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机械结构的模态特性分析与优化引言：机械结构是指由零部件组成的具有一定功能，能够进行力学工作的系统。
在机械结构设计中，模态特性的分析和优化是非常重要的一环。
本文将从模态分析的基本原理开始介绍，然后探讨模态优化的方法和工具，最后结合实例，阐述模态特性分析与优化在机械结构设计中的应用。
一、模态分析的原理和方法1.模态特性的定义模态特性是指结构在自由振动过程中的固有频率、振型和阻尼比等参数。
了解结构的模态特性对于预测结构的动力响应、减振设计和流固耦合等问题具有重要意义。
2.模态分析的基本原理模态分析的基本原理是通过求解结构的自由振动方程和固有值问题，得到结构的固有频率和振型。
常用的方法有有限元法、模态实验法和解析法等。
3.模态分析的方法有限元法是目前最常用的模态分析方法。
通过将结构离散化为单元，建立起包含了结构多自由度的系统方程，然后利用求解该方程得到结构的固有频率和振型。
二、模态优化的方法和工具1.模态优化的概念模态优化是指通过优化设计参数，使结构的某一或多个模态特性达到设计要求或最优化。
2.模态优化的目标模态优化的目标通常包括增加结构的固有频率、改进结构的振型和降低结构的振动响应等。
通过优化设计参数，可以显著改善结构的模态特性，提高结构的工作性能。
3.模态优化的方法基于有限元模型的优化方法是一种常用的模态优化方法。
通过建立结构的有限元模型，将优化问题转化为一个多目标或单目标优化问题，并利用优化算法搜索出最优解。
三、模态特性分析与优化的应用1.汽车底盘的模态分析与优化随着汽车工业的发展，汽车底盘的结构优化变得越来越重要。
通过模态分析，可以评估底盘的固有频率和振型，发现结构中的共振问题并做出相应的优化措施。
比如，在底盘悬架系统中，通过改变悬架系统的几何形状和材料，可以提高底盘的固有频率，降低共振现象的发生。
2.机械加工设备的模态分析与优化在机械加工设备的设计中，模态分析和优化是提高设备工作精度和稳定性的关键。
工程力学中的模态分析技术有哪些？在工程力学领域，模态分析技术是一种非常重要的工具，它能够帮助工程师深入了解结构的动态特性，从而为设计、优化和故障诊断等提供关键的信息。
那么，工程力学中的模态分析技术究竟有哪些呢？首先，实验模态分析是常见的一种方法。
这一技术通常需要在结构上布置传感器，如加速度传感器，来测量结构在激励下的响应。
激励的方式可以是锤击激励、激振器激励等。
通过对测量得到的数据进行处理和分析，运用诸如快速傅里叶变换（FFT）等数学工具，就可以得到结构的模态参数，包括固有频率、振型和阻尼比等。
实验模态分析的优点在于能够直接测量实际结构的动态特性，结果较为准确可靠。
然而，它也存在一些局限性。
比如，对于大型复杂结构，传感器的布置可能会比较困难，而且实验过程可能会受到环境因素的干扰。
另一种重要的模态分析技术是有限元模态分析。
这是基于计算机模拟的方法，通过将结构离散化为有限个单元，并建立相应的数学模型来进行分析。
在建立有限元模型时，需要准确地定义结构的几何形状、材料属性、边界条件等。
有限元模态分析可以在设计阶段就对结构的模态特性进行预测，从而帮助工程师优化设计，减少后期的修改和试验成本。
但是，有限元模型的准确性很大程度上依赖于所输入参数的准确性，如果模型中的参数与实际情况存在偏差，可能会导致分析结果的误差。
还有一种基于传递函数的模态分析技术。
传递函数描述了系统的输入与输出之间的关系。
通过测量结构在不同位置的输入和输出信号，可以计算出传递函数。
然后，利用传递函数的特性来识别结构的模态参数。
这种方法在处理多输入多输出系统时具有一定的优势，能够更全面地反映结构的动态特性。
不过，传递函数的测量和计算需要较高的精度，否则会影响模态参数的识别结果。
此外，工作模态分析技术在近年来也得到了广泛的应用。
与传统的实验模态分析需要施加特定的激励不同，工作模态分析是基于结构在正常工作状态下的响应进行分析的。
这一技术适用于那些难以施加人工激励或者在运行状态下才能体现其真实特性的结构。
刚体模态和重特征值系统分析总结
模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态
参数，称为试验模态分析。
通常，模态分析都是指试验模态分析。
振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。
如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。
因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。
模态分析的经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。
坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。
《应用语言学研究的多模态分析方法》篇一一、引言应用语言学作为一门跨学科的研究领域，旨在探讨语言在不同社会、文化、科技背景下的应用与变化。
随着信息技术的飞速发展，多模态交流逐渐成为人们日常生活和工作中不可或缺的一部分。
因此，应用语言学研究需要引入多模态分析方法，以更全面、深入地了解语言的使用与演变。
本文将详细探讨应用语言学研究的多模态分析方法，旨在为相关研究提供有益的参考。
二、多模态分析方法概述多模态分析方法是一种综合运用多种符号和媒体模式来分析语言和其他交流形式的方法。
它涵盖了视觉、听觉、触觉等多种感官体验，包括文字、图像、声音、动作等多种模态。
在应用语言学研究中，多模态分析方法可以帮助研究者更全面地了解语言在不同模态中的使用情况，从而揭示语言的本质和功能。
三、多模态分析方法在应用语言学研究中的应用1. 跨文化交际研究多模态分析方法可以用于跨文化交际研究，通过对比不同文化背景下人们使用语言的模态差异，揭示文化对语言使用的影响。
例如，在研究不同国家人们的社交媒体交流时，可以通过分析文字、图像、表情符号等不同模态的使用情况，探讨文化差异对社交媒体交流的影响。
2. 多媒体语言教学研究多模态分析方法可以用于多媒体语言教学研究，通过分析多媒体教学资源中文字、图像、音频、视频等不同模态的组合与运用，探讨多媒体教学资源对语言教学效果的影响。
例如，在研究外语教学中视频材料的应用时，可以通过分析视频中的语音、文字、图像等模态的配合与互动，评估视频材料对学习者理解和掌握语言的效果。
3. 语言演变与变化研究多模态分析方法还可以用于语言演变与变化研究，通过观察和分析语言在不同模态中的使用情况和变化趋势，揭示语言的发展规律和趋势。
例如，在研究网络语言的演变时，可以通过分析网络文本、表情符号、图像等不同模态的使用情况和变化趋势，探讨网络语言的发展规律和特点。
四、多模态分析方法的实施步骤1. 确定研究目的和问题首先需要明确研究的目的和问题，确定研究的主要内容和研究对象。
机械系统动力学特性的模态分析机械系统动力学是研究物体在受到外力作用下的运动规律和机械系统动态特性的学科。
其中，模态分析是一种重要的方法，用于研究机械系统的固有振动特性。
本文将介绍机械系统动力学特性的模态分析方法及其应用。
一、模态分析的基本概念模态分析是研究机械系统振动模态的一种方法。
模态是指机械系统在自由振动状态下的振动形式和频率。
模态分析通过分析机械系统的初始条件、约束条件和外力等因素，确定机械系统的固有频率和振型，并进一步得到机械系统的振荡特性。
二、模态分析的基本步骤模态分析一般包括以下几个步骤：1. 系统建模：根据实际情况，将机械系统抽象为数学模型，包括质量、刚度、阻尼等参数。
2. 求解特征值问题：通过求解系统的特征值问题，得到系统的固有频率和振型。
3. 模态验算：将得到的固有频率和振型代入原始方程，验证其是否满足振动方程。
4. 模态分析：通过对系统的振动模态进行进一步分析，得到系统的动态响应和振动特性。
三、模态分析的应用模态分析在机械工程领域有广泛的应用。
主要包括以下几个方面：1. 结构优化设计：通过模态分析，可以评估机械系统的固有频率和振型，判断系统是否存在共振现象或其他异常振动情况，为结构设计提供依据。
2. 动力学特性分析：通过模态分析，可以了解机械系统的振动特性，包括固有频率、阻尼特性和模态质量等指标，为系统的动力学性能评估和优化提供依据。
3. 故障诊断与预测：模态分析可以用于机械系统的故障诊断和预测。
通过对机械系统振动模态的变化进行监测和分析，可以判断系统是否存在故障，并提前发现潜在的故障。
4. 振动控制技术：通过模态分析，可以了解机械系统振动的特征，并采取相应的振动控制措施。
比如调节系统的阻尼、改变系统的刚度等，来减小系统的振动幅度，提高系统的稳定性和工作性能。
四、模态分析存在的问题与挑战模态分析作为一种成熟的技术方法，仍然面临一些问题和挑战。
例如，模态分析需要对机械系统进行精确的建模，包括质量、刚度和阻尼等参数的准确度和全面性。
桥梁结构动态评估的模态分析法文献综述郑大青一、模态分析在桥梁健康监测中的意义；二、模态分析的基本原理及分类；三、模态参数识别研究现状分析；四、模态分析损伤识别现状分析；五、目前模态分析在桥梁监测中存在的问题和不足。
一、模态分析在桥梁健康监测中的意义：桥梁是国家基础设施的重要组成部分，关系到人们的生命和财产安全。
因此，对桥梁进行监测并确定其结构健康状况具有重要的经济和社会意义。
传统的桥梁结构健康监测主要依靠无损检测技术或人工经验对某个特定的结构部件进行检测、查找，判断是否有损伤及损伤的程度，或者测量与桥梁结构性能相关的参数，比如变形、挠度、应变、裂缝等等，通过对这些参数分析，进而判定桥梁结构健康状况。
在应用上面这些方法时存在一些缺陷，如测量之前需知道损伤的大体范围，或者被检测的结构部分是仪器可接近的；在对大跨度桥梁等体量大、构件多的结构监测时，存在不能测量桥梁内部等隐蔽部分、测量工作量大、工作效率相对较低、不能获取桥梁整体信息等不足。
为此，一些专家学者提出了基于模态分析的桥梁健康监测方法，如图1。
此方法将结构动力学领域中的模态分析技术应用到桥梁健康监测中来，以多学科交叉研究为基础的，通过测试桥梁整个结构在外载作用下的响应来分析结构的固有频率、阻尼和模态振型等动力特性，进而诊断结构损伤位置和程度。
因此，模态参数识别和之后的模态分析损伤识别是整个健康监测中2个重要的组成部分。
图1 模态分析健康监测流程图测量桥梁结构激励、响应等信息 进行桥梁模态参数识别（固有频率、阻尼和模态振型等） 用模态分析损伤识别法进行安全评估模态分析监测方法克服了传统监测法存在的一些缺点，它不受结构规模和隐蔽的限制；具有多学科交叉优势，能对结构全局进行检测，从而能够评价桥梁结构的整体健康状态。
近年来，该方法发展迅速，日趋成熟。
事实上，它已经成为桥梁结构在线健康监测的核心技术之一。
因此，模态分析对桥梁健康监测具有重要意义。
二、模态分析的基本原理及分类：由振动理论知：一个线性振动系统，当它按自身某一阶固有频率作自由谐振时，整个系统将具有确定的振动形态（简称振型或模态）。
模态分析多种方法模态分析 - 简介专业模态分析，包含多种经典和最新理论方法，支持各种模态试验方法。
目前已经在国防军工、教学科研、土木建筑、机械、铁路交通等各行业得到了非常广泛的应用，成功完成了大量的模态试验任务，包括航天器、军械、卫星、汽车、桥梁、井架、楼房等等，受到广大用户的高度评价.主要特点* 模态类型可完成位移模态和应变模态的试验分析,可直接输出含有模态质量、刚度、阻尼、留数、振型、相关矩阵校验系数的模态分析报告。
* 多种方法支持各种试验方法，SIMO(单输入多输出)、MISO(多输入单输出)、MIMO(多输入多输出)、ODS(运行状态变形)、OMA(环境激励模态)等* 变时基专利技术，可进行大型低频结构的脉冲激励模态试验。
* 自动化模态分析（一键求模态）领先技术利用创新的模态指示函数，一键即可得到专家级的模态分析结果* 可视化结构生成和彩色三维振型动画（点击进入详细介绍）结构输入：可视化的CAD输入系统，点击鼠标即可完成振型动画：三维彩色动画，多模态多视图旋转显示，输出AVI文件* 仿真分析可以进行板、梁的仿真模态分析，适合于模态分析理论的教学和学习。
1.基本模态软件基本部分可完成位移模态分析，支持SIMO、MISO、OMA方法，具有变时基专利技术，可视化的结构生成和彩色振型动画显示，以及仿真分析功能。
模态拟合方法提供六种频域方法和ERA特征值实现算法，ERA方法既可以完成激励可测的经典模态分析，又可以进行激励不可测的环境激励模态分析。
2. 时域法模态分析（适合于环境激励模态）(选件)三种时域拟合方法(随机子空间法SSI,特征系统实现算法ERA,复指数法Prony)，更适合大桥楼房等环境激励模态3.EFDD模态分析（适合于环境激励模态）(选件)增强的频域分解法，国际最新发展的方法，分析过程简明，操作简单，不易产生虚假模态。
4. PPM和PZM法模态分析（适合于环境激励模态）(选件)PPM功率谱多项式分解方法，为东方所独创提出，利用单个自功率谱曲线即可识别出密集模态的频率和阻尼，采用遗传算法，其精度高于EFDD法。
模态分析用于确定设计结构或机器部件的振动特性（固有频率和振型），即结构的固有频率和振型，它们是承受动态载荷结构设计中的重要参数。
同时，也可以作为其它动力学分析问题的起点，例如瞬态动力学分析、谐响应分析和谱分析，其中模态分析也是进行谱分析或模态叠加法谐响应分析或瞬态动力学分析所必需的前期分析过程。
ANSYS的模态分析可以对有预应力的结构进行模态分析和循环对称结构模态分析。
前者有旋转的涡轮叶片等的模态分析，后者则允许在建立一部分循环对称结构的模型来完成对整个结构的模态分析。
ANSYS产品家族中的模态分析是一个线性分析。
任何非线性特性，如塑性和接触（间隙）单元，即使定义了也将被忽略。
ANSYS提供了七种模态提取方法，它们分别是子空间法、分块Lanczos法、PowerDynamics法、缩减法、非对称法、阻尼法和QR阻尼法。
阻尼法和QR阻尼法允许在结构中存在阻尼。
后面将详细介绍模态提取方法。
§1.2模态分析中用到的命令模态分析使用所有其它分析类型相同的命令来建模和进行分析。
同样，无论进行何种类型的分析，均可从用户图形界面（GUI）上选择等效于命令的菜单选项来建模和求解问题。
后面的“模态分析实例（命令流或批处理方式）”将给出进行该实例模态分析时要输入的命令（手工或以批处理方式运行ANSYS时）。
而“模态分析实例（GUI方式）” 则给出了以从ANSYS GUI中选择菜单选项方式进行同一实例分析的步骤。
（要想了解如何使用命令和GUI选项建模，请参阅< <ANSYS建模与网格指南>>）。
<<ANSYS命令参考手册>>中有更详细的按字母顺序列出的ANS YS命令说明。
§1.3模态提取方法典型的无阻尼模态分析求解的基本方程是经典的特征值问题：其中：=刚度矩阵,=第阶模态的振型向量（特征向量）,=第阶模态的固有频率（是特征值）,=质量矩阵。
有许多数值方法可用于求解上面的方程。
各种模态分析方法总结与比较一、模态分析模态分析是计算或试验分析固有频率、阻尼比和模态振型这些模态参数的过程。
模态分析的理论经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。
坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。
模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。
通常，模态分析都是指试验模态分析。
振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。
如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。
因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。
模态分析最终目标是在识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。
二、各模态分析方法的总结（一）单自由度法一般来说，一个系统的动态响应是它的若干阶模态振型的叠加。
但是如果假定在给定的频带内只有一个模态是重要的，那么该模态的参数可以单独确定。
以这个假定为根据的模态参数识别方法叫做单自由度(SDOF)法n1。
在给定的频带范围内，结构的动态特性的时域表达表示近似为：()[]}{}{T R R t r Q e t h rψψλ= 2-1而频域表示则近似为：()[]}}{{()[]2ωλωψψωLR UR j Q j h r tr r r -+-= 2-2 单自由度系统是一种很快速的方法，几乎不需要什么计算时间和计算机内存。
这种单自由度的假定只有当系统的各阶模态能够很好解耦时才是正确的。
然而实际情况通常并不是这样的，所以就需要用包含若干模态的模型对测得的数据进行近似，同时识别这些参数的模态，就是所谓的多自由度(MDOF)法。
单自由度算法运算速度很快，几乎不需要什么计算和计算机内存，因此在当前小型二通道或四通道傅立叶分析仪中，都把这种方法做成内置选项。
然而随着计算机的发展，内存不断扩大，计算速度越来越快，在大多数实际应用中，单自由度方法已经让位给更加复杂的多自由度方法。
1、峰值检测峰值检测是一种单自由度方法，它是频域中的模态模型为根据对系统极点进行局部估计(固有频率和阻尼)。
峰值检测方法基于这样的事实：在固有频率附近，频响函数通过自己的极值，此时其实部为零(同相部分最小)，而虚部和幅值最大(相移达90°，幅度达峰值)图1。
出现极值的那个固有频率就是阻尼固有频率r ω的良好估计。
相应的阻尼比r ζ，的估计可用半功率点法得到。
设1ω和2ω分处在阻尼固有频率的两侧(1ω<r ω<2ω),则：()()()221r j H j H J H ωωω== 2-3rr ωωωζ212-=2-4 2、模态检测模态检测是根据频域中的模态模型对复模态(或实模态)向量进行局部估计的一种单自由度方法。
在()[]}}{{()[]2ωλωψψωLRUR j Q j h r tr r r -+-=中略去剩余项则单个频响函数在r ω处的值近似为：()()()rjr rjrr r r r r jrr r r tj A Q j j Q j H σσψψωσωψψω-≈-≈+-≈111 2-5由此式可见，频响函数在r ω处的值乘以模态阻尼因r σ，就是留数(的估计值如图1。
利用这种模态检测方法之前，先要估计出r ω图1 对频响应函数的幅值进行峰值和模态检测3、圆拟合圆拟合是一种单自由度方法，用频域中的模态模型对系统极点和复模态(或实模态)向量进行局部估计。
此方法依据事实是：单自由度系统的速度频响函数(速度对力)在奈奎斯特图(即实部对虚部)上呈现为一个圆。
如果把其他模态的影响近似为一个复常数，那么在共振频率r ω附近，频响函数的基本公式为：()()1j R j jVU j H r tj ++-+-+=ωωσω 2-6因此，首先要选择共振频率附近的一组频率响应点，通过这些点拟合成一个圆。
阻尼固有频率r ω可以看成是复平面上数据点之间角度变化率最大(角间隔最大)的那个点的频率，也可以看成是相位角与圆心的相位角最为接近的那个数据点的频率。
对于分得开的模态而言，二者的差别是很小。
阻尼比r ζ估计如下：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2tan 2tan 2112θθωωωζr r 2-7式中1ω，2ω：分居在r ω两侧的两个频率点：1θ，2θ：分别为频率点在1ω和2ω得半径与r ω得半径之间的夹角。
圆的直径和阻尼固有频率点的角位置含有复留数U+jV 的信息：()VUV U r =-+=ασφtan ,22 2-8式中φ：圆的直径α：园心与固有频率点的连线跟虚轴之间的夹角．圆拟合法速度也很快，但为避免结果出错，特别是在模态节点附近，需要操作者参与。
（二）单自由度与多自由度系统粘性阻尼单自由度SDOF 系统如图2的力平衡方程式表示惯性力、阻尼力、弹性力与外力之间的平衡图2 单自由度系统()()()()t f t Kx t x C t xM =++&&& 2-9 其中M ：质量C: 阻尼K ：xx x &&&&&：加速度，速度，位移 f ：外力 t 时间变量，把结构中所呈现出来的全部阻尼都近似为一般的粘性阻尼。
把上面的时间域方程变换到拉氏域复变量P ，并假设初始位移和初始速度为零，则得到拉氏域方程：()()p F K Cp Mp =++2，或()()()p F p X p Z = Z ：动刚度经过变换可得传递函数的定义，()()p Z p H 1-= 即()()()p F p H p X =()()()M K p M C p Mp H ///12++=2-10上式右端的分母叫做系统特征方程，它的根即是系统的极点是：()()()()()M K M C M C /2/2/22,1-±-=λ 2-11如果没有阻尼C=0，则所论系统是保守系统。
我们定义系统的无阻尼固有频率为：M K /1=Ω 2-4临界阻尼C c 的定义为使（2.3）式中根式项等于零的阻尼值：M K M C c /2= 2-5而临界阻尼分数或阻尼比ζ1为：ζ1=CC c ，阻尼有时也有用品质因数即Q 因数表示：()12/1ξ=Q 2-6系统按阻尼值的大小可以分成过阻尼系统（ζ1>1）、临界阻尼系统（ζ1=1）和欠阻尼系统（ζ1<1）。
过阻尼系统的响应只含有衰减成分、没有振荡趋势。
欠阻尼系统的响应时一种衰减振动，而临界阻尼系统则是过阻尼系统与欠阻尼系统之间的一种分界。
实际系统的阻尼比很少有大于10%的，除非这些系统含有很强的阻尼机制，因此我们只研究欠阻尼的情形。
在欠阻尼的情况下式2-11两个共轭复根：111ωσλj +=，11*1ωσλj -= 2-7 其中1σ为阻尼因子1ω为阻尼固有频率。
有关系统极点的另外一些关系式有：()121111Ω-+-=ζζλj 2-8 212111σωσζ+-= 2-9111Ω-=ζσ 2-10 21211σω+=Ω 2-112-2式写成 如下形式：()()()*11/1λλ-+-=p p Mp H 2-12在展开成部分分式形式，则有：()*1*111λλ-+-=p A p A p H ，这里112/1ωj M A = 2-13 这里的1A 和*1A 是留数。
多自由度系统多自由度系统可以用简单的力平衡代数方程演化成形式相似的一个矩阵的方程。
下面是以而自由度系统为例。
如图：图3 多自由度系统该系统的运动方程如下：()()()()()()()()()()()()()()t f t x K t x K K t x C t x C C x M t f t x K t x K K t x C t x C C x M 21223212232221221212212111=-++-++=-++-++&&&&&&&& 2-14写成矩阵形式是⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡212132222121322221212100f f x x K K K K K K x x C C C C C C x x M M &&&&&& 2-15或者[]{}[]{}[]{}{}f x K x C x M =++&&&2-16 其中[M ]、[C ]、[K ]、{f(t)}和{x(t)}分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、方向量和响应向量。
把这个时间域的矩阵方程变换到拉氏域（变量为p ）且假定初始位移和初始速度为零，则得：[][][]()(){}(){}p F p X K C p M p =++22-17或者是 ()[](){}(){}p F p X p Z = 式中：[Z(p )]动刚度矩阵 2-18可以得到传递函数矩阵为：()[]()[]()[]()()p Z p Z adj p Z p H ==-1 2-19式中 ()[]()p Z adj ：()p Z 的伴随矩阵，等于[]Tijij Z ε；ij Z ：()[]p Z 去掉第行第列后的行列式 ⎩⎨⎧+→-+→=等于奇数如果等于偶数如果j i j i ij 11ε； 传递函数矩阵含有幅值函数。
2-19式中的分母，即是()[]p Z 的韩烈士，叫做系统的特征方程。
与单自由度情况一样，系统特征方程的根，即系统极点，决定系统的共振频率。
根据特征值问题，可以求出系统特征方恒的根。
为了把系统方程2-17转化为一般的特征值问题公式，加入下面的恒等式：[][](){}{}0=-X M p M p 2-20将此式与2-17式结合在一起得：[][](){}{}'F Y B A p =+ 2-21其中 [][][][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C M M A 0 ， [][][][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=K M B 00， {}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=X X p Y ， {}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=F F 0' 。
如果力函数等于零，那么式2-19就成了关于实值矩阵的一般特征值问题，其特征值马祖下列方程的p 值：[][]0=+B A p 2-22它的根就是特征方程()0=p Z 的根。
