【创新设计】2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-阶段回扣练9

课时规范练45《素养分级练》P323基础巩固组1.(辽宁大连模拟)抛物线y=14x2的焦点到准线的距离为( )A.18B.14C.1D.2答案:D解析:y=14x2⇒x2=4y⇒p=2,焦点到准线的距离是p=2.2.(全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )A.2B.2√2C.3D.3√2答案:B解析:设点A(x A,y A),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=x A+1,又|AF|=|BF|,所以x A+1=2,即x A=1,所以y A2=4.所以|AB|=√(x A-3)2+y A2=2√2.3.(山东烟台一模)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2√2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=-12B.x=-1C.x=-2D.x=-4答案:B解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点F p2,0. 由y2=16p,可得y=±4√p.不妨令P(8,4√p),则S△OFP=12×p2×4√p=p√p=2√2,解得p=2.则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为(2,2√2),焦点为F,则( )A.点M到焦点的距离为3B.直线MF与F与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切D.过点M与C相切的直线方程为x-2y+1=0答案:AC解析:由题意知(2√2)2=4p,解得p=2,即y2=4x,焦点F(1,0),准线到焦点的距离等于到准线的距离为2-(-1)=3,故A正确;由焦点F(1,0)知直线MF不与N中点为P,过M,N,P作准线的垂线,垂足为M',N',P',易知PP'=MM'+NN'2=MF+NF2=MN2,故以弦MN为直径的圆与C的准线相切,故C正确;由2-2×2√2+1≠0知点M不在直线x-2y+1=0上,故D错误.故选AC.5.已知动点C到点F(0,-2)比到直线y=1的距离大1,动点C的轨迹为曲线W,点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线W上两点,若y1+y2=-8,则|AB|的最大值为( )A.10B.14C.12D.16答案:C解析:由题意可知,动点C到点F(0,-2)与到直线y=2的距离相等,曲线W 是以点F为焦点的双曲线,方程为x2=-8y.根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=p-(y1+y2),又y1+y2=-8,所以|AF|+|BF|=12.因为|AF|+|BF|≥|AB|,当且仅当A,F,B三点共线时,等号成立,即|AB|≤12,所以|AB|的最大值为12.6.若三个点M(3,2√6),N(2,2√3),Q(3,-2√6)中恰有两个点在抛物线y2=2px上,则该抛物线的方程为.答案:y2=8(3,2√6)在抛物线上,则Q(3,-2√6)一定也在y2=2px上,∴点M,点Q在抛物线上,点N(2,2√3)不在抛物线上,∴6p=24,4p≠12,解得p=4,∴抛物线的方程为y2=8x.7.(河北沧州二模)已知抛物线C:y 2=4F,NF.若|MF|=√3|NF|,则直线AB 的斜率为 . 答案:√3解析:如图,由题意得|AF|=|AM|,|BF|=|BN|,所以∠AMF=∠AFM=∠MFO,∠BNF=∠BFN=∠NFO.因为∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO=π,所以∠MFO+∠NFO=π2,所以MF ⊥NF.又|MF|=√3|NF|,所以∠NMF=π6,所以∠MFO=∠AFM=π3,故∠AFx=π3,所以直线AB 的斜率为tan π3=√3.8.(新高考Ⅰ,14)已知O 为坐标原点,抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP.若|FQ|=6,则C 的准线方程为 . 答案:x=-32解析:∵PF ⊥x 轴,∴x P =x F =p2,将x P =p2代入y 2=2px,得y=±p.不妨设点P 在x 轴的上方,则P (p2,p),即|PF|=p.如图,由条件得,△PFO ∽△QFP, ∴|OF ||PF |=|PF ||QF |,即p 2p=p6,解得p=3.故C 的准线方程为x=-32.综合提升组9.(新高考Ⅱ,10)已知O 为坐标原点,过抛物线C:y 2=2p(p,0),若|AF|=|AM|,则( ) A.直线AB 的斜率为2√6 B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180° 答案:ACD解析:选项A,由题意知,点A 为FM 的中点,则x A =p2+p 2=34p,所以y A 2=2px A =2p·34p=32p 2(y A >0).所以y A =√62p,故k AB =√62p 34p -p2=2√6,故选项A 正确;选项B,由斜率为2√6可得直线AB 的方程为x=2√6y+p2,联立抛物线方程得y 2-√6py-p 2=0,设B(x B ,y B ),则√62p+y B =√66p,则y B =-√6p3,代入抛物线方程得(-√6p3)2=2p·x B ,解得x B =p3.所以|OB|=x B2+y B 2=p 29+2p 23=7p 29≠p 24,故选项B 错误;选项C,|AB|=34p+p 3+p=2512p>2p=4|OF|,故选项C 正确; 选项D,由选项A,B 知,A34p,√62p ,Bp 3,-√63p ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =34p,√62p ·p 3,-√63p =p 24-p 2=-34p 2<0,所以∠AOB 为钝角.又MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-p 4,√62p ·-2p3,-√63p =p 26-p 2=-56p 2<0,所以∠AMB 为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°. 故选项D 正确.故选ACD.10.已知抛物线x 2=2py(p>0)的焦点为F,O 为坐标原点,A(t,1)是抛物线第一象限上的点,|AF|=5,直线AF 与抛物线的另一个交点为B,则S △AOB= .答案:40解析:∵|AF|=1+p2=5,则p=8,∴抛物线方程为x 2=16y.把A(t,1)代入抛物线方程得t 2=16且t>0,则t=4. ∵A(4,1),F(0,4),则直线AF 的斜率k=1-44-0=-34,∴直线AF 的方程为y=-34x+4,即3x+4y-16=0.联立{3x +4y -16=0,x 2=16y ,解得{x =4,y =1或{x =-16,y =16,即B(-16,16).则|AB|=√(-16-4)2+(16-1)2=25,点O 到直线AF:3x+4y-16=0的距离d=|-16|√32+42=165,∴S △AOB =12|AB|×d=40.11.已知抛物线y=14x 2的焦点为F,P 为抛物线上一动点,点Q(1,1),当△PQF的周长最小时,点P 的坐标为 . 答案:1,14解析:如图,设l:y=-1是抛物线的准线,过点P 作PH ⊥l 于点H,过点Q 作QN ⊥l 于点N,则|PF|=|PH|,F(0,1),|FQ|=1,|PF|+|PQ|=|PQ|+|PH|,易知当Q,P,H 三点共线时,|PQ|+|PH|最小,且最小值为1+1=2,所以△PQF 周长的最小值为3,此时P 1,14.创新应用组12.用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥,则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分,如图,在底面半径和高均为2的圆锥中,AB,CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,过CD 作平行于PA 的平面α,交母线PB 于点E,则平面α与圆锥侧面的交线为抛物线,其焦点到准线的距离为( )A.12B.√2C.√22D.1答案:B解析:由题意OB=OP=OC=2,E 是母线PB 的中点,所以OE=√2.在平面CDE 内建立平面直角坐标系,如图所示,可得C(-√2,2).设抛物线的方程为y 2=mx,将C 点坐标代入可得4=-√2m,所以m=-2√2,所以抛物线的方程为y 2=-2√2x.所以焦点坐标为-√22,0,准线方程为x=√22, 所以焦点到其准线的距离为√2.。

课时规范练40《素养分级练》P374基础巩固组1.(山东青岛模拟)设集合A={(x,y)|y=2x-3},B={(x,y)|4x-2y+5=0},则A∩B=( )A.⌀B.{(118,1 4 )}C.{(18,-114)} D.{(-18,-134)}答案:A解析:由直线4x-2y+5=0,得y=2x+52.因为直线y=2x+52与直线y=2x-3的斜率相等,截距不相等,所以两直线相互平行,故A∩B=⌀.2.(江苏无锡高三检测)在平面直角坐标系xOy中,点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点为( )A.(-1,2)B.(2,-1)C.(1,3)D.(3,1)答案:D解析:设点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点是(a,b),则{a2-b+42+1=0,b-4 a =-1,解得{a=3,b=1.3.(多选)(山东青岛高三开学考试)已知直线l 1:4+2)+5=0(m ∈R),则( )A.直线l 2过定点(-3,-1)B.当m=1时,l 1⊥l 2C.当m=2时,l 1∥l 2D.当l 1∥l 2时,两直线l 1,l 2之间的距离为1 答案:ACD解析:对于A,l 2:(m+2)+5=0(m ∈R)变形为m(x-y+2)+2x-y+5=0,令{x -y +2=0,2x -y +5=0,则{x =-3,y =-1,因此直线l 2过定点(-3,-1),故A 正确;对于B,当m=1时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:3x-2y+7=0,4×3+(-3)×(-2)≠0,故两直线不垂直,故B 错误;对于C,当m=2时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,44=-3-3≠94,故两直线平行,故C 正确;对于D,当l 1∥l 2时,则满足m+24=-(m+1)-3≠2m+54⇒m=2,此时l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,则两直线间的距离为√42+(-3)2=1,故D 正确.故选ACD.4.已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后,再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )A.3√3B.6C.2√10D.2√5答案:C解析:由题意直线AB 的方程为x+y=4,设P 关于直线AB 的对称点Q(a,b),则{b a-2=1,a+22+b 2=4,解得{a =4,b =2,即Q(4,2).又P 关于y 轴的对称点为T(-2,0),所以光线所经过的路程为|QT|=√(-2-4)2+(0-2)2=2√10.5.(福建福州高三检测)若直线ax+2y+1=0与直线xcos 2π3+y-1=0互相垂直,则a= . 答案:4解析:由题意得a2·cos 2π3=-1,解得a=4.6.已知直线l 过点P(-1,2),且点A(2,3),B(-4,5)到直线l 的距离相等,则直线l 的方程为 . 答案:x+3y-5=0或x=-1解析:(方法1)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知|2k -3+k+2|√k 2+1=|-4k -5+k+2|√k 2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13,所以直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=-1,符合题意.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.(方法2)当AB ∥l 时,直线l 的斜率k=k AB =-13,则直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 过AB 的中点(-1,4)时,直线l 的方程为x=-1.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.综合提升组7.(湖北武汉模拟)某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x-4y+c 1=0和3x-4y+c 2=0,则|c 1-c 2|=( ) A.2√3 B.2√5 C.2 D.4答案:B解析:设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为A,联立{x +2y +1=0,3x -4y +c 2=0,解得{x =-c 2+25,y =c 2-310,故A -c 2+25,c 2-310. 同理,设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为B,则B -c 1+25,c 1-310,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为C,则C -c 1+65,c 1-910,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为D,则D -c 2+65,c 2-910.由菱形的性质可知AC ⊥BD,且AC,BD 的斜率均存在,所以k AC ·k BD =-1,则c 2-310-c 1-910-c 2+25+c 1+65·c 1-310-c 2-910-c 1+25+c 2+65=-1,即36-(c 2-c 1)24[16-(c 2-c 1)2]=-1,解得|c 1-c 2|=2√5.8.(河北大名高三检测)已知点P(-2,2),直线l:(λ+2)x -(λ+1)y -4λ-6=0,则点P 到直线l 的距离的取值范围为 . 答案:[0,4√2)解析:把直线l:(λ+2)x -(λ+1)y -4λ-6=0化为(2x-y-6)+λ(x -y-4)=0,联立{2x -y -6=0,x -y -4=0,解得{x =2,y =-2,即直线l 过定点M(2,-2).又k PM =-2-22-(-2)=-1,且λ+2λ+1×(-1)≠-1,所以直线PM 与l 不垂直,所以点P 到直线l 的距离的最大值小于|PM|=√(2+2)2+(-2-2)2=4√2,即点P 到直线l 的距离的取值范围为[0,4√2).9.(四川成都七中高三检测)已知△ABC 的顶点B(5,1),AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0. (1)求直线AB 的方程.(2)在①②两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. ①角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0; ②BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0.,求直线AC 的方程.解:(1)因为AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0,所以直线AB 的斜率为k=-2.又因为△ABC 的顶点B(5,1),所以直线AB 的方程为y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0.(2)若选①:角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0, 由{2x +y -11=0,x +2y -13=0,解得{x =3,y =5,所以点A(3,5).设点B 关于x+2y-13=0的对称点B'(x 0,y 0),则{y 0-1x 0-5×(-12)=-1,x 0+52+2×y 0+12-13=0,解得{x 0=375,y 0=295,所以B'375,295.又点B'375,295在直线AC 上,所以k AC =5-2953-375=211.所以直线AC 的方程为y-5=211(x-3),即2x-11y+49=0.若选②:BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0, 由{2x +y -11=0,2x -y -5=0,解得{x =4,y =3,所以点A(4,3).设点C(x 1,y 1),则BC 的中点在直线2x-y-5=0上,所以2×5+x 12−1+y 12-5=0,即2x 1-y 1-1=0,所以点C 在直线2x-y-1=0上.又点C 在直线x-2y-5=0上,由{x -2y -5=0,2x -y -1=0,解得{x =-1,y =-3,即C(-1,-3),所以k AC =-3-3-1-4=65.所以直线AC 的方程为y-3=65(x-4),即6x-5y-9=0.创新应用组10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A(2,0),B(0,4),C(-4,0),则其欧拉线方程为 . 答案:x-y+2=0解析:设△ABC 的重心为G,垂心为H,由重心坐标公式得x=2+0+(-4)3=-23,y=0+4+03=43,所以G -23,43.由题,△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x=0,直线BC:y=x+4,A(2,0),所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y=-x+2,联立{x =0,y =-x +2⇒H(0,2).所以欧拉线GH 的方程为y-2=2-430-(-23)x,即x-y+2=0.。

第 4 讲直线与圆、圆与圆的地点关系基础稳固题组(建议用时： 40 分钟 )一、选择题1．若直线 ax ＋ by ＝1 与圆 x 2＋y 2＝ 1 订交，则 P(a ，b)()A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能分析由 1 <1，得a 2＋b 2>1，∴点P 在圆外．a 2＋b 2答案B2．圆 x 2＋ y 2－4x ＝ 0 在点 P(1， 3)处的切线方程为()A ． x ＋ 3y －2＝0B ．x ＋ 3y －4＝0C ． x － 3y ＋4＝0D ．x － 3y ＋2＝0分析易知圆心 C 坐标为 (2， 0)，则 k CP ＝3＝－，1－ 233因此所求切线的斜率为 3 .故切线方程为3y － 3＝ 3 (x －1)，即 x － 3y ＋ 2＝ 0. 答案D3． (2015 ·宝鸡模拟 )已知圆 O 1：(x －a)2＋(y － b)2＝ 4， O 2：(x － a － 1)2＋(y － b － 2)2＝1(a ，b ∈R )，则两圆的地点关系是( )A ．内含B ．内切C ．订交D ．外切 分析 由 O 1： (x － a) 2＋ (y － b) 2＝ 4 得圆心坐标为 (a ， b) ，半径为 ；由 O 2：2(x －a － 1)2＋ (y －b －2)2＝ 1 得圆心坐标为 (a ＋1，b ＋2)，半径为 1，因此两圆圆心之间的距离为 |O 1O 2 |＝ 12＋22＝ 5，因为 |2－1|＝1＜ 5＜2＋1＝3，因此两圆订交，应选 C.答案C4．过点 (3，1)作圆 (x － 1)2＋y 2＝ 1 的两条切线，切点分别为 A ，B ，则直线 AB 的方程为()A ． 2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ． 4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0分析 如下图：由题意知：AB ⊥ PC ， k PC ＝1，∴ AB2k＝－ 2，∴直线AB 的方程为 y －1＝－ 2(x －1)，即 2x ＋ y－ 3＝ 0.答案 A．若直线y ＝ kx 与圆 (x －2) 2＋y 2＝1 的两个交点对于直线 2x ＋y ＋ b ＝ 0 对称，则 k ，5b 的值分别为()11A ． k ＝ 2， b ＝－ 4B ．k ＝－ 2，b ＝41 1 C ． k ＝ 2， b ＝ 4D ．k ＝－ 2，b ＝－ 4分析因为直线 y ＝kx 与圆 (x －2)2＋y 2＝1 的两个交点对于直线2x ＋ ＋ ＝ 对y b 0称，则 y ＝ kx 与直线 2x ＋y ＋ b ＝ 0 垂直，且 2x ＋ y ＋ b ＝ 0 过圆心，因此解得 k ＝12，b ＝－ 4.答案A二、填空题． ·青岛质量检测 )直线 y ＝ 2x ＋ 1被圆2＋y 2＝ 1 截得的弦长为 ________．6 (2015x分析 圆 x 2＋ y 2＝ 1的圆心 O(0 ， 0)，半径 r ＝ 圆心到直线 ＝ 2x ＋ 1的距离1.Oy12＝5 2 21 45为 d ＝25 ，故弦长为 2 r －d ＝21－5＝5.2 ＋（－ 1） 答案4557． (2014 ·武汉调研 )过点 P(1，1)的直线，将圆形地区{（x，y）|x2＋y2≤ 4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ________．分析当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时，切合条件．圆心 O 与 P 点连线的斜率 k＝1，因此直线 OP 垂直于 x＋y－2＝0.答案x＋y－2＝08． (2014 ·重庆卷 )已知直线 x－y＋a＝0 与圆心为 C 的圆 x2＋y2＋ 2x－4y－4＝ 0 订交于 A， B 两点，且 AC⊥BC，则实数 a 的值为 ________．分析由 x2＋y2＋ 2x－4y－ 4＝ 0，得 (x＋1)2＋(y－ 2)2＝9，∴圆C 的圆心坐标为 (－ 1， 2)，半径为 3.由 AC⊥BC，知△ ABC 为等腰直角三角形，因此 C 到直线 AB 的距离 d＝322，即|－ 1－ 2＋ a|＝32，2221 ＋（－ 1）因此 |a－3|＝ 3，即 a＝0 或 a＝ 6.答案0 或 6三、解答题9．已知点 P(0，5)及圆 C：x2＋y2＋ 4x－12y＋ 24＝0.若直线 l 过 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3，求 l 的方程．解如下图， AB＝4 3，D 是 AB 的中点， CD⊥AB，AD＝ 2 3，圆 x2＋y2＋ 4x－12y＋24＝0 可化为 (x＋ 2)2＋(y－6)2＝16，圆心C(－2，6)，半径r＝4，故AC＝4，在 Rt△ ACD 中，可得 CD＝2.当直线 l 的斜率存在时，设斜率为k，则直线 l 的方程为 y－5＝kx，即 kx－ y＋5＝0，由点 C 到直线 AB 的距离公式，得|－2k－ 6＋ 5|＝ 2，22k ＋（－ 1）3解得 k＝4.此时直线 l 的方程为 3x－4y＋20＝0；当直线 l 的斜率不存在时，方程为x＝0，则 y2－12y＋ 24＝0，∴ y1＝6＋2 3，y2＝ 6－ 2 3，∴ |y2－y1|＝4 3，故 x＝0 知足题意；∴所求直线的方程为3x－4y＋ 20＝0 或 x＝ 0.10．已知直线 l： y＝ kx＋1，圆 C： (x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：无论 k 为什么实数，直线l 和圆 C 总有两个交点；(2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长．y＝ kx＋1，法一(1)证明由（x－1）2＋（y＋1）2＝12，22消去 y 得 (k ＋1)x －(2－4k)x－7＝ 0，22因为＝ (2－4k) ＋28(k ＋1)>0，因此无论 k 为什么实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点．(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线 l 被圆 C 截得的弦长 |AB|＝1＋ k2|x1－x2|8－4k＋11k24k＋3＝ 21＋k2＝ 211－1＋k2，4k＋32令 t＝1＋k2 ，则tk－4k＋(t－3)＝0，3当 t＝ 0 时， k＝－4，当 t≠0 时，因为 k∈R，因此＝ 16－4t(t－3)≥ 0，解得－ 1≤ t≤4，且 t≠0，4k＋3故 t＝ 2 的最大值为4，此时 |AB|最小为 2 7.1＋k法二(1)证明圆心 C(1，－ 1)到直线 l 的距离 d＝|k＋2|2，圆 C 的半径 R＝23，1＋ kk2＋4k＋411k2－4k＋8R2－d2＝12－1＋k 2 ＝2，而在S＝11k2－4k＋8中，1＋ k＝(－4)2－ 4× 11×8<0，故 11k2－ 4k＋8>0 对 k∈R恒建立，因此 R2－d2>0，即 d<R，因此无论 k 为什么实数，直线l 和圆 C 总有两个交点．(2)解由平面几何知识，228－4k＋ 11k2知 |AB|＝2R －d＝21＋k2，下同法一．法三 (1)证明因为无论 k 为什么实数，直线 l 总过点 P(0，1)，而|PC|＝ 5<2 3＝R，因此点 P(0，1)在圆 C 的内部，即无论 k 为什么实数，直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P.因此无论 k 为什么实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点．(2)解由平面几何知识知过圆内定点 P(0，1)的弦，只有和 PC(C 为圆心 )垂直时才最短，而此时点 P(0，1)为弦 AB 的中点，由勾股定理，知 |AB|＝2 12－5＝27，即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为27.能力提高题组(建议用时： 25 分钟 )．已知圆C 1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab11的最大值为() 639A. 2B.2C.4D．2 3分析由两圆相外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之22299和，即 (a＋ b) ＝ 9＝ a＋b ＋2ab≥ 4ab，因此 ab≤4，即 ab 的最大值是4(当且仅当 a＝b 时取等号 )，应选 C.答案C12．圆 (x－3)2＋(y－3)2＝9 上到直线 3x＋4y－ 11＝0 的距离等于 1 的点有()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个|9＋12－ 11|分析因为圆心到直线的距离为5 ＝2，又因为圆的半径为 3，因此直线与圆订交，由数形联合知，圆上到直线的距离为 1的点有 3个．答案C13．已知两圆 C 1：x 2＋y 2－ 2x ＋10y －24＝0，C 2： x 2＋y 2＋2x ＋ 2y －8＝0，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 ________________． 分析 圆 C 1 的圆心为 (1 ，－ 5) ，半径为 ，圆 2的圆心为 (－1，－ 1)，半径50 C为 10，则两圆心连线的直线方程为 2x ＋ y ＋ 3＝ 0，由两圆方程作差得公共弦方程为 x －2y ＋4＝0，两直线的交点 (－2，1)即为所求圆的圆心，由垂径定理能够求得半径为 5，即所求圆的方程为 (x ＋ 2)2＋ (y －1)2＝ 5.答案(x ＋ 2)2＋ (y －1)2＝ 514．(2014 ·新课标全国 Ⅰ 卷)已知点 P(2，2)，圆 C ：x 2＋y 2－ 8y ＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为 M ，O 为坐标原点．(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△ POM 的面积．解 (1)圆 C 的方程可化为 x 2＋(y －4)2＝16，因此圆心为 C(0，4)，半径为 4.→ →设 M(x ， y)，则 CM ＝(x ， y － 4)，MP ＝(2－ x ， 2－ y)．由题设知→ →CM ·MP ＝0，故x(2－ x)＋(y －4)(2－y)＝0，即(x －1)2＋ (y －3)2 ＝2.因为点P 在圆 C 的内部，因此M 的轨迹方程是(x －1)2＋ (y －3)2＝2.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点N(1，3)为圆心， 2为半径的圆． 因为 |OP|＝|OM|，故O 在线段PM的垂直均分线上，又P 在圆N 上，进而ON ⊥PM. 因为 ON 的斜率为 3，因此 l 的斜率为－1，故 l 的方程为 x ＋ 3y －8＝0.又 |OM|3＝ |OP|＝2 2，O 到 l 的距离为410，因此 |PM|＝410，S △ POM ＝1×4 10×4 1055 2551616.＝5，故△ POM 的面积为5。

课时规范练42《素养分级练》P375基础巩固组1.(江西上饶六校联考)若经过点P(-1,-2)的直线与圆x 2+y 2=5相切,则该直线在y 轴上的截距为( ) A.52B.5C.-52D.-5答案:C解析:∵(-1)2+(-2)2=5,∴点P 在圆上.设圆心为O,则k OP =-2-1=2,则过点P 的切线的斜率k=-12,∴切线方程为y+2=-12(x+1),令x=0,得y=-52.2.点G 在圆(x+2)2+y 2=2上运动,直线NG 面积的最大值是( ) A.10 B.232C.92D.212答案:D解析:易知点M(3,0),N(0,-3),则|MN|=√32+32=3√2.圆(x+2)2+y 2=2的圆心坐标为(-2,0),半径为√2,圆心到直线x-y-3=0的距离为|-2-0-3|√2=5√22,所以,点G 到直线x-y-3=0的距离的最大值为5√22+√2=7√22,所以,△MNG面积的最大值是12×3√2×7√22=212.3.(多选)已知直线l:x+y-√2=0与圆C:(x-1)2+(y+1)2=4,则( )A.直线l与圆C相离B.直线l与圆C相交C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个D.圆C上到直线l的距离为1的点共有3个答案:BD解析:由圆C:(x-1)2+(y+1)2=4,可知其圆心坐标为(1,-1),半径为2,圆心(1,-1)到直线l:x+y-√2=0的距离d=√2|√12+12=1,故B,D正确,A,C错误.故选BD.4.(河北石家庄模拟)已知圆C:x2+y2+2ay=0(a>0)截直线√3x-y=0所得的弦长为2√3,则圆C与圆C':(x-1)2+(y+1)2=1的位置关系是( ) A.相离 B.外切 C.相交 D.内切答案:C解析:圆C的圆心为(0,-a),半径为a,其圆心到直线√3x-y=0的距离为|a|√3+1=a2,则2√a2-(a2)2=√3a=2√3,解得a=2.所以C:x2+(y+2)2=4,C的圆心为(0,-2),半径为2.又C'的圆心为(1,-1),半径为1,|CC'|=√(0-1)2+(-2+1)2=√2,故可得2-1<|CC'|<2+1,所以两圆的位置关系是相交.5.已知圆O:x 2+y 2=1,点A(0,-2),B(a,2),从点A 观察点B,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.-∞,-4√33∪4√33,+∞C.-∞,2√33∪2√33,+∞D.-4√33,4√33答案:B解析:易知点B(a,2)在直线y=2上.过点A(0,-2)作圆的切线,设切线的斜率为k,则切线方程为y=kx-2,即kx-y-2=0,由d=|0-0-2|√1+k 2=1,得k=±√3,则切线方程为y=±√3x-2.切线和直线y=2的交点坐标分别为-4√33,2,4√33,2.故从点A 观察点B,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是-∞,-4√33∪4√33,+∞.6.(山东聊城二模)已知点P 在圆O:x 2+y 2=4上,点A(-3,0),B(0,4),满足AP ⊥BP 的点P 的个数为( )A.3B.2C.1D.0答案:B解析:设点P(x,y), 则x 2+y 2=4,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+3,y),BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-4). 由AP ⊥BP,得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP⃗⃗⃗⃗⃗ =x(x+3)+y(y-4)=x 2+y 2+3x-4y=0,即x+322+(y-2)2=254,故点P 的轨迹为一个圆心为-32,2,半径为52的圆.则两圆的圆心距为52,半径和为52+2=92,半径差为52-2=12,有12<52<92,所以两圆相交,满足AP ⊥BP 的点P 有2个.7.(山东胜利一中模拟)已知圆C:(1,1)的直线截圆所得的弦长的最小值为 . 答案:2√2解析:圆C 的标准方程为(|=√(2-1)2+(0-1)2=√2,与CM 垂直的弦的弦长为l=2√r 2-|CM |2=2√4-2=2√2,即为所求弦长的最小值.8.过P(-2,-3)作圆(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线,切点为A,B,则过A,B 两点的直线方程为 . 答案:6x+5y-25=0解析:圆(x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C(4,2),半径为3,以线段PC为直径的圆的方程为(x-1)2+y+122=614,将两圆的方程相减得公共弦AB的方程为6x+5y-25=0.综合提升组9.(浙江杭州学军中学高三月考)已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动,据监测,目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向,距城市A 300 km的海面点P处,并以20 km/h的速度向西偏北30°方向移动.已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100√3 km,则城市A受台风影响的时间为( )A.5 hB.5√3 hC.52√3 h D.4 h答案:B解析:如图,AP=300km,∠APB=30°,台风中心沿PB方向以20km/h的速度移动,台风中心距离城市A的最短距离为AB=APsin30°=300×12=150(km).又以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100√3km,则台风中心在以城市A 为圆心,半径为100√3km的圆内时,城市A受台风影响.以城市A 为圆心,半径为100√3km 的圆截直线PB 所得弦长为2√(100√3)2-1502=100√3(km),则城市A 受台风影响的时间为100√320=5√3(h).10.(河南安阳模拟)已知圆C:(为直线l:作圆C 的两条切线,切点分别为A,B,则当四边形CAMB 周长取最小值时,四边形CAMB 的外接圆的方程为( )A.(x-7)2+(y-1)2=4B.(x-1)2+(y-7)2=4C.(x-7)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y-7)2=2 答案:D解析:圆C:(x-2)2+(y-6)2=4的圆心C(2,6),半径r=2, 点C 到直线l 的距离d=|2-6+8|√12+(-1)=2√2.依题意,CA ⊥AM,四边形CAMB 的周长为2|CA|+2|AM|=4+2√|CM |2-|CA |2≥4+2√d 2-4=4+2√(2√2)2-4=8,当且仅当CM ⊥l 时,等号成立,此时直线CM:x+y-8=0. 由{x -y +8=0,x +y -8=0,得点M(0,8).四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 的中点(1,7),半径为√2,方程为(x-1)2+(y-7)2=2.11.(山东烟台三模)已知动点P 到点A(1,0)的距离是到点B(1,3)的距离的2倍,记点P 的轨迹为C,直线y=kN 的面积为2,则实数k 的值为 . 答案:-7或1解析:设P(x,y),则有√(x -1)2+y 2=2√(x -1)2+(y -3)2,整理得(x-1)2+(y-4)2=4,即点P 的轨迹C 为以(1,4)为圆心,以2为半径的圆. 点Q(1,4)到直线y=kx+1的距离为|k+1-4|√1+k 2=|k -3|√1+k 2,直线y=kN|=2√4-(|k -3|√1+k2) 2 ,则△QMN 的面积S=12×2√4-(|k -3|√1+k2) 2 ×|k -3|√1+k 2=2,解得k=-7或k=1.创新应用组12.(新高考Ⅰ,14)写出与圆x 2+y 2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: . 答案:x=-1或y=-34x+54,或y=724x-2524解析:在平面直角坐标系中,画出圆x 2+y 2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O 1(3,4),由图得两圆外切,则☉O 与☉O 1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l 的方程为x=-1. 由图可知,内公切线l 1与另一条外公切线l 2的斜率均存在.∵l 1与直线OO 1垂直,直线OO 1的斜率k OO 1=43,∴直线l 1的斜率k l 1=-34,直线OO 1的方程为y=43x.可设直线l 1的方程为y=-34x+b(b>0).又圆心O 到直线l 1的距离d 1=|b |√(-4)2+1=1,解得b=54(负值舍去).故内公切线l 1的方程为y=-34x+54.由{y =43x ,x =-1,得直线l 与直线OO 1的交点为A (-1,-43).则可设直线l 2的方程为y+43=k(x+1).又圆心O 到直线l 2的距离d 2=|k -43|√k 2+1=1,解得k=724,故直线l 2的方程为y=724x-2524.由上可知,与圆x 2+y 2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-34x+54,或y=724x-2524.。

课时规范练41《素养分级练》P320基础巩固组1.以点(1,-1)为圆心,且与直线x-y+2=0相切的圆的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x+1)2+(y-1)2=8D.(x-1)2+(y+1)2=8答案:D解析:因为直线与圆相切,所以圆的半径等于点(1,-1)到直线x-y+2=0的距离,即半径r=|1-(-1)+2|=2√2,则所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=8.√12+(-1)2.(广东茂名高三检测)已知圆C:(是圆上的动点,AM与圆相切,且|AM|=2,则点A的轨迹方程是( )A.y2=4xB.x2+y2-2x-2y-3=0C.x2+y2-2y-3=0D.y2=-4x答案:B解析:因为圆C:(是圆上的动点,所以|MC|=1.又AM 与圆相切,且|AM|=2,所以|AC|=√|MC |2+|AM |2=√5.设A(x,y),则(x-1)2+(y-1)2=5,即x 2+y 2-2x-2y-3=0,所以点A 的轨迹方程为x 2+y 2-2x-2y-3=0.3.(河北唐山二模)若圆C:x 2+y 2+Dx+2y=0的圆心在直线x-2y+1=0上,则C 的半径为 . 答案:√10解析:圆C:x 2+y 2+Dx+2y=0的圆心为-D2,-1,则有-D2-2×(-1)+1=0,则D=6,则C 的半径为12√62+22=√10.4.(全国甲,文14)设点M 在直线2上,则☉M 的方程为 . 答案:(x-1)2+(y+1)2=5解析:(方法1)设A(3,0),B(0,1),则线段AB 的垂直平分线方程为y-12=3(x -32),即y=3x-4. 由{y =3x -4,2x +y -1=0,解得{x =1,y =-1,即圆心M 的坐标为(1,-1).设☉M 的半径为r,则r 2=(3-1)2+12=5.故所求☉M 的方程为((a,1-2a),☉M 的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.5.有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:每单位距离,A地的运费是B地运费的2倍.已知A,B两地相距6千米,顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系.(1)求A,B两地的售货区域的分界线的方程;(2)画出分界线的方程表示的曲线的示意图,并指出在方程表示的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.解:(1)以线段AB的中点O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则点A(3,0),B(-3,0),设B地每单位距离的运费为a元,售货区域内一点为P(x,y).若在两地的购货费用相同,则2a√(x-3)2+y2=a√(x+3)2+y2,化简可得(x-5)2+y2=16,故A,B两地的售货区域的分界线的方程为(x-5)2+y2=16.(2)由(1)可知,A,B两地的售货区域的分界线是以(5,0)为圆心,以4为半径的圆,如图所示,所以,在圆(x-5)2+y2=16上的居民从A,B两地购货的总费用相同,选择A或B地购货都可以.由2a√(x-3)2+y2>a√(x+3)2+y2,可得(x-5)2+y2>16,所以,在圆(x-5)2+y2=16外的居民从B地购货便宜.由2a√(x-3)2+y2<a√(x+3)2+y2,可得(x-5)2+y2<16,所以,在圆(x-5)2+y2=16内的居民从A地购货便宜.综合提升组6.(多选)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是( )A.yx 的最大值为43B.yx的最小值为0C.x2+y2的最大值为√5+1D.x+y的最大值为3+√2答案:ABD解析:由实数x,y 满足方程x 2+y 2-4x-2y+4=0,可得点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上,作其图象如图所示.y x表示点(x,y)与坐标原点连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx,则|2k -1|√k 2+1=1,解得k=0或k=43,则y x∈0,43,y xmain=0,故A,B 正确;x 2+y 2表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|+1,所以x 2+y 2的最大值为(|OC|+1)2,又|OC|=√22+12,所以x 2+y 2的最大值为6+2√5,故C 错误; 因为x 2+y 2-4x-2y+4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=1,故可设x=2+cosθ,y=1+sinθ,θ为参数,所以x+y=2+cosθ+1+sinθ=3+√2sin θ+π4,所以x+y 的最大值为3+√2,故D 正确.故选ABD.7.(山东济宁二模)已知直线l 1:kx+y=0过定点A,直线l 2:x-ky+2√2+2k=0过定点B,l 1与l 2的交点为C,则|AC|+|BC|的最大值为 . 答案:2√6解析:l 1:kx+y=0,则l 1过定点A(0,0),l 2:x+2√2+k(2-y)=0, 则l 2过定点B(-2√2,2).显然k×1+1×(-k)=0,即l1,l2相互垂直,而l1与l2的交点为C,所以点C 的轨迹是以AB为直径的圆,且圆心为(-√2,1),半径为√3.令|AC|=x,则|BC|=√12-x2,且0≤x≤2√3,所以(|AC|+|BC|)2=12+2x√12-x2≤12+(x2+12-x2)=24,当且仅当x=√12-x2,即x=√6时,等号成立.所以|AC|+|BC|的最大值为2√6.创新应用组8.(河北衡水中学模拟)几何学家帕普斯在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题:到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线l1,l2,l3,且l2,l3均与l1垂直.若动点M到l2,l3的距离的乘积与到l1的距离的平方相等,则动点M在直线l2,l3之间的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:A解析:因为l2,l3均与l1垂直,所以l2,l3平行.又因为动点M到l2,l3的距离的乘积与到l1的距离的平方相等,记l1为y=0,直线l2为到l1的距离为|y|,M到l2的距离为|x|,M到l3的距离为|a-x|,所以y2=|a-x|·|x|.若a>0,则y2=(a-x)x;若a<0,则y2=(x-a)·(-x),即y2=(a-x)x.综上,y2=(a-x)x,即在直线l2,l3之间的轨迹为圆.。

第3讲 圆与圆的方程基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为(0，0)， |AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 A2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 解析 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23. 答案 D3．(2015·汉中质检)设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ， 因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0， 即（0＋a ）2＋（0＋1）2>2a ，所以原点在圆外．答案 B4．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知 （0－1）2＋（b －2）2＝1，解得b ＝2， 故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 答案 A5．(2015·东营模拟)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A 二、填空题6．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为________．解析 圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则圆心(1，2)到直线x－y＋a＝0的距离为|1－2＋a|2＝22，解得a＝0或2.答案0或27．已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．解析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，∵k CM＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.答案x＋y－1＝08．(2015·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C 上各点到l的距离的最小值为______．解析由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1，1)到直线l的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2.答案 2三、解答题9．一圆经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0. ①又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0，③解①②③组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.10．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9，6)，求圆C 的方程．解 因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)， 所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即6x ＋y －23＝0.又因为圆心在以(4，－1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132，即5x ＋7y －50＝0上，由⎩⎨⎧6x ＋y －23＝0，5x ＋7y －50＝0，解得圆心为(3，5)， 所以半径为（9－3）2＋（6－5）2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．已知圆心(a ，b )(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为 ( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9B ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25C ．(x ＋6)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499 解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由圆心在直线y ＝2x ＋1上，得b ＝2a ＋1 ①，由此圆在y 轴上截得的弦长为25，得b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝73(舍去)．所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选A. 答案 A12．已知圆C 的圆心在曲线y ＝2x 上，圆C 过坐标原点O ，且分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则△OAB 的面积等于( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析 设圆心的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t .∵圆C 过坐标原点，∴|OC |2＝t 2＋4t 2，∴圆C 的方程为(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2.令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ，∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴A 点的坐标为(2t ，0)，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为4. 答案 C13．若圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点(x ，y )都使不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析 据题意圆x 2＋(y －1)2＝1上所有的点都在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥0，|1＋m |2≥1.解得m ≥2－1.故m 的取值范围是[2－1，＋∞)．答案 [2－1，＋∞)14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎨⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎨⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎨⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.。

阶段回扣练9平面分析几何(建议用时： 90 分钟 )一、选择题1． (2015 ·北京西城区模拟)直线y＝ 2x为双曲线x2y2C：a2－ b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线，则双曲线 C 的离心率是()A.3分析由题意知3B. 2ba＝ 2，得C.5b＝2a， c＝5a，所以5D. 2ce＝a＝5，应选C.答案C2．已知圆 C 经过 A(5，2)，B(－1，4)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程是A ． (x－2)2＋y2＝13B．(x＋2) 2＋y2＝ 17C． (x＋1)2＋y2＝40D．(x－ 1)2＋y2＝ 20()解析设圆心坐标为C(a ，0)，则|AC| ＝|BC| ，即（ a－ 5）2＋22＝（a＋ 1）2＋ 42，解得a＝ 1，所以半径r ＝（1＋1）2＋42＝20＝25，所以圆 C 的方程是 (x－1)2＋ y2＝20.答案 D3． (2014 ·南昌模拟 )方程 (x2＋y2－ 2x) · x＋ y－ 3＝0 表示的曲线是()A ．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线分析依题意，题中的方程等价于x＋ y－ 3≥0，①x＋y－3＝0 或②注意到圆x2＋y2－2x＝0.x2＋y2－2x＝ 0 上的点均位于直线x＋y－ 3＝ 0 的左下方地区，即圆x2＋ y2－2x ＝0 上的点均不知足 x＋y－3≥0，②不表示任何图形，因本题中的方程表示的曲线是直线 x＋y－3＝0，应选 D.答案D． ·东北三省四市联考 22) 以椭圆 x＋y＝1 的焦点为极点， 以椭圆的极点为焦点4 (201485的双曲线的离心率为()2 262 6813A. 13B. 3C.3D. 8c 2 22 6分析 由题意知双曲线的 a ＝ 3，c ＝2 2，所以 e ＝a ＝ 3 ＝3.答案 B5．(2015 ·九江质量检测 ) 若直线 － ＋ ＝ 与圆 C ：(x －3) 2＋(y － 3)2＝4 订交于 A ，x y 2 0→ →()B 两点，则 CA ·CB 的值为A ．－ 1B ． 0C ．1D ．10分析 依题意，圆心 C(3， 3)到直线 x － y ＋2＝0 的距离等于|3－3＋2|＝2，2∠ ACB 2 ∠ ACB → →cos 2 ＝ 2 ，2 ＝45°，∠ ACB ＝90°， CA ·CB ＝0，应选 B.答案 B． ·成都诊疗 已知实数 1，m ，4 组成一个等比数列，则圆锥曲线 x 2 ＋y 2＝ 1 6 (2014 ) m的离心率为()221A. 2B. 3C.2或 3D.2或 3 分析 由已知得 m ＝±2.当 m ＝2 时，该圆锥曲线表示椭圆， 此时 a ＝ 2，b ＝1，c ＝ ， ＝2；当 m ＝－ 2 时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝ 1，b ＝2， c1e2＝ 3， e ＝ 3，应选 C.答案C7．若直线 ax ＋by ＝ab(a ＞ 0， b ＞ 0)过点 (1， 1)，则该直线在 x 轴、 y 轴上的截距之和的最小值为()A ． 1B ．2C ．4D ．8分析依题意得1 1a ＋b ＝ 1， a ＋ b ＝(a ＋b)1 1 a ＋b＝2＋a bb ＋a≥4，当且仅当a ＝ b＝ 2 时取等号，所以 a ＋b 的最小值是 4，即该直线在 x 轴、 y 轴上的截距之和的最小值是 4，应选 C.22x y8． (2015 ·长沙模拟 )设双曲线 a 2－ b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，离心率 e ＝ 2，右焦点 F(c ，0) ．方程 2 －bx － c ＝ 0 的两个实数根分别为x 1，x 2，则点 P(x 1，x 2 与圆 2＋y 2ax) x ＝8 的地点关系是()A ．点 P 在圆外B ．点 P 在圆上C ．点 P 在圆内D ．不确立分析 依题意得 a ＝b ，c ＝2a ， x 1＋x 2＝b＝1，x 1x 2＝－ c＝－ 2，x 12＋x 22＝ (x 1 a a＋ x 2) 2－2x 1 2＝1＋22＜ 8，所以点 P 位于圆 x 2＋y 2＝ 8 内，应选 C.x答案 C22xy9．(2014 ·海口调研 )已知点 F 1，F 2 分别为双曲线 a 2－b 2＝ 1(a ＞ 0，b ＞ 0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的随意一点， 且|PF 2 ＝ 1 ，若△ 1 2 为等腰三角形，| 2|PF | PF F则双曲线的离心率为( )3 A ． 3B. 2C ． 2D.2分析依题意得 |PF 2－1 ＝，又2 ＝2|PF 1 ，所以2 ＝ ，1 ＝| |PF | 2a |PF | | |PF | 4a |PF | 2a.又 △PF 1F 2 为等腰三角形，所以 |PF 2 |＝|F 1F 2|，即 4a ＝2c ，所以双曲线的离心率为 e ＝ c＝2，应选 C.a答案 C．·西安模拟 已知双曲线22－ y ＝1 的左极点为 A 1，右焦点为 F 2，P 为双曲 10 (2014 ) x 3→ →()线右支上一点，则 PA 1·PF 2的最小值为81A ．－ 2B ．－ 16C ．1D ．0y2分析 设点 P(x ，y)，此中 x ≥1.依题意得 A 12 －1，－ ， ， 2 ， ，则有 ＝ x(1 0) F(2 0)322→ → 2 2y ＝3(x －1)， PA 1 ·PF 2＝(－1－x ，－ y)·(2 －x ，－ y)＝(x ＋ 1)(x －2)＋ y ＝x ＋2 2 －x －5＝4x －1 2 81→ →3(x －1)－x －2＝4x8－，此中 x ≥1.所以，当 x ＝ 1 时，PA 1·PF 216获得最小值－ 2，选 A.二、填空题11．(2014 ·成都诊疗 )已知直线l 1：ax ＋(3－a)y ＋1＝0，l 2：2x －y ＝0.若 l 1⊥ l 2，则实数 a 的值为 ________． 分析依题意得 a ＝－ 1，解得 a ＝ 1.a － 32答案 112．(2015 ·济南模拟 )已知直线 3x － 4y ＋a ＝0 与圆 x 2－ 4x ＋y 2－2y ＋1＝0 相切，则实数 a 的值为 ________．分析圆的标准方程为 (x －2)2＋ (y －1)2 ＝4，由直线 3x －4y ＋ a ＝0 与圆 (x － 2)2＋ (y －1)2＝4 相切得圆心 (2，1)到直线的距离 d 等于半径，所以 d ＝|6－4＋a|＝2， 5解得 a ＝－ 12 或 8. 答案－12或 8． ·陕西一致检测 ) 已知双曲线x 2＋ y 2 ＝ 1 的焦点同样，假如 y ＝ 313 (2015 S 与椭圆 9 344x是双曲线 S 的一条渐近线，那么双曲线 S 的方程为 ________．3分析由题意可得双曲线 S 的焦点坐标是 (0，± 5)．又 y ＝ 4x 是双曲线 S 的一条a 3 2 2 2渐近线，所以 c ＝ 5， b ＝ 4， a ＋b ＝c ，解得 a ＝ 3， b ＝ 4，所以双曲线 S 的标 准方程为y 2－x 2＝ 1.91622答案y－ x＝19 16x2y214．(2015 ·湖北七市 (州)联考 )已知双曲线 a 2－b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为 45°的直线与双曲线的左支没有公共点， 则此双曲线离心率 的取值范围是 ________．bb 2分析依题意， 0＜ a ≤ tan 45°＝ 1，所以双曲线的离心率 e ＝1＋ a ∈(1，2] ．答案(1， 2]x 2 y 215．(2014 ·山东卷 )已知双曲线 a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为 2c ，右极点为 A ，抛物线 x 2 ＝2py(p ＞0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c ，且|FA|＝c ，则双曲线的渐近线方程为 ________．分析222c ＝ a ＋b .①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，p 双曲线过点 c ，－ 2 ，c 2p 2即 a 2－4b 2＝1.②2由 |FA|＝ c ，得 c 2＝a 2＋p4 ，③由 ①③ 得 p 2＝4b 2.④c2将 ④代入 ②，得 a 2＝2.22ba ＋b∴ a 2＝ 2，即 a ＝1，故双曲线的渐近线方程为 y ＝±x ，即 x ±y ＝ 0. 答案x ±y ＝ 0三、解答题16．(2014 ·东北三省四市联考 )圆 M 和圆 P ：x 2＋y 2－2 2x － 10＝0 相内切，且过定点 Q(－ 2，0)．(1)求动圆圆心 M 的轨迹方程；(2)斜率为 3的直线 l 与动圆圆心 M 的轨迹交于 A ，B 两点，且线段 AB 的垂直1均分线经过点0，－ 2 ，求直线 l 的方程．解 (1)由已知 |MP|＝2 3－|MQ|，即 |MP|＋ |MQ|＝2 3，且 2 3大于 |PQ|，所以 M 的轨迹是以 (－2，0)，( 2，0)为焦点， 2 3为长轴长的椭圆，即其方2程为 x3 ＋y 2＝ 1.(2)设 A(x 1，y 1)，B(x 2， y 2)，直线 l 的方程为 y ＝ 3x ＋m ，代入椭圆方程得10x 2＋6 3mx ＋3m 2－ 3＝ 0，3 3所以 x 1＋ x 2＝－ 5 m ，3 1则 AB 的中点为 －10 3m ，10m ，AB 的垂直均分线方程为133y －10m ＝－ 3 x ＋10 3m ，1 5将 0，－ 2 代入得 m ＝2，所以直线 l 的方程为 y ＝ 3x ＋ 52.． ·安徽卷 设22＞ ＞的左、右焦点，过 F 1，F 2 分别是椭圆 E ：x 2＋y2＝0)17 (2014 )a b 1(a b点 F 1 的直线交椭圆 E 于 A ，B 两点， |AF 1|＝3|F 1B|.(1)若|AB|＝ 4，△ ABF 2 的周长为 16，求 |AF 2|；3(2)若 cos ∠ AF 2B ＝5，求椭圆 E 的离心率．解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B|，|AB|＝4，得 |AF 1|＝ 3， |F 1B|＝1.由于△ ABF 2 的周长为 16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1 ＋ 2 ＝ ＝8.| |AF | 2a 故 |AF 2|＝ 2a －|AF 1 |＝8－3＝5.(2)设|F 1B|＝k ，则 k ＞ 0 且|AF 1|＝ 3k ，|AB|＝ 4k.由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ， |BF 2 |＝2a －k.在△ ABF 2 中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF 2 |2＋ |BF 2|2－2|AF 2|· |BF 2|cos ∠ AF 2B ，2 2 2 6即 (4k) ＝ (2a － 3k) ＋(2a －k) －5(2a － 3k) ·(2a －k)．化简可得 (a ＋k)(a － 3k)＝ 0，而 a ＋k ＞0，故 a ＝ 3k.于是有 |AF 2|＝3k ＝|AF 1|， |BF 2|＝ 5k.所以 |BF 2|2＝|F 2A|2＋ |AB|2，可得 F 1A ⊥F 2A ，△ AF 1F 2 为等腰直角三角形．进而 c ＝2c 22 a ，所以椭圆 E 的离心率 e ＝a ＝2.18．已知椭圆 x 2 y 2C ：b 2＋a 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，椭圆C 的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知直线 l ：y ＝kx ＋3与椭圆 C交于 A ， B 两点，能否存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰巧经过坐标原点 O ？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明原因．a ＝2，解 (1)设椭圆的焦半距为 c ，则由题设，得 c 3 a ＝ 2，解得a ＝ 2，所以b 2＝a 2－c 2＝ 4－ 3＝ 1，c ＝3，2故所求椭圆 C 的方程为y4＋x 2＝1. (2)存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰巧经过坐标原点 O.原因以下：设点 A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)，2将直线 l 的方程 y ＝kx ＋3代入 y4 ＋x 2＝1，并整理，得 (k 2＋4)x 2＋2 3kx －1＝0.(*)2 3k 1则 x 1＋x 2＝－ k 2＋4，x 1x 2＝－ k 2＋4.由于以线段 AB 为直径的圆恰巧经过坐标原点O ，→ →所以 OA ·OB ＝0，即 x 1 2＋y 1 2＝0.x y又 y 1y 2＝k 2x 1x 2＋ 3k(x 1＋ x 2)＋ 3，1＋k 26k 211 于是－ k 2＋ 4－ k 2＋4＋3＝0，解得 k ＝ ± 2 ，经查验知：此时 (*) 式的＞0，切合题意．11所以当 k ＝ ± 2 时，以线段 AB 为直径的圆恰巧经过坐标原点O.19.(2014 浙·江卷 )已知△ ABP 的三个极点都在抛物线 C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线 C 的焦点，点 M 为 AB 的中点， → → PF ＝ 3FM .→(1)若|PF|＝ 3，求点 M 的坐标；(2)求△ ABP 面积的最大值．解 (1)由题意知焦点 F(0，1)，准线方程为 y ＝－ 1.设 P(x 0， y 0)，由抛物线定义知 |PF|＝y 0＋1，获得 y 0＝ 2，所以 P(2 2，2)或P(－2 2，2)．→→2 2 2 2 2 2由 PF ＝ 3FM ，分别得 M － 3 ，3 或 M 3 ， 3 .(2)设直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋m ，点 A(x 1， y 1)，B(x 2，y 2)， P(x 0，y 0)．y ＝kx ＋ m ，由得 x 2－4kx －4m ＝0.x 2＝ 4y ，于是＝ 16k 2＋16m ＞ 0， x 1＋x 2＝4k ，x 1 2＝－ 4m ，x所以 AB 中点 M 的坐标为 (2k ，2k 2＋m)．→→， 2 ＋m － 1)，由 PF ＝ 3FM ，得 (－ x 0，1－y 0 ＝)3(2k 2k0 ＝－ 6k ，所以x0＝4－6k2－3m.y2214由 x 0＝4y 0，得 k ＝－ 5m ＋15.214由 ＞0，k ≥ 0，得－ 3＜m ≤3.又由于 |AB|＝4 1＋k 2· k 2＋m ，|m －1|点 F(0，1)到直线 AB 的距离为 d ＝1＋k 2.所以 S △ ABP ＝ 4S △ ABF ＝ 8|m － 1|k 2 ＋m＝163m 3－5m 2＋m ＋ 1.15记 f(m)＝ 3m 3－5m 2＋m ＋ 1 －13＜m ≤43 .令 f ′(m)＝9m 2－10m ＋ 1＝ 0，1解得 m 1＝9，m 2＝ 1.1 1 1 4 可得 f(m)在 － 3，9 上是增函数，在 9，1 上是减函数，在 1，3 上是增函数．1 256 4又 f 9 ＝243＞ f 3 .所以，当 m ＝1时， f(m)取到最大值256，924355此时 k ＝±15 .256 5所以，△ ABP 面积的最大值为 135 .。

第7讲 双曲线基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·西安调研)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±2x解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B. 答案 B2．(2014·大纲全国卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析 由已知，得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得3c2＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 答案 C3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析 由⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎨⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24. 答案 C4．(2014·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.15C ．4D.17解析 根据双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a .又(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，所以4a 2＝b 2－3ab ，即(a ＋b )(4a －b )＝0.又a ＋b ≠0，所以b ＝4a ，所以e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋42＝17.答案 D5．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)解析 由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP→＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )，∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)， ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B. 答案 B 二、填空题6．(2014·四川卷)双曲线x 24－y 2＝1的离心率等于________．解析 由双曲线方程x 24－y 2＝1，知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝5，∴e ＝c a ＝52.答案 52 7．(2014·北京卷)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C 的方程为________．解析 由双曲线的焦点坐标知c ＝2，且焦点在x 轴上，由顶点坐标知a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1. 答案 x 2－y 2＝18．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________．解析 因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m－x 2－m＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得 m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n ＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)． 答案 5三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 解 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， ∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→＝PB →，求△AOB 的面积．解(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中 m ＞0，n ＞0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n. 将点P 的坐标代入y24－x 2＝1，整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2014·江西卷)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1解析 由双曲线方程知右顶点为(a ，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝ba x ，因此可设点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c ，0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.答案 A12．(2015·石家庄模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(1，2)C ．(1，1＋2)D ．(2，1＋2)解析 由题意易知点F 的坐标为(－c ，0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，E (a ，0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a )>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0，2)，又e >1， ∴e ∈(1，2)，故选B. 答案 B13．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 解析 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5. ∴|PQ |＝4b ＝16>2a .又∵A (5，0)在线段PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的右支上， 且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知⎩⎨⎧|PF |－|P A |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6，∴|PF |＋|QF |＝28.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案 4414．(2014·湖南卷)如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． (1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA→＋OB →|＝|AB →|？证明你的结论．解 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－1b 21＝1.故b 21＝3. 由椭圆的定义知 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1＋1）2＝2 3. 于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2，故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA→＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3. 此时，|OA→＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|.②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0.当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3.于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1，得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0. 化简，得2k 2＝m 2－3，因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0，于是OA→2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA→＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|. 综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线.。

一、知识梳理１．双曲线的定义平面内与两个定点F１，F２的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F１F２|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF１|—|MF２||＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0．（１）当２a<|F１F２|时，P点的轨迹是双曲线．（２）当２a＝|F１F２|时，P点的轨迹是两条射线．（３）当２a>|F１F２|时，P点不存在．２．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）图形性质范围x≥a或x≤—a，y∈R y≤—a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A１（—a，0），A２（a，0）A１（0，—a），A２（0，a）渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（１，＋∞）实虚轴线段A１A２叫做双曲线的实轴，它的长|A１A２|＝２a；线段B１B２叫做双曲线的虚轴，它的长|B１B２|＝２b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c２＝a２＋b２（c＞a＞0，c＞b＞0）３．等轴双曲线及性质（１）等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x２—y２＝λ（λ≠0）．（２）等轴双曲线⇔离心率e＝错误!⇔两条渐近线y＝±x互相垂直．常用结论１．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.２．若P是双曲线右支上一点，F１，F２分别为双曲线的左、右焦点，则|PF１|min＝a＋c，|PF２|min＝c—a.３．同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为错误!，异支的弦中最短的为实轴，其长为２a.４．设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为错误!.５．P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F１，F２分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF１F２＝b２·错误!，其中θ为∠F１PF２.二、教材衍化１．若双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为错误!±错误!＝0，即bx±ay＝0，所以２a＝错误!＝b.又a２＋b２＝c２，所以５a２＝c２.所以e２＝错误!＝５，所以e＝错误!.答案：错误!２．经过点A（３，—１），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．解析：设双曲线的方程为错误!—错误!＝±１（a＞0），把点A（３，—１）代入，得a２＝8（舍负），故所求方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１３．以椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），由椭圆错误!＋错误!＝１，得焦点为（±１，0），顶点为（±２，0）．所以双曲线的顶点为（±１，0），焦点为（±２，0）．所以a＝１，c ＝２，所以b２＝c２—a２＝３，所以双曲线标准方程为x２—错误!＝１．答案：x２—错误!＝１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内到点F１（0，４），F２（0，—４）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．（）（２）椭圆的离心率e∈（0，１），双曲线的离心率e∈（１，＋∞）．（）（３）方程错误!—错误!＝１（mn>0）表示焦点在x轴上的双曲线．（）（４）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于错误!.（）答案：（１）×（２）√（３）×（４）√二、易错纠偏错误!错误!（１）忽视双曲线的定义；（２）忽视双曲线焦点的位置；（３）忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．１．平面内到点F１（0，４），F２（0，—４）的距离之差等于6的点的轨迹是________．解析：由|PF１|—|PF２|＝6＜|F１F２|＝8，得a＝３，又c＝４，则b２＝c２—a２＝7，所以所求点的轨迹是双曲线错误!—错误!＝１的下支．答案：双曲线错误!—错误!＝１的下支２．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为错误!，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为错误!—错误!＝１，则渐近线的方程为y＝±错误! x，由题意可得错误!＝tan 错误!＝错误!，b＝错误!a，可得c＝２a，则e＝错误!＝２；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为错误!—错误!＝１，则渐近线的方程为y＝±错误!x，由题意可得错误!＝tan 错误!＝错误!，a＝错误!b，可得c＝错误!a，则e＝错误!.综上可得e＝２或e＝错误!.答案：２或错误!３．若双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（３，—４），则此双曲线的离心率为________．解析：由条件知y＝—错误!x过点（３，—４），所以错误!＝４，即３b＝４a，所以9b２＝１6a２，所以9c２—9a２＝１6a２，所以２５a２＝9c２，所以e＝错误!.答案：错误!双曲线的定义（多维探究）角度一利用定义求轨迹方程已知圆C１：（x＋３）２＋y２＝１和圆C２：（x—３）２＋y２＝9，动圆M同时与圆C１及圆C相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．２【解析】如图所示，设动圆M与圆C１及圆C２分别外切于点A和点B.根据两圆外切的条件，得|MC１|—|AC１|＝|MA|，|MC２|—|BC２|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC１|—|AC１|＝|MC２|—|BC２|，即|MC２|—|MC１|＝|BC２|—|AC１|＝２，所以点M到两定点C１、C２的距离的差是常数且小于|C１C|＝6．２又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C２的距离大，与C１的距离小），其中a＝１，c＝３，则b２＝8．故点M的轨迹方程为x２—错误!＝１（x≤—１）．【答案】x２—错误!＝１（x≤—１）角度二利用定义解决“焦点三角形”问题已知F１，F２为双曲线C：x２—y２＝２的左，右焦点，点P在C上，|PF１|＝２|PF２|，则cos ∠F１PF２＝________．【解析】由双曲线的定义有|PF１|—|PF２|＝|PF２|＝２a＝２错误!，所以|PF１|＝２|PF２|＝４错误!，则cos∠F１PF２＝错误!＝错误!＝错误!.【答案】错误!【迁移探究１】（变条件）将本例中的条件“|PF１|＝２|PF２|”改为“∠F１PF２＝60°”，求△F１PF２的面积是多少？解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF１|—|PF２|＝２a＝２错误!，在△F１PF２中，由余弦定理，得cos∠F１PF２＝错误!＝错误!，所以|PF１|·|PF２|＝8，＝错误!|PF１|·|PF２|sin 60°＝２错误!.所以S△F１PF２【迁移探究２】（变条件）将本例中的条件“|PF１|＝２|PF２|”改为“错误!·错误!＝0”，求△F１PF２的面积是多少？解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF１|—|PF２|＝２a＝２错误!，由于错误!·错误!＝0，所以错误!⊥错误!，所以在△F１PF２中，有|PF１|２＋|PF２|２＝|F１F２|２，即|PF１|２＋|PF２|２＝１6，所以|PF１|·|PF２|＝４，＝错误!|PF１|·|PF２|＝２．所以S△F１PF２角度三利用定义求解最值问题若双曲线错误!—错误!＝１的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A（１，４），则|PF|＋|PA|的最小值是（）Ａ．8 Ｂ．9Ｃ．１0 Ｄ．１２【解析】由题意知，双曲线错误!—错误!＝１的左焦点F的坐标为（—４，0），设双曲线的右焦点为B，则B（４，0），由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝４＋|PB|＋|PA|≥４＋|AB|＝４＋错误!＝４＋５＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．所以|PF|＋|PA|的最小值为9．【答案】B错误!双曲线定义的应用（１）判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．（２）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF１|—|PF２||＝２a，运用平方的方法，建立|PF１|与|PF２|的关系．[提醒] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．１．（２0２0·河南非凡联盟４月联考）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，一条渐近线与直线４x＋３y＝0垂直，点M在C上，且|MF２|＝6，则|MF１|＝（）A．２或１４Ｂ．２Ｃ．１４Ｄ．２或１0解析：选Ｃ．由题意知错误!＝错误!，故a＝４，则c＝５．由|MF２|＝6＜a＋c＝9，知点M在C的右支上，由双曲线的定义知|MF１|—|MF２|＝２a＝8，所以|MF１|＝１４．２．（２0２0·河北廊坊省级示范学校联考）设F１，F２分别为双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F１的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF２|＝３，|BF２|＝５，|AB|＝４，则△BF１F２的面积为________．解析：因为|AF２|＝３，|BF２|＝５，|AF２|—|AF１|＝２a，|BF２|—|BF１|＝２a，所以|AF２|＋|BF２|—|AB|＝４a＝３＋５—４＝４，所以a＝１，所以|BF１|＝３，又|AF２|２＋|AB|２＝|BF２|２，所以∠F２AB＝90°，所以sin B＝错误!，所以S△BF＝错误!×５×３×sin B＝错误!×５×３×错误!＝错误!.１F２答案：错误!双曲线的标准方程（师生共研）（１）（一题多解）与椭圆错误!＋y２＝１共焦点且过点P（２，１）的双曲线方程是（）Ａ．错误!—y２＝１Ｂ．错误!—y２＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．x２—错误!＝１（２）（一题多解）若双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，且经过点（４，错误!），则双曲线的方程为________．【解析】（１）法一：椭圆错误!＋y２＝１的焦点坐标是（±错误!，0）．设双曲线方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0），所以错误!—错误!＝１，a２＋b２＝３，解得a２＝２，b２＝１，所以所求双曲线方程是错误!—y２＝１．法二：设所求双曲线方程为错误!＋错误!＝１（１<λ<４），将点P（２，１）的坐标代入可得错误!＋错误!＝１，解得λ＝２（λ＝—２舍去），所以所求双曲线方程为错误!—y２＝１．（２）法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，所以可设双曲线的方程为x２—４y２＝λ（λ≠0）．因为双曲线过点（４，错误!），所以λ＝１6—４×（错误!）２＝４，所以双曲线的标准方程为错误!—y２＝１．法二：因为渐近线y＝错误!x过点（４，２），而错误!<２，所以点（４，错误!）在渐近线y＝错误!x的下方，在y＝—错误!x的上方（如图）．所以双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．由已知条件可得错误!解得错误!所以双曲线的标准方程为错误!—y２＝１．【答案】（１）B （２）错误!—y２＝１错误!（１）求双曲线标准方程的答题模板（２）利用待定系数法求双曲线方程的常用方法１与双曲线错误!—错误!＝１共渐近线的方程可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0）；２若双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，则双曲线的方程可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0）；３若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为错误!＋错误!＝１（mn<0）或mx２＋ny２＝１（mn<0）．１．（２0２0·安阳模拟）过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）作其渐近线y＝错误!x的垂线，垂足为M，若S△OMF＝４错误!（O为坐标原点），则双曲线的标准方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１解析：选Ｃ．由题意易得错误!解得错误!所以双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１，故选Ｃ．２．过双曲线C：错误!—错误!＝１的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点F为圆心、半径为４的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１解析：选Ａ．因为渐近线y＝错误!x与直线x＝a交于点A（a，b），c＝４且错误!＝４，解得a２＝４，b２＝１２，因此双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．３．经过点P（３，２错误!），Q（—6错误!，7）的双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为mx２＋ny２＝１（mn<0），因为所求双曲线经过点P（３，２错误!），Q（—6错误!，7），所以错误!解得错误!故所求双曲线方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１双曲线的几何性质（多维探究）角度一求双曲线的焦点（距）、实、虚轴长已知离心率为错误!的双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF２，O为坐标原点，若S△OMF２＝１6，则双曲线的实轴长是（）Ａ．３２Ｂ．１6Ｃ．8４Ｄ．４【解析】由题意知F２（c，0），不妨令点M在渐近线y＝错误!x上，由题意可知|F２M|＝错误!＝b，所以|OM|＝错误!＝a.由S△OMF＝１6，可得错误!ab＝１6，即ab＝３２，又a２＋b２＝c２，错误!＝２错误!，所以a＝8，b＝４，c＝４错误!，所以双曲线C的实轴长为１6．故选Ｂ．【答案】B角度二求双曲线的渐近线方程（１）（２0２0·福建厦门一模）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝２，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±２xＤ．y＝±错误!x（２）过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点F作圆O：x２＋y２＝a２的两条切线，切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝１２0°，则双曲线的渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!x【解析】（１）设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，所以S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，由错误!可得y＝±错误!，则|MN|＝错误!＝２，即b２＝c，所以b＝２，c＝４，所以a＝错误!＝２错误!，所以C的渐近线方程为y＝±错误!x，故选Ｂ．（２）如图所示，连接OA，OB，设双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的焦距为２c（c>0），则C（—a，0），F（—c，0）．由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝错误!∠ACB＝错误!×１２0°＝60°.因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.因为FA与圆O相切于点A，所以OA⊥FA，在Rt△AOF中，∠AFO＝90°—∠AOF＝90°—60°＝３0°，所以|OF|＝２|OA|，即c＝２a，所以b＝错误!＝错误!＝错误!a，故双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的渐近线方程为y＝±错误!x，即y＝±错误!x.【答案】（１）B （２）A角度三求双曲线的离心率（或范围）（２0１9·高考全国卷Ⅱ）设F为双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x２＋y２＝a２交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．错误!【解析】如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为错误!错误!＋y２＝错误!１，将x２＋y２＝a ２记为２式，１—２得x＝错误!，则以OF为直径的圆与圆x２＋y２＝a２的相交弦所在直线的方程为x＝错误!，所以|PQ|＝２错误!.由|PQ|＝|OF|，得２错误!＝c，整理得c４—４a２c２＋４a４＝0，即e４—４e ２＋４＝0，解得e＝错误!，故选Ａ．【答案】A错误!与双曲线几何性质有关问题的解题策略（１）求双曲线的离心率（或范围）：依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式（或不等式），解方程（或不等式）即可求得．（２）求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．（３）求双曲线方程：依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线的方程．（４）求双曲线焦点（焦距）、实虚轴的长：依题设条件及a，b，c之间的关系求解．１．（２0１9·高考全国卷Ⅲ）双曲线C：错误!—错误!＝１的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２错误!Ｄ．３错误!解析：选Ａ．不妨设点P在第一象限，根据题意可知c２＝6，所以|OF|＝错误!.又tan∠POF＝错误!＝错误!，所以等腰三角形POF的高h＝错误!×错误!＝错误!，所以S△PFO＝错误!×错误!×错误!＝错误!.２．（２0２0·广东汕尾一模）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点．若tan∠MAN＝—错误!，则双曲线C的离心率为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．由题意可知tan∠MAN＝—错误!＝错误!，解得tan∠MAF＝３，可得错误!＝３，可得c２＋２a２—３ac＝0，e２＋２—３e＝0，因为e＞１，所以解得e＝２．故选Ｂ．[基础题组练]１．“k<9”是“方程错误!＋错误!＝１表示双曲线”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．因为方程错误!＋错误!＝１表示双曲线，所以（２５—k）（k—9）<0，所以k<9或k>２５，所以“k<9”是“方程错误!＋错误!＝１表示双曲线”的充分不必要条件，故选Ａ．２．双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则其渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!x解析：选Ａ．法一：由题意知，e＝错误!＝错误!，所以c＝错误!a，所以b＝错误!＝错误!a，所以错误!＝错误!，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x，故选Ａ．法二：由e＝错误!＝错误!＝错误!，得错误!＝错误!，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x，故选Ａ．３．（２0２0·广东揭阳一模）过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（）Ａ．错误!—１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２解析：选Ｂ．将x＝±c代入双曲线的方程得y２＝错误!⇒y＝±错误!，则２c＝错误!，即有ac＝b２＝c２—a２，由e＝错误!，可得e２—e—１＝0，解得e＝错误!（舍负）．故选Ｂ．４．设双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A１，A２，过F作A１A２的垂线与双曲线交于B，C两点．若A１B⊥A２C，则该双曲线的渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±xＤ．y＝±错误!x解析：选Ｃ．如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F（c，0），且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为错误!，错误!.又A１，A２的坐标分别为（—a，0），（a，0）．所以错误!＝错误!，错误!＝错误!.因为A１B⊥A２C，所以错误!·错误!＝0，即（c＋a）（c—a）—错误!·错误!＝0，即c２—a２—错误!＝0，所以b２—错误!＝0，故错误!＝１，即错误!＝１．又双曲线的渐近线的斜率为±错误!，故该双曲线的渐近线的方程为y＝±x.５．（２0２0·河北衡水三模）过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点F（错误!，0）作斜率为k（k＜—１）的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A，交另一条渐近线于点B，若S△BOF＝错误!（O为坐标原点），则k的值为（）Ａ．—错误!Ｂ．—２Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!解析：选Ｂ．由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y＝—错误!x，过第二象限的渐近线的方程为y＝错误!x，直线FB的方程为y＝k（x—错误!），联立方程得错误!⇒x＝错误!，所以y＝错误!，所以S△BOF＝错误!|OF|×|y B|＝错误!×错误!×错误!＝错误!错误!.令错误!错误!＝错误!，得k＝—２或k＝错误!（舍）．故选Ｂ．6．（２0２0·黄山模拟）过双曲线E：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点（—错误!，0），作圆（x—错误!）２＋y２＝４的切线，切点在双曲线E上，则E的离心率等于（）Ａ．２错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．设圆的圆心为G，双曲线的左焦点为F.由圆的方程（x—错误!）２＋y２＝４，知圆心坐标为G（错误!，0），半径R＝２，则FG＝２错误!.设切点为P，则GP⊥FP，PG＝２，PF＝２＋２a，由|PF|２＋|PG|２＝|FG|２，即（２＋２a）２＋４＝２0，即（２＋２a）２＝１6，得２＋２a＝４，a＝１，又c＝错误!，所以双曲线的离心率e＝错误!＝错误!，故选Ｂ．7．设F为双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为错误!|OF|，则双曲线的离心率为（）Ａ．２错误!Ｂ．错误!Ｃ．２错误!Ｄ．３解析：选Ｂ．双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±错误!x，线段OF的垂直平分线为直线x＝错误!，将x＝错误!代入y＝错误!x，则y＝错误!，则交点坐标为错误!，点错误!到直线y＝—错误!x，即bx＋ay＝0的距离d＝错误!＝错误!|OF|＝错误!，得c＝２b＝２错误!，即４a２＝３c２，所以双曲线的离心率e＝错误!＝错误!，故选Ｂ．8．已知双曲线C：错误!—y２＝１，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）Ａ．错误!Ｂ．３Ｃ．２错误!Ｄ．４解析：选Ｂ．因为双曲线错误!—y２＝１的渐近线方程为y＝±错误!x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝错误!x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F（２，0），所以直线MN的方程为y＝—错误!（x—２），由错误!得错误!所以M错误!，所以|OM|＝错误!＝错误!，所以|MN|＝错误!|OM|＝３，故选Ｂ．9．（２0２0·湛江模拟）设F为双曲线E：错误!—错误!＝１（a，b＞0）的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x２＋y２＝c２（c２＝a２＋b２）与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝错误!—１，则双曲线E的方程是（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—y２＝１Ｄ．x２—错误!＝１解析：选Ｄ．双曲线E：错误!—错误!＝１的渐近线方程为y＝±错误!x，因为四边形OAFB为菱形，所以对角线互相垂直平分，所以c＝２a，∠AOF＝60°，所以错误!＝错误!.则有错误!解得P错误!.因为|PF|＝错误!—１，所以错误!错误!＋错误!错误!＝（错误!—１）２，解得a＝１，则b＝错误!，故双曲线E的方程为x２—错误!＝１．故选Ｄ．１0．已知双曲线错误!—错误!＝１（b＞0）的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝（）Ａ．8 Ｂ．４错误!Ｃ．２错误!Ｄ．４错误!解析：选D.因为双曲线错误!—错误!＝１（b＞0）的虚轴长为8，所以２b＝8，解得b＝４，因为a＝３，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，c２＝a２＋b２＝２５，A（—３，0），所以c＝５，所以F（５，0），因为⊙F与双曲线的渐近线相切，所以⊙F的半径为错误!＝４，所以|MF|＝４，因为|AF|＝a＋c＝３＋５＝8，所以|AM|＝错误!＝４错误!，因为S四边形AMFN＝２×错误!|AM|·|MF|＝错误!|AF|·|MN|，所以２×错误!×４错误!×４＝错误!×8|MN|，解得|MN|＝４错误!，故选Ｄ．１１．（２0２0·开封模拟）过双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x２＋y２＝a２的切线FM（切点为M），交y轴于点P，若错误!＝２错误!，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２解析：选Ｂ．设P（0，３m），由错误!＝２错误!，可得点M的坐标为错误!，因为OM⊥PF，所以错误!·错误!＝—１，所以m２＝错误!c２，所以M错误!，由|OM|２＋|MF|２＝|OF|２，|OM|＝a，|OF|＝c 得，a２＋错误!错误!＋错误!＝c２，a２＝错误!c２，所以e＝错误!＝错误!，故选Ｂ．１２．过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（错误!，错误!）Ｃ．（错误!，２）Ｄ．（１，错误!）∪（错误!，＋∞）解析：选Ｄ．设双曲线：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点为F１（—c，0），令x＝—c，可得y＝±错误!，可设A错误!，B错误!.又设D（0，b），可得错误!＝错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!.由△ABD为钝角三角形，可得∠DAB为钝角或∠ADB为钝角．当∠DAB为钝角时，可得错误!·错误!<0，即为0—错误!·错误!<0，化为a>b，即有a２>b２＝c２—a ２.可得c２<２a２，即e＝错误!<错误!.又e>１，可得１<e<错误!；当∠ADB为钝角时，可得错误!·错误!<0，即为c２—错误!错误!<0，化为c４—４a２c２＋２a４>0，由e＝错误!，可得e４—４e２＋２>0．又e>１，可得e>错误!.综上可得，e的范围为（１，错误!）∪（错误!，＋∞）．故选Ｄ．１３．焦点在x轴上，焦距为１0，且与双曲线错误!—x２＝１有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．解析：设所求双曲线的标准方程为错误!—x２＝—λ（λ>0），即错误!—错误!＝１，则有４λ＋λ＝２５，解得λ＝５，所以所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１１４．过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点F１作圆x２＋y２＝a２的切线交双曲线的右支于点P，且切点为T，已知O为坐标原点，M为线段PF１的中点（点M在切点T的右侧），若△OTM 的周长为４a，则双曲线的渐近线方程为________．解析：连接OT，则OT⊥F１T，在直角三角形OTF１中，|F１T|＝错误!＝错误!＝b.设双曲线的右焦点为F２，连接PF２，M为线段F１P的中点，O为坐标原点，所以OM＝错误!PF２，所以|MO|—|MT|＝错误!|PF２|—错误!＝错误!（|PF２|—|PF１|）＋b＝错误!×（—２a）＋b＝b—a.又|MO|＋|MT|＋|TO|＝４a，即|MO|＋|MT|＝３a，故|MO|＝错误!，|MT|＝错误!，由勾股定理可得a２＋错误!错误!＝错误!错误!，即错误!＝错误!，所以渐近线方程为y＝±错误!x.答案：y＝±错误!x１５．已知M（x0，y0）是双曲线C：错误!—y２＝１上的一点，F１，F２是双曲线C的两个焦点．若错误!·错误!<0，则y0的取值范围是________．解析：由题意知a＝错误!，b＝１，c＝错误!，设F１（—错误!，0），F２（错误!，0），则错误!＝（—错误!—x0，—y0），错误!＝（错误!—x0，—y0）．因为错误!·错误!<0，所以（—错误!—x0）（错误!—x0）＋y错误!<0，即x错误!—３＋y错误!<0．因为点M（x0，y0）在双曲线C上，所以错误!—y错误!＝１，即x错误!＝２＋２y错误!，所以２＋２y错误!—３＋y错误!<0，所以—错误!<y0<错误!.答案：错误!１6．如图，F１，F２是双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右两个焦点，若直线y＝x 与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF１QF２为矩形，则双曲线的离心率为________．解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C方程，可得x＝±错误!，所以错误!·错误!＝c，所以２a２b２＝c２（b２—a２），即２（e２—１）＝e４—２e２，所以e４—４e２＋２＝0．因为e>１，所以e２＝２＋错误!，所以e＝错误!.答案：错误![综合题组练]１．过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点F（—c，0）作圆O：x２＋y２＝a２的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!＋１Ｄ．错误!解析：选Ａ．法一：如图所示，不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝错误!|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝２a，根据双曲线的性质，|PF|—|PF′|＝２a，所以|PF|＝４a，所以|EF|＝２a，在Rt △OEF中，|OE|２＋|EF|２＝|OF|２，即a２＋４a２＝c２，所以e＝错误!，故选Ａ．法二：连接OE，因为|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，因为O，E分别为线段FF′，FP的中点，所以|PF|＝２b，|PF′|＝２a，所以|PF|—|PF′|＝２a，所以b＝２a，所以e＝错误!＝错误!.２．（２0２0·汉中模拟）设F１（—c，0），F２（c，0）是双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是∠F１PF２的平分线，过点F１作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|（）Ａ．为定值aＢ．为定值bＣ．为定值cＤ．不确定，随P点位置变化而变化解析：选Ａ．延长F１Q，PF２交于点M，则三角形PF１M为等腰三角形，可得Q为F１M的中点，由双曲线的定义可得|PF１|—|PF２|＝|F２M|＝２a，由三角形中位线定理可得|OQ|＝错误!|F２M|＝a，故选Ａ．３．以椭圆错误!＋错误!＝１的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F１，F２.已知点M的坐标为（２，１），双曲线C上的点P（x0，y0）（x0>0，y0>0）满足错误!＝错误!，则S△PMF １—S△PMF２＝（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．１Ｄ．—１解析：选Ａ．由题意，知双曲线方程为错误!—错误!＝１，|PF１|—|PF２|＝４，由错误!＝错误!，可得错误!＝错误!，即F１M平分∠PF１F２.又结合平面几何知识可得，△F１PF２的内心在直线x＝２上，所以点M（２，１）就是△F１PF２的内心．故S△PMF１—S△PMF２＝错误!×（|PF１|—|PF２|）×１＝错误!×４×１＝２．４．（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，过F１的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若错误!＝错误!，错误!·错误!＝0，则C 的离心率为________．解析：通解：因为错误!·错误!＝0，所以F１B⊥F２B，如图．所以|OF１|＝|OB|，所以∠BF１O＝∠F１BO，所以∠BOF２＝２∠BF１O.因为错误!＝错误!，所以点A为F１B的中点，又点O为F１F２的中点，所以OA∥BF２，所以F１B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BF１O＝错误!，tan ∠BOF２＝错误!.因为tan ∠BOF２＝tan（２∠BF１O），所以错误!＝错误!，所以b２＝３a２，所以c２—a２＝３a２，即２a＝c，所以双曲线的离心率e＝错误!＝２．优解：因为错误!·错误!＝0，所以F１B⊥F２B，在Rt△F１BF２中，|OB|＝|OF２|，所以∠OBF２＝∠OF２B，又错误!＝错误!，所以A为F１B的中点，所以OA∥F２B，所以∠F１OA＝∠OF２B.又∠F１OA＝∠BOF２，所以△OBF２为等边三角形．由F２（c，0）可得B错误!，因为点B在直线y＝错误!x上，所以错误!c＝错误!·错误!，所以错误!＝错误!，所以e＝错误!＝２．答案：２５．已知双曲线C：错误!—y２＝１，直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，则直线l所过定点为________．解析：设A（x１，y１），B（x２，y２），联立错误!得（１—４k２）x２—8kmx—４（m２＋１）＝0，所以Δ＝6４m２k２＋１6（１—４k２）（m２＋１）＞0，x１＋x２＝错误!＞0，x１x２＝错误!＜0，所以y１y２＝（kx１＋m）（kx２＋m）＝k２x１x２＋mk（x１＋x２）＋m２＝错误!.因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（—２，0），所以k AD·k BD＝—１，即错误!·错误!＝—１，所以y１y２＋x１x２＋２（x１＋x２）＋４＝0，即错误!＋错误!＋错误!＋４＝0，所以３m２—１6mk＋２0k２＝0，解得m＝２k或m＝错误!.当m＝２k时，l的方程为y＝k（x＋２），直线过定点（—２，0），与已知矛盾；当m＝错误!时，l的方程为y＝k错误!，直线过定点错误!，经检验符合已知条件．故直线l过定点错误!.答案：错误!6．已知P为双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当错误!＝错误!错误!时，△AOB的面积为２b，则双曲线C的实轴长为________．解析：设A（x１，y１），B（x２，y２），P（x，y），由错误!＝错误!错误!，得（x—x１，y—y１）＝错误!（x２—x，y２—y），则x＝错误!x１＋错误!x２，y＝错误!y１＋错误!y２，所以错误!—错误!＝１．由题意知A在直线y＝错误!x上，B在y＝—错误!x上，则y１＝错误!x１，y２＝—错误!x２.所以错误!—错误!＝１，即b２（错误!x１＋错误!x２）２—a２（错误!x１—错误!x２）２＝a２b２，化简得：a２＝错误!x１x２，由渐近线的对称性可得sin∠AOB＝sin ２∠AOx＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.所以△AOB的面积为错误!|OA||OB|sin∠AOB＝错误!错误!·错误!·sin∠AOB＝错误!错误!·错误!·错误!＝x１x２·错误!·错误!·错误!＝错误!a２·错误!·[１＋（错误!）２]＝错误!ab＝２b，解得a＝错误!.所以双曲线C的实轴长为错误!.答案：错误!。