北师大版数学九上学案2.6 第1课时 几何问题及数字问题与一元二次方程

2.6 应用一元二次方程第1课时 利用一元二次方程解决几何问题及数字问题一、学习目标：1、进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型；2、经历用一元二次方程解会用一元二次方程解决有关几何问题；3、通过对实际问题的决实际问题的过程，知道解应用题的一般步骤和关键所在。

学习重点：学会用列方程的方法解决有关形积问题学习难点：如何找出图形的面积、体积问题中的等量关系二、知识准备：情境创设：动手折一折：（1） 如何把一张长方形硬纸片折成 一个无盖的长方体纸盒？ （2）无盖长方体的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？问题1：如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm ，容积是500cm3的长方体容器，求这块铁皮的长和宽．引申：如上图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米，求截去正方形的边长。

三、学习内容：如图1，一张长40cm ，宽25cm 的长方形纸片，裁去角上四个小正方形之后。

折成如右图的无盖纸盒，若纸盒的底面积是450cm 2，那么纸盒的高是多少？图 1 25cm 40cm例2在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？四、知识梳理：1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？五、达标检测：1、围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2，求这个公园的长与宽.2、某人用长14m长的铁丝网，一方利用围墙，围成一个面积为24m2的矩形场地，求这个矩形的边长.3、建造一个池底为正方形、深度为2米的长方体无盖水池，池壁的造价为100元/平方米，池底的造价为200元/平方米，总造价为6400元，求正方形池底的边长。

4、在长为40米、宽为22米的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，道路的宽应为多少？。

2.6 应用一元二次方程第1课时 利用一元二次方程解决几何问题及数字问题一、学习目标：1、进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型；2、经历用一元二次方程解会用一元二次方程解决有关几何问题；3、通过对实际问题的决实际问题的过程，知道解应用题的一般步骤和关键所在。

学习重点：学会用列方程的方法解决有关形积问题学习难点：如何找出图形的面积、体积问题中的等量关系二、知识准备：情境创设：动手折一折：（1） 如何把一张长方形硬纸片折成 一个无盖的长方体纸盒？ （2）无盖长方体的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？问题1：如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm ，容积是500cm3的长方体容器，求这块铁皮的长和宽．引申：如上图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米，求截去正方形的边长。

三、学习内容：如图1，一张长40cm ，宽25cm 的长方形纸片，裁去角上四个小正方形之后。

折成如右图的无盖纸盒，若纸盒的底面积是450cm 2，那么纸盒的高是多少？图 1 25cm 40cm例2在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？四、知识梳理：1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？五、达标检测：1、围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2，求这个公园的长与宽.2、某人用长14m长的铁丝网，一方利用围墙，围成一个面积为24m2的矩形场地，求这个矩形的边长.3、建造一个池底为正方形、深度为2米的长方体无盖水池，池壁的造价为100元/平方米，池底的造价为200元/平方米，总造价为6400元，求正方形池底的边长。

4、在长为40米、宽为22米的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，道路的宽应为多少？。

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九年级
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．会用列一元二次方程的方法解有关实际问题的应用题。

通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力。

．依据实际问题，能对方程的解做出合理取舍。

米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

数学思维可以让他们
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2.6 应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题及数字问题教学目标1．会用列一元二次方程的方法解有关实际问题的应用题。

2. 通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力。

3．依据实际问题，能对方程的解做出合理取舍。

重点列一元二次方程解应用题。

难点分析题意，找等量关系。

学法指导及使用说明：用10分钟的时间，结合课本完成一部分，用25分钟完成二部分。

一、回忆巩固，情境导入：提出问题：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？①在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？②如果梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？分组讨论：①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？②涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少。

二、做一做，探索新知：见课本P52页例1：如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。

小岛F位于BC中点。

一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物备注（教师复备栏）品送达军舰。

已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C的途中与备注（教师复备补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）栏）列方程解应用问题的步骤？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。

②注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验巩固练习：1、一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角的面积是多少？2.P53习题2.9 2五、我的收获：利用方程解决实际问题的关键是什么？六、课后作业：。

2.6 应用一元二次方程第1课时几何问题及数字问题与一元二次方程学习目标:1．经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。

2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

重点:掌握运用方程解决实际问题的方法。

难点:构建数学模型解决实际问题。

【预习案】1．一个三位数，百位上是a，十位上是b，个位上是c，则这个三位数是（）．A．abc B．a+b+c C．100a+10b+c D．cba2．一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，•把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．设原来这个两位数的个位数字为x，则十位字为：。

；则列方程得：。

3.用22cm长的铁丝，折成一个面积为32cm2的矩形。

求这个矩形的长与宽。

设这个矩形的长为xcm，则宽为。

根据题意得方程：。

4.如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？若设每条道路的宽度为xm，可列方【探究案】一、创设情境导入新课问题导入：1、填空：56=5×+ ；246=2×+4×+ ；2、若一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为：。

思考：1、你用哪种方法解方程？为什么？2、与同学简单交流列方程解应用问题的步骤。

二、请同学们先独立学习P52页例1的解答过程，然后以小组为单位共同讨论并回答以下问题：问题：1、解决本题用到了哪些知识？2、解决本题的关键是什么？3、通过自主学习、合作探究两个应用题的学习，请将列方程解决实际问题的步骤写出来。

例1：如图,某海军基地位于A 处,在其正南方向200 海里处有一个重要目标B ,在B 的正东方向200海里处有重要目标C ,小岛D 位于AC 的中点,岛上有一补给码头,小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向,一艘军舰从A 出发,经B 到C 匀速巡航,一艘补给船同时从D 出发,沿南偏西方向匀速航行,欲将一批物品送达军舰。

2.6应用一元二次方程第1课时 几何问题及数字问题与一元二次方程教学目标1．掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；(重点、难点)2．理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、分析问题，并能运用所学的知识解决问题．课前准备课件等.教学过程一、情景导入要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?二、合作探究探究点一：利用一元二次方程解决几何问题【类型一】 面积问题要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化．设计方案如图所示，矩形P ，Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P ，Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P ，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽．解：设P ，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽为x 米．根据题意，得(60－3x )·(40－2x )＝60×40×14， 解得x 1＝10，x 2＝30.检验：如果硬化路面宽为30米，则2×30＝60＞40，所以x 2＝30不符合题意，舍去，故x ＝10.故P ，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽为10米．易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义．在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD 是一块长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x ＝30不符合题意．【类型二】 动点问题如图所示，A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AB ＝16cm ，AD ＝6cm ，P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 运动，一直到达B 为止，点Q 以2cm/s 的速度向D 移动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．(1)P ，Q 两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2?(2)P ，Q 两点从出发开始几秒时，点P 和点Q 的距离第一次是10cm?解：(1)设P ，Q 两点从出发开始x s 时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2，根据题意得PB ＝AB －AP ＝(16－3x )cm ，CQ ＝2x cm. 故12(2x ＋16－3x )×6＝33，解得x ＝5. 故P ，Q 两点从出发开始5s 时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2；(2)设P ，Q 两点从出发开始x s 时，点P 和点Q 的距离是10cm.如图，过Q 点作QM ⊥AB 于点M ，则BM ＝CQ ＝2x cm ，故PM ＝(16－5x )cm.在Rt △PMQ 中，PM 2＋MQ 2＝PQ 2，∴(16－5x )2＋62＝102.解得x 1＝85，x 2＝245. ∵所求的是第一次满足条件的时间，∴x ＝85. 故P ，Q 两点从出发开始85s 时，点P 和点Q 的距离第一次是10cm. 方法总结：解决动态几何问题的关键是寻找点运动的过程中变化的量与不变的量，寻找等量关系列方程．对于动点问题，常先假设出点的位置，根据面积或其他关系列出方程，如果方程的根符合题目的要求，就说明假设成立，否则，假设不成立．探究点二：利用一元二次方程解决数字问题有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数．解析：这是一个数字排列的问题，题中有两个等量关系，由前一个等量关系知，个位数字与十位数字均可用同一个未知数表示，这样交换位置后的新两位数也可以用上述未知数表示出来，然后根据后一个等量关系可列方程求解．解：设个位数字为x ，则十位数字为14－x ，两数字之积为x (14－x )，两个数字交换位置后的新两位数为10x ＋(14－x )．根据题意，得10x ＋(14－x )－x (14－x )＝38.整理，得x 2－5x －24＝0，解得x 1＝8，x 2＝－3.因为个位数上的数字不可能是负数，所以x ＝－3应舍去．当x ＝8时，14－x ＝6. 所以这个两位数是68.方法总结：(1)数字排列问题常采用间接设未知数的方法求解．(2)注意数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个，且最高位上的数字不能为0，而其他如分数、负数根不符合实际意义，必须舍去．三、板书设计几何问题及数字问题⎩⎨⎧几何问题⎩⎪⎨⎪⎧面积问题动点问题数字问题四、教学反思 经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型解决问题的过程，认识方程模型的重要性.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.经历探索过程，培养合作学习的意识.体会数学与实际生活的联系，进一步感知方程的应用价值.初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形21平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形22平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形23平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形24矩形性质定理1矩形的四个角都是直角25矩形性质定理2矩形的对角线相等26矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形27矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形28菱形性质定理1菱形的四条边都相等29菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形32菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形33正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等34正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35定理1关于中心对称的两个图形是全等的36定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。

2.6 应用一元二次方程第1课时 几何问题及数字问题与一元二次方程教学目标：１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。

教学过程： 一、情境问题问题1、一根长22cm 的铁丝。

（1）能否围成面积是30cm 2的矩形？（2）能否围成面积是32 cm 2的矩形？并说明理由。

分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm ，那么矩形的宽是__________。

根据相等关系：矩形的长×矩形的宽=矩形的面积， 可以列出方程求解。

解：问题2、如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=3cm 。

点P 沿边AB 从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动。

如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t ≤3）。

那么，当t 为何值时，△QAP 的面积等于2cm 2? 解：PQBCAD问题3．（教材例题）如图，某海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，•在B 的正东方向200海里处有一重要目标C ，小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头：•小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航，一般补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． （1）小岛D 和小岛F 相距多少海里?（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，•那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）B AC E DF 分析：（1）因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形，△DFC 也是等腰直角三角形，AC 可求，CD 就可求，因此由勾股定理便可求DF 的长．（2）要求补给船航行的距离就是求DE 的长度，DF 已求，因此，只要在Rt △DEF 中，由勾股定理即可求． 解：（1）连结DF ，则DF ⊥BC ∵AB ⊥BC ，AB=BC=200海里． ∴海里，∠C=45° ∴CD=12DF=CFDF=CD∴×=100（海里） 所以，小岛D 和小岛F 相距100海里．（2）设相遇时补给船航行了x 海里，那么DE=x 海里，AB+BE=2x 海里， EF=AB+BC-（AB+BE ）-CF=（300-2x ）海里 在Rt △DEF 中，根据勾股定理可得方程 x 2=1002+（300-2x ）2整理，得3x 2-1200x+100000=0 解这个方程，得：x 1=200-3118.4 x 2所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．二、练一练1、用长为100 cm 的金属丝制作一个矩形框子。

2.6 应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题及数字问题1. 在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=02．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，•则这个两位数为（）．A．25 B．36 C．25或36 D．-25或-363．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm B．64cm C．8cm2D．64cm24. 两个正方形面积的和为106，周长的差为16，则其中较大的正方形的边长是．5．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．6. 要用一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.若梯子的顶端下滑1m，如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是米.7.有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）8.某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？9、一个两位数等于它的个位数字与十位数字的乘积的3倍，并且十位上的数字比个位数小2，求这个两位数。

10、一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数与十位数的和，已知这个三位数比个位数字平方的5倍大12，求这个三位数。