北京昌平临川育人学校2016-2017学年高二12月月考数学理试题 含答案 精品

2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共12小题，共60分，每题四个选项中只有一个选项是正确的，把选项填入答题卡的表格里）1．下列导数公式错误的是（）A．（sinx）'=﹣cosx B．C．D．（e x）'=e x2．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=sin2x B．y=xe x C．y=x3﹣x D．y=ln（1+x）﹣x3．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．B．1 C．2 D．04．设函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x），如果f′（x）为偶函数，则一定有（）A．a≠0，c=0 B．a=0，c≠0 C．b=0 D．b=0，c=05．函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是（）A．x﹣4y=0 B．x﹣4y﹣2=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．x+4y﹣4=06．的值为（）A．e+1 B．e﹣1 C．1﹣e D．e7．f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足（）A．f（x）=g（x）B．f（x）=g（x）=0C．f（x）﹣g（x）为常数函数D．f（x）+g（x）为常数函数8．曲线y=x3﹣4x在点（1，﹣3）处的切线倾斜角为（）A．B．C．D．9．函数y=f（x）定义在区间（﹣3，7）上，其导函数如图所示，则函数y=f（x）在区间（﹣3，7）上极小值的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）11．如图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④12．已知函数f（x）=，给出下面三个结论：①函数f（x）在区间（﹣，0）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；②函数f（x）没有最大值，而有最小值；③函数f（x）在区间（0，π）上不存在零点，也不存在极值点．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（每题5分，共4小题，共20分，将答案填在答题卡的横线上）13．已知函数f（x）=x2，则=．14．曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的图形的面积为﹒15．已知函数f（x）=2x3﹣3x，则在f（x）的切线中，斜率最小的一条切线方程为．16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f′x）为f（x）的导函数．已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f（2a+b）＞1，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0的值．18．设函数f（x）=﹣x3+2x2﹣x（x∈R）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数在f（x）区间上的最大值与最小值．19．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？20．已知函数f（x）=ax3+bx2+4x的极小值为﹣8，其导函数y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间上的最大值与最小值．21．已知f（x）=x﹣lnx，g（x）=，其中x∈（0，e上单调递增；（Ⅲ）求证：f（x）＞g（x）+．22．设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共12小题，共60分，每题四个选项中只有一个选项是正确的，把选项填入答题卡的表格里）1．下列导数公式错误的是（）A．（sinx）'=﹣cosx B．C．D．（e x）'=e x【考点】导数的运算．【分析】根据题意，依次计算选项函数的导数，比较即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（sinx）'=cosx，故A错误；对于B、（lnx）′=，故B正确；对于C、（）′=x﹣1=（﹣1）×x﹣2=﹣，故C正确；对于D、（e x）'=e x，故D正确；故选：A．2．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=sin2x B．y=xe x C．y=x3﹣x D．y=ln（1+x）﹣x【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】欲判断函数的单调性，可考虑应用导数这个工具，令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间．从而对选项一一进行判断即可．【解答】解：∵f（x）=sin2x=（1﹣cos2x）在（0，+∞）有增有减，∴A不正确；∵f（x）=xe x的导函数′（x）=e x（x+1）＞0恒成立，所以它在（0，+∞）上增，∴B正确；∵y=x3﹣x，的导数y′=2x2﹣1在（0，+∞）上不恒大于0．，所以它在（0，+∞）先减后增，∴C不正确；∵y=ln（1+x）﹣x的导数y′=﹣1在（0，+∞）恒小于0，所以它为减函数，∴D不正确．故选B．3．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．B．1 C．2 D．0【考点】导数的运算．【分析】利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出f′（5），将切点坐标代入切线方程求出f（5）．【解答】解：f′（5）=﹣1将x=5代入切线方程得f（5）=﹣5+8=3，所以f（5）+f′（5）=3+（﹣1）=2，故选：C4．设函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x），如果f′（x）为偶函数，则一定有（）A．a≠0，c=0 B．a=0，c≠0 C．b=0 D．b=0，c=0【考点】导数的运算；函数奇偶性的判断．【分析】先求导数f′（x），由f′（x）为偶函数可知f'（x）=f'（﹣x），故2bx=0恒成立，所以b=0，由此得出答案．【解答】解：函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x）=3ax2+2bx+c，∵函数f′（x）=3ax2+2bx+c是定义在R上的偶函数，∴f'（x）=f'（﹣x），即3ax2+2bx+c=3ax2﹣2bx+c，∴2bx=0恒成立，b=0．故选C．5．函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是（）A．x﹣4y=0 B．x﹣4y﹣2=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．x+4y﹣4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．【解答】解：求导函数，可得∴，f（2）=∴函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣=（x﹣2），即x+4y ﹣4=0故选D．6．的值为（）A．e+1 B．e﹣1 C．1﹣e D．e【考点】微积分基本定理．【分析】直接利用积分基本定理即可求解【解答】解：由积分基本定理可得，=故选B7．f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足（）A．f（x）=g（x）B．f（x）=g（x）=0C．f（x）﹣g（x）为常数函数D．f（x）+g（x）为常数函数【考点】导数的几何意义．【分析】先根据导数的运算法则将f′（x）=g′（x）转化为′=0，然后由函数的求导法则可得答案．【解答】解：由f′（x）=g′（x），得f′（x）﹣g′（x）=0，即′=0，所以f（x）﹣g（x）=C（C为常数）．故选C．8．曲线y=x3﹣4x在点（1，﹣3）处的切线倾斜角为（）A．B．C．D．【考点】导数的几何意义．【分析】欲求在点（1，﹣3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．【解答】解：．故选A．9．函数y=f（x）定义在区间（﹣3，7）上，其导函数如图所示，则函数y=f（x）在区间（﹣3，7）上极小值的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】函数在极小值点处，导数为0，且导函数左负右正，根据图象可得结论．【解答】解：函数在极小值点处，导数为0，且导函数左负右正，根据图象可知，O，C为极小值点，故选：A．10．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则∵函数g（x）单调递增，∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B11．如图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数与函数之间的关系．把握住导数的正负确定出函数的单调区间，根据变化趋势选出不恰当的图象．利用排除法确定出答案．【解答】解：根据f′（x）＞0时，y=f（x）递增；f′（x）＜0时，y=f（x）递减可得．①②中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确；而③中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误，④中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误．故选C．12．已知函数f（x）=，给出下面三个结论：①函数f（x）在区间（﹣，0）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；②函数f（x）没有最大值，而有最小值；③函数f（x）在区间（0，π）上不存在零点，也不存在极值点．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由函数f（x）=表示（0，0）与（x，sinx）点连线的斜率，结合正弦型函数的图象和性质，逐一分析三个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=表示（0，0）与（x，sinx）点连线的斜率，∴当x∈（﹣，0）时，函数f（x）单调递增，当x∈（0，）时，函数f（x）单调递减，故①正确；当x→0时，f（x）→1，而x≠0，故f（x）＜1，即函数没有最大值，当（0，0）与（x，sinx）点连线与y=sin的图象相切时，f（x）有最小值，故函数f（x）没有最大值，而有最小值，故②正确；当x∈（0，π）时，sinx≠0，故f（x）≠0，即函数f（x）在区间（0，π）上不存在零点，而x∈（0，π）时，函数f（x）单调递减，也不存在极值，故③正确；故正确的结论的序号是①②③，故选：D二、填空题（每题5分，共4小题，共20分，将答案填在答题卡的横线上）13．已知函数f（x）=x2，则=0．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】先求出f′（x），由=f′（0），能求出结果．【解答】解：∵f（x）=x2，∴f′（x）=2x，∴=f′（0）=0，故答案为：0．14．曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的图形的面积为3﹒【考点】余弦函数的图象．【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤π上的积分可求出答案．【解答】解：S==3=3（sin﹣sin0）=3故答案为315．已知函数f（x）=2x3﹣3x，则在f（x）的切线中，斜率最小的一条切线方程为y=﹣3x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先对f（x）=2x3﹣3x求导得y′=6x2﹣3，根据二次函数的单调性求出当x=0时其最小值为﹣3，据此求出切点，进而写出斜率最小时的切线方程．【解答】解：∵f（x）=2x3﹣3x，∴f′（x）=6x2﹣3≥﹣3，∴当x=0时，切线的斜率最小值且为﹣3，当x=0时，f（0）=0，∴切点为（0，0），∴切线的方程为y﹣0=﹣3（x﹣0），即y=﹣3x．故答案为y=﹣3x．16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f′x）为f（x）的导函数．已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f（2a+b）＞1，则的取值范围是（﹣，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用线性规划的方法得到答案．【解答】解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＜0，原函数单调递减，∵两正数a，b满足f（2a+b）＞1，且f（2）=1，∴2a+b＜2，a＞0，b＞0，画出可行域如图．k=的几何意义为点Q（2，1）与点P（x，y）连线的斜率，当P点在A（1，0）时，k最大，最大值为：；当P点在B（0，2）时，k最小，最小值为：=．k的取值范围是（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导数，确定切线的向量，利用曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，建立方程，即可求x0的值．【解答】解：由题意，∵曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，∴k1k2=﹣1，∴．18．设函数f（x）=﹣x3+2x2﹣x（x∈R）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数在f（x）区间上的最大值与最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数在x=2处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．（II）求导函数，确定函数的单调性，可得函数的极值与端点函数值比较，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=﹣x3+2x2﹣x，所以f'（x）=﹣3x2+4x﹣1，且f（2）=﹣2．…所以f'（2）=﹣5．…所以曲线f（x）在点（2，﹣2）处的切线方程是y+2=﹣5（x﹣2），整理得5x+y﹣8=0．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=﹣3x2+4x﹣1=﹣（3x﹣1）（x﹣1）．令f'（x）=0，解得x=或x=1．…当x∈时，f'（x），f（x）变化情况如下表：x0（0，）（，1）1（1，2）2f'（x）﹣0+0﹣f（x）0↘﹣↗0↘﹣2因此，函数f（x），x∈的最大值为0，最小值为﹣2．…19．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】设小正方形的边长为xcm，则盒子容积为：y=（8﹣2x）•（5﹣2x）•x为三次函数，用求导法，可得x=1时，函数y取得最大值，此时盒子容积最大．【解答】解：设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，）；盒子容积为：y=（8﹣2x）•（5﹣2x）•x=4x3﹣26x2+40x，对y求导，得y′=12x2﹣52x+40，令y′=0，得12x2﹣52x+40=0，解得：x=1，x=（舍去），所以，当0＜x＜1时，y′＞0，函数y单调递增；当1＜x＜时，y′＜0，函数y单调递减；所以，当x=1时，函数y取得最大值18；所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为18cm3．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+4x的极小值为﹣8，其导函数y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间上的最大值与最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）根据题意可知函数在x=﹣2处取极小值8，由此列出方程组求出a和b，由此能求出f（x）的解析式．（Ⅱ）由f′（x）=﹣3x2﹣4x+4=0，得，x2=﹣2，由此能求出函数y=f（x）在区间上的最大值，最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可知函数在x=﹣2处取极小值8，∵f（x）=ax3+bx2+4x，∴f′（x）=3ax2+2bx+4∴，解得：a=﹣1，b=﹣2∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=﹣3x2﹣4x+4，由f′（x）=0，得，x2=﹣2，∵f（﹣3）=﹣（﹣3）3﹣2（﹣3）2+4（﹣3）=﹣3，f（﹣2）=﹣（﹣2）3﹣2（﹣2）2+4（﹣2）=﹣8，f（）=﹣（）3﹣2（）2+4×=﹣，f（2）=﹣23﹣2•22+4•2=8．∴函数y=f（x）在区间上的最大值为8，最小值为﹣8．21．已知f（x）=x﹣lnx，g（x）=，其中x∈（0，e上单调递增；（Ⅲ）求证：f（x）＞g（x）+．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调性，从而可求f（x）的极小值；（Ⅱ）求导数，利用0＜x＜e时，g'（x）＞0，可得结论；（Ⅲ）证明即可．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=x﹣lnx，∴f′（x）=（x＞0），∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增∴f（x）的极小值为f（1）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）证明：求导数可得∴当0＜x＜e时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，e上的最小值为1，∴f（x）＞0，f（x）=1min∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）＞g（x）+．22．设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据极值与最值的求解方法，连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么极小值就是最小值；（2）先确定函数的定义域然后求导数Fˊ（x），讨论a在函数的定义域内解不等式Fˊ（x）＞0和Fˊ（x）＜0即可求得；（3）要证，即证，等价于证，令，则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）即可．【解答】（1）解：f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得．∵当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，∴当时，．（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；令F′（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．（3）证：．要证，即证，等价于证，令，则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则，故g（t）在1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．由①②知（*）成立，得证．2017年5月14日。

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北京临川学校2017——2018学年第二学期第二次考试高二文科数学一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．将点M 的极坐标)310(π，化成直角坐标是（ ）A ．(5，5错误!)B ．(5错误!，5)C ．(5，5)D ．（－5，－5）2．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数,则直线的斜率为( ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-3．极坐标方程ρ＝1表示（ )A ．直线B ．射线C ．圆D ．半圆 4．极坐标方程ρ＝a sin θ（a ＞0)所表示的曲线的图形是（ )5．在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是（ )A ．以点（－3,0）为圆心,3为半径的圆B ．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆C ．以点(3，0)为圆心，3为半径的圆D ．以点(3，错误!)为圆心,3为半径的圆6. 7cos θ＋2sin θ＝0表示( ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线7．直线:x ＋y ＝1与曲线{ x ＝2cos θ，，y ＝2sin θ(θ为参数）的公共点有（ )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．在极坐标系中,圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A ．θ＝0(ρ∈R ）和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝错误!（ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R ）和ρcosθ＝19．曲线｛ x ＝－1＋cos θ，，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心（ )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上10．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：错误!（t 为参数）与曲线C 2:错误!(θ为参数，a ＞0）有一个公共点在x 轴上，则a 的值为（ ） A.23-B 。

北京2016~2017学年下学期高二期末考试数学试卷（理科）考试范围：导数定积分30% 统计与统计案例20% 计数原理概率随机变量及其分布20%推理证明算法复数20% 坐标系与参数方程10% 附加题解析几何13分参考公式：如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）．如果事件A, B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）．若，，…，为样本点，为回归方程，则，，其中，. ，其中n=a+b+c+d为样本容量．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在复平面内，复数z =对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由题意可得：，则复数z =对应的点位于第一象限 .本题选择A选项.2. 在（x+2）4的展开式中，x2的系数为A. 24B. 12C. 6D. 4【答案】A【解析】由二项式展开式的通项公式可得，展开式的通项公式为：，令可得：的系数为： .点睛：一是在T r＋1＝中，是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．3. 已知函数f（x）=ln2x，则=A. B. C. D.【答案】D【解析】由复合函数求导法则可得： .本题选择D选项.点睛：求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．4. 将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】投掷4次的所有可能结果为种，其中恰好出现2次正面向上的事件有种，据此可得，题中所求事件的概率值为： .本题选择B选项.5. 嘿哥有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有A. 8种B. 15种C. 种D. 种【答案】C【解析】由乘法原理可得：不同的发送方法有种.6. 设a，b，c是正整数，且a∈，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c的值为A. 252或253B. 253或254C. 254或255D. 267或268【答案】B【解析】设，则数据a,b,c的方差：，设a=b+m，c=b+n，则，取b=85,当m+n=0,−1,1时,s2有可能取得最小值,m=−16,n=15时,s2取得最小值.取b=84,当m+n=0,−1,1时,s2有可能取得最小值,m=−15,n=16时,s2取得最小值.∴a+b+c=79+85+90=254，或a+b+c=79+84+90=253.本题选择B选项.7. 高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表，则随机变量的观测值为A. 0.600B. 0.828C. 2.712D. 6.004【答案】A【解析】本题主要考查独立性检验。

北京临川学校2016~2017下学期六月份月考卷高二数学姓名 班 考试范围： 导数定积分30% 统计与统计案例20%计数原理概率随机变量及其分布20% 推理证明算法复数20% 坐标系与参数方程10% 附加题 解析几何13分一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数1-的虚部为（ ）A ．B ． 1C ．D ． 2．1d x x =⎰（ ）A ． 0B ．12C ． 1D ． 12-3．一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为( )A ． 321B ．3231C ． 325 D ． 514．极坐标θρcos 2=和参数方程⎩⎨⎧==θθcos sin 2y x （θ为参数）所表示的图形分别是( )A ． 直线、圆B ． 直线、椭圆C ． 圆、圆D ． 圆、椭圆5．若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且1=1i z +，则12z z ⋅=（ ）A ． -2B ． 2C ．2i -D ．2i6．定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其各自导函数()f x '和()g x '的图象如图所示，则函数()()()F x f x g x =-极值点的情况是（ ）A ． 只有三个极大值点，无极小值点B ． 有两个极大值点，一个极小值点C ． 有一个极大值点，两个极小值点D ． 无极大值点，只有三个极小值点7．函数()ln f x x =与函数2()g x ax a =-的图象在点(10)，的切线相同，则实数a 的值为（ ） A ． 1 B ． 12- C ． 12 D ． 12或12-8．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2， 则输出的x 的值为（ ） A ．3 B ．126 C ．127 D ．1289．在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好落在正方形与曲线y x =围成的区域内(阴影部分)的概率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45O Cyy x =AB是输入x21x x =-126x ≥输出x 开始 结束否10．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A ．3×3！ B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9！11．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A ．324 B ．328C ．360D ．64812．若,,a b c 均为正实数，则三个数111,,a b c b c a+++这三个数中不小于2的数（ ） A ．可以不存在 B ．至少有1个C ． 至少有2个D ． 至多有2个二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设随机变量ξ~N （0，1），若P （ξ≥1）=p ，则P （－1<ξ<0）=______．14．若（2x +31x）n的展开式的各项系数之和为32，则n = ； 其展开式中的常数项为 （用数字作答）．15．设函数(),()f x g x 在区间(0,5)内导数存在，且有以下数据：()g x3 14 2 ()g x '2413则曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程是 ； 函数(())f g x 在2x =处的导数值是 ．16．已知平面向量，，那么；空间向量，，那么．由此推广到 维向量：，，那么．北京临川学校2016~2017下学期六月份月考卷 高二数学姓名 班13． ． 14． ．15． ． 16． ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数32()392f x x x x =--+ （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，111--+=++n n a a n n ，*n ∈N ．（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．19．（本小题满分12分）北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 97 0 5 6 6 7 96 4 5 85 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）21．（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln af x x a x x=-+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）求证：当1a =时，函数()y f x =没有极值点； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调增区间．22．（本小题满分10分）已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．附加题 （本小题满分13分）已知椭圆:E ()012222>>=+b a b y a x 经过点3(1,)2-，其离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆C 相切，切点为T ，且l 与直线4-=x 相交于点S . 试问：在x 轴上是否存在一定点，使得以ST 为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该 点的坐标；若不存在，请说明理由。

北京临川学校2016~2017学年下学期期中考试高二数学试卷班姓名考试范围：北师大版选修2-2第二三四章，选修2-3；考试时间120分钟；总分150分。

一、选择题（每题5分，共12小题，共60分，每题四个选项中只有一个选项是正确的，把选项填入答题卡的表格里）1．复数的值为（）A ．1﹣i B ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i2．（）A ．6B ．5C ．4D ．33．设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如右图所示,则()y f x =的图象最有可能是下图中的()A B CD4.抛掷一枚均匀的骰子2次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不相互独立的是()A.第二次得到6点 B.第二次的点数不超过3点C.第二次的点数是奇数D.两次得到的点数和是125．设f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′（﹣1）=4，则a =（）A ．B．C．D．6．若2151215++=x x C C ，则实数x 的值为（）A ．4B ．1C ．4或1D ．其它7．曲线y =x 3﹣2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8.从5名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生被选中的方法数是()A.25B.10C.20D.30yxO12-2yxO12-2yxO 12-2yxO12-2yxO12-1()f x '9.从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是()A．36B．48C．52D．5410.抛掷一枚均匀的硬币4次，则恰有2次正面向上的概率()A.12B.116C.38D.5811.观察下列数：1，3，2，6，5，15，14，x，y，z，122，…中x，y，z的值依次是()A.13，39，123B.42，41，123C.24，23，123D.28，27，12312.一模东城理（8）甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件的概率是0.5的是()①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多A.①②B.①③C.②③D.②④二、填空题（每题4分，共5小题，共20分,将答案填在答题卡的横线上）13．在2532(xx 的展开式中，常数项为______．（用数字作答）14.书架上放有6本书，现在要再插入2本书，保持原有的相对顺序不变，有种放法．15．有6名同学站成一排,甲、乙、丙不相邻有种不同的排法．16．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”， ，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”， ，以此类推．已知2017年为丁酉年，那么到新中国成立100年时，即2049年为______年．北京临川学校2016~2017学年下学期期中考试高二数学试卷答题卡班姓名一、选择题（每题5分，共12小题，共60分，每题四个选项中只有一个选项是正确的，把选项填入答题卡的表格里）123456789101112二、填空题（每题4分，共5小题，共20分,将答案填在答题卡的横线上）13．（用数字作答）14．15．16．三、解答题（本大题共6题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解方程：|z|+z=8 4i 18．（本小题满分12分）六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法？①甲一本、乙二本、丙三本；有多少种分法。

-D DA=a,DC=b,DD=c,则MN=(A)1北京市昌平区2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷（满分150分，考试时间120分钟）考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线y2=10x的焦点到准线的距离为（A）5（C）5（C）10（D）20 2（2）过点(2,-1)且倾斜角为600的直线方程为(A)3x-y-23-1=0(B)3x-3y-23-3=0(C)3x-y+23+1=0(D)3x-3y+23+3=0（3）若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)p∧q（B）(⌝p)∨q(C)(⌝p)∧q(D)(⌝p)∨(⌝q)（4）已知平面α和直线a,b，若a//α，则“b⊥a”是“b⊥α”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件（5）如图，在正方体A B C D1A B C中，点M,N分别是面对角线A B与B D的中点，若11111111(c+b-a)(B)(a+b-c) 22A1D1MNB1C1D C A B(C)1(A)31(a-c)(D)(c-a) 22（6）已知双曲线x2y2-a2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为(A)y=±2x(B)y=±221x(C)y=±x(D)y=±2x2（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A)2+221(B)2+2(C)4+222正（主）视图侧（左）视图(D)4+211俯视图（8）从点P(2,-1)向圆x2+y2-2mx-2y+m2=0作切线，当切线长最短时m的值为（A）-1（B）0（C）1（D）2（9）已知点F,F是椭圆C:12x24uuur uuuur+y2=1的焦点，点M在椭圆C上且满足MF+MF=23，12则∆MF F的面积为123(B)(C)1(D)232(10)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A B C D中，点M是左侧面ADD A上的一个动点，满足111111BC⋅BM=1，则BC与BM的夹角的最大值为11D1C1(A)30︒A1B1(B)45︒(C)60︒(D)75︒MD C A B11第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）(11)若命题 p : ∃x ∈ R, x 2 + 2x + 2 > 0 ，则 ⌝p :．(12) 已知 a = (1, - 3,1) ， b = (-1,1,-3) ，则 a - b = ______________. (13)若直线 (1 + a )x + y + 1 = 0 与直线 2 x + ay + 2 = 0 平行，则 a 的值为____ .(14)如图，在长方体 ABCD-A B 1C 1D 1 中，设 AD = AA = 1 ，D 1PC 1AB = 2 ， P 是 C D 的中点，则 BC 与A P 所成角的1 111大小为____________， BC ⋅ A P = ___________.11A 1ADB 1BC(15)已知 P 是抛物线 y 2 = 8x 上的一点，过点 P 向其准线作垂线交于点 E ，定点 A (2,5) ，则P A + PE 的最小值为_________；此时点 P 的坐标为_________ .(16)已知直线 l : kx - y + 1 = 0 (k ∈ R ) ．若存在实数 k ，使直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点，且 | AB | = | k | ，则称曲线 C 具有性质 P ．给定下列三条曲线方程：① y =- x ；② x 2 + y 2 - 2 y = 0 ； ③ y = ( x + 1)2 ．其中，具有性质 P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（17）(本小题满分 14 分)已知圆 C : x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + 1 = 0 . (I)求过点 M (3,1) 的圆 C 的切线方程；(II)若直线 l : ax - y + 4 = 0 与圆 C 相交于 A , B 两点，且弦 AB 的长为 2 3 ，求 a 的值．（18）(本小题满分 14 分)在直平行六面体 ABCD - A B C D 中，底面 ABCD 是菱形， ∠DAB = 60︒ ， AC BD = O ，1 1 1 1AB = AA = 1.1D 1C 1(I)求证： OC // 平面AB D ；11 1A 1B 1(II)求证： 平面AB D ⊥ 平面ACC A ；1 11 1DCAOB(Ⅱ)如果过点 B (0, ) 的直线与椭圆交于 M , N 两点（ M , N 点与 A 点不重合），求证： ∆AMN 为 C D(III)求三棱锥 A - AB D 的体积.11 1（19）(本小题满分 14 分)已知椭圆 C : x 2 y 2+ a 2 b 23 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ，且经过点 A (0, -1) ．2(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程；3 5直角三角形．（20）(本小题满分 14 分)如 图 ， 在 四 棱 锥 P - ABCD 中 ， P A ⊥ 底面 A B ， 底 面 A B C 为 直 角 梯 形 ， AD // BC , ∠BAD = 90︒, P A = AD = AB = 2BC = 2 ，过 AD 的平面分别交 PB ，PC 于 M , N 两点.（I ）求证： MN // BC ；（II ）若 M , N 分别为 PB , PC 的中点， PMN①求证： PB ⊥ DN ；②求二面角 P - DN - A 的余弦值.A DBC（21）(本小题满分 14 分)抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 与直线 y = x + 1相切， A ( x , y ), B ( x , y )( x ≠ x ) 是抛物线上两个动点， F1 12212为抛物线的焦点，且 AF + BF = 8 .（I ） 求 p 的值；（II ） 线段 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由； （III ）求直线 l 的斜率的取值范围.所以点 C 到直线 l 的距离为 d = r - (AB2 )2= 1 .a+ 1 2北京市昌平区 2016-2017 学年高二上学期期末考试数学理试卷参考答案及评分标准一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BADBDAADCC二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（11） ⌝p : ∀x ∈ R , x 2 + 2x + 2 ≤ 0（12） 6（13）1 或 -2（14） 60︒ ；1（15） 5 ； (2, 4)（16）②③三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（17）（本小题满分 14 分）解：（I ）圆 C 的方程可化为 ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 4 ，圆心 C (1,2) ，半径是 2 .…2 分①当切线斜率存在时，设切线方程为 y - 1 = k ( x - 3) ，即 k x - y - 3k + 1 = 0 .……3 分因为 d =k - 2 - 3k + 1k 2 + 1= 2k + 1k 2 + 1= 2 ，所以 k = 3 4. …………6 分②当切线斜率不存在时，直线方程为 x = 3 ，与圆 C 相切. ……… 7 分所以过点 M (3,1) 的圆 C 的切线方程为 x = 3 或 3x - 4 y - 5 = 0 .………8 分（II ）因为弦 AB 的长为 2 3 ，12 ……10 分即 d = a - 2 +41= 1 . …………12 分所以 a = - 34. …………14 分（18）（本小题满分14分）证明：(I)如图，在直平行六面体ABCD-A B C D中，1111设AC B D=O，连接AO.111111A1D1O1B1C1因为AA//CC且AA=CC，1111所以四边形AAC C是平行四边形.11所以AC//AC且AC=AC.1111因为底面ABCD是菱形，所以O C//AO且O C=AO.1111所以四边形AOC O是平行四边形.11所以AO//O C.11因为AO⊂平面AB D，OC⊄平面AB D111111所以O C//平面AB D.111(II)因为AA⊥平面A B C D，B D⊂平面A B C D，11111111111所以B D⊥AA.111因为底面ABCD是棱形，所以B D⊥AC.1111因为AA AC=A，1111所以B D⊥平面ACC A.1111因为B D⊂平面AB D，1111所以平面AB D⊥平面ACC A.1111(III)由题意可知，AA⊥平面A B C D，11111所以AA为三棱锥A-A B D的高.1111DA OBC……1分……2分……4分……5分……6分……7分……8分……9分……10分A - A 1B 1D 1=S3 ∆A 1B 1D 13 2 2 12 ⨯1 = 2由 e = = 所以椭圆 C 的标准方程为 + y 2 = 1 ． ……4 分（Ⅱ）若过点 (0, ) 的直线 MN 的斜率不存在，此时 M , N 两点中有一个点与 A 点重合，不满足题目条若过点 (0, ) 的直线 MN 的斜率存在，设其斜率为 k ，则 MN 的方程为 y = kx + ， ⎪⎪5 ⎪ + y 2 = 1 可得 (1+ 4k 2 ) x 2 + kx - = 0 .……7 分⎪ 1 5(1+ 4k 2 )因为 V A 1 - AB 1D 1 = V1 1 1 3 3⋅ AA = ⨯ ⨯1⨯ .1所以三棱锥 A - AB D 的体积为1 1 1 3 12. ……14 分(19)（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点 A (0, -1) ， e =3，所以 b = 1 .……1 分c a a 2 - 1 3 =a 2，解得 a = 2 . ……3 分x 2435件．……5 分3 3 5 5y = kx + 由 ⎨x2⎪⎩ 4⎧ 324 64 5 25设 M ( x , y ), N ( x , y ) ，则1122x+x=- 2⎪ ⎨x1⋅ x 2 = - 25(1+ 4k 2 ) ⎪⎪∆ > 0 ⎪ ⎩⎧ 24k⎪ 645 25 25(1+ 4k 2 ), ， ……9 分所以 y + y = k ( x + x ) +1 2 1 2 6 6= ，5 5(1+ 4k 2 )3 9 -100k 2 + 9y ⋅ y = k 2 x ⋅ x + k ( x + x ) + = .……11 分121212因为 A (0, -1) ，所以 AM ⋅ AN = ( x , y + 1) ⋅ ( x , y + 1) = x x + y y + ( y + y ) + 111221 21 21264 -100k 2 + 9 6=- + + + 1 = 025(1+ 4k 2 ) 25(1+ 4k 2 ) 5(1+ 4k 2 )所以 AM ⊥ AN , ∆AMN 为直角三角形得证．……14 分(20)（本小题满分 14 分）证明：（I ）因为底面 ABCD 为直角梯形，所以 BC // AD .因为 BC ⊄ 平面ADNM , AD ⊂ 平面ADNM ,所以 BC // 平面ADNM .……2 分因为 BC ⊂ 平面PBC , 平面PBC 平面ADNM = MN ，所以 MN // BC .……4 分（II ）①因为 M , N 分别为 PB , PC 的中点， PA = AB ，所以 PB ⊥ MA .……5 分因为 ∠BAD = 90︒,z所以 DA ⊥ AB .因为 P A ⊥ 底面ABCD ， P MN所以 DA ⊥ P A .因为 P A AB = A ，A Dy所以 DA ⊥ 平面PAB . xBC所以 PB ⊥ DA .……7 分因为 AM DA = A ， 所以 PB ⊥ 平面ADNM 因为 DN ⊂ 平面ADNM ，所以 PB ⊥ DN .……9 分②如图，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 A - xyz .……10 分则 A (0,0,0), B (2,0,0), C (2,1,0), D (0,2,0), P (0,0,2) .……11 分由（II ）可知， PB ⊥ 平面ADNM ，所以 平面ADNM 的法向量为 BP = (-2,0,2) .设平面 PDN 的法向量为 n = ( x , y , z )因为 PC = (2,1, -2) ， PD = (0,2, -2) ,……12 分2 y - 2z = 0 .⎩所以 cos 〈n , BP 〉 = n ⋅ BP6 .⎧⎪n ⋅ PC = 0所以 ⎨⎪n ⋅ PD = 0 ⎧2x + y - 2z = 0 .即 ⎨ ⎩令 z = 2 ，则 y = 2 ， x = 1 .所以 n = (1,2,2)= n BP2 22 2 ⨯3 = 6 .所以二面角 P - DN - A 的余弦值为 2……14 分(21)（本小题满分 14 分）解:（I ）因为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 与直线 y = x + 1相切，⎧ y 2 = 2 px所以由 ⎨⎩ y = x + 1得： y 2 - 2 py + 2 p = 0( p > 0) 有两个相等实根.…2 分即 ∆ = 4 p 2 - 8 p = 4 p ( p - 2) = 0 得： p = 2 为所求.（II ）法一：抛物线 y 2 = 4x 的准线 x = 1 .且 AF + BF = 8 ，所以由定义得 x + x + 2 = 8 ，则 x + x = 6 .1 212设直线 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点 C (m ,0) .由 C 在 AB 的垂直平分线上，从而 AC = BC即 ( x - m )2 + y 2 = ( x - m )2 + y 2 .1122……4 分………5 分………6 分所以 ( x - m )2 - ( x - m )2 = y 1222 - y 2 .1即 ( x + x - 2m )( x - x ) = 4 x - 4 x = -4( x - x )1 2122112因为 x ≠ x ，所以 x + x - 2m = -4 .1 212又因为 x + x = 6 ，所以 m = 5 ，1 2所以点 C 的坐标为 (5,0) .………8 分x + x = 4 - 2km ⎪ 1 k 2所以 ⎨ x ⋅ x = m 2k 2 .⎪ 1 2k ( x - 3) . 2即直线 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点为定点 (5,0) .………10 分法二：由 A ( x , y ), B ( x , y )( x ≠ x ) 可知直线 AB 的斜率存在，1 12212设直线 AB 的方程为 y = kx + m .⎧ y 2 = 4 x 由 ⎨ 可得 k 2 x 2 + (2km - 4) x + m 2 = 0 .………5 分⎩ y = kx + m⎧ 2⎪⎪ 2⎪∆ = -16km + 16 > 0 ⎪ ⎩因为抛物线 y 2 = 4x 的准线 x = 1 .且 AF + BF = 8 ，所以由定义得 x + x + 2 = 8 ，则 x + x = 6 .1 212所以 km + 3k 2 = 2 .设线段 AB 的中点为 M ( x , y ) .………6 分………7 分则 x = x 1 +x2 = 3,y= 3k + m.所以 M (3,3k + m ) .所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y - 3k - m = -1令 y = 0 ，可得 x = 3 + 3m 2 + mk = 5 .即直线 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点为定点 (5,0) .（III ）法一：设直线 l 的斜率为 k ，由（II ）可设直线 l 方程为 y = k ( x - 5) .11………8 分………9 分………10 分设 AB 的中点 M ( x , y ) ，由 x =0 0因为直线 l 过点 M (3, y ) ，x +x 1 2= 3 .可得 M (3, y ) .所以 y = -2k .1………11 分1 =- .k 所以 k 2> 1k 2 >又因为点 M (3, y ) 在抛物线 y 2 = 4x 的内部，所以 y 02 < 12 . …12 分即 4k 2 < 12 ，则 k 2 < 3 .1 1因为 x ≠ x ，则 k ≠ 0 .…13 分1 21所以 k 的取值范围为 (- 3,0) (0, 3) . ………14 分1法二：1设直线 l 的斜率为 k ，则 k 1由（II ）可知 km = 2 - 3k 2 .因为 ∆ = -16km + 16 > 0 ，即 km < 1 ，所以 2 - 3k 2 < 1 .3 .…11 分即 111 3.所以 0 < k 2 < 3 .1因为 x ≠ x ，则 k ≠ 0 .1 21所以 k 的取值范围为 (- 3,0) (0, 3) .1…12 分…13 分………14 分。

北京临川学校2016—2017学年上学期12月考 高三文科数学试卷---命题人李永刚第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确地选项填在题后的括号内． 1．若集合{1,2,3}A =，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0,1,2,3}B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．{1,2,3}2．设3log 2a =，21log 8b=，c = A ．ab c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>3．“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若实数,x y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．25．从,,,,A B C D E 5名学生中随机选出2人，A 被选中的概率为A ．15B ．25C ．825 D ．9256. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是A ．y x = B ．lg y x = C ．2x y = D．y =7．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为A ．3B ．4C ．5D ．6 8．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π9、直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ） 23 （D ）3410、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18+（B）54+（C ）90 （D ）8111、过点(1,1)P 的直线,将圆形区域{}22(,)|4x y xy +≤分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．10y -= C．x y -=D ．340x y +-=12、为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12（C ）23（D ）56第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答． 13、已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式________▲_____________________. 14、（2016年全国III卷高考）函数sin y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移____▲_________个单位长度得到．15、已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲.16、已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是____▲_____. 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题—第21题每题12分，选考题10分，共70分。