常州一中2014届高三数学(文)午间限时9.15

2014-2015学年江苏省常州高级中学高一（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．（5.00分）下列符号语言表述正确的是（）A．A∈l B．A⊂αC．A⊂l D．l∈α2．（5.00分）如图，在下列几何体中是棱柱的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（5.00分）已知点A（1，﹣3），B（﹣1，3），则直线AB的斜率是（）A．B．C．3 D．﹣34．（5.00分）以点A（﹣3，0），B（3，﹣2），C（﹣1，2）为顶点的三角形是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都不是5．（5.00分）以（3，﹣1）为圆心，4为半径的圆的方程为（）A．（x+3）2+（y﹣1）2=4 B．（x﹣3）2+（y+1）2=4 C．（x﹣3）2+（y+1）2=16 D．（x+3）2+（y﹣1）2=166．（5.00分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k27．（5.00分）直线a∥b，b⊥c，则a与c的关系是（）A．异面B．平行C．垂直D．相交8．（5.00分）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线9．（5.00分）下列说法中正确的是（）A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径10．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台11．（5.00分）给下列几种关于投影的说法，正确的是（）A．矩形的平行投影一定是矩形B．平行直线的平行投影仍是平行直线C．垂直于投影面的直线或线段的正投影是点D．中心投影的投影线是互相平行的12．（5.00分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．（5.00分）球的表面积扩大为原来的4倍，它的体积扩大为原来的倍．14．（5.00分）平行四边形的一个顶点A在平面a内，其余顶点在a的同侧，已知其中有两个顶点到a的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面a的距离可能是：①1；②2；③3；④4；以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）15．（5.00分）在坐标轴上，与两点A（1，5），B（2，4）等距离的点的坐标是．16．（5.00分）将长和宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆柱的体积为．三、解答题：本大题共7小题，共70分．题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8.00分）已知点M（2，2）和N（5，﹣2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标．18．（8.00分）已知直线经过点A（3，﹣2），斜率为﹣，求该直线方程．19．（10.00分）如图是水平放置的等边三角形ABC的直观图，其中BC=2a，求直观图中AB和AC的长度．20．（10.00分）已知点M（1，0），N（﹣1，0），点P为直线2x﹣y﹣1=0上的动点．求PM2+PN2的最小值及取最小值时点P的坐标．21．（10.00分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G 分别是BC，DC和SC的中点，求证：平面EFG∥平面BB1D1D．22．（12.00分）求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行，已知：如图，α∩β=l，a∥α，a∥β，求证：a∥l．23．（12.00分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？2014-2015学年江苏省常州高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．（5.00分）下列符号语言表述正确的是（）A．A∈l B．A⊂αC．A⊂l D．l∈α【解答】解：A、点A在直线l上，记作：A∈l，故本选项正确；B、点A在平面α内，记作：A∈a，故本选项错误；C、点A在直线l上，记作：A∈l，故本选项错误；D、直线l在平面α内，记作：l⊂α，故本选项错误．故选：A．2．（5.00分）如图，在下列几何体中是棱柱的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行．可知：图（1）为三棱柱；图（3）为六棱柱；图（4）为三棱柱．∴题中所给的几何体是棱柱的有3个．故选：C．3．（5.00分）已知点A（1，﹣3），B（﹣1，3），则直线AB的斜率是（）A．B．C．3 D．﹣3【解答】解：因为A（1，﹣3），B（﹣1，3），所以直线AB的斜率k==﹣3．故选：D．4．（5.00分）以点A（﹣3，0），B（3，﹣2），C（﹣1，2）为顶点的三角形是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都不是【解答】解：AB=，BC==，AC=，∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形．故选：C．5．（5.00分）以（3，﹣1）为圆心，4为半径的圆的方程为（）A．（x+3）2+（y﹣1）2=4 B．（x﹣3）2+（y+1）2=4 C．（x﹣3）2+（y+1）2=16 D．（x+3）2+（y﹣1）2=16【解答】解：由圆的标准方程可知，以（3，﹣1）为圆心，4为半径的圆的方程为：（x﹣3）2+（y+1）2=16，故选：C．6．（5.00分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2【解答】解：直线l1的倾斜角是钝角，则斜率k1＜0；直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数，但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，所以k2＞k3＞0，所以k1＜k3＜k2，故选：D．7．（5.00分）直线a∥b，b⊥c，则a与c的关系是（）A．异面B．平行C．垂直D．相交【解答】解：∵b⊥c∴b，c 所成的角是90°∵a∥b∴a，c所成的角是90°∴a与c的关系是垂直；故选：C．8．（5.00分）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解答】解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．故选：A．9．（5.00分）下列说法中正确的是（）A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径【解答】解：A中以直角三角形的斜边为轴旋转所得的旋转体不是圆锥，故A错误；B中以直角梯形的垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，以另一腰为轴所得旋转体不是圆台，故B错误；C显然正确；D中圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误．故选：C．10．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台．故选：D．11．（5.00分）给下列几种关于投影的说法，正确的是（）A．矩形的平行投影一定是矩形B．平行直线的平行投影仍是平行直线C．垂直于投影面的直线或线段的正投影是点D．中心投影的投影线是互相平行的【解答】解：矩形的平行投影一定是矩形可能平行四边形，也可能是线段，故A 不正确；平行直线的平行投影可能是平行直线，也可能重合，故B不正确；垂直于投影面的直线或线段的正投影是点，故C正确；中心投影的投影线是相交于一点的，故D不正确；故选：C．12．（5.00分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（）A．B．C．D．【解答】解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选：C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．（5.00分）球的表面积扩大为原来的4倍，它的体积扩大为原来的8倍．【解答】解：设原来球的半径为R则原来球的表面积S1=4πR2，体积V1=若球的表面积扩大为原来的4倍，则S2=16πR2则球的半径为2R体积V2==∵V2：V1=8：1故球的体积扩大了8倍故答案为：814．（5.00分）平行四边形的一个顶点A在平面a内，其余顶点在a的同侧，已知其中有两个顶点到a的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面a的距离可能是：①1；②2；③3；④4；以上结论正确的为①③．（写出所有正确结论的编号）【解答】解：如图，B、D到平面a的距离为1、2，则D、B的中点到平面a的距离为，所以C到平面a的距离为3；B、C到平面a的距离为1、2，D到平面a的距离为x，则x+1=2或x+2=1，即x=1，所以D到平面a的距离为1；C、D到平面a的距离为1、2，同理可得B到平面a的距离为1；所以选①③．故答案为：①③15．（5.00分）在坐标轴上，与两点A（1，5），B（2，4）等距离的点的坐标是（0，3）或（﹣3，0）．【解答】解：A（1，5），B（2，4）的垂直平分线的方程为y﹣4.5=﹣（x﹣1.5），令x=0，可得y=3；令y=0可得x=﹣3，∴在坐标轴上，与两点A（1，5），B（2，4）等距离的点的坐标是（0，3）或（﹣3，0）．故答案为：（0，3）或（﹣3，0）．16．（5.00分）将长和宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆柱的体积为或．【解答】解：若圆柱的底面周长为4，则底面半径R=，h=6，此时圆柱的体积V=π•R2•h=，若圆柱的底面周长为6，则底面半径R=，h=4，此时圆柱的体积V=π•R2•h=，∴圆锥的体积为：或．故答案为：或．三、解答题：本大题共7小题，共70分．题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8.00分）已知点M（2，2）和N（5，﹣2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标．【解答】解：根据题意，设点P（x，0），∴=（2﹣x，2），=（5﹣x，﹣2）；又∵∠MPN为直角，∴•=0；即（2﹣x）（5﹣x）+2×（﹣2）=0，化简得x2﹣7x+6=0，解得x=1或x=6；∴P（1，0）或P（6，0）．18．（8.00分）已知直线经过点A（3，﹣2），斜率为﹣，求该直线方程．【解答】解：∵直线经过点A（3，﹣2），斜率为﹣，由直线方程的点斜式得：y+2=，化为一般式得：4x+3y﹣6=0．19．（10.00分）如图是水平放置的等边三角形ABC的直观图，其中BC=2a，求直观图中AB和AC的长度．【解答】解：由题意，OB=OC=a，OA=a，∠AOC=45°，∠AOB=135°，∴AC==a=a，AB==a．20．（10.00分）已知点M（1，0），N（﹣1，0），点P为直线2x﹣y﹣1=0上的动点．求PM2+PN2的最小值及取最小值时点P的坐标．【解答】解：设P坐标为（x，y），由已知有y=2x﹣1，故PM2+PN2=y2+（x+1）2+y2+（x﹣1）2=2y2+2x2+2=2（2x﹣1）2+2x2+2=10x2﹣8x+4，由二次函数的性质可知，其图象开口向上，最小值为=．此时x=﹣=，故PM2+PN2的最小值为，点P的坐标（，﹣）．21．（10.00分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G 分别是BC，DC和SC的中点，求证：平面EFG∥平面BB1D1D．【解答】证明：连结SB，连结SD，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB，又SB⊂平面BDD1B1，EG不包含于平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD，又SD⊂平面BDD1B1，FG不包含于平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，∴平面EFG∥平面BDD1B122．（12.00分）求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行，已知：如图，α∩β=l，a∥α，a∥β，求证：a∥l．【解答】证明：过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b．同样，过a作平面ξ交平面β于C．∵a∥β，∴a∥C．∴b∥C．β且C⊂β，∴b∥β．又∵b⊄又平面α经过b交β于l．∴b∥l，且a∥b．∴a∥l．23．（12.00分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m （高不变）；二是高度增加4m （底面直径不变） （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3）哪个方案更经济些？【解答】解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ，则仓库的体积（2分）如果按方案二，仓库的高变成8m ，则仓库的体积（4分）（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ，半径为8m 棱锥的母线长为l=则仓库的表面积S 1=π×8×4=32π（m 2）（6分）如果按方案二，仓库的高变成8m 棱锥的母线长为l==10则仓库的表面积S 2=π×6×10=60π（m 2）（8分） （3）∵V 2＞V 1，S 2＜S 1∴方案二比方案一更加经济（12分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域Rxa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

2014年江苏省常州市某校高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应答题线上．） 1. 已知集合M ＝{−1, 1}，N ={x|12<2x+1<4,x ∈Z}，则M ∩N ＝________． 2. 在复平面上，复数3(2−i)2对应的点到原点的距离为________．3. 已知函数f(x)=sin 4ωx −cos 4ωx(ω>0)的最小正周期是π，则ω=________．4. 某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为________．5. 已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1+a 2=1，a 3+a 4=4，则a 5+a 6+a 7+a 8=________．6. 已知|a →|＝3，|b →|＝4，(a →+b →)⋅(a →+3b →)＝33，则a →与b →的夹角为________．7. 在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是________．8. 执行如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为________．9. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列四个命题： ①α // β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l // m ； ③l // m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α // β其中正确命题的序号是________．10. 若动点P(m, n)是不等式组{2x +y ≤4x ≥0y ≥0表示的平面区域内的动点，则z =n+1m+1的取值范围是________．11. 记S k =1k +2k +3k +...+n k ，当k =1，2，3，…时，观察下列等式： S 1=12n 2+12n ， S 2=13n 3+12n 2+16n ， S 3=14n 4+12n 3+14n 2，S 4=15n 5+12n 4+13n 3−130n ，S 5=An 6+12n 5+512n 4+Bn 2， …可以推测，A −B =________．12. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和圆O:x 2+y 2=b 2，若C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB =60∘，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．13. 在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆x 2+y 2−2y =0(1≤y ≤2)上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当OA →⋅OC →=10时，则点C 的横坐标的取值范围是________． 14. 设f(x)＝e tx (t >0)，过点P(t, 0)且平行于y 轴的直线与曲线C:y ＝f(x)的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若S （1, f(1)），则△PRS 的面积的最小值是________e2 ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 设函数f(x)=sin(2x +π6)+cos 2x +√3sinxcosx ．（1）若|x|<π4，求函数f(x)的值域；（2）设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若f(A 2)=52，cos(A +C)=−5√314，求cosC 的值． 16. 如图，在三棱锥P −ABC 中，△PAB 和△CAB 都是以AB 为斜边的等腰直角三角形，D 、E 、F 分别是PC 、AC 、BC 的中点． （1）证明：平面DEF // 平面PAB ； （2）证明：AB ⊥PC ；（3）若AB =2PC =√2，求三棱锥P −ABC 的体积．17. 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设∠AA 1H 1＝α． （1）试用α表示△AA 1H 1的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．18. 如图，已知F(c, 0)是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点；⊙F：(x−c)2+y2=a2与x轴交于D，E两点，其中E是椭圆C的左焦点．（1）求椭圆C的离心率；（2）设⊙F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点D关于y轴的对称点，试判断直线AB与⊙F的位置关系；（3）设直线AB与椭圆C交于另一点G，若△BGD的面积为24√613c，求椭圆C的标准方程．19. 设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且T n=4−(S n−p)23，其中p为常数．（1）求p的值；（2）求证：数列{a n}为等比数列；（3）证明：“数列a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．20. 已知函数f(x)=x(x−a)(x−b)，点A（s, f(s)），B（t, f(t)）．（1）若a=0，b=3，函数f(x)在(t, t+3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；（2）当a=0时，f(x)x +lnx+1≥0对任意的x∈[12，+∞)恒成立，求b的取值范围；（3）若0<a<b，函数f(x)在x=s和x=t处取得极值，且a+b<2√3，O是坐标原点，证明：直线OA与直线OB不可能垂直．（选修4-2：矩阵与变换）21. 试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=|1002|，N=|1201|．（选修4-4：极坐标与参数方程）22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=3√2．（1）把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P为椭圆C:x216+y29=1上一点，求P到直线的距离的最大值．23. 甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议．记所需抛币次数为ξ．（1）求ξ=6的概率；（2）求ξ的分布列和期望．24. 如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB // DC，∠DAB=90∘，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)求AC与PB的夹角的余弦值；(3)求平面AMC与平面BMC夹角的余弦值.2014年江苏省常州市某校高考数学一模试卷答案1. {−1}2. 353. 14. 205. 806. 120∘7. 138. −329. ①③10. [13,5]11. 1412. [√32，1)13. [−5, 5]14. e2．15. 解：（1）∵ f(x)=√32sin2x+12cos2x+1+cos2x2+√32sin2x=√3sin2x+cos2x+12=2sin(2x+π6)+12，∵ |x|<π4∴ −π3<2x+π6<2π3，∴ −√32<sin(2x+π6)≤1，∴ 12−√3<f(x)≤52，∴ f(x)的值域为(12−√3，52]；（2）由f(A2)=52，得sin(A+π6)=1，∵ A为△ABC的内角，∴ A=π3，又∵ 在△ABC中，cos(A+C)=−5√314，∴ sin(A+C)=1114，∴ cosC=cos(A+C−π3)=12cos(A+C)+√32sin(A+C)=3√314，∴ cosC的值为3√314．16. 解：（1）证明：∵ E、F分别是AC、BC的中点，∴ EF // AB．∵ AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴ EF // 平面PAB，同理DF // 平面PAB．∵ EF∩DF=F且EF⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，∴ 平面DEF // 平面PAB．（2）证明：取AB的中点G，连结PG、CG，∵ △PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴ PG⊥AB，CG⊥AB，∵ PG∩CG=G，且PG⊂平面PCG，CG⊂平面PCG，∴ AB⊥平面PCG．∵ PC⊂平面PCG，∴ AB⊥PC；（3）解：在等腰直角三角形PAB中，AB=√2，G是斜边AB的中点，∴ PG=12AB=√22，同理CG=√22．∵ PC=√22，∴ △PCG是等边三角形，∴ S△PCG=12⋅PG⋅CG⋅sin60∘=12⋅√22⋅√22⋅√32=√38．∵ AB⊥平面PCG，∴ V P−ABC=13⋅AB⋅S△PCG=13⋅√2⋅√38=√624．17. 设AH1为x，∴ x+xsinα+xtanα=4，x=4sinαsinα+cosα+1，S△AA1H1=12⋅x2tanα=8sinαcosα(sinα+cosα+1)2，α∈(0,π2)，令t=sinα+cosα∈(1,√2]，只需考虑S△AA1H1取到最大值的情况，即为S=4(t 2−1)(t+1)2=4−8t+1，当t=√2，即α＝45∘时，S△AA1H1达到最大此时八角形所覆盖面积的最大值为64−32√2．18. 解：（1）∵ 圆F过椭圆C的左焦点，把(−c, 0)代入圆F的方程，得4c2=a2，∴ 2c=a．故椭圆C的离心率e=ca =12．（2）在方程(x−c)2+y2=a2中令x=0得y2=a2−c2=b2，可知点B为椭圆的上顶点，由（1）知，ca =12，∴ a=2c,b=√a2−c2=√3c，∴ B(0,√3c)，在圆F的方程中令y=0可得点D坐标为(3c, 0)，则点A为(−3c, 0)，于是可得直线AB的斜率k AB=√3c3c =√33，而直线FB的斜率k FB=√3c−c=−√3，∵ k AB⋅k FD=−1，∴ 直线AB与⊙F相切．（3）椭圆的方程可化为3x2+4y2=12c2由（2）知切线AB的方程为y=√33x+√3c，联立{3x2+4y2=12c2y=√33x+√3c，解得点G的坐标为(−2413c，5√313c)．而点D(3c, 0)到直线AB的距离d=√3c|√1+13=3c，由S△BGD=12⋅|BG|⋅d=12⋅(2413(5√313√3c)3c=24√313c2=24√613c解得c=√2，∴ 椭圆的标准方程为x28+y26=1．19. n＝1时，由1=4−(1−p)23得p＝0或2，若p＝0时，T n=4−S n23，当n＝2时，1+a22=4−(1+a2)23，解得a2＝0或a2=−12，而a n>0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；证明：当p＝2时，T n=43−13(2−S n)2①，则T n+1=43−13(2−S n+1)2②，②-①并化简得3a n+1＝4−S n+1−S n③，则3a n+2＝4−S n+2−S n+1④，④-③得a n+2=12a n+1(n∈N∗)，又因为a2=12a1，所以数列{a n}是等比数列，且a n=12n−1；证明：充分性：若x＝1，y＝2，由a n=12n−1知a n，2x a n+1，2y a n+2依次为12n−1，22n，42n+1，满足2×22n =12n−1+42n+1，即a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列；必要性：假设a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列，其中x、y均为整数，又a n=12n−1，所以2⋅2x⋅12n =12n−1+2y⋅12n+1，化简得2x−2y−2＝1显然x>y−2，设k＝x−(y−2)，因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x−2y−2>1或2x−2y−2<1，故当k＝1，且当x＝1，且y−2＝0时上式成立，即证．20. （1）当a=0，b=3时，f(x)=x3−3x2，f′(x)=3x2−6x，令f′(x)=0得x=0，2，根据导数的符号可以得出函数f(x)在x=0处取得极大值，在x= 2处取得极小值．函数f(x)在(t, t+3)上既能取到极大值，又能取到极小值，则只要t <0且t +3>2即可，即只要−1<t <0即可．所以t 的取值范围是(−1, 0)． （2）当a =0时，f(x)x+lnx +1≥0对任意的x ∈[12，+∞)恒成立，即x 2−bx +lnx +1≥0对任意的x ∈[12，+∞)恒成立，也即b ≤x +lnx x+1x在对任意的x ∈[12，+∞)恒成立．令g(x)=x +lnx x+1x ， 则g′(x)=1+1−lnx x 2−1x 2=x 2−lnx x 2．记m(x)=x 2−lnx ，则m′(x)=2x −1x=2x 2−1x，则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点x =√22， 故也是最小值点，所以m(x)≥m(√22)=12−ln√22>0，从而g ′(x)>0，所以函数g(x)在[12，+∞)单调递增． 函数g(x)min =g(12)=52−2ln2．故只要b ≤52−2ln2即可． 所以b 的取值范围是(−∞,52−2ln2]．（3）假设OA →⊥OB →，即OA →⋅OB →=0，即（s, f(s)）•（t, f(t)）=st +f(s)f(t)=0， 故(s −a)(s −b)(t −a)(t −b)=−1，即[st −(s +t)a +a 2][st −(s +t)b +b 2]=−1． 由于s ，t 是方程f ′(x)=0的两个根， 故s +t =23(a +b)，st =ab 3，0<a <b ．代入上式得ab(a −b)2=9.(a +b)2=(a −b)2+4ab =9ab +4ab ≥2√36=12， 即a +b ≥2√3，与a +b <2√3矛盾， 所以直线OA 与直线OB 不可能垂直． 21. 解：MN =[1002] [12001]=[12002]，即在矩阵MN 变换下[x y ]→[x′y′]=[12x 2y ]，则12y′=sin2x′，即曲线y =sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y =2sin2x ．22. 解：（1）把直线的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=3√2展开得ρ(√22sinθ−√22cosθ)=3√2，化为ρsinθ−ρcosθ=6，得到直角坐标方程x −y +6=0．（2）∵ P 为椭圆C:x 216+y 29=1上一点，∴ 可设P(4cosα, 3sinα)，利用点到直线的距离公式得d =√2=√2≤√2=11√22． 当且仅当sin(α−φ)=−1时取等号． ∴ P 到直线的距离的最大值是11√22． 23. 解：（1）当ξ=6时，若甲赢意味着“第6次甲赢，前5次赢3次， 但根据规则，前4次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为12，因此P(ξ=6)=2C 53×(12)3×(12)2×12=516…4分（2）分布列为：∴ Eξ=4×18+5×14+6×516+7×516=9316 …12分24. (1)证明：以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴， AD 长为单位长度，建立空间直角坐标系，如图，则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,12)．∵ AP →=(0,0,1)，DC →=(0,1,0)， ∴ AP →⋅DC →=0，∴ AP ⊥DC ．由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥平面PAD ． 又DC ⊂平面PCD ，故平面PAD ⊥平面PCD ．(2)解：∵ AC →=(1,1,0)，PB →=(0,2,−1)， ∴ |AC →|=√2，|PB →|=√5，AC →⋅PB →=2， ∴ cos <AC →，PB →>=|AC →||PB →|˙=√105，即AC 与PB 的夹角的余弦值为√105.(3)在MC 上取一点N(x, y, z)，则存在λ∈R 使NC →=λMC →， ∵ NC →=(1−x, 1−y, −z)，MC →=(1, 0, −12)， ∴ x =1−λ，y =1，z =12λ， 要使AN ⊥MC ，只需AN →⋅MC →=0， 即x −12z =0，解得λ=45．可知当λ=45时，N 点的坐标(15,1,25)，能使AN →⋅MC →=0，此时AN →=(15,1,25)，BN →=(15,−1,25)有BN →⋅MC →=0．由AN →⋅MC →=0，BN →⋅MC →=0得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， 所以∠ANB 为所求二面角的平面角． ∵ |AN →|=√305，BN →=√305，AN →⋅BN →=−45，∴ cos <AN →，BN →>=AN →⋅BN →|AN →|⋅|BN →|=−23，即平面AMC 与平面BMC 夹角的余弦值为−23．。

江苏省常州市2014年中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题, 每小题2分, 满分16分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ）1. （2分）（2014•常州）﹣的相反数是（ ）A. B. ﹣ C. ﹣2 D. 2考点: 相反数.分析: 根据只有符号不同的两个数互为相反数, 可得一个数的相反数．解答: 解: ﹣ 的相反数是 ,故选：A.故选: A ．故选：A ．点评: 本题考查了相反数, 在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2. （2分）（2014•常州）下列运算正确的是（ ）A. a •a 3=a 3B. （ab ）3=a 3bC. （a 3）2=a 6D. a 8÷a 4=a 2考点: 同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方.分析: 根据同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方与积的乘方的知识求解即可求得答案.解答: 解: A.a •a3=a4, 故A 选项错误；B.（ab ）3=a3b3, 故B 选项错误；C.（a3）2=a6, 故C 选项正确；D 、a8÷a4=a4, 故D 选项错误．故选：C.故选: C ．故选：C ．点评: 此题考查了同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方与积的乘方等知识, 熟记法则是解题的关键．A. B. C. D.3. （2分）（2014•常州）下列立体图形中, 侧面展开图是扇形的是（）考点: 几何体的展开图.分析: 圆锥的侧面展开图是扇形.解答: 解: 根据圆锥的特征可知, 侧面展开图是扇形的是圆锥.故选B.故选B．点评: 解题时勿忘记圆锥的特征及圆锥展开图的情形.A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4. （2分）（2014•常州）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试, 每人10次射击成绩平均数均是9.2环,方差分别为S甲2=0.56, S乙2=0.60, S丙2=0.50, S丁2=0.45,则成绩最稳定的是（）考点: 方差.分析: 根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量, 方差越小, 表明这组数据分布比较集中, 各数据偏离平均数越小, 即波动越小, 数据越稳定．解答: 解；∵S甲2=0.56, S乙2=0.60, S丙2=0.50, S丁2=0.45,∴S丁2=＜S丙2＜S甲2＜S乙2,∴成绩最稳定的是丁；故选D.故选D．点评: 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量, 方差越大, 表明这组数据偏离平均数越大, 即波动越大, 数据越不稳定；反之, 方差越小, 表明这组数据分布比较集中, 各数据偏离平均数越小, 即波动越小, 数据越稳定．5. （2分）A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离（2014•常州）已知两圆半径分别为3cm,5cm, 圆心距为7cm, 则这两圆的位置关系为（）考点: 圆与圆的位置关系.分析: 根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r, 且R≥r, 圆心距为d：外离, 则d＞R+r；外切, 则d=R+r；相交, 则R﹣r＜d＜R+r；内切, 则d=R﹣r；内含, 则d＜R﹣r．解答: 解: ∵两圆的半径分别是3cm和5cm, 圆心距为7cm,5﹣3=2, 3+5=8,∴2＜7＜8,∴两圆相交.故选A.故选A．点评: 此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d, 两圆半径R, r的数量关系间的联系是解此题的关键．6. （2分）A. 第二, 三象限B. 第一, 三象限C. 第三, 四象限D. 第二, 四象限（2014•常州）已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1,2）, 则这个函数的图象位于（）考点: 反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式. 21世纪教育网专题: 压轴题；待定系数法.分析: 先把点代入函数解析式, 求出k值, 再根据反比例函数的性质求解即可．解答: 解: 由题意得, k=﹣1×2=﹣2＜0,∴函数的图象位于第二, 四象限．故选：D.故选: D．故选：D．点评: 本题考查了反比例函数的图象的性质：k＞0时, 图象在第一、三象限, k＜0时, 图象在第二、四象限．7. （2分）（2014•常州）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习. 图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象. 以下说法: ①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km 后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲. 其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个考点: 函数的图象.分析: 观察函数图象可知, 函数的横坐标表示时间, 纵坐标表示路程, 然后根据图象上特殊点的意义进行解答．解答: 解: ①乙在28分时到达, 甲在40分时到达, 所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确；②根据甲到达目的地时的路程和时间知: 甲的平均速度=10÷=15千米/时；故②正确；④设乙出发x分钟后追上甲, 则有: ×x= ×（18+x）, 解得x=6, 故④正确；③由④知: 乙第一次遇到甲时, 所走的距离为: 6×=6km, 故③错误；所以正确的结论有三个：①②④,故选B.故选B．点评: 读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义, 理解问题叙述的过程, 能够通过图象得到函数是随自变量的增大, 知道函数值是增大还是减小．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. （2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点A（﹣3,0）, 点B（0, ）,点P的坐标为（1,0）, ⊙P与y轴相切于点O. 若将⊙P沿x轴向左平移, 平移后得到⊙P′（点P的对应点为点P′）, 当⊙P′与直线l相交时, 横坐标为整数的点P′共有（）考点: 直线与圆的位置关系；一次函数的性质.分析: 在解答本题时要先求出⊙P的半径, 继而求得相切时P′点的坐标, 根据A（﹣3, 0）, 可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值．解答: 解: 如图所示, ∵点P的坐标为（1, 0）, ⊙P与y轴相切于点O,∴⊙P的半径是1,若⊙P与AB相切时, 设切点为D, 由点A（﹣3, 0）, 点B（0, ）,∴OA=3, OB= , 由勾股定理得: AB=2 , ∠DAM=30°,设平移后的圆心为M（即对应的P′）,∴MD⊥AB, MD=1, 又因为∠DAM=30°,所以M点的坐标为（﹣1, 0）, 即对应的P′点的坐标为（﹣1, 0）,所以当⊙P′与直线l相交时, 横坐标为整数的点的横坐标可以是﹣2, ﹣3, ﹣4共三个．故选：C.点评: 本题考查了圆的切线的性质的综合应用, 解答本题的关键在于找到圆与直线相切时对应的圆心的坐标, 然后结合A点的坐标求出对应的圆心的横坐标的整数解．二、填空题（本大题共9小题, 每小题4分, 满分20分.）9．（4分）（2014•常州）计算：|﹣1|=1, 2﹣2=, （﹣3）2=9, =﹣2．考点: 立方根；绝对值；有理数的乘方；负整数指数幂.分析: 运用立方根, 绝对值, 有理数的乘方和负整数指数幂的法则计算．解答: 解: : |﹣1|=1,2﹣2=,（﹣3）2=9,=﹣2.故答案为：1, , 9, ﹣2．故答案为：1，，9，﹣2.故答案为: 1，，9，﹣2．故答案为：1，，9，﹣2．点评: 本题主要考查了立方根, 绝对值, 有理数的乘方和负整数指数幂的知识, 解题的关键是熟记法则．10. （2分）（2014•常州）已知P（1, ﹣2）, 则点P关于x轴的对称点的坐标是（1, 2）. 考点: 关于x轴、y轴对称的点的坐标.分析: 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变, 纵坐标互为相反数．即点P（x, y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x, ﹣y）, 进而得出答案．解答: 解: ∵P（1, ﹣2）,∴点P关于x轴的对称点的坐标是：（1, 2）．故答案为：（1, 2）．故答案为：（1，2）.故答案为: （1，2）．故答案为：（1，2）．点评: 此题主要考查了关于x轴对称点的性质, 正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．11. （2分）（2014•常州）若∠α=30°, 则∠α的余角等于60度, sinα的值为.考点: 特殊角的三角函数值；余角和补角分析: 根据互为余角的两个角的和为90度求得∠α的余角的度数；根据特殊角的三角函数值求得sinα的值.解答: 6解: ∵∠A=30°,∴∠A的余角是: 90°﹣30°=60°；sinα=sin30°=,故答案为：60, ．故答案为：60，.故答案为: 60，．故答案为：60，．点评: 本题主要考查了特殊角的三角函数值以及余角的定义：如果两个角的和是一个直角, 那么称这两个角互为余角, 简称互余；也可以说其中一个角是另一个角的余角,12. （2分）（2014•常州）已知扇形的半径为3cm, 此扇形的弧长是2πcm, 则此扇形的圆心角等于120度, 扇形的面积是3πcm2. （结果保留π）考点: 扇形面积的计算；弧长的计算.分析: 设扇形的圆心角的度数是n°, 根据弧长公式即可列方程求得n的值, 然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．解答: 解: 设扇形的圆心角的度数是n°, 则=2π,解得: n=120,扇形的面积是：=3π（cm2）.故答案是：120, 3πcm2．故答案是：120，3πcm2.故答案是: 120，3πcm2．故答案是：120，3πcm2．点评: 本题考查弧长公式和扇形的面积公式, 正确记忆公式是关键．13. （2分）（2014•常州）已知反比例函数y=, 则自变量x的取值范围是x≠0；若式子的值为0, 则x=﹣3.考点: 函数自变量的取值范围；二次根式的定义；反比例函数的定义. 21世纪教育网分析: 根据分母不等于0列式计算即可得解；根据二次根式的定义列出方程求解即可.根据二次根式的定义列出方程求解即可．解答: 解: 反比例函数y=的自变量x的取值范围是x≠0,=0,解得x=﹣3.故答案为：x≠0, ﹣3．故答案为：x≠0，﹣3.故答案为: x≠0，﹣3．故答案为：x≠0，﹣3．点评: 本题考查了函数自变量的范围, 一般从三个方面考虑:（1）当函数表达式是整式时, 自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时, 考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时, 被开方数非负．（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14. （2分）（2014•常州）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1, 则m=2, 另一个根为2.考点: 一元二次方程的解；根与系数的关系.分析: 根据方程有一根为1, 将x=1代入方程求出m的值, 确定出方程, 即可求出另一根．解答: 解: 将x=1代入方程得: 1﹣3+m=0,解得: m=2,方程为x2﹣3x+2=0, 即（x﹣1）（x﹣2）=0,解得: x=1或x=2,则另一根为2.故答案为：2, 2．故答案为：2，2.故答案为: 2，2．故答案为：2，2．点评: 此题考查了一元二次方程的解, 方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．15. （2分）（2014•常州）因式分解: x3﹣9xy2=x（x+3y）（x﹣3y）.考点: 提公因式法与公式法的综合运用.分析: 先提取公因式x, 再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答: 解: x3﹣9xy2,=x（x2﹣9y2）,=x（x+3y）（x﹣3y）.=x（x+3y）（x﹣3y）．点评: 本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解, 一个多项式有公因式首先提取公因式, 然后再用其他方法进行因式分解, 同时因式分解要彻底, 直到不能分解为止．16. （2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中, 一次函数y=10﹣x的图象与函数y=（x ＞0）的图象相交于点A, B. 设点A的坐标为（x1, y1）, 那么长为x1, 宽为y1的矩形的面积为6, 周长为20.考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.分析: 解由两函数组成的方程组, 求出A的坐标, 再根据矩形的性质求出面积和周长即可．解答: 解: 解方程组得: , ,根据图象知: x1=5﹣, y1=5﹣,即长为x1, 宽为y1的矩形的面积是（5﹣）×（5+ ）=6, 周长是2（5﹣+5+ ）=20,故答案为：6, 20．故答案为：6，20.故答案为: 6，20．故答案为：6，20．点评: 此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点, 必须先求出交点坐标, 难易程度适中．17. （2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中, 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（1, 1）, 与x轴交于点A, 与y轴交于点B, 且tan∠ABO=3, 那么点A的坐标是（﹣2, 0）或（4, 0）.考点: 待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义专题: 压轴题.分析: 已知tan∠ABO=3就是已知一次函数的一次项系数是或﹣．根据函数经过点P, 利用待定系数法即可求得函数解析式, 进而可得到A的坐标．解答: 解: 在Rt△AOB中, 由tan∠ABO=3, 可得OA=3OB, 则一次函数y=kx+b中k=±.∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（1, 1）,∴当k=时, 求可得b=；k=﹣时, 求可得b=．即一次函数的解析式为y=x+或y=﹣x+.令y=0, 则x=﹣2或4,∴点A的坐标是（﹣2, 0）或（4, 0）.故答案为：（﹣2, 0）或（4, 0）．点评: 本题考查求一次函数的解析式及交点坐标.三、解答题（本大题共2小题, 满分18分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. （8分）（2014•常州）计算与化简：（1）﹣（﹣）0+2tan45°；（2）x（x﹣1）+（1﹣x）（1+x）.考点: 整式的混合运算；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值.分析: （1）先求出每一部分的值, 再代入合并即可；（2）先算乘法, 再合并同类项即可．（2）先算乘法，再合并同类项即可.（2）先算乘法，再合并同类项即可．解答: 解: （1）原式=2﹣1+2×1=2﹣1+2=﹣1；（2）原式=x2﹣x+1﹣x2=1﹣x.=1﹣x．点评: 本题考查了二次根式的性质, 零指数幂, 特殊角的三角函数值, 整式的混合运算的应用, 主要考查学生的计算能力, 题目比较好, 难度适中．19. （10分）（2014•常州）解不等式组和分式方程:（1）；（2）.考点: 解一元一次不等式组；解分式方程专题: 计算题.分析: （1）分别求出不等式组中两不等式的解集, 找出解集的公共部分即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程, 求出整式方程的解得到x的值, 经检验即可得到分式方程的解．（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答: 解: （1）,由①得: x＞1,由②得：x＞﹣2,则不等式组的解集为: x＞1；（2）去分母得: 3x+2=x﹣1,移项得: 3x﹣x=﹣1﹣2, 即2x=﹣3,解得：x=﹣,经检验x=﹣是分式方程的解.经检验x=﹣是分式方程的解．点评: 此题考查了解一元一次不等式组, 以及解分式方程, 熟练掌握运算法则是解本题的关键．四.解答题:20. （7分）（2014•常州）为迎接“六一”儿童节的到来, 某校学生参加献爱心捐款活动, 随机抽取该校部分学生的捐款数进行统计分析, 相应数据的统计图如下:（1）该校本的容量是50, 样本中捐款15元的学生有10人；（2）若该校一共有500名学生, 据此样本估计该校学生的捐款总数．考点: 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图.分析: （1）用捐5元的人数除以所占的百分比即是样本容量, 用总人数减去捐5元与10元的人数即是捐款15元的学生人数；（2）求出平均每人的捐款数再乘以该校人数即可得学生的捐款总数.（2）求出平均每人的捐款数再乘以该校人数即可得学生的捐款总数．解答: 解: （1）15÷30%=50（人）, 50﹣15﹣25=10（人）,故答案为：50, 10；（2）平均每人的捐款数为: ×（5×15+10×25+15×10）=9.5（元）,9.5×500=4750（元）,答：该校学生的捐款总数为4750元.答: 该校学生的捐款总数为4750元．答：该校学生的捐款总数为4750元．点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用, 读懂统计图, 从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21. （8分）（2014•常州）一只不透明的箱子里共有3个球, 把它们的分别编号为1, 2, 3, 这些球除编号不同外其余都相同.（1）从箱子中随机摸出一个球, 求摸出的球是编号为1的球的概率；（2）从箱子中随机摸出一个球, 记录下编号后将它放回箱子, 搅匀后再摸出一个球并记录下编号, 求两次摸出的球都是编号为3的球的概率．考点: 列表法与树状图法；概率公式.分析: （1）直接利用概率公式求解即可；（2）首先列出树状图, 然后利用概率公式求解即可．（2）首先列出树状图，然后利用概率公式求解即可.（2）首先列出树状图，然后利用概率公式求解即可．解答: 解: （1）从箱子中随机摸出一个球, 摸出的球是编号为1的球的概率为: ；（2）画树状图如下:共有9种等可能的结果, 两次摸出的球都是编号为3的球的概率为．共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是编号为3的球的概率为.共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是编号为3的球的概率为．点评: 本题考查了列表法与树状图法级概率公式, 难点在于正确的列出树形图, 难点中等．五.解答题（本大题共2小题, 共12分, 请在答题卡指定区域内作答, 解答应写出证明过程）22．（5分）（2014•常州）已知: 如图, 点C为AB中点, CD=BE, CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE.考点: 全等三角形的判定专题: 证明题.分析: 根据中点定义求出AC=CB, 根据两直线平行, 同位角相等, 求出∠ACD=∠B, 然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE．解答: 证明: ∵C是AB的中点（已知）,∴AC=CB（线段中点的定义）.∵CD∥BE（已知）,∴∠ACD=∠B（两直线平行, 同位角相等）.在△ACD和△CBE中,,∴△ACD≌△CBE（SAS）.∴△ACD≌△CBE（SAS）．点评: 本题主要考查了全等三角形的判定方法, 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等, 判定两个三角形全等时, 必须有边的参与, 若有两边一角对应相等时, 角必须是两边的夹角．23. （7分）（2014•常州）已知: 如图, E, F是四边形ABCD的对角线AC上的两点, AF=CE, 连接DE, DF, BE, BF. 四边形DEBF为平行四边形.求证：四边形ABCD是平行四边形.考点: 平行四边形的判定与性质. 21世纪教育网专题: 证明题.分析: 由“平行四边形的对角线相互平分”推知OD=OB, OE=OF；然后结合已知条件推知四边形ABCD的对角线互相平分, 则易证得结论．解答: 证明: 如图, 连结BD交AC于点O.∵四边形DEBF为平行四边形,∴OD=OB, OE=OF,∵AF=CE,∴AF﹣EF=CE﹣EF, 即AE=CF,∴AE+OE=CF+OF, 即OA=OC∴四边形ABCD是平行四边形.点评: 本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种, 应用时要认真领会它们之间的联系与区别, 同时要根据条件合理、灵活地选择方法．六.画图与应用（本大题共5小题, 请在答题卡指定区域内作答, 共14分）24．（7分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中, 如图, 已知Rt△DOE, ∠DOE=90°, OD=3, 点D在y轴上, 点E在x轴上, 在△ABC中, 点A, C在x轴上, AC=5．∠ACB+∠ODE=180°, ∠ABC=∠OED, BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M, 点E 的对应点为点N）, 画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A, B, C的对应点分别为点A′, B′, C′）, 使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；（3）求OE的长.考点: 作图-旋转变换；作图-平移变换.专题: 作图题.分析: （1）以点O为圆心, 以OE为半径画弧, 与y轴正半轴相交于点M, 以OD为半径画弧, 与x轴负半轴相交于点N, 连接MN即可；（2）以M为圆心, 以AC长为半径画弧与x轴负半轴相交于点A′, B′与N重合, C′与M重合, 然后顺次连接即可；（3）设OE=x, 则ON=x, 作MF⊥A′B′于点F, 判断出B′C′平分∠A′B′O, 再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x, F C′=O C′=OD=3, 利用勾股定理列式求出A′F, 然后表示出A′B′、A′O, 在Rt△A′B′O中, 利用勾股定理列出方程求解即可．（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，判断出B′C′平分∠A′B′O，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可.（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，判断出B′C′平分∠A′B′O，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可．解答: 解: （1）△OMN如图所示；（2）△A′B′C′如图所示；（3）设OE=x, 则ON=x, 作MF⊥A′B′于点F,由作图可知: B′C′平分∠A′B′O, 且C′O⊥O B′,所以, B′F=B′O=OE=x, F C′=O C′=OD=3,∵A′C′=AC=5,∴A′F= =4,∴A′B′=x+4, A′O=5+3=8,在Rt△A′B′O中, x2+82=（4+x）2,解得x=6,即OE=6.点评: 本题考查了利用旋转变换作图, 利用平移变换作图, 勾股定理, 熟练掌握性质变化与平移变化的性质是解题的关键．38 36 34 32 30 28 2625. （7分）（2014•常州）某小商场以每件20元的价格购进一种服装, 先试销一周, 试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表:x（元/件）t件） 4 8 12 16 20 24 28假定试销中每天的销售号（件）与销售价x（元/件）之间满足一次函数.（1）试求与x之间的函数关系式；（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下, 每件服装的销售定价为多少时, 该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注: 每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价﹣每件服装的进货价）考点: 二次函数的应用. 21世纪教育网分析: （1）设y与x的函数关系式为t=kx+b, 将x=38, y=4；x=36, y=8分别代入求出k、b, 即可得到t与x之间的函数关系式；（2）根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式, 利用二次函数的性质即可求出小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大值以及每天的最大毛利润是多少．（2）根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求出小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大值以及每天的最大毛利润是多少.（2）根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求出小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大值以及每天的最大毛利润是多少．解答: 解: （1）设与x之间的函数关系式为: t=kx+b, 因为其经过（38, 4）和（36, 8）两点, ∴,解得: .故y=﹣2x+80.（2）设每天的毛利润为w元, 每件服装销售的毛利润为（x﹣20）元, 每天售出（80﹣2x）件,则w=（x﹣20）（80﹣2x）=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200,当x=30时, 获得的毛利润最大, 最大毛利润为200元．当x=30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元.当x=30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元．点评: 本题主要考查运用待定系数法求一次函数的解析式及二次函数的应用, 根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式, 另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．26. （8分）（2014•常州）我们用[a]表示不大于a的最大整数, 例如: [2.5]=2, [3]=3, [﹣2.5]=﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数, 例如: ＜2.5＞=3, ＜4＞=5, ＜1.5＞＞=﹣1. 解决下列问题:（1）[﹣4.5]=﹣5, ＜3.5＞=4.（2）若[x]=2, 则x的取值范围是1＜x≤2；若＜y＞=﹣1, 则y的取值范围是﹣2≤y ＜﹣1.（3）已知x, y满足方程组, 求x, y的取值范围．考点: 一元一次不等式组的应用. 21世纪教育网专题: 新定义.分析: （1）根据题目所给信息求解；（2）根据[2.5]=2, [3]=3, [﹣2.5]=﹣3, 可得[x]=2中的1＜x≤2, 根据＜a＞表示大于a 的最小整数, 可得＜y＞=﹣1中, ﹣2≤y＜﹣1；（3）先求出[x]和＜y＞的值, 然后求出x和y的取值范围．（3）先求出[x]和＜y＞的值，然后求出x和y的取值范围.（3）先求出[x]和＜y＞的值，然后求出x和y的取值范围．解答: 解: （1）由题意得, [﹣4.5]=﹣5, ＜3.5＞=4；（2）∵[x]=2,∴则x的取值范围是1＜x≤2；∵＜y＞=﹣1,∴y的取值范围是﹣2≤y＜﹣1；（3）解方程组得: ,∴x, y的取值范围分别为﹣1≤x＜0, 2≤y＜3．∴x，y的取值范围分别为﹣1≤x＜0，2≤y＜3.∴x，y的取值范围分别为﹣1≤x＜0，2≤y＜3．点评: 本题考查了一元一次不等式组的应用, 解答本题的关键是读懂题意, 根据题目所给的信息进行解答．27. （7分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A, B（点B在点A的左侧）, 与y轴交于点C. 过动点H（0, m）作平行于x轴的直线l, 直线l与二次函数y=﹣x2+x+2的图象相交于点D, E.（1）写出点A, 点B的坐标；（2）若m＞0, 以DE为直径作⊙Q, 当⊙Q与x轴相切时, 求m的值；（3）直线l上是否存在一点F, 使得△ACF是等腰直角三角形？若存在, 求m的值；若不存在, 请说明理由．考点: 二次函数综合题. 21世纪教育网分析: （1）A.B两点的纵坐标都为0, 所以代入y=0, 求解即可.（2）由圆和抛物线性质易得圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处, 则Q的横坐标为, 可推出D、E两点的坐标分别为：（﹣m, m）, （+m, m）．因为D、E都在抛物线上, 代入一点即可得m．（3）使得△ACF是等腰直角三角形, 重点的需要明白有几种情形, 分别以三边为等腰三角形的两腰或者底, 则共有3种情形；而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形, 故共有6种情形．求解时．利用全等三角形知识易得m的值．（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有3种情形；而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形. 求解时. 利用全等三角形知识易得m的值.（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有3种情形；而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形．求解时．利用全等三角形知识易得m的值．解答: 解: （1）当y=0时, 有,解得: x1=4, x2=﹣1,∴A、B两点的坐标分别为（4, 0）和（﹣1, 0）．（2）∵⊙Q与x轴相切, 且与交于D.E两点,∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处,∵抛物线的对称轴为, ⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m＞0）,∴D.E两点的坐标分别为: （﹣m, m）, （+m, m）∵E点在二次函数的图象上,∴,解得或（不合题意, 舍去）．（3）存在.①如图1,当∠ACF=90°, AC=FC时, 过点F作FG⊥y轴于G,∴∠AOC=∠CGF=90°,∵∠ACO+∠FCG=90°, ∠GFC+∠FCG=90°,∴∠ACO=∠CFG,∴△ACO≌△∠CFG,∴CG=AO=4,∵CO=2,∴m=OG=2+4=6；反向延长FC, 使得CF=CF′, 此时△ACF′亦为等腰直角三角形,易得yC﹣yF′=CG=4,∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2.②如图2,当∠CAF=90°, AC=AF时, 过点F作FP⊥x轴于P,∵∠AOC=∠APF=90°, ∠ACO+∠OAC=90°, ∠FAP+∠OAC=90°,∴∠ACO=∠FAP,∴△ACO≌△∠FAP,∴FP=AO=4,∴m=FP=4；反向延长FA, 使得AF=AF′, 此时△ACF’亦为等腰直角三角形,易得yA﹣yF′=FP=4,∴m=0﹣4=﹣4.③如图3,当∠AFC=90°, FA=FC时, 则F点一定在AC的中垂线上, 此时存在两个点分别记为F, F′,分别过F, F′两点作x轴、y轴的垂线, 分别交于E, G, D, H.∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°,∴∠DFC=∠EFA,∵∠CDF=∠AEF, CF=AF,∴△CDF≌△AEF,∴CD=AE, DF=EF,∴四边形OEFD为正方形,∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD,∴4=2+2•CD,∴CD=1,∴m=OC+CD=2+1=3.∵∠HF′C+∠CGF′=∠CGF′+∠GF′A,∴∠HF′C=∠GF′A,∵∠HF′C=∠GF′A, CF′=AF′,∴△HF′C≌△GF′A,∴HF′=GF′, CH=AG,∴四边形OHF′G为正方形,∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2,∴OH=1,∴m=﹣1.∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+ ,∴y的最大值为.∵直线l与抛物线有两个交点, ∴m＜．∴m可取值为：﹣4、﹣2、﹣1或3.综上所述, 直线l上存在一点F, 使得△ACF是等腰直角三角形, m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3．综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3.综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2.﹣1或3．综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4.﹣2、﹣1或3．综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3．点评: 本题难度适中, 考查的主要是二次函数、圆、等腰直角三角形及全等三角形性质, 但是最后一问情形较多不易找全, 非常锻炼学生的全面思考．28. （10分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中, 点M（, ）, 以点M为圆心, OM 长为半径作⊙M. 使⊙M与直线OM的另一交点为点B, 与x轴, y轴的另一交点分别为点D, A （如图）, 连接AM. 点P是上的动点. 21·cn·jy·com（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上, 且OP•OQ=20, 过点Q作QC垂直于直线OM, 垂足为C, 直线QC 交x轴于点E. 21·世纪*教育网①当动点P与点B重合时, 求点E的坐标；。

2021年普通高等学校招生全国统一测试(江苏卷) 数学I考前须知考生在做题前请认真阅读本考前须知及各题做题要求1 .本试卷共4页,包含填空题(第 1题一第14题)、解做题(第15题 第20题).本卷总分值160分, 测试时间为120分钟.测试结束后,请将做题卡交回. 2 .做题前,请您务必将自己白姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及做题卡的规定位置.3 .请在做题卡上根据顺序在对应的做题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4 .如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.5 .请保持做题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 参考公式：圆柱的体积公式：V 圆柱sh ,其中s 为圆柱的外表积,h 为高.6(6)【2021年江苏,6, 5分】为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中cm),所得数据均在区间［80 ,130］上,其频率分布直方图如下图, 那么在抽测的60株树木中,有树木的底部周长小于 100 cm. 【答案】24【分析】由题意在抽测的 60株树木中,底部周长小于100cm 的株数为(0.015 0.025) 10 60 24 .圆柱的侧面积公式： 一、填空题：本大题共 (1)【2021年江苏,【答案】{ 1,3}%柱=& ,其中c 是圆柱底面的周长,l 为母线长. 14小题,每题 1, 5分】集合5分,共计70分.请把答案填写在做题卡相应位置上 {2, 1 ,3, 4}, B { 1,2, 3},那么 AI B【分析】由题意得 AI B { 1,3}. (2)【2021年江苏, 【答案】21【分析】由题意z(3)【2021年江苏, 【答案】52, (5 3, 5分】复数2i)2 25 2 5 2i (5 2i)2(i 为虚数单位),那么z 的实部为(2i) 2 21 20i ,其实部为 21 . 5分】右图是一个算法流程图,那么输出的 n 的值是【分析】此题实质上就是求不等式 2n 20的最小整数解.2n 20整数解为n 5,因此输出的n(4)【2021年江苏,4, 5分】从1,2,3, 6这4个数中一次随机地取 2个数,那么所取2个数的乘积为6的 概率是. 【答案】13【分析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有C 2 6种取法,其中乘积为 概率为P 2 1.6 36的有1,6和2,3两种取法,因此所求(5)【2021年江苏,5, 5分】函数 y cosx 和ysin(2x )(0 <), 它们的图象有一个横坐标为交点,那么 的值是【分析】由题意 cos —3 2sin(2 一 ),即 sin(—)331)k 一,(k Z),由于 0 660株树木的底部周长(单位:(7)【2021年江苏,7, 5分】在各项均为正数的等比数列 {&}中,假设 a21 , & a6 2a4 ,那么3的值是 【答案】4 【分析】设公比为q ,由于a2 1,那么由a 8 a 6 2a 4得q 6 42q 2aq 2 2 0,解得 q 22,所以 a 6a 2q 4 4 .(8)【2021年江苏,8, 5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 等,且19,那么'的值是. S 2 4 V 2 【答案】2 S,S ,体积分别为V M ,假设它们的侧面积相【分析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为 h 1 h 2-12「1 3 V 1以一一,贝u — 「2 2 V 2 2 2 「1 hi 「1 hi 2「1 「2 「1 3F 一 — ~ 「2 J 「2 2 (9)【2021年江苏,9, 长为. 【答案】2_55 5【分析】圆(x 2) 2(y 2 ( 1)5分】在平面直角坐标系xOy 中,直线 x 2y 3 0 被圆(x 2)2(y 1)24截得的弦1)2 34的圆心为C(2, 1),半径为r 2 ,点C 到直线x 2y 3 0的距离为 2 5 假设对任意 (10)【2021年江苏,10, 5分】函数 数m 的取值范围是. 【答案】 J 2 , 0 f(x) x [m , m 1],都有f (x) 0成立,那么实 【分析】据题意f(m) f (m m 2 1 0 1) (m 1)2m(m 1) 1 (11)【2021年江苏,11, 5分】在平面直角坐标系 xOy 中,假设曲线y ax 2 b( a , b 为常数)过点P(2 , 5),且x 、 该曲线在点 【答案】 3 P 处的切线和直线7x 2y 3 0平行,那么a b 的值是 【分析】曲线y 2 ax b , —过点 P(2, 5),那么 4a b 5①,又y' 2ax 与,所以 2 x b 4a 一 4 工②,由①②解得 2uuu uur uuu uuu CP 3PD , AP BP 2 , uur uuir … 那么AB AD 的值是 ________ . 【答案】22uu 「 uu 「 UJU uuir 1 uuu uuu uuir uuu uur 3 ujur 11「 DP AD -AB , BP BC CP BC -CD AD 4 4【分析】由题息,AP AD uuu um uur 1 UUU 山1「 3 UUI, ULU' 2 1 山1! UUU 3所以 AP BP (AD 1 UJIT ULUl 即 2 25 & AD AB -AB) (AD -AB) AD -AD AB ——AB , 4 4 2 16 3ULU' UU 「 —64 ,解得 AD AB 22 .16 (13)【2021年江苏,13,5分】f(x)是定义在R 上且周期为3的函数,当x所以a b (12)【2021年江苏, 3,4]上有10个零点(互不相同),那么实数a 的取值范围是 x 2. 12, 3 uuu 一 AB , 4 5分】如图,在平行四边形 ABCD 中,,AB 假设函数y f (x) a 在区间[ 【答案】0,2 【分析】作出函数f(x) 2 x 2x 1 」 1,x [0,3)的图象,可见f (0) 一,当x 1时,f (x)极大一 22[0,3)时, f(x)2xi-f(3) 7,方程f(x) a 0在x ［ 3,4］上有10个零点,即函数y f(x)和图象和直线 2 y a 在［3,4］上有10个交点,由于函数 f(x)的周期为3,因此直线y a 和函数r / 、 2 c 1 f (x) x 2x - 2(14)【2021年江苏,【答案】 6 2 4 【分析】由sin A 3a 2 2b 2 8ab 的最小值为 二、解做题：本大题共过程或演算步骤. (15)【2021年江苏, (1)求 sin 4 1 ,x ［0,3)的应该是4个交点,那么有 a (0,).214, 5分】假设 ABC 的内角满足sin A 72sin B J2sin B 2sinC 及正弦定理可得 a >/2b 2c, 2 2ab 2,6ab 2 2ab 6 2 8ab,当且仅当 2sin C ,那么cosC 的最小值是 2 .2 a b cosC ------------ 2ab2 2 a 2b 2a b ( 2 )2ab 23a 2b 2,即日 噌时等号成立,所以cosC b 3 爬行 4 6小题,共计90分. 请在做题卡指定区域内 作答, 解答时应写出必要的文字说明、证实15, 14分】 的值; 解：(1) — 2, ,sin 西,/. cos51 sin 225 5,sin —sin —cos 4 4(2) sin 2 2sin cos cos —sin4 4一,cos 2 52, —(cos sin2 ・2 cos sin )亚.110 3 5,cos — 2 cos —cos2 sin —sin2 — 3 1 4 3 3 4 6 6 6 2 5 2 5 10(16)【2021年江苏, PA AC , PA 16, 14分】如图,在三棱锥 P ABC 6, BC 8, DF 5. 中,D,E,F 分别为棱PC 2 的值.,AC , AB (2)求 cos -y (1)求证：直线FA//平面DEF;(2)平面BDEL 平面 ABC.解：(1) D , E 为 PC , AC 中点DE// (2) D , E 为 PC , AC 中点,DE PA / PA 1 ：1 PA 2 平面 DEF , DE 平面 DEFPA // 平面 DEF.1 3 .・ E , F 为 AC , AB 中点,,EF - BC 4,的中点.•l• DE 2EF 2 DF 2 , DEF 90°, DEXEF,「DE//PA,PA AC ,「• DE••• AC I EF E ,,DE ,平面 ABC, 「DE 平面 BDE, (17)【2021年江苏,17, 14分】如图,在平面直角坐标系 xOy 中, ・•・平面 BDEL 平面ABC. 2 2F,F 2分别是椭圆与弓 a b 1(a 0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0 , b),连结BF 2并延长交椭圆于点 连结FC . (1)假设点C 的坐标为 4,1 ,且BF 2 J 2,求椭圆的方程; 3 3 (2)假设 FC AB,求椭圆离心率 e 的值. 16 解：(1)C b 2 2 2 2 2 2 9 , •, BF 2 b c a , a A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,(T 2)2 2 , • . b 2 1 ,3,椭圆方程为222. y 21.(2)设焦点 F i( c,0),F 2(c,0),C(x,y), .• A , C 关于 x 轴对称,,A(x ,1 ,即 xc by c2 0 ②16分】如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥 BC 和河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段OA 上并和BC 相切的圆,且古桥两端(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM=dm,(0qw60)d=10时,r680 3d最大,即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时,圆形保护区的面积最大.5解法二:(1)如图,延长OA,CB 交于点 F.由于 = 3 .所以tan/BCO sin/FCO=9 , cos/ FCO = 9从而 AF OF OA 500 ,由于 OA^OC,所以 cos/ AFB=sin Z FCO =-,又由于 35ABXBC,所以 BF=AF••• Bf ,A 三点共线,,b 一y ,即 bx cy bc 0 ① x①②联立方程组, 解得C 在椭圆上,,2a cb 2c 2 a 22ca b 2 c 2 2bc 2 b 2 c 22bc 2b 2c 2—b^~.Ca 2c 2bc 2, , C 2-22 )~r-22b c b cc 乂5,故离心率为乂5 a 5 5(18)【2021年江苏,18,.和A 到该圆上任意一点的距离均不少于 正东方向170m 处(OC 为河岸),tan BCO80m.经测量,点A 位于点 3-.正北方向 60m 处,点C 位于点O(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？.解：解法一：(1)如图,以O 为坐标原点,OC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系 xOy.由条件知 A(0, 60), C(170, 0),直线 BC 的斜率 k BC—tan BCO又由于ABXBC, 所以直线 AB 的斜率k AB 9.设点B 的坐标为(a,b),4 贝U k BC =-b —0-a 170 J k AB = 3 3 a 0所以 BC= (170 80) (0 120)3,解得 a=80, b=120. 4150.因此新桥 BC 的长是150 m.由条件知,直线BC 的方程为y4 r 一一(x 170),即 4x 3y 680 0 , 3由于圆M 和直线 BC 相切,故点 M(0, d)到直线 BC 的距离是r,即r13d 680 |5 680 3d 5由于 .和A 到圆所以r d >80 r (60 d)>80M 上任意一点的距离均不少于680 3d ,、℃----------- d > 80 ,即 5680 3d5,解得 10< d < 35.(60 d 户 803 5 由于 OA=60,OC=170,所以 OF = OC tanZ FCO= 680 . CF=—OC — 850, 3 cos FCO 3 故当 5cos/ AFB== 400,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC 的长是150 m.3(2)设保护区的边界圆M和BC的切点为D,连接MD,那么MD^BC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m, OM=d m(04W60.)由于OA^OC,所以sin/CFO =cosZ FCO ,故由由于MD MD r 3(1)知,SinZ CFO = ------------ ---------------- ................ —所以rMF OF OM 680 d 5可.和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,680 3d5所以r d >80r (60 d)>80680 3d,即5680 3d5,解得10< d < 35,(60 d 户80故当d=10时,,晒5 (19)【2021年江苏,19, 16分】函数3d最大,即圆面积最大.f (x) e x e所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.其中e是自然对数的底数.(1)(2)(3) 证实：f(x)是R上的偶函数；假设关于x的不等式mf (x) < e x)上恒成立,求实数m的取值范围;解：(1) 正数a满足：存在你的结论.),使得f(x) a( x： 3x)成立.试比拟e a1和a 的大小,并证实f( x)(2)由题意,m(ef(x)是R上的偶函数.即m(e x e x1)< e x1, 「x (0, ), •1- e x 1 0, 对x (0 ,)恒成立.令t e x(t1),那么m w 121tti对任意t (1, t 12 1) 1(3) f'(x) a ,当x 1时0 ,x 1, h'(x) f'(x)0,即1t 1占10 f (x)在(1, h(x)在x (1,1 ,当且仅当t 2时等号成立,3)上单调增,令h(x) a()上单调减,3-3x) , h'(x) 3ax(x 1),:存在x.［1, ),使得f (x o) a( x)33x o), ・•. f(1) e 1 2a ,即ee-1•' lnao-rea P减,因此In a lne a(e 1)ln a a 1 ,设m(a) (e 1)ln a a 1 , m'(a)1 .ee 1a2e 1时,m'(a) 0, m(a)单调增；当a 1时,m'(a) 0 , m(a)单调m(a)至多有两个零点,而m(1) m(e) 0 , • .当a e 时,m(a) 0 , a e当1 e 1 a e 时,m(a) 0, 2 ee a 1 ;当a e 时,m(a) 0 ,(20)12021年江苏,20,16分】设数列｛a｝的前n项和为S .假设对任意的正整数那么称｛3｝是H数列〞.(1)假设数列｛a｝的前n项和S n 2n(n N),证实：｛a｝是H数列〞；n,总存在正整数m,使得S a m ,(2)设｛a n｝是等差数列,其首项a(3)证实：对任意的等差数列｛&｝,1 ,公差d ..假设｛aj是H数列〞,求d的值;总存在两个H数列〞的｝和｛Q｝,使得a b n G(n N )成立.解：(1)当n >2时,a n S(2) S n1时,S a,n(n 1)na d22得1 d (mS 1 2n2n当n> 2时, nnn^d2n1,当n 1 时,Sn &1, . .｛&｝是a S 2,H数列〞.N 使S n a mn(n 1)L 1 (m 1)d ,(3)设｛a｝的公差为d,令b n对n N , C n1 C n a ｛b n｝的前n项和T n na1ad ,n(n2(nd,1)a (2那么b nC na1Z &),令工b n a , G (n 1)(a d),(n 1)d a ,且｛bn｝ ,｛&｝为等差数歹U.(2 m)a ,那么m , 3) 2 .当n 1时m 1;当n 2时m 1 ;当n > 3时,由于n 和n 3奇偶性不同,即n(n 3)非负偶数,m N 因此对 n ,都可找到 m N ,使T nb m成立,即｛b n｝为H 数列〞.｛C n｝的前 n 项和 R n(n 2 1)(aid),令 c n(m 1)(a 1 d)R m,那么 mn(n21)1;对 n N , n(n 1)是非负偶数,二. mN,即对 n N ,都可找到m N ,使得R c m成立, 即｛c n｝为H 数列〞,因此命题得证.数学n考前须知考生在做题前请认真阅读本考前须知及各题做题要求1 .本试卷只有解做题,供理工方向考生使用.本试, 21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做,每位考生 在4个选做题中选答 2题.假设考生选做了 3题或4题,那么按选做题中的前 2题计分.第22、23题为必 做题.每题10分,共40分.测试时间30分钟.测试结束后,请将做题卡交回. 2 .做题前,请您务必将自己白姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及做题卡的规定位置.3 .请在做题卡上根据顺序在对应的做题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.4 .如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.【选做】此题包括 A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的做题区域内作答,假设多做,那么按作答 的前两题评分.解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤.(21-A)【2021年江苏,21-A, 10分】(选修4-1 :几何证实选讲)如图, AB 是圆.的直径, 是圆O 上位于AB 异侧的两点.证实：/ OCB=/D. 解：由于B, C 是圆O 上的两点,所以 OB=OC.故/ OCB=/B.又由于C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点,故/ B, / D 为同弧所对的两个圆周角,所以/ x,y 为实数,假设Aa=Ba,求x,y 的值.・••取出的2个球颜色相同的概率 P 10 -5-.36 18B=Z D,因此/ OCB = Z D. (21-B)【2021年江苏,21-B, 10分】(选修4-2:矩阵和变换)矩阵A1 1 …2 1,向重解：A (21-C) 2y 2 ,B a 2 xy【2021年江苏,： 2 y ,『2y 2 ,由A a = B a 信 4 y 2 xy2:解得x21-C, 10分】(选修4-4:坐标系和参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 解：直线 的参数方程为乌,2_ .为参数),直线l 和抛物线y 2 4x 交于A , B 两点,求线段AB 的长.l: x y 3代入抛物线方程y 2 4x 并整理得x 2 10x 9 (21-D)【2021年江苏,21-D,10分】(选彳4-5:不等式选讲)x 解：由于 x>0, y>0,所以 1 + *+丫2内也『0 , 1+x 2+y 可3/x 、0 ,0, 交点 A(1,2) , B(9, 6),故 |AB| 872 . 0 , y 0,证实：1 x y 2 1 x 2 y 9xy . 所以(1 + x+y 2)( 1 + x 2+y)书i'^y 2 31x 2y =9xy.【必做】第22、23题,每题10分,计20分.请把答案写在做题卡的指定区域内 (22)【2021年江苏,22, 10分】盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和 全相同.(1)从盒中一次随机取出 2个球,求取出的2个球颜色相同的概率 P;(2)从盒中一次随机取出 4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 治,埼 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E(X ).2个绿球,这些球除颜色外完,X 3,随机变量 X 表示x , X 2, X3解：(1) 一次取2个球共有C 936种可能情况,2个球颜色相同共有C 2C3C210种可能情况,C 、 D(2) X 的所有可能取值为4,3, 2,那么P(X 4) C 4126; P(X 3)3 1 3 1C 4c 5C 3c613 63'9 . _ _ _ _ _ 11P(X 2) 1 P(X 3) P(X 4) 号. ・•. X 的概率分布列为故£ 463 (23)【2021年江苏, 23, 10分】函数 f o (x) 126 乎x 0),设 f n (x)为 f n1(x)的导数,n N . (1)求 2f 1 - -f 22 2 2的值;(2)证实：对任意的 等式 nf£成立.解：(1)由,得 f i (x) f o (x) sin xcosxsin x x是 f 2(x) f 1 (x)cosx xsin xxsin x x2cos x2- x2sin x 3- x4f1(3)— , f 2(2)16故 2f 1(-) (2)由,得—f 2 (一) 1 •2 2xf o(x) sinx,等式两边分别对x 求导,得f o (x)xf o(x) cosx,即 f o(x) xf(x) cosx sin(x -),类似可得 2f1x) 3f z(x) xf s(x) cosx sin(x 32-), 4f s(x) xf 4(x)xf 2 (x)sin x sin(x ),sinx sin(x 2 ).卜面用数学归纳法证实等式 nf n 1(x) (i)当n=1时,由上可知等式成立. xf n(x) sin(x n2)对所有的n N *都成立.(ii)假设当n=k 时等式成立,即kfk由于[kf 「(x) k [sin(x 2-)]所以当n=k+1xf k(x)] kf k 1(x) / k cos(x -) (x 时,等式也成立.(x) xf k(x) sin(x k2-).f k(x) xf k (x)(k 1)f k (x)f 「(x),k2)sin[x 为；],所以(k 1)f k(x)f 「(x)sin[x综合(i),(ii)可知等式 nf n 1(x)xf n(x)sin(x n2~)对所有的n N 都成立.令 x 4,可得nf n1(N 4f n(-)sin(7)(n N ).所以 nf,n1q)7f n(4)£(n N )•。

高考已经离我们越来越近了，每到六月份就是我们家长和学生最紧张的时候，高考频道为了广大常州高考考生更好的估分，高考频道将为您首发2014年常州高考答案，请广大考生一定要关注本网。

2014年常州高考答案发布入口点击查看：2014年常州各科高考答案发布动态彻底消除“高考恐慌症”从4个方面入手高考恐慌症发生的原因比较复杂，有家庭、学校、社会的原因，也有考生自身的心理素质问题。

具体原因大致分为如下4类。

1.期望太高。

这里的期望指考生自己的期望，也指家长、老师对学生的其望。

过高的期望变为沉重的精神负担，使一些考生的神经高度紧张。

以致不能自我调节。

2.认识偏差。

很多考生、甚至一些学生家长和部分教师把上大学看作是人生的唯一出路，致使一些考生把高考看作生死攸关的大事，唯恐自己考不好。

3.自控力差。

多数考生是父母、老师“捧大”的，未经风风雨雨的磨炼，感情脆弱，意志力薄弱，遇到高考这样的重大场合，自控力不足以抵抗紧张气氛的挑战，以至于惊慌失措。

4.生活压抑。

有些考生在自学成才中常处在孤立无援的状态，受到学校与家庭的冷遇、排斥、讥笑、打击，造成性格怪癖，情绪波动大，一到高考，心理压力更大。

明白了这些道理，我们就能对症下药，彻底消除“高考恐慌症”。

具体可从下列几个方面入手：1.端正认识。

上大学固然是一条康庄大道，但决不是人生的唯一出路。

高考与其他考试一样，是一次对考生现有知识水平和运用这些知识解决问题的能力的测试，考生没有必要过分紧张，而应该大胆地、全力以赴地投入高考，充分发挥自己的聪明才智。

不要去管考试的结果，考得上当然高兴，考不上也不等于前途渺茫，平静地对待高考，这或许就是那些平时成绩一般而考时能超常发挥的学生成功的主要原因。

2.树立信心。

信心是成功之本，自卑的人常常扮演失败的角色，超越自卑，相信自己的实力，相信一分耕耘一分收获，十多年的寒窗苦读决不会付诸东流。

满怀信心地走进考场，成功即会向你走来。

3.放松自己。

高考中，几乎没有一个考生不紧张。

常州市第一中学2014届高三考前三模卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在题中横线上． 1．命题“2,10x R x x ∀∈++>”的否定是2．设集合04xA xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}21016B x y x x ==-+-，则A B 等于___________3．已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列11,,9b 是等比数列，则112b a a +的值为 .310±4．已知实数x ，y 满足不等式20403x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨≤⎪⎩，则y x 的取值范围是5．将函数2()cos() (cos 2sin )sin f x x x x x π=+-+的图象向左平移8π后得到函数()g x ，则()g x 的解析式为_________________6．在ABC ∆中，若22b =,1c =，tan 22B =，则ABC ∆面积为_______27． 等边△ABC 中，P 在线段AB 上，且AP PB λ=，若C P A B P B A C ⋅=⋅，则实数λ的值是 ．28．已知数列{}n a 满足143a =，()*126n n n a a n N a +=∈+，则11ni ia =∑= 9．某市2013年新建住房150万平方米，其中有25万平方米的经济适用房。

有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加15万平方米，按此计划，当年建造的经济适用房首次超过当年新建住房面积的一半的年份是 2015 。

(参考数据:3451.05 1.16,1.05 1.22,1.05 1.28≈≈≈)10．已知函数()2x F x =满足()()()F x g x h x =+，且(),()g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若不等式(2)()0g x ah x +≥对[]1,2x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是__176a ≥-_______．11．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对R x ∀∈，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数： ①()2x f x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-． 其中，具有性质P 的函数的序号是______①③12．函数2()2(3)2f x ax a x a =--+-中，a 为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的a 值的和为______________-1413．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++，定义()y f x ''=是函数()y f x '=的导函数。

江苏省常州市第一中学2007-2008学年度高三数学第一次月考试卷数 学 试 卷一、选择题：1、已知22{|1},{|1}M x y x N y y x ==-==-，那么MN = （ ）A 、∅B 、MC 、ND 、R2、已知：:|23|1,:(3)0p x q x x -< -<，则p 是q 的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 3、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n .其中真命题的序号是： （ ） A 、①② B 、③④ C 、①④ D 、②③ 4、设θ是第二象限角,且cos ,sin cos22t θθθ=<,则sin2θ的值是 （ ）A B C 、 D 、 5、若222sin sin 2sin 0αβα+-=，则22cos cos αβ+的取值范围是 （ ） A 、[1,5] B 、[1,2] C 、9[1,]4D 、[1,2]-6、若函数f (x)满足1(1)()f x f x +=，且(1,1]时,(),x f x x ∈-=则函数y=f(x)的图象与函数3log y x =的图象的交点的个数为 （ ） A 、 3 B 、 4 C 、 6 D 、 87、若四面体的六条棱中有五条长为a ，则该四面体体积的最大值为 （ ）A 、318aB 3C 、3112aD 38、已知偶函数y =f (x )在[－1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，则 （ ） A.(sin )(cos )f f αβ> B.(sin )(cos )f f αβ< C.(sin )(sin )f f αβ> D.(cos )(cos )f f αβ> 9、菱形ABCD 的边长为0,60,,,a A E F G ∠=，H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，且3aBE BF DG DH ====，沿EH 与FG 把菱形的两个锐角对折起来，使A 、C 两点重合，这时A 点到平面EFGH 的距离为A 、2a B C D 、)1a （ ）10、已知定义在R 上的奇函数()满足()2y f x y f x π==+为偶函数，对于函数()y f x =有下列几种描述，（1）()y f x =是周期函数 （2）x π=是它的一条对称轴 （3）(,0)π-是它图象的一个对称中心 （4）当2x π=时，它一定取最大值其中描述正确的是（ ）A 、（1）（2）B 、（1）（3）C 、（2）（4）D 、（2）（3）二、填空题：11、若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为 ] ； 12、4y x =+的值域为 ； 13、y =f(x)是关于x=3对称的奇函数，f （1）=1,cos sin x x -15sin 2[]cos()4xf x π+= ；14、已知方程2(1)40x a x a ++++=的两根为12,x x ，且1201x x <<<，则a 的取值范围是 ； 15、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若a 、b 、c 成等差数列，sin B =45且△ABC 的面积为32，则b = .16、若对终边不在坐标轴上的任意角x ，不等式sin cos x x +22tan cot m x x ≤≤+恒成立，则实数m 的取值范围是 ； 三、解答题：17、已知函数2π()2sin 4f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围．18、已知函数21()2sin 1[]2f x x x x θ=+- ∈。

常州市第一中学2014届高三考前三模卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在题中横线上． 1．命题“2,10x R x x ∀∈++>”的否定是2．设集合04xA xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{B x y ==，则A B I 等于___________ 3．已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列11,,9b 是等比数列，则112b a a +的值为 .310±4．已知实数x ，y 满足不等式20403x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨≤⎪⎩，则y x 的取值范围是5．将函数2()cos() (cos 2sin )sin f x x x x x π=+-+的图象向左平移8π后得到函数()g x ，则()g x 的解析式为_________________6．在ABC ∆中，若b =1c =，tan B =ABC ∆面积为7． 等边△ABC 中，P 在线段AB 上，且AP PB λ=u u u r u u u r ，若CP AB PB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ的值是 ．28．已知数列{}n a 满足143a =，()*126n n n a a n N a +=∈+，则11ni ia =∑= 9．某市2013年新建住房150万平方米，其中有25万平方米的经济适用房。

有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加15万平方米，按此计划，当年建造的经济适用房首次超过当年新建住房面积的一半的年份是 2015 。

(参考数据:3451.05 1.16,1.05 1.22,1.05 1.28≈≈≈)10．已知函数()2x F x =满足()()()F x g x h x =+，且(),()g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若不等式(2)()0g x ah x +≥对[]1,2x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是__176a ≥-_______． 11．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对R x ∀∈，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数： ①()2x f x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-． 其中，具有性质P 的函数的序号是______①③12．函数2()2(3)2f x ax a x a =--+-中，a 为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的a 值的和为______________-1413．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++，定义()y f x ''=是函数()y f x '=的导函数。

常州市第一中学2014届高三考前三模卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在题中横线上． 1．命题“2,10x R x x ∀∈++>”的否定是2．设集合04xA xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{B x y ==，则A B 等于___________3．已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列11,,9b 是等比数列，则112b a a +的值为 .310±4．已知实数x ，y 满足不等式20403x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨≤⎪⎩，则y x 的取值范围是5．将函数2()cos() (cos 2sin )sin f x x x x x π=+-+的图象向左平移8π后得到函数()g x ，则()g x 的解析式为_________________6．在ABC ∆中，若b =1c =，tan B =ABC ∆面积为7． 等边△ABC 中，P 在线段AB 上，且AP PB λ=，若CP AB PB AC ⋅=⋅，则实数λ的值是 ．28．已知数列{}n a 满足143a =，()*126n n n a a n N a +=∈+，则11ni ia =∑= 9．某市2013年新建住房150万平方米，其中有25万平方米的经济适用房。

有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加15万平方米，按此计划，当年建造的经济适用房首次超过当年新建住房面积的一半的年份是 2015 。

(参考数据:3451.05 1.16,1.05 1.22,1.05 1.28≈≈≈)10．已知函数()2x F x =满足()()()F x g x h x =+，且(),()g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若不等式(2)()0g x ah x +≥对[]1,2x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是__176a ≥-_______． 11．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对R x ∀∈，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2x f x =；②()sin f x x =；③3()f x x x =-． 其中，具有性质P 的函数的序号是______①③12．函数2()2(3)2f x ax a x a =--+-中，a 为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的a 值的和为______________-1413．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++，定义()y f x ''=是函数()y f x '=的导函数。

2014年常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2014年1月参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ▲ ． 2． 若1i1i im n +=+（m n ∈R ，，i 为虚数单位），则mn 的值为 ▲ ． 3． 已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，则a 的值为 ▲ ．4． 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．5． 某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ．6． 函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ．7． 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．8． 已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ▲ ．9． 若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a的值为 ▲ ． 10．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343a =q ，若数列{}n a 的前2014项的和为0，则q 的值为 ▲ ．12．已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若t a n 7t a n A B =，223a b c-=，则c = ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=．若PQ PM PN =+ ，则PQ 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c = ，(cos ,cos )n C A =．（1）若m n∥，c =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅= ，4cos 5A =，求cos C 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB ⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ； （3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC -的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足p a b p =，q a b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆（第18题）FBCEA1A 1B 1C （第16题）E :22221(0)x y a b a b+=>>的右准线为直线l ，动直线y kx m =+(00)k m <>，交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且OQ =． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM ，OQ 的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件）与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++；②当607x ≤≤时，()100t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本．（1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分） 已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的极大值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且 ()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2014年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ．求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点（1,1），求实数a 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点)6P p，直线:cos()4l +=pr q P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ． （1）若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦 值的大小；（2）若二面角A －PB －C，求 PA ．23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A不是B 的子集，且B 也不是A 的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个数； （2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．A BCDOP（第22题）常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 15 5．31.6（写成1585也对） 6．p 7．7108．12 9．13e 10．（1）（2） 11．9-p12．12(log 9,4) 13．4 14．- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵m n∥，∴cos cos a A c C =．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin2sin2A C =． ………………………………………………2分 ∵,(0,)A C p ∈，∴22A C =或22A C p +=， 从而A C =（舍）或2A C p +=．∴2B p=． ………………………………4分在Rt △ABC 中，tan a A c ==，6A p=． …………………………………6分 （2）∵3cos m n b B ⋅=，∴cos cos 3sin a C c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=． ∵A B C p ++=，∴sin()sin A C B +=． 从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A p ∈，∴(0,)2A p ∈，3sin 5A =． ……………………10分∵sin sin A B >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，cos 3B =． ………12分 ∴cos cos()cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+=431553-+⨯=． …………………………………14分 16．证明：（1）连结1AC ． ∵直三棱柱111A B C ABC -中，11AAC C 是矩形， ∴点F 在1AC 上，且为1AC 的中点．在△1A BC 中，∵E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点， ∴EF ∥BC ． ……………2分 又∵BC ⊂平面ABC ， EF ⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………4分 （2）∵直三棱柱111A B C ABC -中，1B B ⊥平面ABC ，∴1B B ⊥BC ．∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，1B B ⊥ EF ． ………………………………6分 ∵1B B AB B = ，∴EF ⊥平面11ABB A ． ………………………………8分 ∵EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11ABB A ． ………………………………10分 （3）11111223F ABC A ABC ABC V V S AA --∆==⨯⨯⨯ ………………………………12分=3211122326a a a ⨯⨯⨯=． ………………………………14分17．解：（1）由已知，得11133451025a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，， 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ …………………4分∴21n a n =-． ……………………………………………………………6分 （2）p ，q 为正整数， 由（1）得21p a p =-，21q a q =-． …………………8分 进一步由已知，得21p b p -=，21q b q -=． ………………………………………10分 ∵{}n b 是等差数列，p q ≠，∴{}n b 的公差1222q p d q p -'==-． ………………12分由211(22)b b b p d p -'=+-=，得11b =．∴21(1)324n n n n nT nb d -+'=+=． …………………………………………14分 18． 解：当A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点和上顶点时，则(,0)A a ，(0,)B b ，(,)22a bM ．∵21(,)a Q c e，∴由O ，M ，Q 三点共线，得21b e a a c=，化简，得1b =．………2分∵OQ =，∴22a c a =2a =．由22212a b c b a ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，，， 解得225,4.a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………………………………4分（1）椭圆E 的标准方程为2215x y +=． …………………………………………6分（2）把(0,0)y kx m k m =+<>，代入2215x y +=，得222(51)10550k x mkx m +++-=． ……………………………………………8分当△0>，22510k m -+>时，2551M mk x k =-+，251M my k =+， 从而点225(,)5151mk mM k k -++． ……………………………………………10分 所以直线OM 的方程15y x k=-． 由221515y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2222551P k x k =+． ……………………………………………12分∵OP 是OM ，OQ 的等比中项，∴2OP OM OQ =⋅， 从而22252(51)P M Q mkx x x k ==-+． ……………………………………………14分由2222525512(51)k mk k k =-++，得2m k =-，从而2m k=-，满足△0>． ……………15分 ∴mk为常数2-． ………………………………………………………………16分 19．解：（1）当60x =时，(60)1600t =，代入2()(5)10050t x a x =-++，解得2a =． ………………………………………………………………2分∴2(22010000)(34)20000,3460,,()(1007600)(34)20000,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧--+--<∈⎪=⎨-+--∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ 即32224810680360000,3460,,()1001100278400,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧-++-<∈⎪=⎨-+-∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ ……………4分 （注：写到上一步，不扣分．）（2）设2()(22010000)(34)20000g u u u u =--+--，3460u <≤，u ∈R ，则 2()6(161780)g u u u '=---．令()0g u '=，解得18u =-28(50,51)u =+．……………7分当3450u <<时，()0g u '>，()g u 单调递增；当5160u <<时，()0g u '<，()g u 单调递减． … ………………………………10分 ∵x *∈Ν，(50)44000M =，(51)44226M =，∴()M x 的最大值为44226．………12分 当6070x ≤≤时，2()100(1102584)20000M x x x =-+--单调递减，故此时()M x 的最大值为(60)216000M =． … ………………………………14分 综上所述，当51x =时，月利润()M x 有最大值44226元． ……………………15分 答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件． ……16分 20．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞． （1）当0a =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-，令()0f x '=得1x =． ………1分 列表：x (0,1)1(1,)+∞()f x ' + 0 - ()f x↗极大值↘所以()f x 的极大值为(1)1f =-． …………………………………………3分 (2) 2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ∆=+．（ⅰ）当14a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时，由()0f x '=得12x x =， ①若104a -<<，则120x x >>，由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．所以，()f x 的单调减区间为)，)+∞，单调增区间为； …………………………………………………………7分②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；③若0a >，则120x x >>，由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．()f x 的单调减区间为)+∞，单调增区间为． ……9分综上所述：当14a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为；当0a ≥时，()f x 单调减区间为)+∞，单调增区间为． ………………………………………………………10分 （3）()ln(1)g x x =-（1x >）．由()()1bg g a b =-得1lnln(1)1a b =--． ∵1a b <<， ∴11b a -=-(舍)，或(1)(1)1a b --=．∵21(1)(1)(1)a b b =--<-，∴2b >． …………………………………12分 由()2()2a bg b g +=得， 1ln(1)2ln(1)2ln [(1)(1)](*)22a b b a b +-=-=-+-⋅⋅⋅，因为112a b -+-， 所以（*）式可化为1ln(1)2ln [(1)(1)]2b a b -=-+-，即2111[1]21b b b -=+--（）． ………………………………………………14分令1(1)b t t -=>，则211[()]2t t t=+，整理，得4324210t t t -++=，从而32(1)(31)0t t t t ----=，即32310t t t ---=．记32()31,1h t t t t t =--->．2()361h t t t '=--，令()0h t '=得1t =（舍），1t =，列表：t(1,1 (1)+∞ ()h t '-+ ()h t↘↗所以，()h t 在(1,1+单调减，在(1)++∞单调增，又因为(3)0,(4)0h h <>，所以34t <<，从而45b <<． ………………………………………………16分常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：∵ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∴AD =BC ． 从而AD BC =． ∴∠ACD =∠BAC . ……………………………………………………4分 ∵AE 为圆的切线，∴∠EAD =∠ACD . …………………………………8分 ∴∠DAE =∠BAC . ……………………………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得 2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩……………………………………………4分代入0ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． ……………………………8分 将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1． ……………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：点P的直角坐标为， …………………………………………………4分直线l 的普通方程为40x y --=， ………………………………………8分从而点P 到直线l=…………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x -+--+=--++………4分 =(1)(1)(1)y xy x ---， ………………………………………………………6分 ∵1x ≥，1y ≥，∴0,0,0111y xy x ---≤≥≥． ………………………………………………8分 从而左边-右边≤0，∴22221x x y xy y x y ++++≤． ………………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：连结OC ．∵平面PAB ⊥平面ABC ，PO ⊥AB ，∴PO ⊥平面ABC ．从而PO ⊥AB ，PO ⊥O C ． ∵AC =BC ，点O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB．且OA OB OC a ==． ……………2分如图，建立空间直角坐标系O xyz -． （1）2PA a =，PO ．(0,,0)A，,0)B，,0,0)C ，)P，D ． …………4分从而(0,)PA =- ，，()CD = ．∵2cos ,PA CD PA CD PA CD ⋅<>===∴异面直线PA 与CD． ……………………………6分 （2）设PO h =，则(0,0,)P h ．∵ PO ⊥O C ，OC ⊥AB ，∴OC ⊥平面P AB ．从而,0,0)OC =是平面PAB 的一个法向量． 不妨设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，∵(0,)PB h =-，,0)BC = ，0,0.n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴,.hz x y ==⎪⎩ 不妨令x =1，则y =1，z =n = ． ………………………8分OC n OC n⋅==，化简，得2223h a =．∴PA ． …………………………………10分 23．解：（1）110； ………………………………………………………………3分（2）集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ,B )有2(21)n n-个．若A ⊂≠B ，并设B 中含有*(1,)k k n k ∈N ≤≤个元素，则满足A ⊂≠B 的有序集合对 (A ,B ) 有1(21)232nn nkkkkkn n nnn k k k CC C ===-=-=-∑∑∑个 ． …………………6分 同理，满足B ⊂≠A 的有序集合对(A ,B )有32n n-个． …………………8分故满足条件的有序集合对(A ,B )的个数为2(21)2(32)4223n n n n n n n ---=+-⨯ ………………………………………………10分。