精选浙江专版2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数函数教师用书

重点强化训练(一) 函数的图象与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( )【导学号：51062063】A ．－12B.12 C ．2D ．－2B [因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.]2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]3．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为函数f (x )在定义域上单调递增， 又f (－2)＝3－2－1－2＝－269＜0，f (－1)＝3－1－12－2＝－136＜0， f (0)＝30＋0－2＝－1＜0，f (1)＝3＋12－2＝32＞0，所以f (0)·f (1)＜0，所以函数f (x )的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]C [∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.]5．(2017·湖州质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (－2)＜f (1)D [由对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，f x 2－f x 1x 2－x 1＜0得函数f (x )为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (3)＜f (2)＝f (－2)＜f (1)，故选D.]二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图象如图2所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________. 【导学号：51062064】图20 [由题图可知，函数f (x )为奇函数， 所以f (x )＋f (－x )＝0.]7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[0,1] [设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.]8．(2017·温州质检)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x ∈(1，＋∞)时，f (x －1)＜0＝f (2)的解集为x ＜3，即1＜x ＜3；当x ∈(－∞，1)时，f (x －1)＜0＝f (－2)的解集为x ＜－1，即x ＜－1.综上所述，满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝2x，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ [解] 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示.4分由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；10分当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解.15分 10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值.【导学号：51062065】[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，4分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .6分 (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1).8分∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1x －1＋2＝4. 12分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·浙江五校二联)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)C [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|fx ＋fx2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e ，故选C.]2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． [解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.4分 (2)f (x )为偶函数.5分 证明如下：令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.10分(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).12分又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1，14分∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}.15分。

重点强化课(一) 函数的图象与性质[复习导读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．重点1 函数图象的应用已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( ) 【导学号：51062061】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34A [画出函数f (x )的图象，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.][迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，某某数k 的取值X 围．[解] 由函数f (x )的图象(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值X 围是k ＝0或k >1.15分[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，某某数k 的取值X 围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k |x |的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值X 围为k ＝0或k ≥2.15分[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右X 围对应定义域，上下X 围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或X 围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．[对点训练1] 已知函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是________．图1(－1,0)∪(1，2] [由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x ，在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．]重点2 函数性质的综合应用☞角度1 单调性与奇偶性结合(1)(2017·某某市质检(二))下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg xC ．y ＝|x |－1D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ (1)C (2)C [(1)函数y ＝1x是奇函数，排除A ；函数y ＝lg x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除B ；当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x单调递减，排除D ；函数y ＝|x |－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选C.(2)因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a－1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.]☞角度2 奇偶性与周期性结合(2017·某某适应性考试(二))若函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________. 【导学号：51062062】－3 [令g (x )＝a sin 2x ＋b tan x ，则g (x )是奇函数，且最小正周期是π，由f (－3)＝g (－3)＋1＝5，得g (－3)＝4，则g (3)＝－g (－3)＝－4，则f (π＋3)＝g (π＋3)＋1＝g (3)＋1＝－4＋1＝－3.]☞角度3 单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)D [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．] [规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．重点3 函数图象与性质的综合应用(1)(2017·某某二检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值X 围是( )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)(1)D (2)C [(1)由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x ＞a 时有一个解．由x ＝2，得a ＜2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 由x ≤a ，得a ≥－1.综上，a 的取值X 围为[－1,2)．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x ＞0的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数f (x )＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．][规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值X 围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2] (2017·某某一模)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞bB [由函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，得函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0,1)时，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝|log 2x |，且x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (4)，所以b ＞a ＞c ，故选B.] 重点强化训练(一) 函数的图象与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( )【导学号：51062063】A ．－12B.12C ．2D ．－2B [因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.]2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]3．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为函数f (x )在定义域上单调递增， 又f (－2)＝3－2－1－2＝－269＜0，f (－1)＝3－1－12－2＝－136＜0， f (0)＝30＋0－2＝－1＜0，f (1)＝3＋12－2＝32＞0，所以f (0)·f (1)＜0，所以函数f (x )的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值X 围是( )A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]C [∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.]5．(2017·某某质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (－2)＜f (1)D [由对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，f x 2－f x 1x 2－x 1＜0得函数f (x )为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (3)＜f (2)＝f (－2)＜f (1)，故选D.]二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图象如图2所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________. 【导学号：51062064】图20 [由题图可知，函数f (x )为奇函数， 所以f (x )＋f (－x )＝0.]7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值X 围为________．[0,1] [设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.]8．(2017·某某质检)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值X 围是________．(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x ∈(1，＋∞)时，f (x －1)＜0＝f (2)的解集为x ＜3，即1＜x ＜3；当x ∈(－∞，1)时，f (x －1)＜0＝f (－2)的解集为x ＜－1，即x ＜－1.综上所述，满足f (x －1)＜0的x 的取值X 围是(－∞，－1)∪(1,3)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝2x，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ [解] 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示.4分由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；10分当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解.15分 10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值.【导学号：51062065】[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f8＝2，f1＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，4分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .6分 (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1).8分∵x 2x －1＝x －12＋2x －1＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1·1x －1＋2＝4.12分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·某某五校二联)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ln x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)C [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ln x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|f ln x ＋f ln x |2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e ，故选C.]2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值X 围． [解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.4分 (2)f (x )为偶函数.5分 证明如下：令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.10分(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).12分 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1，14分∴x 的取值X 围是{x |－15<x <17且x ≠1}.15分。

第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。

（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。

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课时分层训练(八) 对数函数A组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1．函数y＝的定义域是( )A．[1，2］B．[1，2)C.错误!D.错误!D[由（2x－1)≥0⇒0＜2x－1≤1⇒错误!＜x≤1。

］2．(2017·石家庄模拟）已知a＝log23＋log2错误!，b＝log29－log2错误!，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＝b＜c B．a＝b＞cC．a＜b＜c D．a＞b＞cB[因为a＝log23＋log2错误!＝log23错误!＝错误!log23＞1，b＝log29－log2错误!＝log23错误!＝a，c＝log32＜log33＝1，所以a＝b＞c。

]3．若函数y＝log a x(a＞0，且a≠1）的图象如图2.6.3所示,则下列函数图象正确的是( )图2­6。

3A B C DB[由题图可知y＝log a x的图象过点(3,1)，∴log a3＝1，即a＝3.A项,y＝3－x＝错误!x在R上为减函数,错误；B项，y＝x3符合;C项，y＝（－x）3＝－x3在R上为减函数，错误；D项,y＝log3(－x）在(－∞，0)上为减函数，错误．]4．已知函数f(x）＝错误!则f（f(1）)＋f错误!的值是（)A．5 B．3C．－1 D。

第6讲对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式；2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.知识梳理1.对数的概念如果a x＝N【a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质【1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b【a>0，且a≠1).【2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a【MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M【n∈R)；④log a m M n＝nm log a M【m，n∈R，且m≠0).【3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b【a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.3.对数函数及其性质【1)概念：函数y＝log a x【a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是【0，＋∞).【2)对数函数的图象与性质指数函数y ＝a x 【a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x 【a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.诊 断 自 测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”) 【1)log 2x 2＝2log 2x .【 )【2)函数y ＝log 2【x ＋1)是对数函数【 ) 【3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln 【1＋x )－ln 【1－x )的定义域相同.【 ) 【4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .【 ) 解析 【1)log 2x 2＝2log 2|x |，故【1)错.【2)形如y ＝log a x 【a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故【2)错. 【4)当x ＞1时，log a x ＞logb x ，但a 与b 的大小不确定，故【4)错. 答案 【1)× 【2)× 【3)√ 【4)×2.已知函数y ＝log a 【x ＋c )【a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是【 ) A.a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C.0<a <1，c >1 D.0<a <1，0<c <1解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D3.【必修1P73T3改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则【 )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b 解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D4.【2017·湖州调研)已知a >0且a ≠1，若a 32＝278，则a ＝________；log 32a ＝________.解析 ∵a >0且a ≠1，∴由a 32＝278得a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27823＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94；log 32a ＝log 3294＝2.答案 94 25.【2015·浙江卷)计算：log 222＝________；2log23＋log43＝________. 解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案 －12 3 36.若log a 34<1【a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________.解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，解得0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，解得a >1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪【1，＋∞)考点一 对数的运算【例1】 【1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于【 ) A.10B.10C.20D.100【2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.解析 【1)由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.【2)原式＝【lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.答案 【1)A 【2)－20规律方法 【1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.【2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.【3)a b ＝N ⇔b ＝log a N 【a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 【1)【2017·北京东城区综合练习)已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f 【2＋log 23)的值为【 ) A.24B.16C.12D.8【2)【2015·安徽卷)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析 【1)因为3<2＋log 23<4，所以f 【2＋log 23)＝f 【3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.【2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.答案 【1)A 【2)－1考点二 对数函数的图象及应用【例2】 【1)【2017·郑州一模)若函数y ＝a |x |【a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是【 )【2)【2017·金华调研)已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f 【x )＋x －a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 解析 【1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在【0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.【2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f 【x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点.答案 【1)B 【2)a >1规律方法 【1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点【与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 【2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 【1)函数y ＝2log 4【1－x )的图象大致是【 )【2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是【 ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.【1，2)D.【2，2)解析 【1)函数y ＝2log 4【1－x )的定义域为【－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4【1－x )在定义域内单调递减，排除D.【2)由题意得，当0<a <1时，要使得4x<log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方.又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1【如图所示). 当a >1时，不符合题意，舍去. 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案 【1)C 【2)B考点三 对数函数的性质及应用【多维探究) 命题角度一 比较对数值的大小【例3－1】 【2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则【 ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c <b cD.c a >c b解析 由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C 、D 不正确. ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确.log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定. 答案 B命题角度二 解对数不等式【例3－2】 若log a 【a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是【 ) A.【0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.【0，1)∪【1，＋∞)解析 由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a 【a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 C命题角度三 对数型函数的性质【例3－3】 已知函数f 【x )＝log a 【3－ax ).【1)当x ∈[0，2]时，函数f 【x )恒有意义，求实数a 的取值范围；【2)是否存在这样的实数a ，使得函数f 【x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 【1)∵a >0且a ≠1，设t 【x )＝3－ax ， 则t 【x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t 【x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f 【x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈【0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 【2)t 【x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t 【x )为减函数.∵f 【x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t 【x )最小值为3－2a ，f 【x )最大值为f 【1)＝log a 【3－a )， ∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f 【x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.规律方法 【1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.【2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.【3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 【1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则【 ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >aD.c >a >b【2)已知函数f 【x )＝log a 【8－ax )【a >0，且a ≠1)，若f 【x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 【1)a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1， 又c ＝log 23>log 22＝1， 所以，c 最大.由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .【2)当a >1时，f 【x )＝log a 【8－ax )在[1，2]上是减函数，由f 【x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f 【x )min ＝log a 【8－2a )>1， 解之得1<a <83.若0<a <1时，f 【x )在[1，2]上是增函数， 由f 【x )>1在区间[1，2]上恒成立， 则f 【x )min ＝log a 【8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.答案 【1)D 【2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83[思想方法]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：【1)数形结合；【2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.[易错防范]1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为【0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0<a<1与a>1两种情况讨论.2.在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a Mα＝αlog a|M|【α∈N*，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：【1)务必先研究函数的定义域；【2)注意对数底数的取值范围.基础巩固题组【建议用时：40分钟)一、选择题1.【2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的【)A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析因为y＝log2x在【0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.答案 A2.【2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是【)A.a＝b<cB.a＝b>cC.a<b<cD.a>b>c解析因为a＝log23＋log23＝log233＝32log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1. 答案 B3.若函数y ＝log a x 【a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是【 )解析 由题意y ＝log a x 【a >0，且a ≠1)的图象过【3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝【－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3【－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B4.已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f 【f 【1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是【 )A.5B.3C.－1D.72解析 由题意可知f 【1)＝log 21＝0， f 【f 【1))＝f 【0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f 【f 【1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案 A5.【2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则【 ) A.【a －1)【b －1)<0 B.【a －1)【a －b )>0 C.【b －1)【b －a )<0D.【b －1)【b －a )>0解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.由log a b >1得log a b a >0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0<b a <1，则b >a >1或0<b <a <1.故【b －a )【b －1)>0.答案 D二、填空题6.设f 【x )＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f 【x )<0的x 的取值范围是________. 解析 由f 【x )是奇函数可得a ＝－1，∴f 【x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为【－1，1). 由f 【x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 答案 【－1，0)7.【2017·绍兴调研)已知5lg x ＝25，则x ＝________；已知函数f 【x )＝lg x ，若f【ab )＝1，则f 【a 2)＋f 【b 2)＝________.解析 因为5lg x ＝25，所以lg x ＝log 525＝2，所以x ＝102＝100；又因为f 【ab )＝1，所以lg 【ab )＝1，即ab ＝10，所以f 【a 2)＋f 【b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg 【a 2b 2)＝2lg 【ab )＝2.答案 100 28.【2015·福建卷)若函数f 【x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2【a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.解析 当x ≤2时，f 【x )≥4；又函数f 【x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，解1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为【1，2].答案 【1，2]三、解答题9.设f 【x )＝log a 【1＋x )＋log a 【3－x )【a >0，a ≠1)，且f 【1)＝2.【1)求a 的值及f 【x )的定义域；【2)求f 【x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 【1)∵f 【1)＝2，∴log a 4＝2【a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f 【x )的定义域为【－1，3).【2)f 【x )＝log 2【1＋x )＋log 2【3－x )＝log 2【1＋x )【3－x )＝log 2[－【x －1)2＋4]，∴当x ∈【－1，1]时，f 【x )是增函数；当x ∈【1，3)时，f 【x )是减函数，故函数f 【x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f 【1)＝log 24＝2. 10.【2016·衡阳月考)已知函数f 【x )是定义在R 上的偶函数，且f 【0)＝0，当x >0时，f 【x )＝log 12x . 【1)求函数f 【x )的解析式；【2)解不等式f 【x 2－1)>－2.解 【1)当x <0时，－x >0，则f 【－x )＝log 12【－x ).因为函数f 【x )是偶函数，所以f 【－x )＝f 【x )＝log 12【－x )，所以函数f 【x )的解析式为f 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.【2)因为f 【4)＝log 124＝－2，f 【x )是偶函数， 所以不等式f 【x 2－1)>－2转化为f 【|x 2－1|)>f 【4).又因为函数f 【x )在【0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为【－5，5).能力提升题组【建议用时：25分钟)11.【2017·长沙质检)设f 【x )＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f 【ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12【f 【a )＋f 【b ))，则下列关系式中正确的是【 )A.q ＝r <pB.p ＝r <qC.q ＝r >pD.p ＝r >q解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又∵f 【x )＝ln x 在【0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f 【ab )，即q >p . 又r ＝12【f 【a )＋f 【b ))＝12【ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r <q .答案 B12.已知函数f 【x )＝ln x 1－x，若f 【a )＋f 【b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________.解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a 【1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 13.【2016·浙江卷)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b＝________.解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52， ∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴【b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.答案 4 214.设x ∈[2，8]时，函数f 【x )＝12log a 【ax )·log a 【a 2x )【a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值.解 由题意知f 【x )＝12【log a x ＋1)【log a x ＋2)＝12【log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18. 当f 【x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2，8]，∴a ∈【0，1).∵f 【x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f 【x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得.若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13， 此时f 【x )取得最小值时，x ＝【2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去.若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12， 此时f 【x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]， 符合题意，∴a ＝12.15.已知函数f 【x )＝lg 1＋x 1＋ax【a ≠1)是奇函数. 【1)求a 的值；【2)若g 【x )＝f 【x )＋21＋2x，x ∈【－1，1)，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值. 解 【1)因为f 【x )为奇函数，所以对定义域内任意x ，都有f 【－x )＋f 【x )＝0，即lg 1－x 1－ax ＋lg 1＋x 1＋ax ＝lg 1－x 21－a 2x 2＝0，a ＝±1， 由条件知a ≠1，所以a ＝－1.【2)因为f 【x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 令h 【x )＝21＋2x ，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21＋2＋21＋12＝2， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.。

2018版高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·广东湛江模拟]函数f (x )＝1－ln x 的定义域是( ) A ．(0，e) B ．(0，e] C ．[e ，＋∞) D ．(e ，＋∞)答案 B解析 本题考查函数的定义域．要使函数f (x )＝1－ln x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ≥0，x >0，解得0<x ≤e，则函数f (x )的定义域为(0，e]，故选B.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥2，f x ＋，x <2，则函数f (log 23)的值为( )A ．3 B.13C ．6 D.16答案 D解析 f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 26)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 log 26＝2－log 26＝2log 216 ＝16.故选D.3．[2017·山东烟台模拟]已知log a 34<1，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D ．(1，＋∞)答案 A解析 ∵log a 34<1＝log a a ，故当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，0<a <34；当a >1时，y ＝log a x 为增函数，a >34，∴a >1，综上知A 正确．4．函数f (x )＝ln (4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 答案 D解析 y ＝ln t 是单调递增函数，则只需研究函数t ＝4＋3x －x 2的单调递减区间，并注意t ＞0的限制．t ＝4＋3x －x 2的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，当x ≥4时，t ≤0，所以区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4符合题意．5．[2017·湖南模拟]设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c答案 D解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D.6．[2017·西宁期末]函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点________．答案 (－1,3)解析 当x ＋2＝1时，x ＝－1，f (－1)＝log a (－1＋2)＋3＝3，所以函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3的图象恒过定点(－1，3)．7．[2015·浙江高考]若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________. 答案433解析 ∵a ＝log 43＝12log 23＝log 23，∴2a ＋2－a＝2log 23 ＋2－log 23 ＝3＋2log 233 ＝3＋33＝433.8．函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (1,3)解析 底数a ＞0，y ＝6－ax 为减函数，又f (x )＝log a (6－ax )为减函数，所以a ＞1,6－ax 在[0,2]上要恒大于零，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，6－2a ＞0，所以1＜a ＜3.9．计算：(1)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72； (2)(lg 2)2＋lg 20×lg 5＋ln (e e)＋32－log 98.解 (1)原式＝log 33 34 3＋lg (25×4)＋2＝log 33－14 ＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154.(2)原式＝(lg 2)2＋(lg 2＋lg 10)×(lg 10－lg 2)＋ln e 32 ＋32312log 38＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＋32＋924＝10＋924.10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·桂林模拟]使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0)D ．[－2,0)答案 A解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，由y ＝x ＋1的图象知，满足条件的x ∈(－1,0)，故选A.12．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a答案 A解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，∴a ＞b .又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，∴b ＞c .故a ＞b ＞c .选A.13．[2017·河南模拟]已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．答案 7 2解析 由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.14．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a ＞0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)·(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． 若12⎝⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13 ，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13 )－32＝2∉[2,8]，舍去． 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。

第六节 对数函数1．对数的概念如果a x＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ，③log a M n＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的定义、图象与性质4.指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a ＝2，b ＝log 213，c ＝，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝＝1，∴c ＞a ＞b .]3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图2­6­1，则下列结论成立的是( )图2­6­1A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图象可知y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．] 5．(2017·杭州二次质检)计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________.2 3 [2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log23＝ 3.](1)设2a ＝5b＝m ，且a ＋b＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. 【导学号：51062043】 (1)A (2)－20 [(1)∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝⎝⎛⎭⎪⎫lg122·52×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝－20.][规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．a b＝N ⇔b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1] (1)(2017·嘉兴市高三教学测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f x ＋，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2)(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. (1)A (2)－12 3 3 [(1)∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×3＝24，故选A.(2)log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log23＝3 3.](1)(2017·绍兴一模)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )A B C D(2)(2017·湖州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【导学号：51062044】(1)B (2)(1，＋∞) [(1)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如图所示．故选B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．][规律方法] 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [变式训练2] 如图2­6­2，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，则m ＝( )图2­6­2A ．2B ．3 C. 2D. 3D [由题意知等边△ABC 的边长为2，则由点A 的坐标(m ，n )可得点B 的坐标为(m ＋3，n ＋1)．又A ，B 两点均在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，故有⎩⎨⎧log 2m ＋2＝n ，log 2m ＋3＋2＝n ＋1，解得m ＝3，故选D.]☞角度1若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c＜b cD ．c a＞c bB [对于选项A ：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．对于选项B ：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg b lg c ，而lg a ＞lg b ，两边同乘一个负数1lg c 不等号方向改变，∴log c a ＜log c b ，∴选项B 正确．对于选项C ：利用y ＝x c(0＜c ＜1)在第一象限内是增函数，可得a c＞b c，∴选项C 错误．对于选项D ：利用y ＝c x(0＜c ＜1)在R 上为减函数，可得c a＜c b ，∴选项D 错误，故选B.]☞角度2 解简单的对数不等式(2016·浙江高考)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0D [法一：log a b ＞1＝log a a ， 当a ＞1时，b ＞a ＞1；当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1.只有D 正确． 法二：取a ＝2，b ＝3，排除A ，B ，C ，故选D.] ☞角度3 探究对数型函数的性质已知函数f (x )＝log a (3－ax )，是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解] 假设存在满足条件的实数a .∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝3－ax 在[1,2]上是关于x 的减函数.4分 又f (x )＝log a (3－ax )在[1,2]上是关于x 的减函数， ∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数， ∴a ＞1，x ∈[1,2]时，u 最小值为3－2a ，8分f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，a ＝32，12分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为 1.15分[规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．[思想与方法]1．对数值取正、负值的规律当a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1时，log a b＞0；当a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1时，log a b＜0.2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．[易错与防范]1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论．2．在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a Mα＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．课时分层训练(八) 对数函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数y ＝的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 D [由(2x －1)≥0⇒0＜2x －1≤1⇒12＜x ≤1.]2．(2017·石家庄模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞cB [因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c .]3．若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图2­6­3所示，则下列函数图象正确的是( )图2­6­3A B C DB [由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，错误；B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72A [由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝5.] 5．已知y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( )【导学号：51062045】A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．[2，＋∞)C [因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，u ＝2－ax (a ＞0)在[0,1]上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a ＞1.又2－a ＞0，所以1＜a ＜2.]二、填空题6．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 【导学号：51062046】－1 [lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.]7．(2017·“江南十校”信息优化卷)设函数f (x )＝lg(x 2－4)，则f (x )的定义域为________，单调递增区间为________．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2，＋∞) [由x 2－4>0，得f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．其单调递增区间为(2，＋∞)．]8．(2016·浙江高考)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.4 2 [∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1， ∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.] 三、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 【导学号：51062047】 [解] (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.4分由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3).8分 (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，12分 ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.15分10．已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.5分又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.7分 (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数，8分 ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，10分∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a >0，log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a <32，a ＝32，13分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为 1.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·浙江名校(河桥中学)交流卷三)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＋n ＝( )A.12B.32 C ．2 D.52D [∵f (x )＝|log 2x |，且f (m )＝f (n )，∴mn ＝1.又0<m <n ，则有0<m <1<n ，从而有0<m 2<m <1<n ，则|log 2m 2|＝2|log 2m |＝2|log 2n |>|log 2n |.∵f (x )＝|log 2x |在区间[m 2，n ]上的最大值为2，∴|log 2m 2|＝2，即|log 2m |＝1，∴m ＝12(m ＝2舍去)，∴n ＝2. ∴m ＋n ＝52.] 2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062048】(1,2] [当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.∵f (x )的值域为[4，＋∞)，∴当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，∴log a 2≥1，∴1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意．故a ∈(1,2]．]3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.3分故所求函数f (x )的定义域为(－1,1).6分(2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数.10分(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1， 所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1).15分。