二阶统计量盲辨识在模态参数识别中的应用

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多元统计分析的模态参数辨识方法比较及应用

多元统计分析的模态参数辨识方法比较及应用官威;董龙雷【期刊名称】《噪声与振动控制》【年(卷),期】2018(038)0z1【摘要】工作模态参数辨识是实现飞行器结构精细化设计和安全评估的关键基础问题.基于结构响应数据,利用盲源分离和流形学习的方法进行系统模态参数辨识,建立基于多元统计分析的工作模态参数辨识方法.首先,从主成分分析(PCA)、独立成分分析(ICA)和局部线性嵌入(LLE)算法出发,建立响应模态坐标表示与多元统计分析算法之间的内在联系,将模态参数辨识问题转化为基于结构响应数据的多元统计分析求解问题.然后,设计1个离散3自由度系统和搭建1个悬臂板典型实验结构系统,获取数值仿真和实验响应数据.最后,基于测量的响应数据,利用多元统计分析方法辨识系统参数,并分析比较3种不同方法的模态参数识别精度以及抗噪性能.数值仿真和实验结果表明,提出的多元统计分析方法能够有效识别出系统的模态振型和模态频率,且LLE算法较其他两种方法具有更高的识别精度和鲁棒性.【总页数】6页(P366-371)【作者】官威;董龙雷【作者单位】西安交通大学航天航空学院,西安 710049;西安交通大学机械结构强度与振动国家重点实验室,西安 710049;西安交通大学航天航空学院,西安 710049;西安交通大学机械结构强度与振动国家重点实验室,西安 710049【正文语种】中文【中图分类】TH113.1;V214【相关文献】1.频域子空间模态参数辨识方法的改进及应用 [J], 张爱香;周自斌;赵国辉2.一种高阶累积量的模态参数辨识方法改进及其应用 [J], 李永军;马立元;王天辉;段永刚3.几种模态参数盲辨识方法的比较研究 [J], 樊江玲;张志谊;华宏星4.一种基于模态参数实时辨识方法的参数时变航天器控制方法 [J], 贾贵鹏;赵欣;赵育善;师鹏5.有限元-模态实验混合模型的薄壁件模态参数辨识方法 [J], 陈霁恒;谭经松;刘星因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

基于NT降阶算法的区间二型模糊系统辨识

基于NT降阶算法的区间二型模糊系统辨识王哲【摘要】Due to the defects in description system uncertainty of the traditional T-S fuzzy description system, type-2 T-S fuzzy system has received extensive attention. In according with the low efficiency of common type reduction algorithm for interval two type fuzzy set, the NT type reduction algorithm was used for interval type-2 fuzzy system identification. The NT type reduction algorithm avoid the complexity iterative search operation, directly using the upper and lower bounds of first membership function, and then directly get the results of the fuzzy system. The simulations result shows that NT type reduction algorithm can improve identification efficiently without reduce identification accuracy.%由于传统T-S模糊描述系统不确定性方面的缺陷,二型T-S模糊系统得到了广泛关注.针对常见区间二型模糊集合的降阶算法存在的效率低下的问题,本文利用NT降阶算法进行区间二型模糊系统的辨识.NT降阶算法避免了复杂的迭代搜索操作,直接利用首隶属度函数的上、下限进行降阶运算,然后直接得到解模糊化结果.仿真实例表明,利用NT降阶算法能够在不降低辨识精度的情况下,提高辨识效率.【期刊名称】《仪器仪表用户》【年(卷),期】2018(025)006【总页数】4页(P17-20)【关键词】区间二型模糊集合;降阶;T-S模糊系统;模糊辨识;NT降阶算法【作者】王哲【作者单位】天津现代职业技术学院,天津 300350【正文语种】中文【中图分类】TP273+.40 引言近些年，T-S模糊模型在非线性系统辨识方面取得了很好的效果。

非线性系统参数识别及其应用研究

非线性系统参数识别及其应用研究
非线性系统是指其输出与输入不成比例的系统，这类系统广泛存在于各个领域中，如电力、机械、工业自动化等。

非线性系统的复杂性给系统参数识别带来了挑战。

因此，非线性系统参数识别一直是研究者们关注的问题之一。

非线性系统参数识别的目的是根据给定的数据序列，得到系统的参数估计值。

目前，常用的非线性系统参数识别方法包括最小二乘法、遗传算法等。

其中最小二乘法是一种广泛应用的参数估计方法，可以有效地解决非线性系统参数识别问题。

最小二乘法是基于误差平方和最小化的思想，通过求解目标函数的极值，得到系统参数估计值。

然而，最小二乘法在应用中存在一些问题，例如无法应对系统输出噪声、难以处理周期性信号等。

为了解决这些问题，近年来出现了一系列改进的非线性系统参数识别方法，如粒子群算法、RNA与ANN网络及其混合模型等。

这些方法在准确性与鲁棒性方面均有所提升，并逐渐得到广泛应用。

以机械领域为例，非线性系统参数识别的应用也广泛。

例如，通过参数识别，可以得到机械臂的动力学模型，从而实现精确控制。

另外，在机械设备维护领域，参数识别也可以通过监测信号变化，及时判断设备的健康状况，并进行相应的维护与修复。

总之，非线性系统参数识别是一个重要的研究方向，它有着广泛的应用前景。

随着相关算法的发展和改进，非线性系统参数识别的准确度和鲁棒性将会进一步提高，为各个领域的应用提供更好的技术支持。

改进型盲源分离在结构模态识别中的应用

北京，１００１６１）
摘要
提出一种基于量子遗传算法的二阶盲源分离识别结构模态参数的新方法，首先，对测量信号进行Ｈｉｌｂｅｒｔ变
换构建分析信号；然后，采用量子遗传算法求解最优时延，利用最优时延的二阶协方差矩阵同时对角化进行信号分
考虑简单的线性瞬态混合模型，其生成模型为
（）一Ａｓ（￡）（１）
传算法的自身局限性限制了时延优化选择的执行能
力。量子遗传算法（ｑｕａｎｔｕｍｇｅｎｅｔｉｃａｌｇｏｒｉｔｈｍ，简称ＱＧＡ）将量子理论和遗传算法相结合，在全局
第３３卷第４期
２０１３年８月
振动、测试与诊断
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎ。Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ＆Ｄｉａｇｎｏｓｉｓ
Ｖｏ１．３３Ｎｏ．４
Ａｕｇ．２０１３
改进型盲源分离在结构模态识别中的应用
曹军宏，韦灼彬，刘树勇。
（１．海军工程大学后勤指挥与工程系天津，３００４５０）（２．海军装备研究院舰船所
（３．海军工程大学动力工程学院武汉，４３００３３）
号时间结构的基于二阶统计量的盲源分离方法的稳
ｔｉｏｎ，简称ＡＭＵＳＥ）应用于模态识别，悬臂梁数值

离散模型的参数估计及阶次辨识

北京工商大学《系统建模与辨识》课程上机实验报告（）专业名称：上机题目：离散模型的参数估计及阶次辨识专业班级：学生姓名：学号：指导教师：年月目录目录 (2)第一章实验目的 (3)第二章实验内容 (4)第三章基本最小二乘法 (6)3.1基本最小二乘法原理 (6)3.2基本最小二乘法实验结果 (7)3.3源程序代码 (12)第四章递推广义最小二乘法 (15)4.1递推广义最小二乘法原理 (15)4.2递推广义最小二乘法实验结果 (16)4.3源程序代码 (19)第五章遗忘因子递推最小二乘算法 (21)5.1遗忘因子递推最小二乘算法原理 (21)5.2遗忘因子递推最小二乘算法实验结果 (21)5.3源程序代码 (25)第六章递推随机逼近算法 (29)6.1递推随机逼近算法原理 (29)6.2递推随机逼近算法实验结果 (30)6.3源程序代码 (34)第七章AIC模型定阶 (37)7.1 AIC模型定阶原理 (37)7.2 AIC模型定阶实验结果 (37)7.3源程序代码 (37)第八章实验总结 (41)参考文献 (41)通过实验掌握几种常用的模型参数估计算法和阶次辨识理论，具体的模型参数估计方法包括基本最小二乘法、递推广义最小二乘法（RELS）、衰减因子的递推最小二乘法和递推随机逼近算法，并在实验的基础上总结体会不同辨识方法的适用范围和优缺点。

《过程辨识》书P538实验2 离散模型的参数估计及阶次辨识，选择模拟的是第一个过程，采用基本最小二乘法、递推广义最小二乘法（RELS ）、遗忘因子递推最小二乘法和递推随机逼近算法对被辨识系统进行参数估计，采用AIC 进行模型定阶。

1. 系统模拟图如图1所示图 1 系统模拟图其中()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=----------1.705.115.0.705.111211211211z D z z z C zz z B z z z A (1-1)输入信号()u k 采用幅值为1的M 序列，其特征多项式由实验者根据具体需要确定；()v k 是均值为零，方差为2v σ服从正态分布的不相关噪声，方差2v σ的大小由信噪比η确定。

模态分析的相关介绍

工程数据管理(EDM)是实现对晶钻仪器公司所有硬件的实时数据管理和处理的PC软件。

它的结构清晰，界面友好，功能丰富，操作简单方便。

EDM模态分析一个完整的包括模态测试和分析的实验模态分析(Experimental Modal Analysis (EMA))流程。

基于当代流行的模态分析理论和技术开发，操作流程直观且简单，它是实现模态分析实验得力的工具。

支持用户实现数百个测量点和多个激励点的高度复杂的模态分析，无论模态测试是多么复杂，EDM模态软件都提供准确的工具来实现您的目标。

为了成功获得测试数据，实验之前需要在测试模型上规划出所有测点的自由度（DOFs）。

几何编辑器提供多种坐标系统，使用组件功能，可以简单地把各个子组件合并对一个几何模型。

在输入通道设置界面，设置所有通道对应的测点和它们的坐标方向。

测试开始后，所有的测试测点都会被测量，并以包含激励和响应自由度的信号名称保存。

模态参数识别是模态分析的核心，EDM模态分析为其提供了多种拟合方法。

最小二乘复指数法(The Least-Squares Complex Exponential (LSCE))用于获取单参考点频响函数(FRF)的极点(包括频率和阻尼)。

而多参考点(多输入/多输出或者MIMO)测试，则使用相应的多参考时域分析法(Poly-Reference Time Domain，PTD)。

动画模块是为了动态展示模态振型的模块，允许用户通过3D动画显示模态振型到几何模型。

通过不同颜色标识动画的振动幅度。

自由变形(FFT)提供增强模式的动画，比点动画更平滑更逼真。

使用同一个几何模型，工作变形分析(ODS)可动画显示所选择的时域和频域响应数据到几何模态。

EDM模态支持的应用如下：●几何模型的创建/编辑/导入/导出/动画●工作变形分析(ODS)●锤击法模态实验●单个或多个模态激振器模态试验●单参考点模态分析●多参考点模态分析●导出测试报表到Word几何模型编辑（Geometry）EDM模态几何模型编辑/ODS/动画三个模块是EDM模态分析软件的基础模块，包含在每个EDM模态系统。

【国家自然科学基金】_盲源信号分离_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801

科研热词盲源分离独立分量分析故障诊断非平稳信号盲信源分离振动与波高阶累积量频谱分析频域非负矩阵分解非线性盲源提取非线性盲源分离非平稳雅克比方法阈值函数重盲源分离近似联合块对角化跳频信号贝叶斯推论语音信号处理船舶航空发动机联合对角化线性聚类第二代小波稀疏成分分析相合束广义特征分解相关系数分析盲解卷积盲源信号分离盲信号处理盖尔圆理论白化滚动轴承源数估计测向波束形成水下航行器歌曲数据库次序不确定性最小输出能量最大比合并时频比时频分析时频分布时差估计旨源分离旋转机械排列模糊振源投影梯度算法小波多分辨率分析
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年科研热词盲源分离独立分量分析飞机脑电信号独立成分分析梯度算法循环累积量信息处理雅可比旋转跳频信号超定负熵贝叶斯推论舱音舱青稀疏表示稀疏分量分析矩阵联合对角化盲信号分离独立变量分析熵估计涡扇发动机波恩-约旦分布欠定盲源分离欠定盲分离欠定混合模糊聚类机械振源最大信噪比故障诊断振动信号处理振动信号循环平稳信号广义hough变换局域均值分解小波重构小波变换小波分解参考源信号压缩感知半盲分离信源估计信号源噪声交流电机调速系统互相关系数主成分分析 fast ica 推荐指数 12 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

【江苏省自然科学基金】_二阶_期刊发文热词逐年推荐_20140816

科研热词隐写统计二阶保持信息隐藏非结构网格非协调元问断系数路径跟踪菠菜色散提取膨胀波发射机理膛口耦合立体匹配稠密视差图硝酸盐含量盲信道估计瑞利衰落渐近紧性流场正交空时码格子动力系统时滞无损扭转不动点定理弹性振动弹丸多智能体编队图论周期解的存在性可见近红外反射光谱参数优化协同控制医用光学与生物技术区域分解匹配项加性schwarz方法内弹道方程内弹道全局吸引子入射角光学相干层析成像偏最小二乘法偏微分方程信道模型保真项二阶色散 h-ritz模态法 ofdm mimo
推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
2010年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
科研热词隐写统计二阶保持信息隐藏马尔可夫链预测误差域非最小相位非单调技术绝缘层上硅线搜索目标函数界面变形热毛细对流漂移区电阻正解横向变掺杂横向变厚度模糊散度矩阵模型降阶格林函数最佳聚类数目最优化方法无监督聚类数值模拟搜索技术奇异大规模四点边值问题变号双层流体动态补偿击穿电压信赖域算法信赖域方法信赖域子问题二阶时滞对象二阶差分二阶 pade近似 markov链 level set方法 imc-pid

ICA在模态参数识别和故障诊断中的应用

ICA在模态参数识别和故障诊断中的应用李宁;许松【摘要】模态参数识别是故障诊断中的常用手段之一.通过独立分量分析(ICA)技术将结构的自由振动响应信号分解为若干个解耦的单自由度信号,进而结合Hilbert 变换识别模态参数.通过数值仿真分析了不同ICA算法在不同工况下识别结构模态参数的可行性,并将识别精度较高的二阶盲辨识(SOBI)方法应用于悬臂梁裂纹故障实验.实验结果表明,裂纹故障产生时结构的各阶固有频率都存在不同程度的降低,且高阶固有频率降低的尤为明显,为机械设备故障诊断提供了有力的参考依据.%Modal parameter identification is one of the commonly means in fault diagnosis. The free vibration response signal of structure is decomposed into a number of single degree of freedom decoupling signal by the ICA technology, and then through the Hilbert transform to identify modal parameters. The feasibility of different ICA algorithm to identify the structural modal parameters under different condition was analyzed through numerical simulation, and the SOBI of high identification precison was applied to cantilever beam crack fault experiment. The results show that natural frequency of the structure have different degrees of reduction especially the high order natural frequency when the crack fault occurs, it provides a powerful reference for fault diagnosis of mechanical equipment.【期刊名称】《机械设计与制造》【年(卷),期】2017(000)010【总页数】4页(P8-11)【关键词】独立分量分析;模态参数识别;SOBI;悬臂梁实验;故障诊断【作者】李宁;许松【作者单位】武汉科技大学机械自动化学院,湖北武汉 430081;武汉科技大学机械自动化学院,湖北武汉 430081【正文语种】中文【中图分类】TH16模态参数（固有频率、阻尼比、模态振型等）反映了结构的动力学特性，准备识别结构的模态参数对机械设备的状态监测和故障诊断具有重要意义[1]。

利用ARMAX模型识别结构模态参数

振动与冲击第 19 卷第 1 期 JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK Vol . 19 No . 1 2000
利用 ARMAX 模型识别结构模态参数
赵永辉邹经湘
( 哈尔滨工业大学航天工程与力学系)
摘要由振动系统的运动方程建立了描述系统输入、输出和噪声特性的外源自回归滑动平均( AR MAX) 模型。采
°
这里 wi( k )为零均值白噪声序列 C° B)= 1 i( + c° 1 , iB +…
l + c° li , iB i
这样( 9) 式就表示一个 ARMAX ( n i , m il , …m ip , l i)模型。其中 B° B) / A° B)描述了系统动力特性 , ij( i( Ci ( B) / A i( B)描述了噪声动特性。不失一般性 , 本文考虑单入单出过程 , 其方法很容易扩展到多入单出过程。这样( 9)式写为 : A( B) y( k )= B ( B) u( k )+ C ( B) w( k)
n n1 λ +a 1 λ + … + a n =0
+4 cos
1
后 , 将( 12 a ) 式变为 ARX 模型 :
( 23)
36 振动与冲击 2000 年第 19 卷
4 数值仿真
[45]
多项式 B° B) 和 A° B )可写为 : ij( i(
° B° B )= b° ij( 1 , ijB + … + bmij , ijB mij n
i
( 4) ( 5)
° A° B )= 1 +a° i( 1 , iB + … +a ni , iB

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最简单的批处理算法，它要求时滞协方差矩阵 Rx ( p1)、Rx ( p2 ) 中至少一个是正定的，然而对于任意的时滞，正定性是没有绝对保证的。此外，该算
法仅利用了观测数据的两个不同非零时滞下的协方差矩阵，若 Rs ( p) 的各特征值较为接近，算法性能将会下降。为避免这些缺点，应使用一组数目较
盲源分离技术从结构的响应输出中分离得到振型矩阵和各阶的模态响应，再应用时域或频域的单模态识别方法从各阶模态响应中识别模态频率和模
———————————————
收稿日期：2010-02-02；修改日期：2010-05-13 基金项目：国家自然科学基金项目(50878021)；国家十一五科技支撑计划项目(2006BAJ04A02-5) 作者简介：姚谦峰(1956―2010)，男，陕西人，教授，博士，博导，院长，从事新结构体系、抗震、古建筑等研究；
(Algorithm for Multiple Unknown Signals Extraction) 算法[8]，时滞的选择在一定程度上影响识别的精度和稳健性，特别在被测数据被噪声污染的情况下，这种影响显得更为突出。本文发展了 AMUSE 算法，通过 Hilbert 变换增加虚拟测点，求解不同时滞下数据协方差联合矩阵的特征值问题，变两步法为直接的一步法，实现对结构模态参数的识别。数据协方差联合矩阵的引入，大大增强算法的稳定性，降低了时滞的选择给算法带来的影响。
APPLICATION OF SECOND-ORDER STATISTICS BLIND IDENTIFICATION ON IDENTIFYING MODAL PARAMETERS
YAO Qian-feng, *ZHANG Xiao-dan
(School of Civil Engineering and Architecture, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)
空间有色但是时间的白噪声。即：
E{v(t)vT (t − p)} = δ p0Rv ( p)
(2)
其中：δ p0 为 Kronecker 符号；Rv 是任意 n × n 矩阵。
1.3 AMUSE 算法考虑上述假设，被测信号 x(t) 的协方差矩阵及
对于某非零时滞 p 的协方差矩阵应满足：
Rx (0) = E{x(t) xT (t)} = HRs (0)H T + Rv (0) (3) Rx ( p) = E{x(t) xT (t + p)} = HRs ( p)H T (4) 下标 x、s、v 分别代表观测信号源信号和加性噪声。由假设(2)可知， Rs ( p1)、Rs ( p2 ) 为具有不同非零元
摘要：快速、准确地识别出结构的模态参数，是结构损伤精确识别与健康监测的重要前提。该文提出一种结构模态参数识别的新方法。该方法以盲源分离理论中基于二阶统计量的 AMUSE 算法为基础，以振动系统的自由响应或脉冲响应为分析对象，通过对数据进行 Hilbert 变换增加虚拟测点，以不同时滞下数据协方差矩阵构建联合矩阵，通过求解时滞联合矩阵的特征值问题实现对结构模态参数的识别。联合矩阵的引入克服了 AMUSE 算法仅采用两个时滞协方差矩阵所带来的不稳定性。数值算例结果表明，该文提出的方法计算简单，识别精度高，不受时滞选择的限制，对测量白噪声不敏感，具有很好的鲁棒性。关键词：模态参数识别；盲辨识；二阶统计量；AMUSE 算法；鲁棒性中图分类号：O235; TN911.7 文献标志码：A
第 28 卷第 10 期 Vol.28 No.10
工程力学
2011 年 10 月 Oct. 2011
ENGINEERING MECHANICS
72
文章编号：1000-4750(2011)10-0072-06
二阶统计量盲辨识在模态参数识别中的应用
姚谦峰，*张晓丹
(北京交通大学土木工程建筑学院，北京 100044)
Abstract: It is important to identify structural modal parameters in time and accurately for accurate damage identification and health monitoring of structures. A new method of identifying the structural modal parameters is developed in this paper. This method is based on the AMUSE algorithm in blind source separation theory. It considers the free responses or pulse responses of an oscillatory system as the analysis object and increased virtual measured points by using Hilbert transformation to the data. This method uses a variance covariance matrix with different time lags to build joint matrices. It realizes identifying the structural modal parameters by solving the eigen value of joint matrices with different time lags. Introducing the joint matrices conquers the instability coming from the AMUSE algorithm, which only uses two covariance matrices. A set of applications have been performed. The numerical results show that the method developed in this paper has the following advantages: the calculation is simple; the identification has high accuracy, not limited by the choice of time lags, not sensitive to measure white noise and having good robustness. Key words: modal parameters identification; blind identification; second-order statistics; AMUSE algorithm;
只有观测信号的信息可以利用，若无任何前提假
设，盲源分离问题就会多解，所以需要对源信号和
混合矩阵做一些基本的假设和约束条件。
1) 混合矩阵 H 列满秩。
2) 源空间空域不相关，具有不同的自相关函数。
3) 源信号是平稳信号或是方差时变意义上的
二阶非平稳信号。 4) 加性噪声{vi (t)}独立于源信号。它们可以是
robustness
盲信号处理(BSP)是目前信号处理中最热门的新兴技术之一。盲源分离是指从被测的混合信号中
源分离应用于模态参数识别已取得一定的成果[4―7]。在这些研究中，对于模态参数的识别都是直接应用
分离得到其独立的组成分量(源信号)，是盲信号处理重要的组成部分和主要的研究课题。近年来，盲源分离技术在许多领域得到了长足发展[1―3]。将盲
*张晓丹(1980―)，男，辽宁人，博士生，从事工程结构系统识别及健康监测等研究(E-mail: 7dan@).
工程力学
73
态阻尼比。这种两步法识别结构的模态参数带来两个问题：第一：盲源分离算法只起到信号分离的作用，系统频率与阻尼的识别在精度和抗噪性上依赖于单模态识别方法；第二：盲源分离中的 AMUSE
(10)
其中： ωdi 为有阻尼频率；θi 为相位角；对于自由
响应；ai (t) 为指数衰减函数 exp(−ξiωnit) ；ξi、ωni 分
别为阻尼比与固有频率。当系统各阶固有频率(或有
阻尼频率)相互不可通约时，各阶正规坐标彼此近似
不相关[6]，此时即满足盲源分离对于源信号的假设
条件，对比式(1)，可以得到：
源分离技术解决模态参数识别问题。
简单起见，考虑 m = n 的情况，将式 (12)或
式(13)代入式(5)或式(6)，求解特征值问题，根据
式(8)与式(11)，得到：Φ =V −T(14)
这里Φ 为未正规化的复模态振型矩阵。
将式(13)中的正规坐标矩阵 q 表示成指数函数
的形式为：
其中： X0、q0 为 m 个测点、L 个离散采样时间点组
成的 m × L 阶测试数据矩阵及其正规坐标；X90、q90
为 X0、q0 相位移动 90o 后的数据矩阵。
将式(12)表示成：
X =Φq
(13)
其中： q 由 2m 个互不相关的正规坐标组成，满足
盲源分离对于源信号的假设要求，因此可以应用盲
(6)
其中：
Λ = Rs−1( p1)Rs ( p2 )
(7)
当式(7)中的特征值非零且各不相同时，混合矩阵
H 由式(5)或式(6)确定为：
H = (V T )−1
(8)
将式(8)代入式(1)便可将源信号 s(t) 从观测得到的
混合信号 x(t) 中分离出来。
上述算法称为多个未知信号抽取的算法
AMUSE[8]。该算法是时序结构的盲辨识和盲源分离
量，且假定它独立于源矢量。简单考虑，本文假定