上海市杨浦区2018届高三上学期期末质量调研数学试题

上海市杨浦区2018届高三数学上学期期末质量调研试题一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算1lim(1)n n→∞-的结果是2. 已知集合{1,2,}A m =，{3,4}B =，若{3}A B =，则实数m =3. 已知3cos 5θ=-，则sin()2πθ+=4. 若行列式124012x -=，则x = 5. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=6. 在62()x x-的二项展开式中，常数项的值为7. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）， 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是8. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数2log (1)y x =+的反函数的图像上，则n a =9. 在ABC ∆中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角B 的最大值为10. 抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为11. 已知函数()cos (sin )f x x x x =x R ∈，设0a >，若函数()()g x f x α=+ 为奇函数，则α的值为12. 已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=，则实数λ的取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 在复平面内，复数2iz i-=对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限14. 给出下列函数：①2log y x =；②2y x =；③||2x y =；④arcsin y x =. 其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④ 15. “0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件16. 设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积，则123S S S ++的最大值是（ ） A. 12B. 2C. 4D. 8三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18. 如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）19. 已知函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.20. 设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点. （1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）若0OA OB ⋅=，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求点Q 的轨迹方程.21. 若数列A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （3n ≥）中*i a N ∈（1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤-，112k k k a a a +-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”.（1）若数列1，x ，y ，7为“U -数列”，写出所有可能的x 、y ；（2）若“U -数列” A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值； （3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，0n a ，记012max{,,,}n M a a a =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，⋅⋅⋅，s x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值.参考答案一. 填空题1. 32. 35- 3. 2 4. 6 5. 160- 6.1127. 1 8. 12n n a -= 9. 3π 10. 3π11. *()26k k N ππα=-∈ 12. 1[,3]3二. 选择题13. C 14. B 15. A 16. B三. 解答题17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设平行于墙的边长为a ， 则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-， ……2分所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈ （定义域2分） ……6分（2）222(3)33()612l l y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈ ……8分所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = ……12分综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l ……14分18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 解1：（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =， ……2分故4SO === ……4分从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=. ……7分 （2）如图，取OB 中点H ，联结PH AH 、. 由P 是SB 的中点知PH SO ∥，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角. ……10分 由SO ⊥平面OAB ⇒PH ⊥平面OAB ⇒PH AH ⊥.在OAH ∆中，由OA OB ⊥得2AH ==；……11分在Rt APH ∆中，90AHP O∠=，122PH SB ==，AH =分则tan AH APH PH ∠==，所以异面直线SO 与PA 所成角的大小arctan 4…14分 (其他方法参考给分)19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以(1,1)A =-， ……3分 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[1,0]- ……6分（2）函数()f x 的定义域(1,1)A =-，定义域关于原点对称 ……8分1()()ln 1()x f x x ---=+-1111ln ln ln ()111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭……12分而1()ln32f =，11()ln 23f -=，所以11()()22f f -≠ ……13分 所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数. ……14分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） 解：（1）抛物线Ω的焦点到准线的距离为2 ……4分 （2）设直线:l x my b =+当0m =时，1x =和9x =符合题意 ……5分当0m ≠时，11(,)A x y 、22(,)B x y 的坐标满足方程组24x my by x=+⎧⎨=⎩，所以2440y my b --=的两根为1y 、2y 。

杨浦区 2018 学年度高三学科测试化学试卷本试卷分为第I 卷 (第 1—4 页 )和第Ⅱ卷 (第 5— 8 页 )两部分。

全卷共8 页。

满分 l50 分，考试时间l20 分钟。

第I卷 (共66分)考生注意：1．答第I 卷前，考生务必在答题卡上用钢笔或圆珠笔清楚填写学校、姓名、准考据号，并用2B 铅笔正确涂写准考据号。

2．第I 卷 (1-22 小题 )，由机器阅卷，答案一定所有涂写在答题卡上。

考生应将代表正确答案的小方格用2B 铅笔涂黑。

注意试卷题号和答题纸编号一一对应，不可以错位。

答案需要改正时，一定将原选项用橡皮擦去，从头选择。

答案不可以涂写在试卷上，涂写在试卷上一律不给分。

相对原子质量：Fe-56一、选择题 (此题共 10 分，每题 2 分，只有一个正确选项。

)1．卢瑟福的α粒子散射实考证明原子中存在A ．α粒子B ．电子 C．中子 D ．原子核2．我国是世界最大的耗煤国家。

以下对煤综合利用的表达错误的选项是A ．煤的气化是化学变化B ．煤的干馏是物理变化C．煤的液化是化学变化D．煤焦油分馏出苯的同系物是物理变化3．已知： C( 金刚石，固 )C(石墨，固 ) +1.9kJ ，则以下判断正确的选项是A．金刚石转变为石墨可用右图表示B．等质量的石墨比金刚石能量高C．石墨比金刚石稳固D．金刚石转变为石墨没有化学键的断裂与生成能量石墨金刚石反响进度4．以下对化学用语的理解正确的选项是A ．原子构造表示图+624：表示1213CC，也能够表示B ．比率模型：表示二氧化碳分子，也能够表示水分子．．C．电子式．：：表示羟基，也能够表示氢氧根离子O H．．D ．构造简式 (CH 3)2CHOH ：表示 2–丙醇，也能够表示1–丙醇5．以下物质发生变化时，所战胜的粒子间互相作用属于同种种类的是1/11A．液溴和己烷分别受热变为气体B．干冰和氯化铵分别受热变为气体C．硅和铁分别受热融化D．氯化氢和蔗糖分别溶解于水二、选择题 (此题共 36 分，每题 3 分，只有一个正确选项。

杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷及答案 2018.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =ð ▲ ．2．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 ▲ ． 3．已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 ▲________．4. 若nb a )(+展开式的二项式系数之和为8，则n = ▲________．5. 若实数,x y 满足 221x y +=，则xy 的取值范围是▲________．6. 若圆锥的母线长=l )(5cm ，高)(4cm h =，则这个圆锥的体积等于▲________()3cm . 7. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是▲________． 8. 若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+. 且B A ⊆， 则实数a 的取值范围为▲________．9. 在行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作，则的零点是▲________10. 已知复数1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++ (,R x λ∈，i 为虚数单位）．在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若︒=∠9021OZ Z ，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期 ▲________． 11. 当a x <<0时，不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立，则实数a 的最大值为 ▲________． 274434651xx--()f x 1()y f x =+12. 设d 为等差数列}{n a 的公差，数列}{n b 的前n 项和n T ，满足)N ()1(21*∈-=+n b T n n n n ，且25b a d ==. 若实数)3,N }(|{*32≥∈<<=∈+-k k a x a x P m k k k ，则称m 具有性质k P .若n H 是数列}{n T 的前n 项和，对任意的*N ∈n ，12-n H 都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为▲________.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 下列函数中既是奇函数，又在区间[-1,1]上单调递减的是 ………( ). x x f arcsin )(=. lg y x =.()f x x =-.()cos f x x =14. 某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人. 现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 ………( )()A .310()B .35()C .25()D .2315. 已知x x f θsin log )(=，，设sin cos ,2a f θθ+⎛⎫=⎪⎝⎭b f =，sin 2sin cos c f θθθ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则c b a ,,的大小关系是 ………( )()A .b c a ≤≤.()B .a c b ≤≤. ()C .a b c ≤≤.()D .c b a ≤≤.16. 已知函数nx x m x f x ++⋅=22)(，记集合},0)(|{R x x f x A ∈==，集合},0)]([|{R x x f f x B ∈==，若B A =，且都不是空集，则n m +的取值范围是………( )()A . [0,4) ()B . [1,4)- ()C . [3,5]- ()D . [0,7)()A ()B ()C ()D )2,0(πθ∈三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF PE ⊥.18. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且5cos 13B =． （1）若4sin 5A =，求cos C ； （2）若4b =，求证：5-≥⋅BC AB ．19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产一种产品，每一小时可获得的利润是)315(xx -+元，其中101≤≤x .（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线x y C 4:2=上存在不同的两点B A ,，满足PB PA ,的中点均在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且),(),,(M M P P y x M y x P ，证明：M P y y =；（3）若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的最小值.21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分） 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，其中*N ∈n . (1) 若2cos2n n n a π=+，请写出3b 的值； (2) 求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；(3) 若对任意n ，有||2018n a <, 且||1n b =，请问：是否存在*K ∈N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b += 成立？请说明理由．青浦区2018学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2018.12说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．{}1-； 2．“若a b <，则22am bm <”； 3．()2,3-；4．43； 5．12π；67．(0,4)(4,8)； 8．32；9. 80； 10. 14；11．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦；12.1,3⎤⎦.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. A ；14. D ； 15．C ；16. C .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， ∵1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂≠平面ABCD ， ∴1AA AD ⊥，故14AA =， ∴正四棱柱的侧面积为(43)448⨯⨯=， 体积为2(3)436⨯=．（2）建立如图的空间直角坐标系O xyz -，由题意 可得(0,0,0)D ,(3,3,0)B ,1(3,0,4)A ,(0,0,0)D ,3(,0,2)2E ,1(0,0,4)AA =，3(,3,2)2BE =--，设1AA 与BE 所成角为α，直线BE 与平面ABCD 所成角为θ，则11cos ||||AA BEAA BE α⋅===⋅ 又1AA是平面ABCD 的一个法向量， 故sin cos θα==，θ=．所以直线BE 与平面ABCD所成的角为arcsin61． 【另法提示：设AD 中点为G ，证EBG ∠即为BE 与平面ABCD 所成的角，然后解直角三角形EBG ，求出EBG ∠】arctan 1518．（本题满分14分）第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分.解：（1）,1,01BP t CP t t ==-≤≤45DAQ θ∠=︒-,1tan(45)1tDQ tθ-=︒-=+, 12111t tCQ t t-=-=++所以211t PQ t +===+ 故221111211t t l CP CQ PQ t t t t t+=++=-++=-++=++ 所以△CPQ 的周长l 是定值2（2）111221ABP ADQ ABCD t t S S S S t ∆∆-=--=--⨯+正方形122(1)221t t=-++≤+当且仅当1t =时，等号成立所以摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S至多为22hm19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）因为函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[)+∞4，上的弱渐近函数， 所以()()1mf xg x x-=≤ ，即m x ≤在区间[)+∞4，上恒成立， 即444m m ≤⇒-≤≤（2）()()2f x g x x x -==[)2,+x ∈∞，()()22(f x g x x x ∴-==-A DCBθP Q45令2()()()2(x xh x f x g x x=-===任取122x x≤<，则2212311x x≤-<-≤<120xx<<12()()h x h x⇒>⇒<即函数()()()2(h x f x g x x=-=在区间[)2,+∞上单调递减，所以(()()0,4f x gx-∈-，又([]0,41,1-⊆-，即满足()2g x x=使得对于任意的[)2,x∈+∞有()()1f xg x-≤恒成立，所以函数()2g x x=是函数()f x=在区间[)2,+∞上的弱渐近函数．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）242a a=⇒=，又双曲线的渐近线方程为y=，所以bba==双曲线的标准方程是221412x y-=．（2）法一：由题不妨设11()A x，22(,)B x，则1212(,)22x xP+，由P在双曲线上，代入双曲线方程得124x x⋅=；法二：当直线AB的斜率不存在时，显然2x=±，此时124xx⋅=；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(0,y kxt k k=+≠≠则由y kx tAy=+⎛⎧⎪⇒⎨=⎪⎩同理y kx tBy=+⎛⎧⎪⇒⎨=⎪⎩此时223,33kt t P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭代入双曲线方程得224(3)t k =-，所以212243t x x k ⋅==-（3）①对称中心：原点；对称轴方程：,y y x ==②顶点坐标：3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，322⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；焦点坐标：(，(1,-实轴长：2a =、虚轴长：22b =、焦距：24c =③范围：()0,,2,x y ⎡≠∈-∞+∞⎣④渐近线：0,3x y x ==21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且11b =，3k =、4d =、0c =，所以当1n ≥，n *∈N 时，310n b +=，又*2016672N 3=∈，即20170b =， 20182017044b b d =+=+=，20192018448b b d =+=+= （2）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且12b =，4k =、2d =、1c =()()()414344341434243434312336n n n n n n n n n n b b cb b b d b b d b b d b d +---------=-=⨯+-=+-=+-==则数列前4n 项中的项43n b -是以2为首项，6为公差的得差数列，易知{}4n b 中删掉含有43n b -的项后按原来的顺序构成一个首项为2公差为2的等差数列，41543()n n S b b b -∴=+++()()()()23467846454442414+n n n n n n b b b b b b b b b b b b -----++++++++++++⎡⎤⎣⎦2(1)3(31)26(3)2212822n n n n n n n n --=+⨯+⨯+⨯=+ 43nn S λ≤⋅，43nn S λ∴≤，设2412833n n n n S n n c +==，则()max n c λ≥，22211112(1)8(1)12824820333n n n n n n n n n n n c c +++++++-++-=-=当1n =时，2248200n n -++>，12c c <；当2n ≥，n *∈N 时，2248200n n -++<，1n n c c +<，∴123c c c <>>，∴()2max 649n c c ==， 即()2max 649n c c λ≥==（3）因为{}n b 既是“Γ数列”又是等比数列，设{}n b 的公比为1n nb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=，当m *∈N 时，21k m k m b b d ++-=，即()11km km km bq bq bq q d +-=-=① 1q =，则0d =，n b b =； ② 1q ≠，则()1kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-； 经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-.。

杨浦区2018学年度第一学期高三年级学科测试物理试卷考生注意：1．本试卷共8页，满分150分。

考试时间120分钟。

考生应用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2．本试卷一、四大题中，小题序号后标有字母A 的试题，适合于使用一期课改教材的考生；标有字母B 的试题，适合于使用二期课改教材的考生；其它未标字母A 或B 的试题为全体考生必做的试题。

不同大题可以选择不同的A 类或B 类试题，但同一大题的选择必须相同，若在同一大题内同时选做A 类、B 类两类试题，阅卷时只以A 类试题计分。

3．第19、20、21、22、23题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。

只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。

有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。

一．（20分）填空题。

本大题共5小题，每小题4分，答案写在题中横线上的空白处或指定位置，这要求写出演算过程。

A 类题（适合于使用一期课改教材的考生）1A ．在一个平面内有六根彼此绝缘的通电直导线，电流方向如右图所示，各导线的电流大小相等，I 、II 、III 、IV 为四个面积相等的区域，则垂直纸面指向纸内的磁通量最大的区域是_____________，垂直纸面指向纸外的磁通量最大的区域是_____________。

2A ．将力F 分解为两个分力，若已知F 的大小及F 和F 2之间的夹角θ，且θ为锐角，则当F 1和F 2大小相等时，F 1的大小为_____________，而当F 1有最小值时，F 2的大小为_____________。

3A ．带如下图所示，取计数点A 、B 、C 、D 、E 每相邻两个计数点间还有四个实验点画出），已用刻度尺测量以A 为起点，到B D 、E 各点的距离标在图上，则纸带运动加速度的大小为a ＝_____________m/s 2，打纸带上C 点时的瞬时速度大小为v C＝_____________ m/s 。

杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim n nn ．2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .5．双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.6．若函数()23-=x x f 的反函数为()x f 1-，则()=-11f．7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 9. 已知函数x x x f cos sin )(=，则函数)(x f 的最小正周期为__________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12．若21()nx x +的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则n 等于 ． 13．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则恰含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01）14．函数()x f 是R 上的奇函数，()x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知()()622=-=-g f ,且()()()()()()()()[]2122022222=-+-++f g g f g g f f ,则()0g 的值为___________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）. )(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直 16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的………（ ）.)(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=,则b 的取值范围为………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．若式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ； ②222),,(c b a c b a +-=σ； ③C B A C C B A 2cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是………（ ）.)(A 0 . )(B 1 . )(C 2 . )(D 3 .三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()x x g x f =.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()033≥-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． 求抛物线Γ方程；求证：αα2sin )1(cos 2+=AF ．22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分. 已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设na b n n +=．（1）求2a ； （2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分8分.已知椭圆Γ：2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠±.①用m 表示点F E ,的坐标；②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.3arctan ； 3.2； 4. ()0,∞- ； 5. 3 ； 6. 1 ； 7. π； 8. 2；9. 文π； 10. 30 ； 11. 01062=+-x x ； 12.文 6 ；13.文0.30； 14.文2；二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题15. D ； 16. B ； 17. A ； 18. 文C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ ……12分 20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax x g -+-=-+=⋅=1)1(2122……4分又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43max ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==x x x x g x f ……8分令x t 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-x x k f 可化为kt t f ≥)(, 即t t f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时t t f )(最小值为0, ……13分0≤∴k ……14分21. 【解】文科（1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……8分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……11分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……14分22. 【解】文科(1) 由21=a 及2321++=+n S S n n 当1=n 时故72=a ……4分 (2)由2321++=+n S S n n 及)2(2)1(321≥+-+=-n n S S n n ……6分得 1231-+=+n a a n n ，故)(3)1(1n a n a n n +=+++， ……8分即)2(1≥=+n b b n n ，当1=n 时上式也成立, ……9分,故{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列 ……10分(3) 由（2）得n n n n b b 311,3== ……11分8140)311(21311)311(3111121>-=--=+⋅⋅⋅++nn n b b b ……14分故 813>n解得4>n ，最小正整数n 的值5 ……16分23【解】（文科）解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m,12)，且0m ≠，∴直线AM 的斜率为k1=m 21-,直线BM 斜率为k2=m 23,∴直线AM 的方程为y=121+-x m ,直线BM 的方程为y=123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ ……4分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠,5AMFBME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又有m ≠∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k =--⇒++=, ……12分所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242k k d TR ++=-=；由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k k x x P Q 所以418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……15分所以13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立,此时直线1:12l y x =±- ……18分。

上海市杨浦区高三数学上学期学业质量调研试卷理数学学科试卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知(),0,1sin2∈=απα，则α=________________.2．设{}13A x x=≤≤，{}124,B x m x m m R=+≤≤+∈，A B⊆，则m的取值范围是________.3．已知等差数列{}na中，377,3a a==，则通项公式为na=________________.4．已知直线l经过点()()1,2,3,2A B--，则直线l的方程是___________________.5. 函数()()012<-=xxxf的反函数()=-xf1．6. 二项式91xx-⎛⎫⎪⎝⎭的展开式（按x的降幂排列）中的第４项是_________________.7．已知条件:12p x+≤；条件:q x a≤，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．8．向量()()2,3,1,2a b==-，若ma b+与2a b-平行，则实数m=_________.9．一家55窗口走廊窗口其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。

10．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为_______________.（相同质量的冰与水的体积比为10：9）11．不等式()2log431x x->+的解集是_______________________.12．设△ABC的内角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c，若3a b c ab a b c++=+-，则角C=_________.13．已知12ω=-，集合{}2*1,nA z z n Nωωω==++++∈，集合1,0i s ==开始1i i =+否输出s 结束 是第15题图2s s i =+1212{|,}B x x z z z z A ==⋅∈、（1z 可以等于2z )，则集合B 的子集个数为__________.14．如图所示，已知函数 2log 4y x=图像上的两点 A 、 B 和函数2log y x=上的点 C ，线段 AC平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点B 的坐标为(),p q , 则22q p ⨯的值为________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ） A ． 7i < B ．8i <C ． 7i >D ．8i >16．下列命题中正确的是（ ） A ．若x C ∈，则方程32x =只有一个根 B ．若12,z C z C∈∈且120z z ->，则12z z >C ．若z R ∈，则2z z z⋅=不成立D ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数17．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ．01222=+--+y x y x B ．041222=---+y x y x C ．01222=+-++y x y x D ． 041222=+--+y x y x18．对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n ab ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0nn n ba →∞-=，则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套。

杨浦区2018学年度第⼀学期⾼三年级模拟质量调研数学学科试卷及答案杨浦区2018学年度第⼀学期⾼三年级模拟质量调研数学学科试卷及答案 2018.12.考⽣注意： 1．答卷前，考⽣务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．⼀、填空题（本⼤题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考⽣应在答题纸的相应位置填写结果. 1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =e ▲．2．已知扇形的半径为6，圆⼼⾓为3π，则扇形的⾯积为▲． 3．已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹⾓为▲________．4. 若nb a )(+展开式的⼆项式系数之和为8，则n = ▲________．5. 若实数,x y 满⾜ 221x y +=，则xy 的取值范围是▲________．6. 若圆锥的母线长=l )(5cm ，⾼)(4cm h =，则这个圆锥的体积等于▲________()3cm . 7. 在⽆穷等⽐数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是▲________． 8. 若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+. 且B A ?，则实数a 的取值范围为▲________．9. 在⾏列式中，第3⾏第2列的元素的代数余⼦式记作，则的零点是▲________10. 已知复数1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++ (,R x λ∈，i 为虚数单位）．在复平⾯上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若?=∠9021OZ Z ，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最⼩正周期▲________． 11. 当a x <<0时，不等式2)(1122≥-+x a x 恒成⽴，则实数a 的最⼤值为▲________． 274434651xx--()f x 1()y f x =+12. 设d 为等差数列}{n a 的公差，数列}{n b 的前n 项和n T ，满⾜)N ()1(21*∈-=+n b T n n n n ，且25b a d ==. 若实数)3,N }(|{*32≥∈<<=∈+-k k a x a x P m k k k ，则称m 具有性质k P .若n H 是数列}{n T 的前n 项和，对任意的*N ∈n ，12-n H 都具有性质k P ，则所有满⾜条件的k 的值为▲________.⼆、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有⼀个正确选项，考⽣应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的⼩⽅格涂⿊.13. 下列函数中既是奇函数，⼜在区间[-1,1]上单调递减的是 ………( ). x x f arcsin )(=. lg y x =.()f x x =-.()cos f x x =14. 某象棋俱乐部有队员5⼈，其中⼥队员2⼈. 现随机选派2⼈参加⼀个象棋⽐赛，则选出的2⼈中恰有1⼈是⼥队员的概率为 ………( )()A .310()B .35()C .25()D .2315. 已知x x f θsin log )(=，，设sin cos ,2a f θθ+??=b f =，sin 2sin cosc f θθθ=+，则c b a ,,的⼤⼩关系是 ………( )()A .b c a ≤≤.()B .a c b ≤≤. ()C .a b c ≤≤.()D .c b a ≤≤.16. 已知函数nx x m x f x ++?=22)(，记集合},0)(|{R x x f x A ∈==，集合},0)]([|{R x x f f x B ∈==，若B A =，且都不是空集，则n m +的取值范围是………( )()A . [0,4) ()B . [1,4)- ()C . [3,5]- ()D . [0,7)()A ()B ()C ()D )2,0(πθ∈三、解答题（本⼤题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）如图，PA ⊥平⾯ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：⽆论点E 在边BC 的何处，都有AF PE ⊥.18. （本题满分14分，第1⼩题满分7分，第2⼩题满分7分）在ABC ?中，⾓,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且5cos 13B =．（1）若4sin 5A =，求cos C ；（2）若4b =，求证：5-≥?BC AB ．19. （本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）上海某⼯⼚以x 千克/⼩时的速度匀速⽣产⼀种产品，每⼀⼩时可获得的利润是)315(xx -+元，其中101≤≤x .（1）要使⽣产该产品2⼩时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使⽣产900千克该产品获得的利润最⼤，问：该⼚应选取何种⽣产速度？并求最⼤利润.20. （本题满分16分，第1⼩题满分4分，第2⼩题满分5分，第3⼩题满分7分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）⼀点，抛物线x y C 4:2=上存在不同的两点B A ,，满⾜PB PA ,的中点均在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且),(),,(M M P P y x M y x P ，证明：M P y y =；（3）若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ?⾯积的最⼩值.21. （本题满分18分，第1⼩题满分4分，第2⼩题满分5分，第3⼩题满分9分）记⽆穷数列{}n a 的前n 项中最⼤值为n M ，最⼩值为n m ，令2n nn M m b +=，其中*N ∈n . (1) 若2cos2n n n a π=+，请写出3b 的值； (2) 求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；(3) 若对任意n ，有||2018n a <, 且||1n b =，请问：是否存在*K ∈N ，使得对于任意不⼩于K 的正整数n ，有1n n b b += 成⽴？请说明理由．青浦区2018学年第⼀学期⾼三年级期终学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2018.12说明1．本解答列出试题⼀种或⼏种解法，如果考⽣的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进⾏评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考⽣的解答中出现错误⽽中断对该题的评阅．当考⽣的解答在某⼀步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这⼀题的内容和难度时，可视影响程度决定后⾯部分的给分，但是原则上不应超出后⾯部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题⾄第21题中右端所注的分数，表⽰考⽣正确做到这⼀步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．⼀.填空题（本⼤题满分54分）本⼤题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考⽣应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．{}1-； 2．“若a b <，则22am bm <”； 3．()2,3-；4．43； 5．12π；67．(0,4)(4,8)； 8．32；9. 80； 10. 14；11．10,2；12.1,3??.⼆.选择题（本⼤题满分20分）本⼤题共有4题，每题有且只有⼀个正确答案，考⽣应在答题纸的相应编号上，将代表答案的⼩⽅格涂⿊，选对得5分，否则⼀律得零分. 13. A ；14. D ； 15．C ；16. C .三．解答题（本⼤题满分74分）本⼤题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2⼩题，第（1）⼩题6分，第（2）⼩题8分. 解：（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，∵1AA ⊥平⾯ABCD ，AD ?≠平⾯ABCD ，∴1AA AD ⊥，故14AA =，∴正四棱柱的侧⾯积为(43)448??=，体积为2(3)436?=．（2）建⽴如图的空间直⾓坐标系O xyz -，由题意可得(0,0,0)D ,(3,3,0)B ,1(3,0,4)A ,(0,0,0)D ,3(,0,2)2E ,1(0,0,4)AA =，3(,3,2)2BE =--，设1AA 与BE 所成⾓为α，直线BE 与平⾯ABCD 所成⾓为θ，则11cos ||||AA BEAA BE α?===⼜1AA是平⾯ABCD 的⼀个法向量，故sin cos θα==，θ=．所以直线BE 与平⾯ABCD所成的⾓为arcsin61．【另法提⽰：设AD 中点为G ，证EBG ∠即为BE 与平⾯ABCD 所成的⾓，然后解直⾓三⾓形EBG ，求出EBG ∠】arctan 1518．（本题满分14分）第（1）⼩题满分8分，第（2）⼩题满分6分.解：（1）,1,01BP t CP t t ==-≤≤45DAQ θ∠=?-,1tan(45)1tDQ tθ-=?-=+, 12111t tCQ t t-=-=++所以211t PQ t +===+ 故221111211t t l CP CQ PQ t t t t t+=++=-++=-++=++ 所以△CPQ 的周长l 是定值2（2）111221ABP ADQ ABCD t t S S S S t ??-=--=--?+正⽅形122(1)221t t=-++≤+当且仅当1t =时，等号成⽴所以摄像头能捕捉到正⽅形ABCD 内部区域的⾯积S⾄多为22hm19.(本题满分14分）本题共2⼩题，第（1）⼩题6分，第（2）⼩题8分. 解：（1）因为函数()3g x x =是函数()3m=+在区间[)+∞4，上的弱渐近函数，所以()()1mf xg x x-=≤ ，即m x ≤在区间[)+∞4，上恒成⽴，即444m m ≤?-≤≤（2）()()2f x g x x x -==[)2,+x ∈∞，()()22(f x g x x x ∴-==-A DCBθP Q45令2()()()2(x xh x f x g x x=-===任取12≤<，则2212311x x≤-<-≤<120xx<<12()()h x h x><即函数()()()2(h x f x g x x=-=在区间[)2,+∞上单调递减，所以(()()0,4x-∈-，⼜([]0,41,1-?-，即满⾜()2g x x=使得对于任意的[)2,x∈+∞有()()1f xg x-≤恒成⽴，所以函数()2g x x=是函数()f x=在区间[)2,+∞上的弱渐近函数．20.(本题满分16分）本题共3⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题6分.解：（1）242a a=?=，⼜双曲线的渐近线⽅程为y=，所以bba==双曲线的标准⽅程是22412x y-=．（2）法⼀：由题不妨设11()A x，22(,)B x，则1212(,)22x xP+，由P在双曲线上，代⼊双曲线⽅程得124x x?=；法⼆：当直线AB的斜率不存在时，显然2x=±，此时124xx?=；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的⽅程为(0,t k k=+≠≠则由y kx tAy=+?=同理y kx tBy=+?=此时223,33kt t P k k ?? ?--??代⼊双曲线⽅程得224(3)t k =-，所以212243t x x k ?==-（3）①对称中⼼：原点；对称轴⽅程：,y y x = =②顶点坐标：3,22??，322??-- ? ???；焦点坐标：(，(1,-实轴长：2a =、虚轴长：22b =、焦距：24c =③范围：()0,,2,x y ?≠∈-∞+∞?④渐近线：0,3x y x ==21.(本题满分18分）本题共3⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题8分.解：（1）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且11b =，3k =、4d =、0c =，所以当1n ≥，n *∈N 时，310n b +=，⼜*2016672N 3=∈，即20170b =， 20182017044b b d =+=+=，20192018448b b d =+=+= （2）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且12b =，4k =、2d =、1c =()()()414344341434243434312336n n n n n n n n n n b b cb b b d b b d b b d b d +---------=-=?+-=+-=+-==则数列前4n 项中的项43n b -是以2为⾸项，6为公差的得差数列，易知{}4n b 中删掉含有43n b -的项后按原来的顺序构成⼀个⾸项为2公差为2的等差数列，41543()n n S b b b -∴=+++()()()()23467846454442414+n n n n n n b b b b b b b b b b b b -----++++++++++++2(1)3(31)26(3)2212822n n n n n n n n --=+++=+ 43nn S λ≤?，43nn S λ∴≤，设2412833n n n n S n n c +==，则()max n c λ≥，22211112(1)8(1)12824820333n n n n n n n n n n n c c +++++++-++-=-=当1n =时，2248200n n -++>，12c c <；当2n ≥，n *∈N 时，2248200n n -++<，1n n c c +<，∴123c c c <>>，∴()2max 649n c c ==，即()2max 649n c c λ≥==（3）因为{}n b 既是“Γ数列”⼜是等⽐数列，设{}n b 的公⽐为1n nb q b +=，由等⽐数列的通项公式有1n n b bq -=，当m *∈N 时，21k m k m b b d ++-=，即()11km km km bq bq bq q d +-=-=① 1q =，则0d =，n b b =；② 1q ≠，则()1kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-；经检验，满⾜条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()1 1n n b b -=-.。

杨浦区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试 数学试卷 2018.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则U A =ð 2. 已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 3. 已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 4. 若()n a b +展开式的二项式系数之和为8，则n = 5. 若实数x 、y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是6. 若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm =，则这个圆锥的体积等于 3()cm7. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是 8. 若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的 取值范围为9. 在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则 1()y f x =+的零点是10. 已知复数1cos 2()i z x f x =+，2(3sin cos )i z x x =++（x ∈R ，i 为虚数单位），在复平面上，设复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ，若1290Z OZ ︒∠=，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期为 11. 当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为 12. 设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2n n n n T b +=-（n ∈*N ），且52d a b ==，若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<（k ∈*N ，3k ≥），则称m 具有性质k P ，若n H 是数列{}n T 的前n 项和，对任意的n ∈*N ，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ）A. ()arcsin f x x =B. ()lg ||f x x =C. ()f x x =-D. ()cos f x x = 14. 某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ） A.310 B. 35 C. 25 D. 2315. 已知sin ()log f x x θ=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2a f θθ+=，(sin cos )b f θθ=⋅， sin 2()sin cos c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b ≤≤B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D. a b c ≤≤ 16. 已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） A. [0,4) B. [1,4)- C. [3,5]- D. [0,7)三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中心，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF ⊥PE .18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且5cos 13B =. （1）若4sin 5A =，求cos C ； （2）已知4b =，证明：5AB BC ⋅≥-.19. 上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是3(51)x x+-元，其中110x ≤≤.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.20. 如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、B ，满足PA 、PB 的中点均在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且(,)P P P x y ，(,)M M M x y ，证明：P M y y =；（3）若P 是曲线2214y x +=（0x <）上的动点，求△PAB 面积的最小值.21. 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，n ∈*N . （1）若2cos2nn n a π=+，请写出3b 的值； （2）求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n ，有||2018n a <，且||1n b =，请问：是否存在K ∈*N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b +=成立？请说明理由.杨浦区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案一. 填空题1. {1,2}2. 6π3.2π4. 35. 11[,]22- 6. 12π 7. 11(0,)(,1)228. [1,0]- 9. 1x =- 10. π 11. 2 12. 3或4 二. 选择题13. C 14. B 15. D 16. A 三. 解答题19.答案：（1）[3,10]；（2）6x =，最大值为4575. 解析：（1）2（5x+1－3x )≥30，即5x+1－3x≥15 整理可得：251430x x --≥，解得：x≥3或x≤－15(舍去） 所以： 3≤x≤10（2） 要使生产900千克该产品获得的利润最大时为y ， 生产900千克该产品需要时间：t=900x， y ＝900x ×3(51)x x +-＝4500＋900x －22700x ＝－2700（2113x x-）＋4500＝－2700211()6x-＋45751≤x≤10，所以当x=6，y 取最大值为4575元20.（1）焦点坐标为（1,0），准线方程为x ＝－1，所以，焦点到准线的距离为2（2）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则PA 中点为20011(,)282x y y y ++，由AP 中点在抛物线上，可得220101()4()228y y x y +=+，化简得2210100280y y y x y -+-=，显然21y y ≠， 且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=，所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根，所以1202y y y +=，1202M P y y y y y +===。