等差数列前n项和教学案(1) (1)

《2.2.3等差数列的前n项和（1）》说课稿江苏省清浦中学时坤明【教材分析】数列在高中数学中占据非常重要的位置，主要以等差数列与等比数列为核心内容展开。

本节课是在学习了等差数列通项公式及简单性质的基础上进行了进一步研究，该内容也为日后学习各种数列的求和作出了引领与铺垫。

等差数列的前n项和公式是数列求和的最基本公式。

不论是公式的获取过程，还是公式推导及方法的发现过程，都是数学家们发现数学结论和数学方法的重要过程。

苏教版必修五旧教材中本课内容是以计算一堆钢管总数为例，从身边的生活实际出发，运用从特殊到一般的方法，进一步发现等差数列的前n项和公式的推导方法。

此法虽然比较实用，导向性比较明确，但个人认为其方式给予学生的思考空间比较狭隘、思维路径比较简短、思维方式过于单一。

参考2019年新出版的人教版高中数学必修五新教材中本课内容开头直接给出问题“?+++ ”，对学生的思维方法没有++4100321=作出任何限定，给了学生广阔的想象空间。

教师可以根据学情因地制宜的安排导入新课的方式，便于让学生更好的掌握本课内容。

除此而外，在例题及习题的编排上，新教材比旧教材更加注重了实用，题目也变得更加灵活，这也是新课程理念和思想在课标教材中的又一体现。

【学情分析】本课之前，学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质。

大部分学生对高斯算法有一定的认识，甚至有些同学对此算法原理比较熟练，然而熟练的只是高斯算法中的“?++++ ”这样一种特殊数列的求和，对于一般等差数列的求和方法+1001=423和公式，学生却没有详细了解。

江苏省常州高级中学是江苏省一所名校，学生的知识面、动脑能力、动手能力等各方面综合素质较高。

针对这一情况，教师所设置教学内容应具有一定的梯度性、关联性、灵活性及发散性。

教师应给予学生足够的展示平台和发挥空间，要处理好预设与生成的关系。

把握本质、紧扣主题，在达成目标的情况下适度外延，丰富知识内涵，体现数学的科学价值、人文价值及审美价值。

《等差数列的前n项和（1）》教学设计（一）教学内容等差数列的前n项和公式（1）（二）教材分析1. 教材来源《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列2. 地位与作用数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位.（三）学情分析1.认知基础：大部分学生具备了本节课所需要的计算能力.2.认知障碍：学生普遍无法完成从“高斯算法”到利用倒序相加法求一般等差数列的前n项和的思维转化。

（四）教学目标1. 知识目标：①探索并掌握等差数列的前n项和公式②理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.2.能力目标：使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，通过教学提高学生分析问题与转化问题的能力3.素养目标：通过学习等差数列前n项和公式的推导过程及性质，提升逻辑推理和数学运算素养（五）教学重难点：1. 重点：等差数列的前n项和的应用2.难点：等差数列前n项和公式的推导方法（六）教学思路与方法引导学生合作探究来完成“高斯算法”到“倒序相加法”的思维转变。

转化为同数求和是解决问题的思想。

通过数形结合，用倒置拼补，几何直观强化这种思想。

（七）课前准备多媒体献.高斯的算法：n倒序求和法S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a S n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1 2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a 所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+教学环节：小结思考布置作业小结教学环节：板书设计。

尊敬的各位老师，大家好:今天我说课的课题是《等差数列的前n项和公式》。

对于本节课，我将以教什么，怎么教，为什么这样教为思路，从教材分析、学情分析、教学目标及核心素养、教学重难点、教法学法、教学过程和板书设计七个方面展开我的说课。

“等差数列的前n项和公式”是人教版A版选择性必修第二册第四章第二节的内容，本节内容具有承上启下的作用，既是等差数列概念、通项公式与性质的延续，也为等比数列前n项和提供类比对象，由于数列是一类特殊函数，所以本单元的学习路径类比函数，即从概念公式的形成，到符号图形的表达，再到实际问题中应用。

经过前期的学习，学生已具有一定的自主探究能力，从特殊到一般的类比推理能力.在这之前学生已经学习了等差数列的定义、通项公式和性质等有关内容，为本节课打下了基础；但“倒序求和”的思想学生还是初次见到，要着重引导.[确定依据]根据以上对教材的分析和学情的把握，我确定了以下目标：1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法．2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．3.发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的核心素养。

[确定依据]基于以上分析我将本节课的教学重点确定为：等差数列前n项和公式及其应用.[解决方法]为了突出重点，我将类比梯形的面积公式帮助学生记忆公式，组织学生分组讨论两个公式的特点、适用情况，通过交流加深对公式的印象。

教学难点确定为：（2）等差数列前n项和公式的推导.[解决方法]为了突破难点，我先进行知识铺垫，再以“泰姬陵”为问题情境，引出高斯算法，同时借助几何图形的直观性，将“三角形”倒置，与原图补成平行四边形，引导学生得到“倒序求和”的思想方法，小组合作推导公式。

基于建构主义理论，本节课我将采用诱思导学探究法，即问题驱动--独立思考--合作探究--交流表达，同时合理利用信息技术，创设和谐，互动的课堂环境.学生以问题情景为驱动，观察、探究、反思、交流，从中获得知识、技能，提升核心素养.接下来我重点说教学过程，这是我的教学环节设计及时间分配：环节一:复习回顾（约4分钟）环节四:巩固新知（约16分钟）环节二:情景导入（约2分钟)环节五:课堂小结（约2分钟）环节三:合作探究（约20分钟）环节六:布置作业（约1分钟）(一)复习回顾首先我带领学生回顾等差数列的定义、通项公式和下标性质，为本节课的学习做一些知识上的准备．（二）情景导入泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

等差数列前n项和（第一课时）教学设计一、教学目标知识与技能目标：1.掌握等差数列前n项和公式及公式的推导思想.2.灵活运用等差数列前n项和公式解决一些简单的实际问题.过程与方法目标：1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法2.通过公式的运用体会方程思想。

情感态度、价值观：通过生动具体的现实问题，以及令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，产生热爱数学的情感。

教学重点：等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.教学难点：在等差数列的前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。

教学方法：本课采用“探究——发现”教学模式a教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导。

b学生的学法突出探究、发现与交流二、教学过程：1明确定义，确定任务2问题牵引，探究发现3公式的认识与理解4公式应用，讲练结合5归纳总结，分享收获 6 布置作业，延伸拓展环节一：明确定义确定任务（1）数列的前n项和的定义：对于一个数列{an},我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn =a1+a2+a3+……an如S1 =a1，S7 =a1+a2+a3+……+a7（2）本节课的任务：如何求等差数列{an} 的前n项和Sn？【设计意图】开门见山，通过设问引出本节课中心任务！环节二：创设情境引入问题世界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝，成为世界七大奇迹之一。

）传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层。

师：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题1: 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？学生：宝石数量：1+2+3+4+…+98+99+100=？【设计意图】一、激发学生兴趣；二、引导学生思考高斯方法的特点和本质师：同学们你知道吗？著名德国数学家小高斯200多年前也遇到这样的问题，不过当时他只有10岁，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，他却迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+ …+（50+51）=101×50=5050师：讨论：高斯的思路有什么特点？适合哪种类型？总结：特点：首尾配对本质：变不同数的求和为相同数的求和，变加法为乘法。

江苏省盐城市文峰中学高中数学 第二章 第4课时 等差数列的前n
项和（1）教案 苏教版必修5
教学目标：
掌握等差数列的前n 项和的公式及推导该公式的思想方法，并运用公式解决简单的问题 探索活动中培养学生观察，分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力 教学重点：
等差数列的前n 项和的公式及推导该公式的思想方法，并运用公式解决简单的问题 教学难点：
推导该公式的思想方法，并运用公式解决简单的问题
教学过程：
Ⅰ.问题情境
仓库堆放一堆钢管，最上面的一层由4根，下面每一层都比上一层多一根，最下面一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢？
Ⅱ.建构数学
等差数列的前n 项和的公式:
(1)
(2)
Ⅲ.数学应用
例1.在等差数列{}n a 中，
（1）已知,101,3501==a a 求50S . （2）已知,2
1,31=
=d a 求10S .
练习.在等差数列{}n a 中，
（1）已知,43,7101-==a a 求10S . （2）已知,24,895==a a 求n n S a ,.
例2.在等差数列{}n a 中，已知,215,23,21-===n n S a d 求1a 及n .
练习.在等差数列,3
2,21,31,61…中， （1）求前20项的和； （2）已知前n 项的和为
2155，求n 的值.
例3.在等差数列{}n a 中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为 910，求第21项到第30项的和。

练习.在等差数列{}n a 中，已知,392,100168==S S 试求24S
Ⅳ.课时小结
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业 书本P 44 2（2） 3（2） 5。

等差数列的前n 项和（1） 一．课题：等差数列的前n 项和（1）二．教学目标：1.理解用等差数列的性质推导等差数列的前n 项和的方法；2.掌握等差数列的前n 项和的两个公式，并能运用公式初步解决有关问题；3.理解蕴含在推导过程的数学思想、掌握相关的数学方法，提高逻辑推理能力。

三．教学重点：公式的推导、理解和记忆。

四．教学难点：公式的灵活运用。

五．教学过程：（一）导入新课：1．在等差数列{}n a 中若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+1121n n n r r a a a a a a --+⇒+=+==+ ．2．一堆钢管共7层，第一层钢管数为4，第七层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？方法：①数一数；②分组求和（插入高斯的故事）；③倒序相加法。

（二）新课讲解：1．等差数列的前n 和：（1）问题：在等差数列{}n a 中首项1a ，公差d ，求12n S a a =++……+n a ．12n S a a =++……+11()n a a a d =+++……+1(1)a n d +-1n n n S a a -=++……+1()n n a a a d =+-+……[](1)n a n d -- ∴ 12()n n S n a a =+，∴ 1()2n n n a a S +=， 又∵1(1)n a a n d =+-， ∴1(1)2n n n S na d -=+． （2）等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 说明：在等差数列前n 项和公式及通项公式中有1a ，n a ，n ，d ，n S 五个量，已知其中三个可以求出另外两个。

2．例题分析：p 116 课本的例1，例2，例3。

例4．（1）在等差数列{}n a 中，若69121534a a a a +++=，求20S （答案：20170S =）；（2）在等差数列{}n a 中，前10项和是前5项和的4倍，求1a ：d = 1:2 ；（3）在等差数列{}n a 中，10310S =，201220S =，求 n a （答案：62n a n =-）．六．课堂练习：课本P 118练习1，2．七．小结：1．能推导等差数列的前n 项和的两个公式；2．掌握等差数列的前n 项和的两个公式；3．会初步运用等差数列的前n 项和的两个公式。

等差数列的前n项和(一)教学重点等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用.教学难点灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题.教具准备多媒体课件等教学过程导入新课教师出示投影胶片1：印度泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)生只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.师对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？教师出示投影胶片2：高斯是伟大的数学家，高斯十岁时，就解答出了这个难题.师高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？我们一起来看一下，高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5050.师对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.师问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？生这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.师对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题.推进新课［合作探究］师我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?生这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.师高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?生有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是221)211(⨯+.师妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是：1+2+3+ (21)21+20+19+ (1)对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.现在我将求和问题一般化：(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2)如何求等差数列{a n}的前n项的和S n?生对于问题(2)，我这样来求：因为S n=a1+a2+a3+…+a n，S n=a n+a n-1+…+a2+a1，再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q，所以2)(1n n a a n S +=.(Ⅰ) 师 对于一般等差数列{an}，首项为a 1公差为d,如何推导它的前n 项和公式Sn 呢？ 生 ()12n n n a a S +=()11n a a n d =+-又 ()()111[1][21]22n n a a n d n a n d S ++-+-∴==()112n n n S na d -∴=+(Ⅱ) ［教师精讲］我们得到了等差数列前n 项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n 项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a 1，下底是第n 项a n ，高是项数n ,有利于我们的记忆. ［方法引导］师 如果已知等差数列的首项a 1，项数为n ，第n 项为a n ，则求这数列的前n 项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a 1，项数为n ，公差d ，则求这数列的前n 项和用公式(Ⅱ)来进行.［知识应用］【例1】 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛a n ｝的S n ：（1）a 1=5，a n =95，n=10 500（2）a 1=100，d=－2，n=50 2550师 上面这两个题目应该直接代公式就可求解，应当选用哪个公式求解？生 第1小问采用的是公式一求解，第2小问用公式二求解【例2】 计算：(1)1+3+5+…+(2n -1)；(2)1-2+3-4+5-6+…+(2n -1)-2n .请同学们先完成(1)～(2)，并请同学回答.生 (1)1+3+5+…+(2n -1)=2)11(-+n n =n 2； 师 第(2)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用S n 公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)生 (2)中的数列共有2n 项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式= [1+3+5+…+(2n -1)]-(2+4+6+…+2n )=n 2-n (n +1)=-n .生 上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n .师 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.【例3】 （课本第49页例1)分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些有用信息吗?生 由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为a 1，公差为50，记为d ，而从2022年到2022年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了. 师 这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式)课堂练习学生独立完成教师引导解题，并用课件展示详细步骤并校对答案课堂小结师 同学们，本节课我们学习了哪些数学内容?生 ①等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=, ②等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=. 师 通过等差数列的前n 项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法?生 ①通过等差数列的前n 项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.布置作业课本第52页习题 A 组第2、3题 等差数列的前n 项和(一)公式：2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=。

课题：6.2.3等差数列的前n 项和公式（1）教学目的：1．正确理解并掌握等差数列通项公式及前n 项和公式；2．培养学生的观察能力、归纳能力和解决问题的能力.教学重点：等差数列的前n 项和公式.教学难点：前n 项和公式的推导．授课类型：新授课.课时安排：1课时.教学设计：本节的主要内容是等差数列的前n 项和公式，等差数列应用举例.重点是等差数列的前n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导以及知识的简单实际应用．等差数列前n 项和公式的推导方法很重要，所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并学会应用.等差数列中的五个量1a 、d 、n 、n a 、n S 中，知道其中三个，可以求出其余两个，例1和例2是针对不同情况，分别介绍相应算法.教学过程：一、创设情境、兴趣导入：趣味数学问题数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天赋．据传说，老师在数学课上出了一道题目：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来！”对于这些十岁左右的孩子，这个题目是比较难的．但是高斯很快就得到了正确的答案，此时其他的学生正在忙碌地将数字一个个加起来，额头都流出了汗水．小高斯是怎样计算出来的呢?他观察这100个数1，2，3，4，5，…，96，97，98，99，100.并将它们分成50对，依次计算各对的和：1+100=101，2+99=101，3+98=101，4+97=101，5+96=101，……50+51=101.所以，前100个正整数的和为101⨯50=5050.二、动脑思考、探索新知：从小到大排列的前100个正整数，组成了首项为1，第100项为100，公差为1的等差数列．小高斯的计算表明，这个数列的前100项和为(1100)1002+⨯． 现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前n 项和．将等差数列{}n a 前n 项的和记作n S ．即12321n n n n S a a a a a a --=++++++ ． （1）也可以写作12321n n n n S a a a a a a --=++++++ ． （2）由于 n n a a a a +=+11，2111()()n n n a a a d a d a a -+=++-=+，3211(2)(2)n n n a a a d a d a a -+=++-=+，……（1）式与（2）式两边分别相加，得12()n n S n a a =+，由此得出等差数列{}n a 的前n 项和公式为（6.3）即等差数列的前n 项和等于首末两项之和与项数乘积的一半． 知道了等差数列{}n a 中的1a 、n 和n a ，利用公式（6.3）可以直接计算n S ． 将等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-代入公式（6.3），得（6.4）知道了等差数列{}n a 中的1a 、n 和d ，利用公式（6.4）可以直接计算n S ． 想一想在等差数列{}n a 中，知道了1a 、d 、n 、n a 、n S 五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？三、巩固知识、典型例题：例1 已知等差数列{}n a 中，18a =-，20106a =，求20S ． 解 由已知条件得2020(8106)9802S ⨯-+==．例2 等差数列-13，-9，-5，-1，3…的前多少项的和等于50？ 解 设数列的前n 项和是50，由于113a =-，3(1)4d =--=.故 (1)501342n n n -=-+⋅， 即 2215500n n --=.解得 10n = 或 52n =-（舍去）所以，该数列的前10项的和等于50． 想一想例2中为什么将负数舍去？四、运用知识、强化练习：（练习 6.2.3）1. 求等差数列1，4，7，10，…的前100项的和．2. 在等差数列{}n a 中，4a =6，269=a ，求20S .五、课堂小结：等差数列的前n 项和公式及其应用.六、课后作业：教材10 T P 练习6.2.3（1,2,3）. 七、板书设计：（略）八、课后记：。