求解两点边值问题的有理插值Galerkin法

galerkin公式Galerkin公式是应用于数学和工程领域的一种重要方法，它被广泛用于求解各种偏微分方程和边界值问题。

本文将介绍Galerkin公式的基本概念、原理和应用，并通过实例来说明其在实际问题中的作用。

Galerkin公式是一种变分方法，它基于变分原理，通过将待求解函数表示为一组已知函数的线性组合，将原方程转化为一个求解线性方程组的问题。

这些已知函数称为试验函数，通常是由问题的边界条件和物理特性决定的。

Galerkin公式的基本思想是，将待求解函数与试验函数的乘积在整个求解域上积分，并使该积分等于零。

这样，原方程就可以通过对试验函数的选择和变换，将积分方程转化为一个线性代数方程组求解的问题。

Galerkin公式的求解过程可以分为三个步骤：选择试验函数、建立积分方程和求解线性代数方程组。

首先，根据问题的边界条件和物理特性，选择一组适当的试验函数。

试验函数的选择不仅要满足边界条件，还要能够较好地近似待求解函数。

其次，在整个求解域上建立积分方程，将原方程转化为一个积分形式的方程。

最后，通过求解线性代数方程组，得到待求解函数的近似解。

Galerkin公式的应用非常广泛，特别是在求解偏微分方程和边界值问题中。

例如，在流体力学中，Galerkin方法可以用于求解Navier-Stokes方程和非线性对流扩散方程，从而研究流体的运动和传热问题。

在结构力学中，Galerkin方法可以用于求解弹性力学方程和热传导方程，从而研究结构的变形和应力分布。

在电磁学中，Galerkin方法可以用于求解麦克斯韦方程和波动方程，从而研究电磁场的分布和传播。

除了上述应用外，Galerkin公式还可以用于优化问题和变分不等式的求解。

在优化问题中，可以将目标函数和约束条件表示为试验函数的线性组合，并通过Galerkin公式求解最优解。

在变分不等式中，可以将不等式约束表示为试验函数的线性组合，并通过Galerkin公式求解不等式的解集。

两点边值问题方程两点边值问题是一种求解微分方程的方法，它涉及到两个边界条件。

假设我们有一个一阶常微分方程dy/dx = f(x,y)，我们需要找到满足两个边界条件y(a) = alpha 和y(b) = beta 的解。

两点边值问题的解法通常包括以下步骤：1. 定义一个初始猜测值y0(x)。

2. 使用数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）求解微分方程，得到新的解y1(x)。

3. 检查新的解是否满足边界条件。

如果满足，则找到了解；否则，返回步骤2，使用新的解作为初始猜测值继续求解。

下面是一个使用Python实现两点边值问题的示例代码：```pythonimport numpy as npfrom scipy.integrate import odeint# 定义微分方程dy/dx = f(x,y)def f(x, y):return x * y - 1# 定义两个边界条件y(a) = alpha 和y(b) = betaa, b, alpha, beta = 0, 1, 1, 0# 定义初始猜测值y0(x)y0 = np.array([0.5, 0.5])# 使用数值方法求解微分方程def solve_two_point_boundary_value_problem(f, a, b, alpha, beta, y0, tol=1e-6, max_iter=100): for i in range(max_iter):y = odeint(f, y0, [a, b])if np.allclose(y[:1], alpha) and np.allclose(y[-1], beta):return y[1:-1]y0 = y[1:-1]raise ValueError("Solution not found within the specified tolerance and maximum iterations.")# 求解两点边值问题solution = solve_two_point_boundary_value_problem(f, a, b, alpha, beta, y0)print("Solution:", solution)```在这个示例中，我们使用`odeint`函数求解微分方程，并使用`np.allclose`检查新的解是否满足边界条件。

文献综述信息与计算科学两点边值问题的有限元解法有限元方法已成为当前求解偏微分方程数值解的一个重要方法, 从数学上看, 这种方法起源于变分法, 是古典的变分法与分片多项式插值相结合的产物, 20世纪50年代初, 从事航空工程、土木结构、水利建设的工程师们开始应用和发展一种用离散模型代替连续模型的方法求解各种结构力学问题, 并且逐渐波及各个连续场领域, 1960年美国人Ray Clough教授首先给出了“有限元方法”]1[这一名称. Clough教授形象地将其描绘为:“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”, 即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况.不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法, 有限元方法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数）, 且不考虑整个定义域的复杂边界条件, 这是有限元法优于其他近似方法的原因之一.对于不同物理性质和数学模型的问题, 有限元求解法的基本步骤是相同的, 只是具体公式推导和运算求解不同.有限元求解问题的基本步骤通常为:首先讨论问题的求解域, 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域.并求解域离散化, 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域, 习惯上称为有限元网络划分; 然后确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示, 为适合有限元求解, 通常将微分方程化为等价的泛函形式;接下来进行单元推导:对单元构造一个适合的近似解, 即推导有限单元的列式, 其中包括选择合理的单元坐标系, 建立单元试函数, 以某种方法给出单元各状态变量的离散关系, 从而形成单元矩阵.最后将单元总装形成离散域的总矩阵方程, 反映对近似求解域的离散域的要求, 即单元函数的连续性要满足一定的连续条件.并联立方程组求解, 有限元法最终导致联立方程常用的求解方法如直接法、选代法和随机法.求解结果是单元结点处状态变量的近似值.我国著名数学家冯康先生说过, 同一物理问题可以有许多不同的数学形式, 它们在数学上是等价的, 但在实践中并不等效, 从不同的数学形式可能导致不同的数值计算方法, 原问题的基本特征在离散后应尽可能得到保持. 而基于变分方法]2[的有限元方法正是利用这种思想, 把数学物理方程中存在大量存在的问题转化为与原问题等价的变分问题, 最后采用数值方法求解, 这是近现代求解微分方程的一种非常重要的方法, 有着重要的理论和实际意义.因此越来越多的数学家加入了发展有限元方法的行列, 使这种方法逐渐摆脱了工程问题的局限性, 成为一种具有严密数学基础的求解微分方程定解问题的有效方法.本文就是对两点边值问题的有限元解法进行了讨论研究, 其中运用了11篇文献. 文献[3]介绍了一些泛函分析的有关知识; 文献[4]和[5]是对有限元方法的一些基本理论作了一定的介绍,文献[6]讲解了一种解边值问题比较常用的方法--Galerkin 法; 文献[7,8,9]都介绍了偏微分方程数值解的两类主要方法, 即有限差分方法和有限元方法, 其中, 文献[9]还介绍了偏微分方程数值处理中的基本思想、有关理论、有效算法和数值例子等内容.在这些文献中, 文献[6,7,8,9]对本文的研究起到至关重要的作用,本文首先引入两点边值问题]6[⎪⎩⎪⎨⎧='=<<=+-=0)(,0)(),()(b u a u b x a x f qu dx du p dx d Lu 其中⎪⎩⎪⎨⎧≥∈>≥∈∈0)(),(0)(),()()(0min 1x q I C q p x p I C p I C x f然后参考文献[6][9], 利用变分原理以及泛函分析基本知识, 可将上述问题转化为等价的变分问题求)(1I H u E ∈, 使)(),,(),(1I H v v f v u a E ∈∀=, 其中⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+⋅=⎰⎰b a b a vdx f v f dxquv dx dv dx du p v u a ),()(),( 参考文献[9], 将)(1I H E 的试探函数和检验函数子空间均取为h E V , 可得近似变分问题求h E h V x u ∈)(, 使h E h h h h V v v f v u a ∈∀=),,(),(再将上述问题等价的写成有限元方程的形式求∑==n j j jh x u x u 1)()(φ, 使n i f u a j j h ,,2,1),,(),(Λ==φφ其中{}n j x j ,,2,1),(Λ=φ为线性元空间h E V 的Lagrange 节点基函数. 于是,参考文献[7] 得到相应的矩阵表达形式b AU =其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=),(),(),(),(1111n n n n a a a a A φφφφφφφφΛΛ, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(1n f f b φφM 这样, 我们就得到了两点边值问题的有限元求解方法,最后, 我们可以试着讨论具体的模型问题⎪⎩⎪⎨⎧='=<<=+''-=0)1(,0)0(10,2sin 242u u x x u u Lu ππ, 我们可以利用中矩形近似计算积分, 代入上述问题的有限元方程, 可以较为精确求出上述问题的数值解.结合文献[10]、[11]提供的丰富的理论知识, 我们可以试着探讨更广泛的一些问题的有限元方法求解.参考文献[1] R.A.Adams.Sobolev spaces, Academic Press,New York,1975.[2] 冯康. 基于变分原理的差分格式. 应用数学与计算数学, 1965, 2(4):237-261.[3] 王声望, 郑维行等编著. 实变函数与泛函分析概要 [M]. 北京: 北京大学出版社, 1987.[4] 王烈衡, 许学军编著. 有限元方法的数学基础 [M]. 北京: 科学出版社, 2004.[5] 李开泰, 黄庆怀编著. 有限元方法及其应用 [M]. 北京: 科学出版社, 2006[6] 李荣华. 偏微分方程数值解法[M] . 北京: 高等教育出版社, 2005[7] 舒适. 偏微分方程典型离散化方法的基本理论与算法分析. 内部讲义, 2007, 5-68[8] 李荣华. 边值问题的Galerkin 法[M] . 北京: 科学出版社, 2005[9] 陈传淼, 黄云清. 有限元高精度理论. 湖南科技出版社, 1995[10] A. Bowyer. Computing Dirichlet Tessellations. Computer Journal, 1981, 24(2):162-166[11] N.N.Yan, Superconvergence analysis and a posteriori error estimation in finite elementmethods, Science Press Publications, Beijing, 2008.。

克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。

1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。

其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。

因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。

假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。

其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式：11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （x i ，x j ）是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。

数学中的两点与多点边界问题求解在数学领域中，边界问题一直是研究的重要方向之一。

其中，两点与多点边界问题是较为常见且具有一定难度的问题。

本文将探讨两点与多点边界问题的求解方法，并介绍一些相关的数学模型和算法。

一、两点边界问题求解两点边界问题是指在给定区域内，已知两个点的边界条件，求解出满足这些条件的函数或曲线。

这类问题在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。

对于两点边界问题的求解，常用的方法之一是使用微积分中的极值问题求解技巧。

具体步骤如下：1. 确定问题的数学模型：根据实际情况，将问题转化为数学模型。

例如，可以将问题描述为一个极值问题，即求解函数的最大值或最小值。

2. 建立目标函数：根据问题的边界条件和约束条件，建立目标函数。

目标函数的形式取决于具体的问题，可以是一个函数、一个方程或一个不等式。

3. 求解目标函数的极值点：使用微积分的方法，对目标函数进行求导，并令导数等于零。

求解得到的极值点即为问题的解。

4. 验证解的正确性：将求解得到的解代入原问题中，验证是否满足边界条件和约束条件。

如果满足，则得到了问题的解；如果不满足，则需要重新检查求解过程。

二、多点边界问题求解多点边界问题是指在给定区域内，已知多个点的边界条件，求解出满足这些条件的函数或曲线。

这类问题在工程学、地理学和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

对于多点边界问题的求解，常用的方法之一是使用插值法。

插值法可以通过已知点的函数值来估计其他点的函数值，从而得到满足边界条件的函数或曲线。

常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。

这些方法在求解多点边界问题时具有一定的灵活性和适应性，可以根据实际情况选择合适的插值方法。

此外，还可以使用数值计算方法对多点边界问题进行求解。

数值计算方法包括有限元法、有限差分法和边界元法等。

这些方法将问题转化为离散的数值计算问题，通过迭代求解得到问题的近似解。

三、总结数学中的两点与多点边界问题是一类重要且具有挑战性的问题。

6.2 变分问题的近似解法（Ritz-Galerkin 方法） 利兹（Ritz 1878-1909）德国数学家， 伽辽金（Galerkin 1871-1945）俄国工程师 Ritz 法基于极小位能原理：求)(u J 的极小值（在某一空间V 中）；Galerkin 法基于虚功原理：求V u ∈，使V v v f v u a ∈∀=),,(),(。

（V 为前面提到的各种Sobolev 空间，一般是无限维的。

）求解上述变分问题的数值解的基本思想是：对于无限维的Sobolev 空间V ，用一个有限维的（n 维）空间n V 来代替，即取V V n ⊂，求n V u ∈，满足上述变分问题。

如求)(u J 的极值问题，可化为求多元二次函数的极值问题，使u 易于求出。

设{}VV n⊂=,,,,121ϕϕϕ ，),,1(n ii =ϕ为n V 的一组基函数，则n n V u ∈∀，有∑==n i i i n C u 1ϕ，即n u 可用这组基函数线性表示。

通过选取适当的系数i C ，使n V 是V 中的解u 的近似解。

n V 称为试探函数空间（书上为容许函数空间）。

对于齐次的本质边界条件，如取10V H =，则这组基函数),,1(n i i =ϕ也必须满足边界为0的条件。

不同的空间，对基函数的要求也不同。

Ritz 法：将n u 代入)(u J 的表达式，得),(),(21)(n n n n u f u u a u J -=),(),(21111∑-∑∑====n i i i n i i i ni i i C f C C a ϕϕϕ∑-∑===n i i i nj i j i j i C f C C a 11,),(),(21ϕϕϕ它是i C 的二次函数。

选取i C ，使)(min )(n V v n v J u J nn ∈=。

由极值的必要条件，得()0,1,2,,n kJ u k n C ∂==∂。

若记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n a a a a a a a a a A ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n C C C X 21，12(,)(,)(,)n f f b f ϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则),(),(21)(X b X AX u J n -=由第一节二次泛函的变分原理可知，当A 对称正定时，求此泛函的极小等价于求解方程组b AX=。

边界积分方程与椭圆边值问题的galerkin法及最小二乘法处理边界积分方程和椭圆边值问题是微分方程理论中的一部分，其主要作用是求解边值问题，是一种分析工具和解决技术手段。

在这些问题的研究中，Galerkin方法和最小二乘法是经常用到的计算方法，也是边界积分方程与椭圆边值问题研究中常用到的技术手段。

一、边界积分方程边界积分方程是一种边值问题的变分方法，这种方法是由德国数学家K.O. Friedrichs在二十世纪三十年代建立的，他基于变分原理提出了边界积分方程的概念。

变分原理是指把一个原本很复杂的问题转化为一系列简单的问题，从而获得更好的解决方案。

边界积分方程的基础是要把边界上的函数和方程转换为一系列相似的积分式，然后再解决问题，比如椭圆边值问题。

边界积分方程的定义是：对于一个非齐次边值问题，它的解可以由以下分析式表示：u(x)=∫_x^(substrate_x)K(x,y)f(y)dy其中，K(x,y)是积分系数，f(y)是一个未知函数（也叫边值函数），substrate_x是一个常数，它指出积分的上限。

二、椭圆边值问题椭圆边值问题又称为椭圆型边值问题，是一个定性的微分方程，它以椭圆型为类型，而研究的是椭圆边值问题。

椭圆边值问题是一个比较简单的边值问题，椭圆型微分方程的形式：F(x,y,y′,..y^(n-1))=0其中，x和y分别是椭圆上的点，y^(j)是椭圆上点的j阶导数，F(x,y,y′,..y^(n-1))是一个未知函数。

三、Galerkin方法Galerkin方法是一种重要的数值解法，它是由德国数学家宾林（Ernst Galerkin）在20世纪30年代提出的，并成为研究椭圆边值问题的主要工具。

Galerkin方法的具体原理是：用一组线性无关的函数范数，以及一组系数，将椭圆边值问题看作一个拟二次型：min_w∑_(i=1)^Nf(w_i)其中，f(w_i)是目标函数，N是拟二次型中的参数个数，w_i是系数，可以有效地求解椭圆边值问题的未知函数。

求解两点边值问题的有理插值galerkin法Galerkin法，也称作分子法，是一种用于求解两点边值问题的有理插值方法。

Galerkin法可以用来解决插值方法，拟合数据的关系，和求得自变量的取值（如拟合函数的极值）。

在本文中，将会介绍Galerkin 法如何在求解两点边值问题中发挥重要作用，并说明什么情况下Galerkin法更为有效。

一、什么是两点边值问题两点边值问题（Boundary Value Problem）是指一类特定的非线性问题，通常用来描述在一个定义域内满足现实条件下数学模型的求解/拟合过程。

大致可以分为初值问题和边值问题两类，前者是解决带有初始函数的初值问题的拟合（如求解ODE），而边值问题指的是描述定义域内间断函数满足边界条件的不等式系统（如求解PDE）。

二、Galerkin法的基本原理基于Galerkin法的变分原理，首先需要对两点边值问题的求解模型进行一定的定义和代数处理。

具体步骤如下：（1）首先根据问题及定义域内数学模型，确定一系列未知函数作为待求解变量；（2）构造一个能够捕获定义域及边界条件的函数类；（3）对函数空间进行 Galerkin正交展开，用有理函数作为基函数，通过矩阵运算把边值问题转换为矩阵有关的二次模型（要求基函数的数量大于待求解的未知函数的数量）。

（4）根据所构造出的二次模型，求解出未知函数及边界条件。

三、Galerkin法与常规插值法对比Galerkin法以有理函数作为基函数构建二次模型，从而更好地捕获定义域内的特征，更有效地描述二维数据的格式关系；而常规插值法，虽然也能够解决边值问题，但是很难实现高维数据的有效拟合，无论是精准度还是效率都很难达到Galerkin法的标准。

四、总结Galerkin法是用于求解两点边值问题的有理插值方法，它在变分原理的基础上，构造一个基于有理函数的函数空间，从而捕获边界条件及局部变化信息，更有效地拟合二维数据，并有助于求解未知函数及其边界条件。

两相多组分流的galerkin有限元解法
两相多组分流的Galerkin有限元解法可以用于模拟以双曲材料为基础的流动问题，如两相流、分区流和多组分流。

该方法的基本思想是将流动问题转化为一个偏微分方程系统，并采用适当的Galerkin有限元近似方法求解。

在这种方法中，首先需要建立一个数学模型来描述流动问题。

然后，将偏微分方程系统离散化为有限元方程组。

在离散化过程中，将泛函空间分解为一组有限维子空间，并利用这些子空间的基函数来近似解。

通过选择适当的基函数，可以有效地近似解决方案。

然后，利用Galerkin方法将原始偏微分方程转化为一个等价的有限元问题。

在该问题中，需要确定近似解及其导数在每个有限元上的值。

为此，将偏微分方程中的每一项乘以一个测试函数，并对整个定义域进行积分。

通过对所有测试函数进行积分，得到一个离散的有限元方程组。

最后，通过求解这个有限元方程组，可以获得流动问题的近似解。

这通常涉及到求解一个大型的稀疏线性方程组，可以使用适当的数值方法，如迭代方法或直接方法来解决。

总之，两相多组分流的Galerkin有限元解法是一种广泛应用于流动问题的数值方法，可以对复杂的流动现象进行建模和仿真。

该方法的优点包括灵活性、精确
性和适用性。

收稿日期:1999212205作者简介:冯象初(19622),男,副教授,博士.两点边值问题的区间小波Gale r ki n 方法冯象初,傅　瑜(西安电子科技大学理学院,陕西西安　710071)摘要:用改进后的区间小波,结合反导数方法生成S obolev 空间中的基,使刚度矩阵的条件数有所降低.提出了逐层算法,使得小波G alerkin 法能充分地利用多分辨分析的正交性实现事后误差估计和局部加密.最后通过对两点边值问题的实例计算验证了结论的正确性.关键词:区间小波;条件数;偏微分方程中图分类号:O24118;O15712 文献标识码:A 文章编号:100122400(2000)0520623204Interval wavelet Galerkin method fortwo p oint boundary value proble msFE NG Xi a ng 2c hu ,FU Yu(School of Science ,X idian Univ.,X i ′an 710071,China )Abs t r a c t :　The s ubs t i t u t i on i s ma de of t he i n t e r va l wa ve l e t ba s i s f o r t he c omp a c t one.Al s o t he a l go r i t hm ba s e d on t he g l oba l c o r r e c t i on i s p r e s e n t e d.The nume r i c a l r e s u l t son two p o i n t bounda r y p r ob l ems ve r i f y t he me t hod.Ke y Wo r ds :　i n t e r va l wa ve l e t ;c ond i t i on numbe r ;PDEG alerkin 方法是在变分原理的基础上求解偏微分方程(PDE )的重要方法.电磁场数值计算中广泛使用的有限元法正是在此基础上建立起来的.有限元法在电磁学、流体力学及其他工程科学中有大量的应用.但是有限元法也有其不足之处.一个典型的问题是其刚度矩阵的条件数为O (h -2).若限定用对角预处理,可以使条件数达到O (1/h log a h ).这对精度要求较高的情形产生了一些不利的影响.另外有限元法的自适应性也比较复杂.随着小波理论的发展,利用小波求PDE 的数值解引起了大家的关注,文[1,2]等对此展开了讨论.J.C.Xu 和W.Shann 在文[3]的基础上提出利用变上限积分(反导数)的方法建立G alerkin 法中的基函数,克服了将小波直接代入的缺点,获得了较好的结果.然而上述方法所产生的基函数的相关性很大.另一方面,上述算法没有利用小波分析中多分辨分析的特性去建立自适应方法.徐长发等注意到了这一点,在文[4]中对此问题展开了讨论,但文[4]中提出的方法是有条件的.在本文中首先用改进后的区间小波,结合反导数方法生成S obolev 空间中的小波基,使G alerkin 法中生成的刚度矩阵的条件数有所降低.还提出了小波有限元逐层算法,使得小波G alerkin 法能充分地利用多分辨分析的正交性实现事后误差估计和局部加密.最后通过对两点边值问题的实例计算验证了结论的正确性.1　改进的H 10,H 1E ,H 1上的区间小波基对L 2(I )上的区间小波进行简单的截断,将使其在边界点不连续,同时使得这组有限区间上的基函数近似线性相关.Y.Meyer 和I.Daubechies 分别对其进行了改进,生成了Meyer 区间小波和Daubechies 区间小波.2000年10月第27卷　第5期　西安电子科技大学学报(自然科学版)J OU RNAL OF XID IAN UNIV ERS I TY Oct.2000Vol.27　No.5Meyer 的边界尺度函数比原来的尺度函数有更大的震动.然而,仍然可以选择这组基来构造S obolev 空间中的小波基,因为反导数(变上限积分)将使这种震荡性消失,见图2.文[3]取<n (x ),ψn (x )为Daubechies 紧支小波的简单截断,由此出发构造H 10,H 1E ,H 1上的小波基,图1给出了H 10中Φ1n 的图形.由此得出的基的相关性比Daubechies 紧支小波的截断所得的基要增加许多,结果使代入G alerkin 法后得出的线性方程组的条件数很大.笔者所用的方案是从改进的区间小波基出发构造S obolev 空间的基函数.用Meyer 和Daubechies 的区间小波,结合反导数方法进行了数值验算.在图2中给出了从Meyer 的区间尺度函数出发,构造出的Φ(1)n 的图形,表1给出了n =3时的Daubechies 紧支尺度函数的简单截断<(x ),Meyer 的区间尺度函数m <(x ),Daubechies 的区间尺度函数d <(x ),以及由上述函数出发,利用反导数方法生成的H 10(I )中的Φ(1)n ,<,Φ(1)n ,m <,Φ(1)n ,d <的相关性系数.由表1可看出Φ(1)n ,m <,Φ(1)n ,d <的相关性系数比Φ(1)n ,<有相当大的改善,这种改善使得相应的G alerkin 方法得出的线性方程组的条件数也有明显的改进.图1　H 10(I )中y =Φ(1)n ,<(i )的图形i =200x/3,x ∈I =(0,3) 图2　H 10(I )中y =Φ(1)n ,m <(i )的图形i =200x/3,x ∈I =(0,3)表1　基函数的相关性系数表(注:这里的相关性系数按最大和最小奇异值之比计算)L 2(I )的基<(x )m <(x )d <(x )H 10(I )的基Φ(1)n ,<Φ(1)n ,m <Φ(1)n ,d <相关性系数15156764135021913725相关性系数13014326561271968139922　小波Galerkin 逐层修正算法设所求的弱形式为:求u ∈V ,使a (u ,v )=f (v ),Πv ∈V 成立.小波G alerkin 法将未知函数用小波基展开,为获得高精度的解,必须求高阶稀疏线性方程组.对计算而言,小波函数除了作为基以外,其正交性和多分辨性均未有完全体现.小波G alerkin 逐层修正算法是将求u J +1∈V J +1,满足a (u J +1,v J +1)=(f ,v J +1)　, Πv J +1∈V J +1　(1)的问题,转化为先在V J 中求u J 满足a (u J ,v J )=(f ,v J )　, Πv J ∈V J ,(2)然后对u J 进行校正.由于V J +1=V J W J ,则令u J +1=u J +Δv J +Δw J ,这里Δv J ,Δw J 分别为待求的在V J 与W J 空间中的校正量.代入式(1)后得a (u J +Δv J +Δw J ,v J +w J )=(f ,v J +w J ),　Πv J ∈V J ,　w J ∈W J .(3)式(3)等价于如下方程组a (Δv J +Δw J ,v J )=0　,Πv J ∈V J ,a (Δv J +Δw J ,w J )=(f ,w J )-a (u J ,w J )　,Πw J ∈W J .(4)426 西安电子科技大学学报(自然科学版) 第27卷令Δv J =∑J -1j =-1∑k αj ,k ψj ,k ,Δw J =∑k βk ψJ ,k ,这里以ψ-1,k 记φ0,k ,则式(4)的线性方程组形式为A α+B β=0　,B T α+C β=^f.(5)其中待求向量为α={αj ,k }k ,j =-1～J -1,β={βk },矩阵A ,B ,C 分别由a (ψj ,k ,ψJ ′,k ′),a (ψj ,k ,ψJ ,k ′)和a (ψJ ,k ,ψJ ,k ′)为元素构成,向量^f 的元素为(f ,ψJ ,k ′)-a (u J ,ψJ ,k ′),k ,k ′遍取指标集,式(5)称为全局校正公式,其系数矩阵D =AB B TC 为对称正定阵,故其解存在惟一.按下式来完成α,β的计算.设已知A 的三角分解为A =L 1L T 1,又式(5)系数阵D 的三角分解为D =L L T ,则L =L10L 2L 3,其中L1L T 2=B ,(6)L 3L T 3=C -L 2L T 2　.(7)由式(6)通过简单的递推过程,即可求出L 2,代入(7)后对C -L 2L T 2作Cholesky 分解得L 3,这个分解是必须的,因为求出的L 在下一层校正中是作为已知量的.L 1,L 2,L 3求出后,式(5)可化为L T 1α=-L T 2β　,L 3L T 3β=^f .(8)由式(8)通过简单的递推与回代过程即可求出α,β.逐层修正算法的特点之一是能够轻易地完成事后误差估计,即当全部修正量的模值很小时,整个修正算法即可停止.还可以根据基的紧支性,由修正量系数的大小来完成自适应加密过程.当相对于某个确定位置的修正值小于某个事先给定的阈值时,对该位置不再进行修正,而对修正量系数比较大的位置来说,解的变化较快,需要更多的修正以获得较高的精度.3　数值算例考虑方程-u ″=1,　x ∈(0,3)　,u (0)=u (3)=0　,(9)和-(exp (-x )u ′)′=4π3exp (-x )cos 4π3x +4π3sin 4π3x ,　x ∈(0,3)　,u (0)=u (3)=0　.(10) 图3给出了算例(9)用新算法和原算法计算所得结果的误差曲线.用修正后的基使条件数降为原来的1%左右,从而使得计算精度得以提高.对具有超越系数的算例(10),图4给出了两种不同层次下数值解的误差曲线,V 4比V 3有更好的近似程度.4　结 论文中提出了用Y.Meyer 和I.Daubechies 的区间小波替代J.C.Xu 等所用的Daubechies 的紧支正交基,在此基础上利用反导数方法生成了修正的S obolev 空间上的区间小波基.数值计算表明修正的基函数的相关性指标比修正前的基函数的相关性指标大大地减少了.在多分辨分析的基础上,文中还提出了小波G alerkin 逐层算法,用修正的小波基对文[3]中的两个算例进行了计算.新的算法在线性方程组的条件数和误差精度等方面均比原文中的结果有所改进.526第5期 冯象初等:两点边值问题的区间小波Galerkin 方法图3　算例(9)用新算法和原算法计算所得结果的误差曲线y =err (x )图4　算例(10)两种不同层次下数值解的误差曲线y =err (x )参考文献:[1]宋国乡1数值泛函及小波分析初步[M]1郑州:河南科学技术出版社,1993.[2]Perrier V.T owards a Method for S olving PDE Using Wavelet Bases[J ].C om put Methods Appl Mech Engrg ,1994,116(1/4):301～307.[3]Xu J ,Shann W.G alerkin Wavelets Methods for T w o P oint Boundary Value Problems[J ].Numer Math ,1992,63(1):123～144.[4]徐长发1小波有限元算法及数值分析[J ]1高校计算数学学报,1994,16(3):257～263.(编辑:李维东) 626 西安电子科技大学学报(自然科学版) 第27卷。