【高考领航】2017届高三数学(文)二轮复习练习：2-5-2圆维曲线中的定点.doc

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专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题练习理一、选择题1.在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，2）且斜率为k的直线l与椭圆错误!＋y2＝1有两个不同的交点,则k的取值范围为( )A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!∪错误!解析由已知可得直线l的方程为y＝kx＋错误!,与椭圆的方程联立，整理得错误!x2＋2错误!kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k2－4错误!＝4k2－2＞0，解得k＜－错误!或k＞错误!，即k的取值范围为错误!∪错误!.答案D2.F1,F2是椭圆错误!＋y2＝1的左、右焦点,点P在椭圆上运动，则错误!·错误!的最大值是( ) A。

－2 B.1C.2D.4解析设P(x，y)，依题意得点F1(－3，0），F2(错误!，0）,错误!·错误!＝(－错误!－x)(错误!－x）＋y2＝x2＋y2－3＝错误!x2－2，注意到－2≤错误!x2－2≤1，因此错误!·错误!的最大值是1.答案B3。

已知椭圆错误!＋错误!＝1(0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2,过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若｜BF｜＋｜AF2｜的最大值为5，则b的值是（)2A.1B.错误!C。

第三讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与X围问题(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线有如下光学性质:由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.若抛物线y2=4x的焦点为F,一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为( )A. B.- C.± D.-【解析】选B.因为MA平行于x轴,所以A的纵坐标为1,所以A的横坐标为,又因为直线AB 经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率为=-.2.若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值X围是( )A.(,+∞)B.(,2)C.(1,)D.(1,2)【解析】选C.因为e==,a>1,所以e∈(1,).3.设离心率为的椭圆+=1的右焦点与双曲线x2-=1的右焦点重合,则椭圆方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.因为双曲线x2-=1的右焦点为(2,0),所以c=2,又因为离心率为,所以a=4,所以b2=12,所以椭圆的方程为+=1.4.已知抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线y=k(x-1)与C1,C2依次相交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)四点(其中x1<x2<x3<x4),则|AB|·|CD|的值为( ) A.1B.2C. D.k2【解析】选A.因为y2=4x,所以焦点F(1,0),准线l0:x=-1.如图,由抛物线的定义得:|AF|=x A+1,又因为|AF|=|AB|+1,所以|AB|=x A,同理:|CD|=x D,将l:y=k(x-1),代入抛物线方程,得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x A x D=1,则|AB|·|CD|=1.综上所述,|AB|·|CD|=1,5.椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F1,若椭圆上存在一个点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选D.设线段PF1的中点为M,另一个焦点为F2,由题意知,OM=b,又OM是△F1PF2的中位线,所以OM=PF2=b,PF2=2b,由椭圆的定义知PF1=2a-PF2=2a-2b,则MF1=PF1=(2a-2b)=a-b,又OF1=c,所以在直角三角形OMF1中,由勾股定理得:(a-b)2+b2=c2,又a2-b2=c2,可得2a=3b,故有4a2=9b2=9(a2-c2),由此可求得离心率 e==.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知A,B是圆C:x2+y2-8x-2y+16=0上两点,点P在抛物线x2=2y上,当∠APB取得最大值时,|AB|=____________.【解析】设∠PCB=θ,θ∈(0,π),要使得∠APB取得最大值,当且仅当cos∠ACB=cos2θ=2cos2θ-1=-1达到最大,也就是CP2最小时,因为圆心C的坐标为(4,1),设点P,所以CP2=(x-4)2+=-8x+17,求导数得x3-8=0,所以x=2,所以当x=2时,CP2取到最小值,最小值为5,此时cos 2θ=-,所以在△ACB中由余弦定理得|AB|==.答案:7.椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,顶点B(0,b)到右焦点F2的距离为4,直线x=a上存在点P,使得△F2PF1为底角是30°的等腰三角形,则此椭圆方程为____________.【解析】因为顶点B(0,b)到F2的距离为4,所以a=4,因为△F2PF1为底角是30°的等腰三角形,所以c=3,所以b2=7,所以椭圆方程为+=1.答案:+=18.与双曲线-y2=1有相同的焦点,且经过点(0,-2)的椭圆的标准方程为_____.【解析】因为双曲线-y2=1的焦点为(±,0),所以椭圆的焦点为(±,0),c=,又因为椭圆经过点(0,-2),所以b=2,所以a2=10,椭圆的方程为+=1. 答案:+=1三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,直线l交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,D(x0,y0)为AB中点,且|AF|+|BF|=2+2x0.(1)求抛物线C的方程.(2)若过A作抛物线C的切线l1,过D作与x轴平行的直线l2,设l1与l2相交于点E,l2与C 相交于点H,求证:为定值,并求出该定值.【解析】(1)根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x1+x2+p,x1+x2=2x0,因为|AF|+|BF|=2+2x0,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设过A(x1,y1)的切线l1方程为x=m(y-y1)+x1,联立抛物线C与切线l1的方程得y2-4my+4my1-=0,所以Δ=16m2-4(4my1-4x1)=0,解得m=,所以过点A的切线方程为y1y=2(x+x1),联立直线l2的方程y=y0,解得点E,即E为,所以H,所以|EH|=-==,所以|HD|=x D-=-==,所以=1,即的定值为1.10.已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l1和l2,分别交曲线C于点A,B和K,N.设线段AB,KN 的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点.【解析】(1)由题意可知:动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x=-1的距离,根据抛物线的定义可知,点M的轨迹C是抛物线.因为p=2,所以抛物线方程为:y2=4x.(2)设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点P的坐标为.由题意可设直线l1的方程为y=k(x-1)(k≠0),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,因为直线l1与曲线C交于A,B两点,所以x1+x2=2+,y1+y2=k(x1+x2-2)=,所以点P的坐标为.由题意知,直线l2的斜率为-,同理可得点Q的坐标为(1+2k2,-2k),当k≠±1时,有1+≠1+2k2,此时直线PQ的斜率k PQ==.所以,直线PQ的方程为y+2k=(x-1-2k2),整理得yk2+(x-3)k-y=0.于是,直线PQ恒过定点(3,0);当k=±1时,直线PQ的方程为x=3,也过点(3,0).综上所述,直线PQ恒过定点(3,0).11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点A,且两个焦点F1,F2的坐标依次为(-1,0)和(1,0).(1)求椭圆C的标准方程.(2)设E,F是椭圆C上的两个动点,O为坐标原点,直线OE的斜率为k1,直线OF的斜率为k2,若k1·k2=-1,证明:直线EF与以原点为圆心的定圆相切,并写出此定圆的标准方程.【解析】(1)由椭圆定义得2a=+=4,即a=2,又c=1,所以b2=3,得椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线EF的方程为y=kx+b,E(x1,y1),F(x2,y2),直线EF的方程与椭圆方程联立,消去y得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,当判别式Δ=3+4k2-b2>0时,得x1+x2=-,x1x2=,由已知k1·k2=-1,即=-1,因为点E,F在直线y=kx+b上,所以(kx1+b)(kx2+b)=-x1x2,整理得(k2+1)x1x2+bk(x1+x2)+b2=0,即(k2+1)+bk+b2=0,化简得b2=,原点O到直线EF的距离d=,d2===,所以直线与一个以原点为圆心的定圆相切,定圆的标准方程为x2+y2=.【提分备选】1.已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点,其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上,则双曲线C的离心率为( )A. B. C.2D.【解析】选C.如图所示,由题意可知△OPQ≌△OPF,所以∠POQ=∠POF=∠QOM=60°,所以e==2.2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,在抛物线C上任取一点A,过A作 l的垂线,垂足为E.(1)若|AF|=5,求cos∠EAF的值.(2)除A外,∠EAF的平分线与抛物线C是否有其他的公共点,并说明理由.【解析】(1)|AF|=x A+1=5,所以x A=4,即A(4,±4),由抛物线的对称性,不妨取A(4,4),因为F(1,0),E(-1,4),所以=(-5,0),=(-3,-4),所以cos∠EAF===.(2)设A(x0,y0),因为F(1,0),E(-1,y0),所以=(2,-y0).由|AE|=|AF|知∠EAF的平分线所在直线就是△EAF边EF上的高所在的直线.所以∠EAF的平分线所在的直线方程为2(x-x0)-y0(y-y0)=0.由消x得y2-2y0y-4x0+2=0.因为=4x0,方程化为y2-2y0y+=0,即y1=y2=y0.即∠EAF的平分线与抛物线C只有一个公共点,除A以外没有其他公共点.(20分钟20分)1.(10分)设椭圆E:+=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程.(2)设F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.【解析】(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=.故椭圆E的方程为+=1.(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率=,直线F2P的斜率=.故直线F2P的方程为y=(x-c).当x=0时,y=,即点Q坐标为.因此,直线F1Q的斜率为=.由于F1P⊥F1Q,所以·=·=-1.化简得=-(2a2-1).①将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.2.(10分)已知圆心为C的圆,满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程.(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆C:(x-a)2+y2=R2(a>0),由题意知解得a=1或a=,又S=πR2<13,所以a=1,R=2.所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1), B(x2,y2),又l与圆C相交于不同的两点,联立得消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0,所以Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,解得k<1-或k>1+.x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+6=,=+=(x1+x2,y1+y2),=(1,-3),假设∥,则-3(x1+x2)=y1+y2,所以3×=,解得k=∉∪,假设不成立, 所以不存在这样的直线l.。

【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练22 定点、定值、最值探索性问题 理(建议用时45分钟)1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝⎛⎭⎪⎫116a ，0解析：选C.本题主要考查抛物线的标准方程和焦点坐标．将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C.2．(2016·陕西省高三检测)已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，l 与C 交于A 、B 两点．若|AB |＝6，则p 的值为( )A.12 B.32 C ．1D ．2解析：选B.因为直线l 过抛物线的焦点，所以m ＝p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0y 2＝2px得，x 2－3px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32，故选B.3．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．4B ．2C ．1D ．8解析：选C.利用抛物线的定义．如图，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14.0，过A 作AA ′⊥准线l ，∴|AF |＝|AA ′|，∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14，∴x 0＝1.4．(2015·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：选D.利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y ＝± bax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.5．抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选B.设抛物线的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，则根据抛物线的性质有p2＋6＝10，解得p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8，故选B.6．(2014·高考新课标卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B ．3 C.3mD ．3m解析：选A.首先将双曲线方程化为标准方程，再利用点到直线的距离公式求解．双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±33m x ＝±mmx ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A.7．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析：选A.由双曲线方程可求出F 1，F 2的坐标，再求出向量MF 1→，MF 2→，然后利用向量的数量积公式求解．由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0， 即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33.故选A. 8．(2015·高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2解析：选C.根据两条直线垂直的条件，求出a ，b 之间的关系，进一步求出渐近线的斜率．由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2ac ＋a ·－b 2ac －a＝－1，整理得a ＝b . ∵渐近线方程为y ＝±b ax ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1.9．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233D.433解析 (基本法) ∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1，∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为y＝±33x .拋物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)，焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20.∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p 2－2.①又∵y ′＝1p x .∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.②由①②得p ＝433.答案 D(速解法) 由题意F (2,0)，不妨设渐近线为y ＝33x ， C 1焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F ′F 的方程为y ＝－p 4(x －2)，对y ＝12p x 2求导，设M (x 0，y 0)，∴k ＝x 0p ＝33，又y 0＝12px 20， ∴x 202p ＝－p 4(x 0－2)，∴x 20p 2＝－12(x 0－2)，∴－12(x 0－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，∴x 0＝43，∴p ＝433.答案 D10．(2014·高考山东卷)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：选A.设C 1的离心率e 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2， C 2的离心率e 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. e 1e 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝32. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝1－34＝14，∴ba ＝22. ∴渐近线y ＝±22x ，即x ±2y ＝0. 11．(2016·唐山市高三模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.3－12C.32D.3－1解析：选D.设A (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c －3＝－1，3×m －c 2＋n2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c ，代入椭圆方程中，有c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴c 4－8a 2c2＋4a 4＝0，∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23，∴e ＝3－1.12．(2016·贵阳市高三模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝( ) A ．1＋2 2 B ．4－2 2 C ．5－2 2D ．3＋2 2解析：选C.如图，设|AF 2|＝x ，则|AF 1|＝|AF 2|＋2a ＝2a ＋x .又∵△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴|AB |＝|AF 1|＝2a ＋x ，∴|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝|BF 2|＋2a ＝4a ，∴4a ＝2(2a ＋x )，x ＝2(2－1)a ，又∵|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(2a ＋x )2＋x 2＝4c 2，即8a 2＋4(3－22)a 2＝4c 2，e2＝c 2a2＝5－2 2. 13．双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线与直线x ＝1围成的三角形的面积为__________．解析：由题知，双曲线的渐近线为y ＝±3x ，故所求三角形的面积为12×23×1＝ 3.答案： 314．(2015·高考北京卷)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.解析：直接求解双曲线的渐近线并比较系数．双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a＞0，所以1a ＝3，所以a ＝33.答案：3315. (2016·兰州市高三模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D ，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |， ∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又∵|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x . 答案：y 2＝3x16．(2015·高考山东卷)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．解析：先表示出直线的方程和点P 的坐标，再将点P 的坐标代入直线的方程可得关于a ，b ，c 的方程，化简可以求出离心率．如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l的方程为y ＝b a (x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3. 答案：2＋ 3。

限时规范训练八 圆锥曲线中的定点、定值探索问题(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝12，M ，N 是椭圆右准线上的两个动点，且F 1M →·F 2M →＝0.(1)求椭圆的方程；(2)求MN 的最小值；(3)以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．解：(1)∵e ＝c a ＝12，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＋94b ＝1，a ＝2c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)设点M (4，y 1)，N (4，y 2)，则F 1M →＝(5，y 1)，F 2M →＝(3，y 2)，F 1M →·F 2N →＝15＋y 1y 2＝0，∴y 1y 2＝－15.又∵MN ＝|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－15y 1－y 1＝15|y 1|＋|y 1|≥215， ∴MN 的最小值为215.(3)证明：圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 1＋y 22，半径r ＝|y 2－y 1|2. 圆C 的方程为(x －4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 1＋y 222＝ y 2－y 1 24， 整理得x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋16＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2＝－15，∴x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋1＝0，令y ＝0，得x 2－8x ＋1＝0，∴x ＝4±15.∴圆C 过定点(4±15，0)． 2．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解：(1)由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为 y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ＞0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k k －1 1＋2k ，x 1x 2＝2k k －2 1＋2k. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和 k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2 ＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2 ＝2k ＋(2－k )4k k －1 2k k －2＝2k －2(k －1)＝2.3．已知点A (22，2)在抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上．(1)求抛物线C 的方程；(2)设定点D (0，m )(m ＜0)，过D 作直线y ＝kx ＋m (k ＞0)与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)(y 1＜y 2)两点，连接ON (O 为坐标原点)，过点M 作垂直于x 轴的直线交ON 于点G . (ⅰ)证明：点G 在一条定直线上；(ⅱ)求四边形ODMG 面积的最大值．解：(1)∵A (22，2)在抛物线x 2＝2py 上，∴(22)2＝4p ，p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)(ⅰ)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＝4y 消去y 整理得x 2－4kx －4m ＝0.∵M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是y ＝kx ＋m 与x 2＝4y 的交点，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，∴y G ＝y 2x 2x 1＝14x 22x 2x 1＝x 1x 24＝－m 为定值， 所以，点G 在一条定直线y ＝－m 上．(ⅱ)易知四边形ODMG 为梯形， ∴S ＝12[－m ＋(－m －y 1)]x 1＝12⎝⎛⎭⎪⎫－2m －x 214x 1 ＝－mx 1－18x 31. 结合图形易知0＜x 1＜2－m ，S ′＝－m －38x 21， 由S ′＝0得38x 21＝－m ， 解得x 1＝－83m ＜2－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＝－－83m 舍去，当x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－83m 时，S ′＞0； 当x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－83m ，2－m 时，S ′＜0， ∴S 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －83m 上单调递增，⎝⎛⎭⎪⎫－83m ，2－m 上单调递减， ∴当x ＝－83m 时， S max ＝－m－83m －18⎝ ⎛⎭⎪⎫－83m －83m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋13m －83m ＝－4m －6m 9. 4．设抛物线C 1：y 2＝4x 的准线与x 轴交于点F 1，焦点为F 2.以F 1，F 2为焦点，离心率为12的椭圆记作C 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线L 经过椭圆C 2的右焦点F 2，与抛物线C 1交于A 1，A 2两点，与椭圆C 2交于B 1，B 2两点，当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求|A 1A 2|的长；(3)若M 是椭圆上的动点，以M 为圆心，MF 2为半径作⊙M ，是否存在定⊙N ，使得⊙M 与⊙N 恒相切？若存在，求出⊙N 的方程，若不存在，请说明理由． 解：(1)椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线L 与x 轴垂直时，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B 2⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，又F 1(－1,0)， 此时B 1F 1→·B 2F 1→≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1，不满足条件． 当直线L 不与x 轴垂直时，设L ：y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1 x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 因为焦点在椭圆内部，所以直线与椭圆恒有两个交点．设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以B 1F 1→·B 2F 1→＝0，又F 1(－1,0)， 所以(－1－x 1)(－1－x 2)＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，解得k 2＝97.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝k x －1 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 因为直线L 与抛物线有两个交点，所以k ≠0.设A 1(x 3，y 3)，A 2(x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，x 3x 4＝1， 所以|A 1A 2|＝x 3＋x 4＋p ＝2＋4k 2＋2＝649.(3)存在定⊙N ，使得⊙M 与⊙N 恒相切，其方程为：(x ＋1)2＋y 2＝16，圆心是左焦点F 1. 由椭圆的定义可知：|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，所以|MF 1|＝4－|MF 2|，所以两圆相内切．。

2025年高考数学一轮复习-定点问题-专项训练一、基本技能练1.已知双曲线C 与椭圆x 29＋y 23＝1有相同的焦点，P (3，6)是C 上一点.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)记C 的右顶点为M ，与x 轴平行的直线l 与C 交于A ，B 两点，求证：以AB 为直径的圆过点M .2.已知M (x 0，0)，N (0，y 0)两点分别在x 轴和y 轴上运动，且|MN |＝1，若动点G 满足OG →＝2OM →＋ON →，动点G 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)已知不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的A ，B 两点，Q 足∠AQO ＝∠BQO ，证明：直线l 过定点.3.已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点TE 上.(1)求|TF |；(2)抛物线E 在点T 处的切线为l ，经过点F 的直线与抛物线E 交于A ，B 两点(与T 不重合)，抛物线在A ，B 两点处的切线分别为l 1，l 2，若l 1与l 2交于P 点，l 与l 1，l 2分别交于点M ，N ，证明：△PMN 的外接圆经过点F .二、创新拓展练4.阿基米德不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”计算椭圆面积.椭圆的面积等于圆周率π与椭圆长半轴长及短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积等于2π，且椭圆C 的焦距为2 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P(4，0)是x轴上的定点，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，已知点A 关于y轴的对称点为点M，点B关于原点的对称点为点N(异于点M)，且P，M，N三点共线，试探究直线l是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.参考答案与解析一、基本技能练1.(1)解由题意可设双曲线C的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由已知得a2＋b2＝6，且9a2－6b2＝1，解得a2＝b2＝3.所以双曲线C的方程为x23－y23＝1.(2)证明设直线l的方程为y＝m，m≠0，将其与x23－y23＝1联立，解得x＝m2＋3或x＝－m2＋3.不妨设A(－m2＋3，m)，B(m2＋3，m)，由(1)知M(3，0)，则AM →·BM →＝(3＋m 2＋3，－m )·(3－m 2＋3，－m )＝(3＋m 2＋3)(3－m 2＋3)＋m 2＝3－(m 2＋3)＋m 2＝0，所以AM →⊥BM →，故以AB 为直径的圆过点M .2.(1)解因为OG →＝2OM →＋ON →，设G (x ，y )，则(x ，y )＝2(x 0，0)＋(0，y 0)＝(2x 0，y 0).所以x ＝2x 0，y ＝y 0，则x 0＝x 2，y 0＝y ，又|MN |＝1，得x 20＋y 20＝1，＋y 2＝1，所以动点G 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由题意，设直线l 的方程为：y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 2＝1，kx ＋m ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由Δ＝64k 2m 2－16(4k 2＋1)(m 2－1)>0，得m 2<4k 2＋1，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，直线AQ 的斜率为k AQ ＝y 1x 1－433，直线BQ 的斜率为k BQ ＝y 2x 2－433，又∠AQO ＝∠BQO ，所以k AQ ＝－k BQ ，即y 1x 1－433＝－y 2x 2－433，即y 1x 2＋x 1y 2－433(y 1＋y 2)＝0，故2kx1x2－433kx1＋x2)－833m＝0，整理，得8k（m2－1）4k2＋1－8km24k2＋1＋3233·k2m4k2＋1－833m＝0，由4k2＋1≠0，化简可得m＝－3k，所以y＝kx－3k＝k(x－3)，故直线l过定点(3，0).3.(1)解因为点T E上，于是12p＝1，解得p＝2，所以|TF|＝14＋p2＝54.(2)证明由(1)可知，F坐标为(0，1)，y＝14x2，y′＝12x，所以y′|x＝1＝12，所以l的方程为2x－4y－1＝0，由题意直线AB的斜率存在，设AB的方程为y＝kx＋1，12＝kx＋1，2＝4y，化简得x2－4kx－4＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，l1的斜率为y′|x＝x1＝x12，所以l1的方程为y＝x12x－x214，同理l2的方程为y＝x22x－x224，联立l1，l2的方程解得点P的坐标为(2k，－1)，联立l1，l的方程解得点M同理点N因为x12·x22＝x1x24＝－1，所以l1⊥l2，即∠MPN＝π2，所以MN是△PMN的外接圆的直径，FM →，x 14－FN →，x 24－FM →·FN →＝（x 1＋1）（x 2＋1）4＋＝516x 1x 2＋54＝0，所以FM →⊥FN →，F 在以MN 为直径的圆上，故△PMN 的外接圆经过点F .二、创新拓展练4.解(1)＝2，c ＝23，2＝a 2－b 2，＝2，＝1，＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则M (－x 1，y 1)，N (－x 2，－y 2)，my ＋t ，y 2＝1，得(m 2＋4)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，由Δ＝(2mt )2－4(m 2＋4)(t 2－4)>0，得t 2－m 2＋4<0，1＋y 2＝－2mt m 2＋4，1y 2＝t 2－4m 2＋4.又P (4，0)，由P ，M ，N 三点共线，得k PM＝k PN，即y1－x1－4＝y2x2＋4，∴y1(x2＋4)＋y2(x1＋4)＝y1(my2＋t＋4)＋y2(my1＋t＋4)＝0，即2my1y2＋(t＋4)(y1＋y2)＝0，化简得8m(t＋1)＝0，若m＝0，则M，N重合，不符合题意.当t＝－1时，直线l：x＝my－1，∴直线l过定点(－1，0).当直线l的斜率为0时，设l：y＝s，易知仅当s＝0时，满足P，M，N三点共线，此时直线l过点(－1，0).综上，直线l过定点(－1，0).。

专题六综合提升训练(六)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·广东实验中学测试)若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a＝()A．1 B.1 4C．2 D.1 2解析：选B.因为抛物线方程为x2＝1a y，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，14a，则有14a＝1，a＝14，所以选B.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为()A.x25－y220＝1 B.x225－y220＝1C.x220－y25＝1 D.x220－y225＝1解析：选A.因为圆x2＋y2－10x＝0的圆心为(5,0)，所以c＝5，又双曲线的离心率等于5，所以a＝5，b＝25，故选A.3．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为9π，则p＝()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B.∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3，又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝p2，∴p2＋p4＝3，解得p＝4.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝23，右焦点F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)在( ) A ．圆x 2＋y 2＝2上 B ．圆x 2＋y 2＝2内 C ．圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情况都有可能解析：选B.由题意知e ＝23，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba x 1x 2＝－ca，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a2＋2c a＝a 2－c 2a 2＋43＝73－c 2a 2＝179＜2，∴点P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内． 5．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝－bxa 对称，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B.52 C ．2D. 2解析：选A.由题意，过F 2(c,0)且垂直于y ＝－bx a 的直线方程为y ＝ab (x －c )，它与y＝－bx a 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，－ab c ，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c －c ，－2ab c ，∵点P 在双曲线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c －c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ab c 2b 2＝1，整理得c 2＝5a 2，∴c 2a 2＝5，∴e ＝c a＝5，选A. 6．(2016·山东聊城实验中学三诊)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C.由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·b sin B ＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.7．(2016·山东德州一模)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．5x ±3y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选A.抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，由n 2＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)，可得9a 2－24＝1(a ＞0)，解得a ＝35，故双曲线的渐近线方程为y ＝±53x ，即5x ±3y ＝0.故选A.8．(2016·重庆巴蜀中学月考)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为( ) A ．9,7 B ．8,7 C ．9,8D ．17,8解析：选B.由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )(－3≤x ≤3)，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，所以EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝x 29＋7，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8，故选B.9．(2016·河北唐山摸底)已知双曲线P ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交P 于B ，C 两点，记∠BAC ＝θ，若P 的离心率为2，则( ) A ．θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B ．θ＝π2 C ．θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，πD ．θ＝3π4解析：选 B.∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，∴b 2＝c 2－a 2＝a 2，∴双曲线方程可变形为x 2－y 2＝a 2.设B (x 0，y 0)，由对称性可知C (－x 0，y 0)，∵点B (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 20－y 20＝a 2.∵A (a,0)，∴AB →＝(x 0－a ，y 0)，AC →＝(－x 0－a ，y 0)，∴AB →·AC →＝(x 0－a )·(－x 0－a )＋y 20＝a 2－x 20＋y 20＝0， ∴AB →⊥AC →，即θ＝π2.故B 正确．10．(2016·甘肃张掖二模)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率为( ) A. 2 B. 5 C. 3D. 6解析：选B.取双曲线的其中一条渐近线：y ＝b a x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝bax ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pa 2b 2，y ＝2pab ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pa 2b 2，2pa b ，∵点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，∴p 2＋2pa 2b 2＝p ，∴a 2b 2＝14，∴双曲线C 2的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，故选B.11．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，且P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的倾斜角为120°，则|PF |＝( ) A ．2 B. 3 C ．4D.3＋1解析：选C.设A (xA ，yA )，P (xP ，yP )，易知xA ＝－1，依题意，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以tan 120°＝yA－1－1，所以yA ＝2 3.因为P A ⊥l ，所以yP ＝yA ＝23，代入抛物线方程y 2＝4x 中，得x P ＝3，所以|PF |＝|P A |＝3－(－1)＝4.故选C.12．已知双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，F 为其右焦点，A 1，A 2分别是实轴的左、右端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x ＝a 分别交于M ，N 两点，若FM →·FN →＝0，则a 的值为( ) A.169B.95C.259D.165解析：选B.∵双曲线x 29－y 216＝1，右焦点F (5,0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设P (x ，y )，M (a ，m )，N (a ，n )， ∵P ，A 1，M 三点共线，∴m a ＋3＝yx ＋3，m ＝y (a ＋3)x ＋3， ∵P ，A 2，N 三点共线，∴n a －3＝yx －3，∴n ＝y (a －3)x －3. ∵x 29－y 216＝1，∴x 2－99＝y 216，∴y 2x 2－9＝169.又FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －5，y (a ＋3)x ＋3，FN →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y (a －3)x －3，∴FM →·FN →＝(a －5)2＋y 2(a 2－9)x 2－9＝(a －5)2＋16(a 2－9)9，∵FM →·FN →＝0，∴(a －5)2＋16(a 2－9)9＝0，∴25a 2－90a ＋81＝0，∴a ＝95.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________．解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝414．已知椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝2，则∠F 1PF 2的正弦值为________．解析：在椭圆x 29＋y 22＝1中，a 2＝9，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝7，所以a ＝3，c ＝7.因为|PF 1|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6－2＝4，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝22＋42－(27)22×2×4＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°，sin ∠F 1PF 2＝sin 120°＝32.答案：3 215．已知过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点的直线m的斜率为ab，若原点到直线m的距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线的距离的2倍，则ab＝________.解析：设双曲线的右焦点为(c,0)，得直线m的方程为y＝ab(x－c)，即ax－by－ac＝0，原点到直线m的距离d1＝|－ac|a2＋b2＝a.右焦点到双曲线的一条渐近线y＝ba x的距离d2＝bca2＋b2＝b.因为d1＝2d2，所以a＝2b，ab＝2.答案：216．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，若△F1AB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝________.解析：由双曲线的定义有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，两式相加得|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a，又|AF1|＝|AB|，所以|BF1|＝4a，|AF1|＝22a，|AF2|＝22a－2a.在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝(22a)2＋(22a－2a)2，解得e2＝c2a2＝5－2 2. 答案：5－2 2。

1．已知直线l：y＝kx＋3与双曲线C：x216－y24＝1的右支交于不同的两点A和B，与y轴交于点P，且直线l上存在一点D满足|PA||PB|＝|DA||DB|(D不与P重合)．(1)求实数k的取值范围；(2)证明：当k变化时，点D的纵坐标为定值．2．(2024·福州模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，C的右焦点F到其渐近线的距离为 6.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线C在第一象限交于A，B两点，直线x＝3交线段AB于点Q，且S△F AQ∶S△FBQ＝|FA|∶|FB|，证明：直线l过定点．3.(2023·深圳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2,0)．(1)求抛物线C的标准方程；(2)抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C 的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值．4．(2023·杭州质检)如图，已知椭圆C1：x24＋y23＝1，椭圆C2：y29＋x24＝1，A(－2,0)，B(2,0)，P为椭圆C2上的动点且在第一象限，直线PA，PB分别交椭圆C1于E，F两点，连接EF并延长交x轴于Q点，过B点作BH分别交椭圆C1，C2于G，H点，且BH∥PA.(1)证明：k BF·k BG为定值；(2)证明：直线GF过定点，并求出该定点；(3)若记P，Q两点的横坐标分别为x P，x Q，证明：x P x Q为定值．§8.13圆锥曲线中定点与定值问题1．(1)解将直线方程y ＝kx ＋3代入双曲线方程x 216－y 24＝1，化简整理得(1－4k 2)x 2－24kx －52＝0，Δ＝(－24k )2＋4×(1－4k 2)×52＝208－256k 2，要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A 和B ，，，解得－134<k <－12.所以实数k －134，－(2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则由(1)知，x 1＋x 2＝24k 1－4k 2，x 1x 2＝－521－4k 2.由|PA ||PB |＝|DA ||DB |，得x 1x 2＝x 0－x 1x 2－x 0，所以x 0＝2x 1x 2x 1＋x 2＝－1041－4k 224k1－4k 2＝－133k ，所以y 0＝kx 0＋3＝－133＋3＝－43，所以点D 的纵坐标为定值－43.2．(1)解因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±b ax ，又因为双曲线C 的右焦点F (c ,0)到其渐近线的距离为6，所以bc a 2＋b 2＝b ＝6，又e ＝c a＝3，a 2＋b 2＝c 2，联立解得a ＝3，所以双曲线C 的方程为x 23－y 26＝1.(2)证明由已知得，双曲线C 的右焦点为F (3,0)，直线x ＝3过双曲线C 的右焦点．则S △F AQ S △FBQ ＝12|AF ||FQ |sin ∠AFQ 12|BF ||FQ |sin ∠BFQ ＝|AF |sin ∠AFQ |BF |sin ∠BFQ ＝|AF ||BF |，所以sin ∠AFQ ＝sin ∠BFQ ，所以直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，k AF ＋k BF ＝0.显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (0<k <2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠3，x 2≠3)．kx ＋m ，－y 26＝1，得(2－k 2)x 2－2kmx －m 2－6＝0，－k 2≠0，＝(2km )2＋4(2－k 2)(m 2＋6)>0，所以x 1＋x 2＝2km 2－k 2，x 1x 2＝－m 2＋62－k 2，因为k AF ＋k BF ＝0，所以y 1x 1－3＋y 2x 2－3＝0，所以kx 1＋m x 1－3＋kx 2＋m x 2－3＝0，所以(kx 1＋m )(x 2－3)＋(kx 2＋m )·(x 1－3)＝0，整理得2kx 1x 2＋(m －3k )(x 1＋x 2)－6m ＝0.所以－2k ·m 2＋62－k 2＋(m －3k )·2km 2－k 2－6m ＝0，化简得k ＋m ＝0，即m ＝－k ，所以直线l 的方程为y ＝kx －k ＝k (x －1)，恒过点(1,0)，所以直线l 过定点．3．(1)解∵抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (2,0)，∴p 2＝2，解得p ＝4，故抛物线C 的标准方程为y 2＝8x .(2)证明∵点A 的横坐标为2，即y 2＝8×2，解得y ＝±4，故A 点的坐标为(2,4)，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由已知设AB ：m (y －4)＝x －2，即x ＝my －4m ＋2，代入抛物线C 的方程得y 2＝8(my －4m ＋2)，即y 2－8my ＋32m －16＝0，则y 1＋4＝8m ，故y 1＝8m －4，∴x 1＝my 1－4m ＋2＝m (8m －4)－4m ＋2＝8m 2－8m ＋2，即B (8m 2－8m ＋2,8m －4)，设AC ：－m (y －4)＝x －2，即x ＝－my ＋4m ＋2，同理可得y 2＝－8m －4，则x 2＝－my 2＋4m ＋2＝－m (－8m －4)＋4m ＋2＝8m 2＋8m ＋2，即C (8m 2＋8m ＋2，－8m －4)，直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝16m －16m＝－1，∴直线BC 的斜率为定值．4．(1)证明设P (x 0，y 0)，则y 209＋x 204＝1，可得y 20＝9－9x 204，又k P A ＝y 0x 0＋2，k PB ＝y 0x 0－2，则k P A ·k PB ＝y 20x 20－4＝9－9x 204x 20－4＝－94，因为BG ∥PA ，所以k BF ·k BG ＝k P A ·k PB ＝－94.(2)解当直线GF 的斜率存在时，设GF 的方程为y ＝k (x －t )(k ≠0)，＝k (x －t )，x 2＋4y 2＝12，消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2tx ＋4k 2t 2－12＝0.则Δ＝64k 4t 2－16(4k 2＋3)(k 2t 2－3)＝48(4k 2＋3－k 2t 2)>0，设G (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2t 4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2t 2－124k 2＋3，由k BF ·k BG ＝y 1x 1－2·y 2x 2－2＝k 2[x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝－94，得3k 2t 2－12k 24k 2t 2－16k 2t ＋16k 2＝－94，约去k 2并化简得t 2－3t ＋2＝0，解得t ＝1(t ＝2不符合题意，舍去)，此时直线GF 过定点(1,0)；当直线GF 的斜率不存在时，设GF 的方程为x ＝m ，其中m ≠2，m ，＋y 23＝1，解得y ＝±12－3m22，则所以k BF ·k BG ＝－12－3m 24(m －2)2＝－94，解得m ＝1.综上，直线GF 过定点(1,0)．(3)证明设PA 的方程为y ＝k 1(x ＋2)(k 1>0)，＝k 1(x ＋2)，x 2＋4y 2＝12，解得E由(1)知P (x 0，y 0)，y 20＝9－9x 204由k 1＝y 0x 0＋2，则E同理，记PB 的斜率为k 2，则F由k 2＝y 0x 0－2，则F则EF 的斜率k EF ＝2y 0x 0＋4＋2y 0x 0－44(x 0＋1)x 0＋4＋4(x 0－1)x 0－4＝x 0y 02(x 20－4)，所以直线EF 的方程为y ＋2y 0x 0－4＝x 0y2(x 20－4)·x ＋4(x0－1)x 0－4.令y＝0，得x Q＝4x0，又x P＝x0，故x P x Q＝x0·4x0＝4.。

考点突破练14 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(2022·广东广州三模)在圆x2+y2=2上任取一点D,过点D作x轴的垂线段DH,H为垂足,线段DH 上一点E满足.记动点E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设O为原点,曲线C与y轴正半轴交于点A,直线AP与曲线C交于点P,与x轴交于点M,直线AQ 与曲线C交于点Q,与x轴交于点N,若=-2,求证:直线PQ经过定点.2.(2022·湖南衡阳三模)已知抛物线C:y=ax2(a>0)的焦点是F,若过焦点F的直线与抛物线C相交于A,B两点,所得弦长|AB|的最小值为2.(1)求实数a的值.(2)设P,Q是抛物线C上不同于坐标原点O的两个不同的动点,且以线段PQ为直径的圆经过点O,作OM⊥PQ,垂足为M,试探究是否存在定点N,使得|MN|为定值.若存在,求出该定点N的坐标及定值|MN|;若不存在,请说明理由.3.(2022·广东佛山模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),上、下顶点分别为B1,B2,以点F为圆心,FB1为半径作圆,与x轴交于点T(3,0).(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知点P(2,0),点A,B为椭圆C上异于点P且关于原点对称的两点,直线PA,PB与y轴分别交于点M,N,记以MN为直径的圆为圆K,试判断是否存在直线l截圆K的弦长为定值.若存在,请求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.4.(2022·山东烟台三模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别为F1,F2,T 为椭圆C上任意一点,△TF1F2面积的最大值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知A(0,1),过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,直线AM,AN与x轴的交点分别为P,Q,证明:以PQ为直径的圆过定点.5. (2022·辽宁沈阳三模)如图,在平面直角坐标系中,F1,F2分别为等轴双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若点A为双曲线右支上一点,且|AF1|-|AF2|=4,直线AF2交双曲线于B点,A(x1,y1),B(x2,y2),D为线段F1O的中点,延长AD,BD,分别与双曲线Γ交于P,Q两点.(1)求证:x1y2-x2y1=4(y2-y1).(2)若直线AB,PQ的斜率都存在,且依次设为k1,k2,试判断是否为定值.如果是,请求出的值;如果不是,请说明理由.6.(2022·江西鹰潭一模)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长,某些折纸活动蕴含丰富的数学内容,例如:用一张圆形纸片,按如下步骤折纸(如下图1), 步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一点,标记为F;步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F;步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕;步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕(如图2).图1图2已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为2的圆形纸片,设定点F到圆心E的距离为2,按上述方法折纸.(1)以点F,E所在的直线为x轴,线段EF的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,求折痕所围成的椭圆C(即图1中T点的轨迹)的标准方程.(2)经过椭圆C的左焦点F作直线l,且直线l交椭圆C于P,Q两点,x轴上是否存在一点M,使得为常数?若存在,求出M的坐标及该常数;若不存在,说明理由.考点突破练14圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(1)解由题意,设E(x,y),D(x0,y0),因为,所以又因为点D在圆x2+y2=2上,所以x2+2y2=2,故曲线C的方程为+y2=1.(2)证明由题意,A(0,1),设M(a,0),N(b,0),则=ab=-2.易得直线AP,AQ的斜率必然存在,所以k AP·k AQ=k AM·k AN==-.设P(x1,y1),Q(x2,y2),易知直线PQ斜率不存在时不符合题意,设直线PQ的方程为y=kx+n,联立得(2k2+1)x2+4knx+2n2-2=0,Δ=(4kn)2-4(2k2+1)(2n2-2)=16k2-8n2+8>0,得n2<2k2+1,所以x1+x2=,x1x2=.由题意知,直线AP,AQ均不过原点,所以x1x2≠0,从而n≠±1.所以k AP·k AQ===k2+==-,解得n=0,满足Δ>0,所以直线PQ的方程为y=kx,恒过定点(0,0).2.解 (1)抛物线C:y=ax2(a>0)化为标准方程为x2=y,其焦点F,由题意知直线斜率一定存在,设其方程为y=k1x+,A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得x2-x-=0,Δ>0恒成立,则x1+x2=,y1+y2=k1(x1+x2)+.因为|AB|=y1+y2+,所以当=0时,弦长|AB|min==2.所以实数a的值为.(2)存在定点N(0,1),使得|MN|为定值1.由题意可知直线PQ的斜率存在,设其方程为y=kx+t(t≠0),P(x3,y3),Q(x4,y4),联立整理得x2-2kx-2t=0,Δ=4k2+8t>0,则x3+x4=2k,x3x4=-2t.因为以PQ为直径的圆经过点O,所以=x3x4+y3y4=x3x4+=-2t+=-2t+t2=0.因为t≠0,所以t=2.所以直线PQ过定点T(0,2).又因为OM⊥PQ,所以△OMT为直角三角形,所以当N为斜边OT中点时,|MN|为定值,此时|MN|=|OT|=1.所以存在定点N(0,1),使得|MN|为定值1.3.解 (1)以点F为圆心,FB1为半径的圆的方程为(x-1)2+y2=a2.因为该圆经过点T(3,0),即可得a2=4,所以b2=a2-c2=3.从而可得椭圆C的标准方程为=1.(2)存在直线l:y=0满足题意.设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(-x1,-y1),则直线PA的方程为y=(x-2),可得点M的坐标为.同理可得点N的坐标为.取圆K上任意一点D(x,y),则,由圆的几何性质可知,则=x2+=0,则以MN为直径的圆K的方程为x2+y-y+=0,化简可得x2+y2-y-=0.由椭圆的方程可得4-,代入圆的方程可得x2+y2-3-y=0.令y=0,可得x=±恒成立.据此可知,存在直线l:y=0截圆K的弦长为定值,定值为2.4.(1)解因为椭圆C的离心率为,所以.又当T位于上顶点或者下顶点时,△TF1F2的面积最大,即bc=1.又a2=b2+c2,所以b=c=1,a=.所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)证明由题知,直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2),将直线l的方程代入椭圆C的方程得(4k2+2)x2+4kx-3=0,则x1+x2=,x1x2=.因为直线AM的方程为y=x+1,直线AN的方程为y=x+1,所以P,Q,所以以PQ为直径的圆为+y2=0,整理得x2+y2+x+=0.①因为=-6,令①中的x=0,可得y2=6,所以以PQ为直径的圆过定点(0,±).5.(1)证明由等轴双曲线知离心率e=.又由|AF1|-|AF2|=4=2a,及c2=a2+b2,可得a2=8,b2=8,c2=16,所以双曲线的标准方程为=1,F2(4,0).当直线AB的斜率不存在时,x1=x2=4,x1y2-x2y1=4y2-4y1=4(y2-y1);当直线AB的斜率存在时,,即,整理得x1y2-x2y1=4(y2-y1).综上所述,x1y2-x2y1=4(y2-y1)成立.(2)解为定值7.依题意可知直线AD的斜率存在且不为0,设直线AD的方程为y=(x+2),联立得(x1+2)2x2-(x+2)2-8(x1+2)2=0, ①由于=8,则-8,代入①并化简得(4x1+12)x2-4(-8)x-12-32x1=0.设P(x0,y0),则x1x0=,x1+x0=,解得x0=,代入y=(x+2),得y0=,即P,同理可得Q.所以k2==(-7)·=7k1, 所以=7是定值.6.解 (1)如图,以FE所在的直线为x轴,FE的中点O为原点建立平面直角坐标系.由题意可知|TF|+|TE|=|AE|=2>|EF|=2,所以点T的轨迹是以F,E分别为左、右焦点的椭圆.因为2c=2,2a=2,所以c=1,a=,则b2=a2-c2=2,所以椭圆C的标准方程为=1.(2)存在M使得为常数-.由题知,F(-1,0),假设存在点M(t,0),t∈R,使得为常数.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,所以x1+x2=-,x1x2=.因为=(x1-t,y1),=(x2-t,y2),所以=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(x1-t)(x2-t)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-t)(x1+x2)+k2+t2=+k2+t2=+t2=+t2=t2+2t-.因为为常数,故t2+2t-与k无关,所以4t+=0,即t=-,此时=-.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,此时y=±,由椭圆的对称性,不妨令P,Q,所以,当t=-时,=(1+t)2-=-.综上,在x轴上存在一点M,使得为常数,这个常数为-.。