为整数)称a 能被b 整除或b 能整除a 。
（区分两种表述） 重点题型：
1. 下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是 ，第二个数能整除第一个数的是 12和24；39和13；54和27；46和4；17和51；84和7
2. 12÷3=4，那么 能被 整除； 能整除
3. 整除的条件:
1）除数，被除数都为整数
2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
重点题型：
小明认为2.5能被5整除。
这种说法对吗？
4. 整数a 被整数b 整除,a 叫b 的倍数(mutiple),b 叫a 的因数(factor)(也称为约数) 因数和倍数是相互依存的。
重要结论：
一个整数的因数的个数是 的(填:无限或有限)，其中最小的因数是 ，最大的因数是 。
一个整数的倍数的个数是 的(填:有限或无限)，其中最小的倍数是 ， 一个整数 最大的倍数。
重点题型：
1. 因为4÷2=2,所以4是倍数,2是因数，这种说法对吗？
2. 一个整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定（ ） A <0 B =0 C >0 D 不等于0
3. 会求一个数的因数：如求105的因数
4. 会求一个数的倍数：如求7的倍数（写出5个）
5. 任何一个正整数至少有两个因数。
( )
6. 如果一个数既是12的因数,又是12的倍数,那么这个数一定是 。
7. 18的因数 24的因数
18和24的最大公因数是
5.能被2整除的数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8
能被5整除的数的特征：个位上的数是0，5
能被10整除（既能被2整除又能被5整除）的数的特征：个位上的数是0
能被3整除的数的特征：各位上的数字的和能被3整除
能被9整除的数的特征：各位上的数字的和能被9整除
重点题型：
1. 在15,27,38,62,90,135,420这七个数中:
1)能被2整除的数是。
2)能被5整除的数是。
3)既能被2整除,又能被5整除的数是。
4)能被3整除的数是。
5)能被9整除的数是。
6. 能被2整除的整数叫做偶数(even number),不能被2整除的整数叫奇数(odd number) 奇数 1,3,5,7,9,11,13,………偶数 2,4,6,8,10,12,14,………
重点题型：
1. 如果连续三个偶数之和是42，那么这三个数是（）
2. 三个连续的偶数中,最大的是a，最小的是 ( )
7. 奇数＋奇数＝偶数偶数＋偶数＝偶数奇数＋偶数＝奇数
奇数－奇数＝偶数偶数－偶数＝偶数奇数－偶数＝奇数
奇数×奇数＝奇数偶数×偶数＝偶数奇数×偶数＝偶数
8.一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数(prime number),也叫质数；
如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫合数(composite number)，合数总可以写成几个素数相乘的形式
1既不是素数也不是合数
正整数
素数 1 合数
100以内的素数
2 3 5 7 11 13 17 19 23
29 31 37 41 43 47 53 59 61
67 71 73 79 83 89 97
熟记20以内的全部素数
重点题型：
1. 把下列各数填入适当的圈内。
11，21，87，31，97，57，33，41，51，61,71，39，81，69，91
素数合数
2. 最小的奇数又是素数的是，10以内最大的偶数又是合数的是
最小的合数是最小的奇数又是合数的是
9.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。
(短除法)
重点题型：
1. 105分解素因数为，105的素因数有，因数有
36分解素因数为，36的素因数有，因数有
第10点为¶第一章最重点的内容
10.几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做最大公因数。
几个整数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做最大公因数。
求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数
求两个整数的最小公倍数,只要取它们所有公有的素因数,再取它们各自剩余的素因数,将这些数连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数
两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么它们的最大公因数是1。
两个整数中，如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数；如果这两个数互素，那么它们的最小公倍数是它们的乘积。
两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
以及和最大公因数及最小公倍数有关的应用问题
如：（不必抄题，只需写出解答过程）
重阳节,欣欣中学的师生到敬老院看望老人,他们共准备了320个苹果,240个橘子,200个梨,来慰问老人。
问用这些果品,最多可以分成多少份同样的礼物(水果必须全部分完)？在每份礼物中,苹果、橘子、梨各多少个？
某车站,每隔8分钟开出一辆电车,每隔10分钟开出一辆汽车。
上午9时,有一辆电车与一辆汽车同时开出,求9时以后再过多久电车与汽车第一次同时发车？
重点题型：
1. 求30和42的最大公因数和最小公倍数
2. 求30、42和21的最大公因数和最小公倍数
3. 一筐苹果,2个一拿,3个一拿,4个一拿,5个一拿都正好拿完而没有余数,这筐苹果最少应
有( )
(A)120个 (B)90个
(C)60个 (D)30个
4. （重点）已知甲数＝2×3×5×7，乙数＝2×2×5×5×7，、
甲数和乙数的最小公倍数是最大公因数是
5. （重点）在2，5，8，15中，共有对互素，它们是
第一章数的整除测试卷
填空题（每小题3分，满分36分）
1．在能够被2整除的两位数中，最小的是.
2．和统称为自然数.
3．12和3，其中是的因数，是的倍数.
4．写出2个能被5整除的两位数：.
5．写出2个既能被5整除，又能被2整除的数：.
6．写出2个2位数的素数：.
7．在11到20的整数中，合数有：.
8．分解素因数：24＝.
9．8和12的最大公因数是.
10．18和30的最大公因数是.
11．3和15的最小公倍数是.
12．已知A＝2×2×3×5,B＝2×3×3×7，则A、B的最小公倍数是, 最大公因数是.
二、选择题（每题3分，满分12分）
13．对20、4和0这三个数，下列说法中正确的是……………………（）
(A)20能被4整除；(B)20能被0整除；
(C)4能被20整除；(D)4能被0整除.
14．下列说法中，正确的是…………………………………………………（）
(A)1是素数；(B)1是合数；
(C)1既是素数又是合数；(D)1既不是素数也不是合数.
15．下列说法中，正确的是…………………………………………………（）
(A)奇数都是素数；(B)偶数都是合数；
(C)合数不都是偶数；(D)素数都是奇数.
16．下列各式中表示分解素因数的式子是…………………………………（）
(A) 2×3＝6；(B)28＝2×2×7；
(C)12＝4×3×1；(D)30＝5×6.
三、解答题（17、18题每题6分，19～23题每题8分，满分52分）
17．分解素因数.
（1）120（2）238
18．写出下列各数的所有约数.
（1）6（2）105
19．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数.
（1）12和18（2）24和36
20．写出最小的8个不同的素数.
21．写出最小的8个不同的合数.
22．在3至14的自然数中，哪些数与其它11个数都互素？
23．求两个自然数，使它们的和为84，它们的最大公约数为12.
24. （附加题10分）
（1）有A、B、C、D四个数，已知A、C的最大公因数是72，B、D的最大公因数是90，这四个数的最大公因数是多少？
（2）某班同学到图书馆借书，若借40本，平均分发给每个同学还差2本；若借65本，平均分发给每个同学后还剩2本；若借83本，平均分发给每个同学则还差1本.这个班最多有多少名同学？。
