2015-2016学年浙江省杭州市风帆中学九年级(上)第一次月考数学试卷

2015-2016学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列现象属于旋转的是（）A．摩托车在急刹车是向前滑动B．拧开自来水龙头C．雪橇在雪地里滑动D．空中下落的物体2．下列各图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）4．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣25．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣16．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣37．已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜8．已知二次函数（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x＞8 C．﹣2＜x＜8 D．x＜﹣2或x＞89．二次函数y=a（x+k）2+k，无论k为何实数，其图象的顶点都在（）A．直线y=x上B．直线y=﹣x上C．x轴上D．y轴上10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④二、填空题（每小题3分，共30分）11．如图，四边形ABCD为正方形，P为正方形ABCD外一点△ABP经过旋转后到达△BCQ 的位置，那么旋转中心是，旋转角是度．12．函数y=x2﹣x﹣6的图象与x轴的交点坐标是．13．将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=．14．写出一个开口向上，顶点坐标是（2，﹣3）的函数解析式．15．如图，△ABC绕点A旋转后到达△ADE处，若∠BAC=120°，∠BAD=30°，则∠DAE=°，∠CAE=°．16．已知抛物线y=﹣x2﹣x+c的顶点为（m，3），则m=，c=．17．如果函数y=（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．18．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是．19．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则化简代数式=．20．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=．三、解答题（共40分）21．作图题在图中，把△ABC向右平移5个方格，再绕点B的对应点顺时针方向旋转90度．要求：画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母．22．（12分）（2014秋•温岭市校级月考）（1）已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．（2）已知抛物线过点（﹣3，2），（﹣1，﹣1），（1，3），求抛物线的解析式．23．（10分）（2014秋•温岭市校级月考）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，（1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．（2）如何定价才能使利润最大，最大利润为多少？24．（12分）（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x 轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．2015-2016学年九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列现象属于旋转的是（）A．摩托车在急刹车是向前滑动B．拧开自来水龙头C．雪橇在雪地里滑动D．空中下落的物体考点：生活中的旋转现象．分析：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解答：解：A、C、D是平移，没有发生旋转，B、拧开自来水龙头是旋转．故选B．点评：要准确掌握旋转和平移的性质：（1）①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．（2）①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．2．下列各图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形．分析：轴对称图形的关键是寻找对称轴，折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．结合图形的性质即可作出判断．解答：解：A、只是轴对称图形．错误；B、只是中心对称图形．正确；C、两者都不是．错误；D、两种都不是，是旋转对称．错误．故选B．点评：理解中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．3．二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）考点：二次函数的性质．分析：根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．解答：解：y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（1，3）．故选A．点评：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式书写顶点坐标的方法是解题的关键．4．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣2考点：二次函数图象与几何变换．分析：先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．解答：解：抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），∵向下平移2个单位，∴纵坐标变为﹣2，∵向右平移1个单位，∴横坐标变为﹣1+1=0，∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，﹣2），∴所得到的抛物线是y=x2﹣2．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便，且容易理解．5．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x＜1时，y随x的增大而增大．解答：解：∵a=﹣1＜0，∴二次函数图象开口向下，又对称轴是直线x=1，∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．故选A．点评：本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．6．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：采用逐一排除的方法．先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可．解答：解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除B、D选项，将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1=（0﹣2）2+1=5，故A选项错误，代入C中，得（x﹣2）2﹣3=（0﹣2）2﹣3=1，故C选项正确．故选：C．点评：本题考查了二次函数的性质．关键是根据对称轴，点的坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除．7．已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜考点：抛物线与x轴的交点．分析：由题意二次函数y=x2+x+m知，函数图象开口向上，当x取任意实数时，都有y＞0，可以推出△＜0，从而解出m的范围．解答：解：已知二次函数的解析式为：y=x2+x+m，∴函数的图象开口向上，又∵当x取任意实数时，都有y＞0，∴有△＜0，∴△=1﹣4m＜0，∴m＞，故选B．点评：此题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，当函数图象与x轴无交点时，说明方程无根则△＜0，若有交点，说明有根则△≥0，这一类题目比较常见且难度适中．8．已知二次函数（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x＞8 C．﹣2＜x＜8 D．x＜﹣2或x＞8考点：二次函数与不等式（组）．分析：根据函数与不等式的关系：抛物线在直线上方的部分是方程的解，可得答案．解答：解：由图象，得当x＜﹣2或x＞8时，y1＞y2．故选：D．点评：本题考查了二次函数与不等式的关系，利用图象在上方的部分相应的函数值大得出不等式的解集是解题关键．9．二次函数y=a（x+k）2+k，无论k为何实数，其图象的顶点都在（）A．直线y=x上B．直线y=﹣x上C．x轴上D．y轴上考点：二次函数的性质．分析：由二次函数解析式可求得其顶点坐标，可得出答案．解答：解：∵y=a（x+k）2+k，∴二次函数顶点坐标为（﹣k，k），∴其图象顶点坐标在直线y=﹣x上，故选B．点评：本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式方程是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，其顶点坐标为（h，k）．10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．解答：解：∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a＞0，∴abc＜0，∴①正确；2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误；∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∵＜3，∴y2＜y1，∴④正确；故选：C．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．二、填空题（每小题3分，共30分）11．如图，四边形ABCD为正方形，P为正方形ABCD外一点△ABP经过旋转后到达△BCQ 的位置，那么旋转中心是B，旋转角是90度．考点：旋转的性质．分析：由△ABP经过旋转后到达△BCQ的位置可知旋转中心为B点，由BA与BC是对应边，可知旋转角为90°．解答：解：∵△ABP经过旋转后到达△BCQ的位置，四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴旋转中心是点B，旋转角为90°．故答案为：B；90．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质．12．函数y=x2﹣x﹣6的图象与x轴的交点坐标是（3，0），（﹣2，0）．考点：抛物线与x轴的交点．分析：根据函数与方程的关系，函数图象与x轴的交点横坐标即为当y=0时，方程x2﹣x ﹣6=0的解，据此即可求出函数图象与x轴的交点坐标．解答：解：当y=0时，x2﹣x﹣6=0，解得x1=3，x2=﹣2．则该抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣2，0）．故答案是：（3，0），（﹣2，0）．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，要熟悉函数与方程的关系，令y=0即可求出函数图象与x轴的交点坐标．13．将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=（x﹣2）2+1．考点：二次函数的三种形式．专题：常规题型．分析：将二次函数y=x2﹣4x+5的右边配方即可化成y=（x﹣h）2+k的形式．解答：解：y=x2﹣4x+5，y=x2﹣4x+4﹣4+5，y=x2﹣4x+4+1，y=（x﹣2）2+1．故答案为：y=（x﹣2）2+1．点评：本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=a（x﹣h）2+k；两根式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．14．写出一个开口向上，顶点坐标是（2，﹣3）的函数解析式y=（x﹣2）2﹣3．考点：二次函数的性质．专题：开放型．分析：已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表达解析式，由于开口向上，可取二次项系数a=1．解答：解：由抛物线开口向上，取a=1，已知顶点坐标为（2，﹣3），所以，抛物线解析式可写为y=（x﹣2）2﹣3．点评：本题答案不唯一．已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表示解析式，已知开口向上，只要二次项系数为正数即可．15．如图，△ABC绕点A旋转后到达△ADE处，若∠BAC=120°，∠BAD=30°，则∠DAE= 120°，∠CAE=30°．考点：旋转的性质．分析：图形的旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后两个三角形全等，并且旋转角都相等，即可求解．解答：解：∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=120°，∠CAE=∠BAD=30°．点评：本题主要考查了旋转的性质，是需要熟记的内容．16．已知抛物线y=﹣x2﹣x+c的顶点为（m，3），则m=﹣1，c=．考点：二次函数的性质．分析：把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据顶点坐标分别求解即可．解答：解：y=﹣x2﹣x+c=﹣（x+1）2++c，∵顶点为（m，3），∴m=1，+c=3，解得c=．故答案为：﹣1，．点评：本题考查了二次函数的性质，把二次函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．17．如果函数y=（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是0．考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．解答：解：由题意得：k2﹣3k+2=2，解得k=0或k=3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴当k=0时，这个函数是二次函数．故答案为：0．点评：本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．18．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是1（在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数）．考点：抛物线与x轴的交点．专题：计算题．分析：把（0，﹣3）代入抛物线的解析式求出c的值，在（1，0）和（3，0）之间取一个点，分别把x=1和x=3它的坐标代入解析式即可得出不等式组，求出答案即可．解答：解：把（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：c=﹣3，∴y=x2+bx﹣3，∵使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，∴把x=1代入y=x2+bx﹣3得：y=1+b﹣3＜0把x=3代入y=x2+bx﹣3得：y=9+3b﹣3＞0，∴﹣2＜b＜2，即在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数都符合，故答案为：1（在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数）．点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点的理解和掌握，能理解抛物线与x轴的交点的坐标特点是解此题的关键．19．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则化简代数式=．考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：由二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，求c的值及a、b 的关系式，根据对称轴的位置判断a的取值范围，再把二次根式化简求值．解答：解：把（﹣1，0）和（0，﹣1）两点代入y=ax2+bx+c中，得a﹣b+c=0，c=﹣1，∴b=a+c=a﹣1，由图象可知，抛物线对称轴x=﹣=﹣＞0，且a＞0，∴a﹣1＜0，0＜a＜1，，=+，=|a+|+|a﹣|，=a+﹣a+，=．故本题答案为：．点评：本题考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系，对称轴的性质，根据对称轴的位置确定a的取值范围的解题的关键．20．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=2．考点：二次函数图象与几何变换．专题：压轴题．分析：根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m 的值．解答：解：∵一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，∴C13的解析式为：y13=﹣（x﹣36）（x﹣39），当x=37时，y=﹣（37﹣36）×（37﹣39）=2．故答案为：2．点评：此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．三、解答题（共40分）21．作图题在图中，把△ABC向右平移5个方格，再绕点B的对应点顺时针方向旋转90度．要求：画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．专题：作图题．分析：（1）将各点向右平移5个单位，然后连接即可；（2）根据旋转角度、旋转方向、旋转点找出各点的对应点，顺次连接即可得出．解答：解：所作图形如下所示：点评：本题考查旋转及平移作图的知识，难度不大，关键是掌握几种几何变换的特点得出各点变换后的对称点，然后顺次连接．22．（12分）（2014秋•温岭市校级月考）（1）已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．（2）已知抛物线过点（﹣3，2），（﹣1，﹣1），（1，3），求抛物线的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：（1）根据题意设出抛物线的顶点形式，将（0，﹣5）代入即可确定出解析式．（2）设一般式，利用待定系数法求解析式即可．解答：解：（1）根据题意设y=a（x+1）2﹣3，将（0，﹣5）代入得：a﹣3=﹣5，解得：a=﹣2，则抛物线解析式为y=﹣2（x+1）2﹣3=﹣2x2﹣4x﹣5．故抛物线的解析式为y=﹣2x2﹣4x﹣5．（2）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得．所以抛物线的解析式为y=x2+2x+．点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．23．（10分）（2014秋•温岭市校级月考）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，（1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．（2）如何定价才能使利润最大，最大利润为多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）每件涨价x元，则每件的利润是（60﹣40+x）元，所售件数是（300﹣10x）件，根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式；（2）根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．解答：解：（1）y=（60﹣40+x）（300﹣10x）=﹣10x2+100x+6000=﹣10（x﹣5）2+6250；（2）当x=5时，y有最大值，最大值为：6250．此时售价为：60+5=65元．答：每件定价为65元时利润最大，最大利润为6250元．点评：本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．24．（12分）（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB 的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．解答：解：（1）将B、C两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；连接PP′，则PE⊥CO于E，∵C（0，﹣3），∴CO=3，又∵OE=EC，∴OE=EC=∴y=；∴x2﹣2x﹣3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去），∴P点的坐标为（，）（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，则，解得：∴直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）；当0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴AO=1，AB=4，S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF+QP•OF==当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．点评：此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．。

浙江省杭州市九年级上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2018八下·花都期末) 下列计算正确的是（）A .B .C . =1D .2. （2分） (2019八下·兰州期中) 在平面直角坐标系中，点A（2，5）与点B关于原点对称，则点B的坐标是（）A . （﹣5，﹣2）B . （2，﹣5）C . （﹣2，5）D . （﹣2，﹣5）3. （2分） (2020七上·兴安盟期末) 若关于的方程的解是，则的值（）A .B . 1C .D .4. （2分） (2019七下·龙岗期末) 下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017八下·延庆期末) 用配方法解方程x2﹣2x=3时，原方程应变形为（）A . （x+1）2=2B . （x﹣1）2=2C . （x+1）2=4D . （x﹣1）2=46. （2分） (2019八下·蜀山期末) 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x，则所列方程正确的是（）A . （1+x）2=4400B . （1+x）2=1.44C . 10000（1+x）2=4400D . 10000（1+2x）=144007. （2分）把多项式a2﹣b2+2a+1分解因式得（）A . （a+b）（a﹣b）+（2a+1）B . （a﹣b+1）（a+b﹣1）C . （a﹣b+1）（a+b+1）D . （a﹣b﹣1）（a+b+1）8. （2分）已知a、b、c为△ABC三边，且方程（x－a）（x－b）+（x－b）（x－c）+（x－c）（x－a）＝0有两个相等实数根，则△ABC为（）A . 两腰和底不等的等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形9. （2分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D ， E分别AC ， AB的中点．连接DE ，并延长到点F ，使EF=EB ，过点F作FG⊥AB于点G ，连接DG并延长，交CB的延长线于点H ，连接FH ．给出以下四个结论：①∠FGH=∠CDG；②DE=GE；③ ；④四边形CDFH是矩形．其中正确结论的个数是A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共10题；共11分)10. （1分）如果式子在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是________ ．11. （1分）(2017·湖州模拟) 分解因式： =________.12. （1分） (2019八上·伊川月考) 已知有理数，，满足，那么的平方根为________．13. （1分） (2016八上·通许期末) 等边三角形的一条中线长为，则这个三角形边长等于________．14. （1分）已知a，b满足|a﹣1|+|b+ |=0，则a+b=________．15. （1分）(2019·福田模拟) 已知AD是△ABC的中线，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°，则∠ACB＝________度．16. （1分） (2020七上·无锡期末) 若代数式的值为，则代数式的值为________．17. （1分） (2016九上·黑龙江月考) 一元二次方程x2=2x的根是________．18. （1分）(2017·江都模拟) 已知a、b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a3﹣a2+3b﹣2的值为________．19. （2分） (2019九上·栾城期中) 在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．（1）若参加聚会的人数为3，则共握手________次；若参加聚会的人数为5，则共握手________次；（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手________次；（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A ， B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．三、解答题 (共8题；共61分)20. （10分）解方程：4x2-3x-1=021. （5分） (2016七上·仙游期末) 已知|x+1|+（y﹣2）2=0，求﹣[（﹣3x2y2+3x2y）+3x2y2﹣3xy2）]的值22. （10分） (2017九上·北海期末) 如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．（1）画出将△OAB绕原点旋转180°后所得的△OA1B1 ，并写出点B1的坐标；（2）将△OAB平移得到△O2A2B2 ，点A的对应点是A2（2，﹣4），点B的对应点B2在坐标系中画出△O2A2B2；并写出B2的坐标；（3）△OA1B1与△O2A2B2成中心对称吗？若是，请直接写出对称中心点P的坐标．23. （10分） (2017九上·宛城期中) 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0．（1）当实数c________时，该方程有两个不等实根；（2）如2+ 是该方程的一个根，则实数c的值是________（3）在（2）的条件下，解方程求该方程的另一个根．24. （6分）(2018·无锡) 一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果．已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元，以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润．（1）求y关于x的函数表达式；（2）问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？25. （5分）(2020·福州模拟) 如图，正方形ABCD的边长为1，AB ， AD上各有一点P ， Q ，如果△APQ 的周长为2，求∠PCQ的度数．26. （5分） (2016九上·杭锦后旗期中) 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，出发多少秒后，四边形APQC的面积为16cm2？27. （10分）(2019·宁波模拟) 如图，矩形ABCD中，AD＝10，CD＝15，E是边CD上一点，且DE＝5，P是射线AD上一动点，过A，P，E三点的⊙O交直线AB于点F，连结PE，EF，PF，设AP＝x.（1）当x＝5时，求AF的长.（2）在点P的整个运动过程中.①tan∠P FE的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围；②当矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上时，求x的值.（3）若点A，H关于点O成中心对称，连结EH，CH.当△CEH是等腰三角形时，求出所有符合条件的x的值.(直接写出答案即可)参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共10题；共11分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、答案：略15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、答案：略19-4、答案：略三、解答题 (共8题；共61分)20-1、答案：略21-1、答案：略22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、答案：略24-1、24-2、25-1、答案：略26-1、27-1、答案：略27-2、答案：略27-3、答案：略。

浙江省九年级上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016九上·黔西南期中) 下列方程中，是一元二次方程的是（）A . x2+2x+y=1B . x2+ ﹣1=0C . x2=0D . （x+1）（x+3）=x2﹣12. （2分）用配方法解方程2x 2 + 3 = 7x时，方程可变形为（）A . （x-）2=B . （x-）2=C . （x-）2=D . （x-）2=3. （2分） (2020九上·沧州开学考) 某商品价格从2017年底到2018年底下降19%，从2018年底到2019年底下降36%，那么此商品价格从2017年底到2019年底平均下降百分率为：（）A . 30%B . 28%C . 25.5%D . 20%4. （2分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A . （2，3）B . （3，2）C . （3，3）D . （4，3）5. （2分） (2019九上·海珠期末) 把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A . y＝﹣2x2+1B . y＝﹣2x2﹣1C . y＝﹣2（x+1）2D . y＝﹣2（x﹣1）26. （2分） (2019八上·深圳期末) 在同一直角坐标系中，一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象与正比例函数y ＝kx图象的位置可能是（）A .B .C .D .7. （2分）关于二次函数y=﹣（x﹣3）2﹣2的图象与性质，下列结论错误的是（）A . 抛物线开口方向向下B . 当x=3时，函数有最大值﹣2C . 当x＞3时，y随x的增大而减小D . 抛物线可由y=x2经过平移得到8. （2分） (2018九上·柳州期末) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+6与y轴交于点A，过点A 与x轴平行的直线交抛物线y=2x2 于B，C两点，则BC的长为（）A .B .C . 2D . 29. （2分） (2020九上·大洼月考) 已知某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（）A .B .C .D .10. （2分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A . y=-x+1B . y=x2-1C .D . y=-x2+1二、填空题 (共8题；共15分)11. （3分） (2018九上·柳州期末) 方程x2-3x+2=0 的二次项系数是________.12. （1分） (2017九上·南涧期中) x2=x的解是________.13. （1分） (2017八下·丰台期中) 关于的方程有两个实数根，则的取值范围是________．14. （5分） (2020八下·温州月考) 若一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程2x2-3x-5=0的一个根，则这个三角形的周长是________。

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷（浙江专用）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：浙教版九年级上册第1~2章（二次函数+简单事件的概率）。

5．难度系数：0.65。

第一部分（选择题共30分）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中是二次函数的是（）A．y=2B．y=(x+3)2―x2x2D．y=x(x―1)C．y=【答案】D不符合二次函数定义，也不满足反比例函数定义，不符合题意；【解析】A. y=2x2B. y=(x+3)2―x2=6x+9，是一次函数，不符合题意；C. y=D. y=x(x―1)=x2―x是二次函数，符合题意故选：D．2．下列事件中属于必然事件的是（）A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数B．在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球C．抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上D．九年级370名学生中至少有2名学生生日是同一天【答案】D【解析】解：A、随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数，是随机事件；B、在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球，是不可能事件；C、抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上，是随机事件；D、一年365天，370名学生中至少有2名学生生日是同一天，是必然事件；故选：D．3．将抛物线y=(x―2)2―8向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（）A．y=(x―5)2―5B．y=(x+5)2―11C．y=(x―5)2―11D．y=(x―5)2+11【答案】C【解析】解：y=(x―2)2―8向下平移3个单位后可得y=(x―2)2―8―3即y=(x―2)2―11，再向右平移3个单位后可得y=(x―2―3)2―11即y=(x―5)2―11，故选：C．4．抛物线y=―2x2+1的对称轴是（）A．直线x=12B．直线x=―1C．y轴D．直线x=2【答案】C【解析】解：抛物线y=―2x2+1的对称轴是直线x=0，即：y轴，故选：C．5．六一儿童节，爸爸给乐乐制作了一个圆形飞镖盘（如图），若乐乐每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则乐乐随机投掷一枚飞镖，恰好扎中阴影区域的概率是（）A．18B．14C．38D．13【答案】C【解析】解：由题意知，阴影部分的面积占圆面积的38，∴恰好扎中阴影区域的概率是38，故选：C．6．根据下列表格的对应值：x 1.33 1.34 1.35 1.36ax2+bx+c=0―6―237可以判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)，a,b,c为常数的一个解x的范围是（）A．1<x<1.33B．1.33<x<1.34C．1.34<x<1.35D．1.35<x<1.36【答案】C【解析】解：由表格可知：当x=1.34时，ax2+bx+c的值小于零，当x=1.35时，ax2+bx+c的值大于零，∴ax2+bx+c=0(a≠0)，a,b,c为常数的一个解x的范围是1.34<x<1.35；故选：C．7．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（）元．A．50B．90C．80D．70【答案】D【解析】解：设降价x元，每月获得最大利润为y，则y=(80―x―50)(200+20x)=―20x2+400x+6000=―20(x―10)2+8000，∵―20<0，∴抛物线开口向下，即当x=10时，y有最大值，∴该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为80―10=70元，故选：D．8．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数y=a与一次函数y=―x+b在同x一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c>0，根据抛物线开口向下可得a<0，∵对称轴在y轴右边>0，∴―b2a∴b>0，的图象在第二、四象限，一次函数y=―x+b经过第一、二、四象限，∴反比例函数y=ax故选：B9．已知二次函数y=(x―1)2+2x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当―1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）A．y1<y2<y3B．y2<y1<y3C．y3<y1<y2D．不能确定【答案】B【解析】解：已知二次函数y=(x―1)2+2，故对称轴为直线x=1，∵―1<x1<0，∴点(x1,y1)关于直线x=1的对称点记为x1′,y1，∴2<x1′<3，∵1<x2<2，x3>3，∴1<x2<x1′<x3，由二次函数y=(x―1)2+2知在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，∴y2<y1<y3，故选：B．10．如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=―x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m>n>0），下列结论正确的是（ ）A．m+n=1B．m―n=1C．mn=1D．mn=1【答案】B【解析】解：如图，连接AC、BD交于点E，过点A作MN⊥y轴于点M，过点B作BN⊥MN于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AC、BD互相平分，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAN+∠DAM=90°，∠DAM+∠ADM=90°，∴∠BAN=∠ADM．∵∠BNA=∠AMD=90°，BA=AD，∴△ANB≌△DMA(AAS)．∴AM=NB，DM=AN．∵点A、C的横坐标分别为m、n，∴A(m,―m2+4)，C(n,―n2+4)．∴E(m+n2，―m2―n2+82)，M(0,―m2+4)，设D(0,b)，则B(m+n,―m2―n2+8―b)，N(m+n,―m2+4)，∴BN=―n2+4―b，AM=m，AN=n，DM=m2―4+b．又AM=NB，DM=AN，∴―n2+4―b=m，n=m2―4+b．∴b=―n2―m+4．∴n=m2―4―n2―m+4．∴(m+n)(m―n)=m+n．∵点A、C在y轴的同侧，且点A在点C的右侧，∴m+n≠0．∴m―n=1．故选：B．第二部分（非选择题共90分）二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

浙教版九年级上月考检测试卷（全册）姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（）A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位2.如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（）A．πB．C．2πD．3π3.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m，②小球抛出3秒后，速度越来越快，③小球抛出3秒时速度为0，④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②③4.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（5，1）B．（4，3）C．（3，4）D．（1，5）5.已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜26.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为（）A．B．C．D．7.如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（）A．B．C．D．8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根9.如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1，还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕D n﹣1E n﹣1，到AC的距离记为h n．若h1＝1，则h n的值为（）A．1+B．1+C．2﹣D．2﹣10.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝90°，AB＝5，CD＝AD＝3，点E是线段CD的三等分点，且靠近点C，∠FEG的两边与线段AB分别交于点F、G，连接AC分别交EF、EG于点H、K．若BG ＝，∠FEG＝45°，则HK＝（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示的方格地面上，每个小方格形状完全相同，则小鸟落在阴影方格地面上的概率是12.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为_______；13.二次函数2=--+的最大值是__________．y x(6)814.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长为_____．15.如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是．16.如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形AB1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边1C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是______．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17.如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E，再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．18.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）（1）先将△ABC竖直向上平移5个单位，再水平向右平移4个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；（3）求线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积．19.如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．20.4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；(3)在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？21.已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD ＝45º．（1）求BD 的长；（2）求图中阴影部分的面积．22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣x+3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A （，），点D 的坐标为（0，1） （1）求直线AD 的解析式；（2）直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．23.如图1，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB=OD ，OC=OA+AB ，AD=m ，BC=n ，∠ABD+∠ADB=∠ACB ．（1）填空：∠BAD 与∠ACB 的数量关系为 ； （2）求的值；（3）将△ACD 沿CD 翻折，得到△A ′CD （如图2），连接BA ′，与CD 相交于点P ．若CD=，求PC 的长．24.如图1，B （2m ，0），C （3m ，0）是平面直角坐标系中两点，其中m 为常数，且m ＞0，E （0，n ）为y 轴上一动点，以BC 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，使AB=2BC ，画射线OA ，把△ADC 绕点C 逆时针旋转90°得△A ′D ′C ′，连接ED ′，抛物线y=ax 2+bx+n （a ≠0）过E ，A ′两点．ABCDO（1）填空：∠AOB= °，用m表示点A′的坐标：A′（）；（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且=时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：①求a，b，m满足的关系式；②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．答案解析一、选择题1.【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据平移规律，可得答案．解：A．平移后，得y=（x+1）2，图象经过A点，故A不符合题意；B、平移后，得y=（x﹣3）2，图象经过A点，故B不符合题意；C、平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；D、平移后，得y=x2﹣1图象不经过A点，故D符合题意；故选：D．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．2.【考点】弧长的计算；圆内接四边形的性质．【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案．21*cnjy*com解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠A=180°，∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，∴2∠A+∠A=180°，解得：∠A=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==2π；故选：C．【点评】本题考查了弧长公式、圆内接四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出∠BOD=120°是解决问题的关键．3.【考点】二次函数的应用【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m，故①错误，②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确，③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确，④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型．4.【考点】位似图形的性质【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C点坐标．解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，又∵A（6，8），∴端点C的坐标为（3，4）．故选：C．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．5.【考点】二次函数的性质，抛物线与x轴的交点【分析】先把抛物线解析式化为一般式，利用判别式的意义得到△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，再求出抛物线的对称轴为直线x＝a，根据二次函数的性质得到a≥﹣1，从而得到实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，∵抛物线与x轴没有公共点，∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴a≥﹣1，∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．6.【考点】根的判别式，列表法与树状图法【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使ac≤4的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图得：由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使ac≤4的有6种结果，∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为，故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7.【考点】圆周角定理，扇形的面积计算【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．解：连接AC．∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=（m2）．故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．8.【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，进而解答即可．解：∵抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，A．abc＜0，错误；B、2a+b＞0，错误；C、3a+c＜0，正确；D、ax2+bx+c﹣3=0无实数根，错误；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．9.【考点】规律型：图形的变化类，翻折变换（折叠问题），相似三角形的性质【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比对于相似比，得出h2＝，依次得出h3、h4、h5、……h n，再对h n进行计算变形即可．解：∵D是BC的中点，折痕DE到AC的距离为h1∴点B到DE的距离＝h1＝1，∵D1是BD的中点，折痕D1E1到AC的距离记为h2，∴D1E1到AC的距离h2＝h1+点B到D1E1的距离＝1+h1＝1+，同理：h3＝h2+h1＝1++，h4＝h3+h1＝1+++……h n＝1++++…+＝2﹣故选：C．【点评】考查图形变化规律的问题，首先根据变化求出第一个、第二个、第三个……发现规律得出一般性的结论．10.【考点】矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AC＝3，根据相似三角形的性质得到＝＝，求得CK＝，过E作EM⊥AB于M，则四边形ADEM是矩形，得到EM＝AD＝3，AM＝DE＝2，由勾股定理得到EG＝＝，求得EK＝，根据相似三角形的性质得到＝＝，设HE＝3x，HK＝x，再由相似三角形的性质列方程即可得到结论．解：∵∠ADC＝90°，CD＝AD＝3，∴AC＝3，∵AB＝5，BG＝，∴AG＝，∵AB∥DC，∴△CEK∽△AGK，∴＝＝，∴＝＝，∴＝＝，∵CK+AK＝3，∴CK＝，过E作EM⊥AB于M，则四边形ADEM是矩形，∴EM＝AD＝3，AM＝DE＝2，∴MG＝，∴EG＝＝，∵＝，∴EK＝，∵∠HEK＝∠KCE＝45°，∠EHK＝∠CHE，∴△HEK∽△HCE，∴＝＝，∴设HE＝3x，HK＝x，∵△HEK∽△HCE，∴＝，∴＝，解得：x＝，∴HK＝，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．二、填空题11.【考点】几何概率．【分析】首先确定在阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出小鸟落在阴影方格地面上的概率．解：∵正方形被等分成16份，其中黑色方格占4份，∴小鸟落在阴影方格地面上的概率为：=．故答案为：．【点评】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．12.【考点】圆内接四边形的性质【分析】直接利用圆内接四边形的性质，即可解答解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，难度不大13.【考点】二次函数顶点式求最值【分析】二次函数的顶点式2()y a x h b =-+在x=h 时有最值，a>0时有最小值，a<0时有最大值，题中函数 10a =-<，故其在6x =时有最大值.解：∵10a =-<，∴y 有最大值，当6x =时，y 有最大值8．故答案为8．【点睛】本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键.14.【考点】线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理【分析】作AM ⊥BC 于E ，由角平分线的性质得出23AC AD BC BD ==，设AC ＝2x ，则BC ＝3x ，由线段垂直平分线得出MN ⊥BC ，BN ＝CN ＝32x ，得出MN ∥AE ，得出23EN AD BN BD ==，NE ＝x ，BE ＝BN ＋EN ＝52x ，CE ＝CN −EN ＝12x ，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果． 解：作AM ⊥BC 于E ，如图所示：∵CD 平分∠ACB ，∴23AC AD BC BD ==， 设AC ＝2x ，则BC ＝3x ，∵MN 是BC 的垂直平分线，∴MN ⊥BC ，BN ＝CN ＝32x ， ∴MN ∥AE ，∴23EN AD BN BD ==， ∴NE ＝x ，∴BE＝BN＋EN＝52x，CE＝CN−EN＝12x，由勾股定理得：AE2＝AB2−BE2＝AC2−CE2，即52−（52x）2＝（2x）2−（12x）2，解得：x＝102，∴AC＝2x＝10；故答案为：10．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．15.【考点】相似三角形的判定和性质【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0＜AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP＜4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．故答案为：3≤AP＜4．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．16.【考点】正多边形和圆，等边三角形的性质，正六边形的性质【分析】首先求出B1，B2，B3，B4到ON的距离，条件规律后，利用规律解决问题．解：点B1到ON的距离是，点B2到ON的距离是3，点B3到ON的距离是9，点B4到ON的距离是27，…点B n到ON的距离是3n﹣1•．【点评】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、正六边形的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．三、解答题17.【考点】相似三角形的应用【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴，即：，∴，∴OE＝32，答：楼的高度OE为32米．【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．18.【考点】作图﹣旋转变换；扇形面积的计算；作图﹣平移变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质进而得出对应点位置，进而得出答案；（3）首先得出圆心角以及半径，再利用扇形面积公式直接计算得出答案．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B1C2，即为所求；（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：=π．【点评】此题主要考查了平移变换以及旋转变换和扇形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．19.【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）根据抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2过点C（﹣1，﹣2），可以求得抛物线F的表达式；（2）根据题意，可以求得y P的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的大小；（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，解得，m=﹣1，∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；（2）当x=﹣2时，y p=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，∴当m=﹣2时，y p的最小值﹣2，此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2；（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），∴或，解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．20.【考点】概率的公式、列表法与树状图法，用频率估计概率【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；（2）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；(1)P(抽到的是不合格品)＝113＝14(2)树状图：共有12种情况，其中抽到的都是合格品的情况有6种，P(抽到的都是合格品)＝612＝12(3)由题意得：34xx++＝0.95，解得x＝16答：x的值大约是16．【点评】本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．21.【考点】圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据S阴影=S扇形-S△OBD即可得到结论．解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm．∴OB=5cm．连OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°．∴∠BOD=90°．∴BD==5cm．（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD=π•52﹣×5×5=cm2．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．22.【考点】两直线平行或相交的问题，相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论．解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（，），D（0，1）代入得：，解得：．故直线AD的解析式为：y=x+1；（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），∴OB=2，∵点D的坐标为（0，1），∴OD=1，∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），∴OC=3，∴BC=5∵△BOD与△BCE相似，∴或，∴==或，∴BE=2，CE=，或CE=，∴E（2，2），或（3，）．【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．23.【考点】几何变换综合题．平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出===，可得=，可得4y2+2xy﹣x2=0，即（）2+﹣1=0，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得==，可得=，即=，由此即可解决问题；解：（1）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴===，∴=，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴（）2+﹣1=0，∴=（负根已经舍弃），∴=．（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，∴==，∴=，即=∵CD=，∴PC=1．【点评】本题考查几何变换综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构造方程解决问题，属于中考压轴题．24.【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由B与C的坐标求出OB与OC的长，根据OC﹣OB表示出BC的长，由题意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即可确定出A′坐标；（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根据题意表示出A与B的坐标，由=，表示出P坐标，由抛物线的顶点为A′，表示出抛物线解析式，把点E坐标代入整理得到m与n的关系式，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；（3）①当E与原点重合时，把A与E坐标代入y=ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m的关系式；②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，求出此时a的值；若抛物线过点A（2m，2m），求出此时a的值，即可确定出抛物线与四边形ABCD有解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB=2m，OC=3m，即BC=m，∵AB=2BC，∴AB=2m=0B，∵∠ABO=90°，∴△ABO为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即A′（m，﹣m）；故答案为：45；m，﹣m；（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），∵=，∴P（2m，m），∵A′为抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为y=a（x﹣m）2﹣m，∵抛物线过点E（0，n），∴n=a（0﹣m）2﹣m，即m=2n，∴OE：OD′=BC：AB=1：2，∵∠EOD′=∠ABC=90°，∴△D′OE∽△ABC；（3）①当点E与点O重合时，E（0，0），∵抛物线y=ax2+bx+c过点E，A，∴，整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am；②∵抛物线与四边形ABCD有公共点，∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，∴a（3m）2﹣（1+am）•3m=0，整理得：am=，即抛物线解析式为y=x2﹣x，由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y=x，联立抛物线与直线OA解析式得：，[来源:] 解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m），令5m=10，即m=2，当m=2时，a=；若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）•2m=2m，解得：am=2，∵m=2，∴a=1，则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤1．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，直线与抛物线的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．。

浙江省杭州市九年级上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）下列式子中是一元二次方程的是（）A . xy+2=1B . （ +5）x=0C . -4x-5D . =02. （2分） (2018九上·孝感月考) 一元二次方程的根的情况是（）A . 有两个不相等的实数根B . 有两个相等的实数根C . 没有实数根D . 无法判断3. （2分）(2016·徐州) 下列一元二次方程中，两个实数根的和是的是（）A .B .C .D .4. （2分）若三角形的两边长分别为2和6，则第三边的长可能是（）A . 3B . 4C . 5D . 85. （2分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A . m＞B . m＞且m≠2C . ﹣＜m＜2D . ＜m＜26. （2分）（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）A . 4B . -2C . 4或-2D . -4或27. （2分）已知为实数,且,则的值为（）A . 3B .C . 1D .8. （2分） (2018九上·来宾期末) 在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图甲）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图乙），使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边的宽度为x分米，则可列方程为（）A .B .C .D .9. （2分）已知一次函数y=ax﹣c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+c的图象大致是（）A .B .C .D .10. （2分）矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE等于（）A . 15°B . 30°C . 45°D . 60°二、填空题 (共8题；共9分)11. （1分）关于x的方程（a﹣1）x2+3ax﹣3=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．12. （1分）如果a是关于x的一元二次方程x2﹣x+m+6=0的一个根，﹣a是关于x的一元二次方程x2+x﹣m=0的一个根，则m的值是________13. （1分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是________14. （1分） (2017九上·抚宁期末) 某农户2010年的年收入为4万元，由于“惠农政策”的落实，2012年年收入增加到5.8万元．设每年的年增长率x相同，则可列出方程为________．15. （1分）一种精密零件长2．5毫米，把它画在图纸上长5厘米，这幅图的比例尺是________。

九年级上学期第一次月考数学试卷一．选择题（本题有12小题，每题4分，共48分）1．（4分）中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆周五等分，然后连接五等分点而得（如图），五角星的每一个角的度数是（）A．30°B．35°C．36°D．37°2．（4分）若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到的抛物线是（）A．y=2（x﹣1）2﹣5B．y=2（x﹣1）2+5C．y=2（x+1）2﹣5D．y=2（x+1）2+53．（4分）小明、小虎、小红三人排成一排拍照片，小明站在中间的概率是（）A．B．C．D．4．（4分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分布在原点两侧，则点（a，）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（4分）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB、CD，已知⊙O的半径为2，AB=，则⊙BCD的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．15°6．（4分）抛物线y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＞﹣B．k≥﹣且k≠0C．k≥﹣D．k＞﹣且k≠07．（4分）若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆半径是（）A．8B．10C．5或4D．10或88．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是（）A．B．C．D．9．（4分）如图所示是二次函数y=﹣x2+2的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（）A．4B．C．2πD．810．（4分）如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（4分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且⊙ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（）A．10.5B．7﹣3.5C．11.5D．7﹣3.512．（4分）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）A．16B．15C．14D．13二．填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）13．（4分）抛物线y=x2﹣1的顶点坐标是．14．（4分）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为．15．（4分）抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是．16．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，⊙AOC=100°，则⊙D=度．17．（4分）已知a=3，b=6，从3、5、7、9、11这五个数中随机抽取一个数作为c，则a、b、c能作为三角形的边长的概率为．18．（4分）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE=DF．求证：⊙OEF 是等腰三角形．20．（8分）已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4），（1）求这个二次函数的解析式；（2）求图象与x轴交点A、B两点的坐标；（3）图象与y轴交点为点C，求三角形ABC的面积．21．（8分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊙AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O 上．（1）若⊙AOD=52°，求⊙DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．22．（8分）甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：①每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；②两人伸出的手指中，大拇指只胜食指、食指只胜中指、中指只胜无名指、无名指只胜小拇指、小拇指只胜大拇指，否则不分胜负．依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时，（1）求甲伸出小拇指取胜的概率；（2）求乙取胜的概率．23．（12分）如图所示，已知抛物线C0的解析式为y=x2﹣2x（1）求抛物线C0的顶点坐标；（2）将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1、C2、C3、…、C n（n为正整数）①求抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标；②试确定抛物线C n的解析式．（直接写出答案，不需要解题过程）24．（10分）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？25．（12分）如图，AB是⊙的直径，C是的中点，BD⊙AB交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交DB于F，AF交⊙O于H，连接B H．（1）求证：AC=CD；（2）连接CH，求⊙AHC的长；（3）若OB=2，①求BH的长．②求CH的长．26．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A 和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．浙江省宁波市宁海县跃龙中学届九年级上学期第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题有12小题，每题4分，共48分）1．（4分）中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆周五等分，然后连接五等分点而得（如图），五角星的每一个角的度数是（）A．30°B．35°C．36°D．37°考点：圆周角定理．分析：已知五角星的五个顶点是圆周的五等分点，由此可求出每段弧的度数，根据圆周角定理可求出每段弧所对的圆周角的度数，即五角星每个角的度数．解答：解：如图，由题意知，弧AB是圆的五分之一；则弧AB的度数是=72°，⊙弧AB对的圆周角⊙C的度数是=36°．故选C．点评：本题考查圆周角定理的应用能力．2．（4分）若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到的抛物线是（）A．y=2（x﹣1）2﹣5B．y=2（x﹣1）2+5C．y=2（x+1）2﹣5D．y=2（x+1）2+5考点：二次函数图象与几何变换．分析：抛物线平移不改变a的值．解答：解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（1，5）．可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入人得：y=2（x﹣1）2﹣5．故选B．点评：解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．3．（4分）小明、小虎、小红三人排成一排拍照片，小明站在中间的概率是（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：列举出所有情况，让小明站在中间的情况数除以总情况数即为所求的概率．解答：解：根据题意得：设三名同学为A、B、C，小明为A；则可能的情况有：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，⊙共6种情况，小明在中间的有BAC，CAB这两种情况；⊙小明站在中间的概率是．故选B．点评：本题考查了求随机事件的概率，解题的一般步骤是列举法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于比较简单的题目．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．（4分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分布在原点两侧，则点（a，）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分布在原点两侧，可以推出a＜0，c＞0，从而知道＜0，然后即可点（a，）的位置．解答：解；⊙抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分布在原点两侧，⊙a＜0，c＞0，⊙＜0，⊙点（a，）在第三象限．故选C．点评：此题可以借助于草图，采用数形结合的方法比较简单．5．（4分）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB、CD，已知⊙O的半径为2，AB=，则⊙BCD的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．15°考点：圆周角定理；垂径定理；特殊角的三角函数值．分析：首先在直角三角形OEB中利用锐角三角函数求得⊙EOB的度数，然后利用同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系求得⊙BCD的度数即可．解答：解：⊙直径CD垂直弦AB于点E，AB=2，⊙EB=AB=，⊙⊙O的半径为2，⊙sin⊙EOB==，⊙⊙EOB=60°，⊙⊙BCD=30°．故选A．点评：本题考查了垂径定理及特殊角的三角函数值，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形．6．（4分）抛物线y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＞﹣B．k≥﹣且k≠0C．k≥﹣D．k＞﹣且k≠0考点：抛物线与x轴的交点．专题：压轴题．分析：抛物线y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，即一元二次方程kx2﹣7x﹣7=0有解，此时⊙≥0．解答：解：⊙抛物线y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，即y=0时方程kx2﹣7x﹣7=0有实数根，即⊙=b2﹣4ac≥0，即49+28k≥0，解得k≥﹣，且k≠0．故选B．点评：考查抛物线和一元二次方程的关系．7．（4分）若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆半径是（）A．8B．10C．5或4D．10或8考点：三角形的外接圆与外心．专题：分类讨论．分析：本题应分两种情况进行讨论，①当8是直角边时，根据勾股定理得到斜边是10，这个直角三角形外接圆半径是5；②当8是斜边时，直角三角形外接圆半径是4．解答：解：应分为两种情况：①当8是直角边时，斜边是10，这个直角三角形外接圆半径是5；②当8是斜边时，直角三角形外接圆半径是4．故选C．点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．8．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式．专题：应用题．分析：根据概率公式知，骰子共有六个面，其中向上一面的数字小于3的面有1，2，故掷该骰子一次，则向上一面的数字是1的概率是，向上一面的数字是2的概率是，从而得出答案．解答：解：骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6，其中向上一面的数字小于3的面有1，2，⊙6个结果中有2个结果小于3，故概率为=，⊙向上一面的数字小于3的概率是，故选C．点评：本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．9．（4分）如图所示是二次函数y=﹣x2+2的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（）A．4B．C．2πD．8考点：二次函数的应用．专题：压轴题；新定义．分析：本题不能硬求面积，要观察找一个范围，然后选一个合适的答案．由图形可知阴影部分的面积介于一个三角形和一个半圆之间，问题就好解决了．解答：解：函数y=﹣x2+2与y轴交于（0，2）点，与x轴交于（﹣2，0）和（2，0）两点，则三点构成的三角形面积s1==4，则以半径为2的半圆的面积为s2=π×=2π，则阴影部分的面积s有：4＜s＜2π．因为选项A、C、D均不在S取值范围内．故选B．点评：此题主要考函数面积的近似估算．10．（4分）如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据垂径定理计算．解答：解：如图OD=OA=OB=5，OE⊙AB，OE=3，⊙DE=OD﹣OE=5﹣3=2cm，⊙点D是圆上到AB距离为2cm的点，⊙OE=3cm＞2cm，⊙在OD上截取OH=1cm，过点H作GF⊙AB，交圆于点G，F两点，则有HE⊙AB，HE=OE﹣OH=2cm，即GF到AB的距离为2cm，⊙点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点．故选C．点评：本题利用了垂径定理求解，注意圆上的点到AB距离为2cm的点不唯一，有三个．11．（4分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且⊙ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（）A．10.5B．7﹣3.5C．11.5D．7﹣3.5考点：圆周角定理；三角形中位线定理．分析：由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=AB=3.5为定值，则GE+FH=GH﹣EF=GH﹣3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值14﹣3.5=10.5．解答：解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．当GH为直径时，E点与O点重合，⊙AC也是直径，AC=14．⊙⊙ABC是直径上的圆周角，⊙⊙ABC=90°，⊙⊙C=30°，⊙AB=AC=7．⊙点E、F分别为AC、BC的中点，⊙EF=AB=3.5，⊙GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5．故选A．点评：本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键．12．（4分）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）A．16B．15C．14D．13考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：根据在OB上的两个交点之间的距离为3可知两交点的横坐标的差为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解．解答：解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，所以，一共有7条抛物线，同理可得开口向上的抛物线也有7条，所以，满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．故选：C．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了网格结构的知识与二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，作出图形更形象直观．二．填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）13．（4分）抛物线y=x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1）．考点：二次函数的性质．分析：形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．解答：解：抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．点评：本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y=a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x=k．14．（4分）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为（6，0）．考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．分析：过点P作PM⊙AB于M，则A，B两点一定关于PM对称．即可求解．解答：解：过点P作PM⊙AB于M，则M的坐标是（4，0）．又⊙A的坐标为（2，0），⊙OA=2，AM=OM﹣OA=2，⊙A，B两点一定关于PM对称．⊙MB=AM=2，⊙OB=OM+MB=4+2=6，则点B的坐标是（6，0）．点评：本题主要考查了圆的轴对称性，经过圆心的直线就是圆的对称轴．15．（4分）抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．考点：抛物线与x轴的交点．分析：把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．解答：解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+中，得m=6，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3⊙抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．点评：本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x轴交点坐标的求法．本题也可以用根与系数关系直接求解．16．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，⊙AOC=100°，则⊙D=40度．考点：圆周角定理．分析：根据互补的性质可求得⊙BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得⊙D的度数．解答：解：⊙⊙AOC=100°，⊙⊙BOC=180°﹣100°=80°，⊙⊙D=40°．点评：本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17．（4分）已知a=3，b=6，从3、5、7、9、11这五个数中随机抽取一个数作为c，则a、b、c能作为三角形的边长的概率为．考点：概率公式；三角形三边关系．分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．解答：解：⊙a=3，b=6，⊙3＜c＜9，⊙满足条件的c有2个，⊙从3、5、7、9、11这五个数中随机抽取一个数作为c，则a、b、c能作为三角形的边长的概率为，故答案为：．点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．18．（4分）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．考点：二次函数图象与几何变换．专题：压轴题．分析：根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊙y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，然后求解即可．解答：解：过点P作PM⊙y轴于点M，⊙抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），⊙平移后的抛物线对称轴为x=﹣3，得出二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣，⊙点P的坐标是（﹣3，﹣），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，⊙S=|﹣3|×|﹣|=．故答案为：．点评：本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．三．解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE=DF．求证：⊙OEF 是等腰三角形．考点：垂径定理．专题：证明题．分析：过点O作OG⊙CD于点G，根据垂径定理可知CG=DG，再由CE=DF可知EG=FG，根据SAS定理可得出⊙OEG⊙⊙OFG，由此可得出结论．解答：解：过点O作OG⊙CD于点G，则CG=DG，⊙CE=DF，⊙CG﹣CE=DG﹣DF，即EG=FG．在⊙OEG与⊙OFG中，⊙，⊙⊙OEG⊙⊙OFG，⊙OE=OF，即⊙OEF是等腰三角形．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．20．（8分）已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4），（1）求这个二次函数的解析式；（2）求图象与x轴交点A、B两点的坐标；（3）图象与y轴交点为点C，求三角形ABC的面积．考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．专题：计算题．分析：（1）设出二次函数的顶点式y=a（x﹣1）2+4，将点（0，3）代入解析式，求出a 的值即可得到函数解析式；（2）令y=0，据此即可求出函数与x轴交点的横坐标，从而得到图象与x轴交点A、B两点的坐标；（3）由于知道C点坐标，根据A、B的坐标，求出AB的长，利用三角形的面积公式求出三角形的面积．解答：解：（1）设所求的二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2+4，把x=0，y=3代入上式，得：3=a（0﹣1）2+4，解得：a=﹣1，⊙所求的二次函数解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．（2）当y=0时，0=﹣x2+2x+3，解得：x1=﹣1，x2=3，⊙图象与x轴交点A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），（3）由题意得：C点坐标为（0，3），AB=4，⊙S⊙ABC=×4×3=6．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，利用函数与方程的关系，分别令x=0、y=0，据此即可求出与坐标轴的交点．21．（8分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊙AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O 上．（1）若⊙AOD=52°，求⊙DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．分析：（1）根据垂径定理，得到=，再根据圆周角与圆心角的关系，得知⊙E=⊙O，据此即可求出⊙DEB的度数；（2）由垂径定理可知，AB=2AC，在Rt⊙AOC中，OC=3，OA=5，由勾股定理求AC即可．解答：解：（1）⊙AB是⊙O的一条弦，OD⊙AB，⊙=，⊙⊙DEB=⊙AOD=×52°=26°；（2）⊙AB是⊙O的一条弦，OD⊙AB，⊙AC=BC，即AB=2AC，在Rt⊙AOC中，AC===4，则AB=2AC=8．点评：本题考查了垂径定理，勾股定理及圆周角定理．关键是由垂径定理得出相等的弧，相等的线段，由垂直关系得出直角三角形，运用勾股定理．22．（8分）甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：①每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；②两人伸出的手指中，大拇指只胜食指、食指只胜中指、中指只胜无名指、无名指只胜小拇指、小拇指只胜大拇指，否则不分胜负．依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时，（1）求甲伸出小拇指取胜的概率；（2）求乙取胜的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）首先根据题意画出表格，由表格求得所有等可能的结果，即可求出甲伸出小拇指取胜的概率；（2）由（1）中所求即可得出乙取胜的概率；解答：解；（1）设A，B，C，D，E分别表示大拇指、食指、中指、无名指、小拇指，列表如下：甲乙A B C D EA AA AB AC AD AEB BA BB BC BD BEC CA CB CC CD CED DA DB DC DD DEE EA EB EC ED EE由表格可知，共有25种等可能的结果，甲伸出小拇指取胜只有一种可能，故P（甲伸出小拇指获胜）=，；（2）又上表可知，乙取胜有5种可能，故P（乙获胜）==．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．23．（12分）如图所示，已知抛物线C0的解析式为y=x2﹣2x（1）求抛物线C0的顶点坐标；（2）将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1、C2、C3、…、C n（n为正整数）①求抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标；②试确定抛物线C n的解析式．（直接写出答案，不需要解题过程）考点：二次函数图象与几何变换．专题：压轴题．分析：（1）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后即可得到顶点坐标；（2）①先求出原抛物线与x轴的交点坐标，再根据向右平移横坐标加，纵坐标不变求出交点A1、A2的坐标即可；②根据原抛物线的顶点坐标求出抛物线C n的顶点坐标，然后利用顶点式解析式的形式写出即可．解答：解：（1）⊙y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，⊙抛物线C0的顶点坐标为（1，﹣1）；（2）①当y=0时，则有x2﹣2x=0，解得：x1=0，x2=2，则O（0，0），A1（2，0），⊙将抛物线C0向右平移2个单位，得到抛物线C1，⊙此时抛物线C0与x轴的交点O（0，0）、A1（2，0）也随之向右平移2个单位，⊙抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标分别为：A1（2，0）、A2（4，0）；②抛物线C n的顶点坐标为（1+2n，﹣1），则抛物线C n的解析式为：y=[x﹣（1+2n）]2﹣1，即y=x2﹣（4n+2）x+4n2+4n．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的坐标的移动解答图象的移动是解题的关键，平移规律为“左加右减，上加下减”．24．（10分）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．解答：解：（1）由题意，可设y=kx+b（k≠0），把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y=﹣10000x+80000；（2）设利润为W元，则W=（x﹣4）（﹣10000x+80000）=﹣10000（x﹣4）（x﹣8）=﹣10000（x2﹣12x+32）=﹣10000[（x﹣6）2﹣4]=﹣10000（x﹣6）2+40000所以当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．25．（12分）如图，AB是⊙的直径，C是的中点，BD⊙AB交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交DB于F，AF交⊙O于H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）连接CH，求⊙AHC的长；（3）若OB=2，①求BH的长．②求CH的长．考点：圆的综合题．专题：综合题．分析：（1）连接BC，由AB为直径，且C为弧AB的中点，利用圆周角定理及等弧对等弦，得到三角形ABC为等腰直角三角形，进而确定出三角形ABD为等腰直角三角形，利用三线合一得到AC=CD；（2）利用等弧所对的圆周角相等即可求出⊙AHC的度数；（3）①连接OC，则OC⊙AB，证出OC⊙DF，由E是OB的中点，得出BF=OC=OB，根据勾股定理求出AF，然后由⊙ABF的面积=AB•BF=AF•BH，即可求出BH；②求出AC与AH的长，在三角形ACH中，利用余弦定理即可求出CH的长．解答：解：（1）连接BC，⊙AB为圆O的直径，且C为的中点，⊙⊙ACB=90°，AC=BC，⊙⊙CAB=⊙ABC=45°，⊙⊙ABD=90°，⊙⊙ABD为等腰直角三角形，即AB=DB，⊙BC⊙AD，⊙C为AD的中点，⊙AC=CD；（2）⊙⊙AHC与⊙ABC都对，⊙⊙AHC=⊙ABC=45°；（3）①连接OC，如图所示：⊙AC=BC，O为AB的中点，⊙OC⊙AB，⊙OC⊙DF，⊙E是OB的中点，⊙BF=OC=OB=2，⊙⊙ABF=90°，⊙AF==2，⊙⊙ABF的面积=AB•BF=AF•BH，⊙BH===；②⊙AC==2，AH==，⊙AHC=45°，⊙由余弦定理得：AC2=AH2+CH2﹣2AH•CH•cos45°，即8=+CH2﹣CH，整理得：5CH2﹣8CH+24=0，解得：CH==，即CH=或CH=．点评：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，三线合一性质，勾股定理，三角形面积求法，以及余弦定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．26．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A 和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）先把C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得出c=4①，再由抛物线的对称轴x=﹣=1，得到b=﹣2a②，抛物线过点A（﹣2，0），得到0=4a﹣2b+c③，然后由①②③可解得，a=﹣，b=1，c=4，即可求出抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；。

一、选择题（每题3分，共30分） 1．反比例函数8y x-=的图象在（ ） A 第一、三象限 B 第一、二象限 C 第二、四象限 D 第三、四象限 2．已知反比例函数的图象经过点（a ，b ），则它的图象也一定经过（ ） A （－a ，－b ） B （a ，－b ） C （－a ，b ） D （0，0） 3．函数8y x=，若- 4≤x<-2,则（ ） A 2≤y<4 B -4≤y<-2 C -2≤y<4 D -4<y ≤-2 4．函数y=kx+1与y= -xk在同一坐标系中的大致图象是（ ）5．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象如图所示, 下面结论正确的是( )A a ＜0,c ＜0,b ＞0B a ＞0,c ＜0,b ＞0C a ＞0,c ＞0,2b -ac 4＞0D a ＞0,c ＜0,2b -ac 4＜0 6．直角坐标平面上将二次函数y=-(x-3)2-3的图象向左平移 2个单位,再向上平移1个单位,则其顶点为( ) A (0,0) B (1,-2) C (0,-1) D (-2,1)7．如图，双曲线y ＝ mx与直线y ＝kx ＋b 交于点M 、N ，并且点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于x 的方程 mx＝kx ＋b 的解（ ）．A ．－3，1B ．－3，3C ．－1，1D ．－1，38．在反比例函数(0)ky k x =<的图像上有两点1(1,)y -,21(,)4y -,则12y y -的值是（ ）A. 负数B. 非正数C. 正数D. 不能确定9．现有A ，B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数学1，2，3，4，5，6)，用小莉掷A 立方体朝上的数字为x ，小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P(x ，y)，那么他们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线x x y 42+-=上的概率为( ) A181 B 121 C 91 D 6110．如图，等腰Rt △ABC(∠ACB=90°)的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC 与DE 在同一条直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止。

浙江初三初中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.（2015秋•杭州校级月考）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB=60°，则∠C 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°2.（2015秋•杭州校级月考）要得到二次函数y=﹣（x ﹣1）2﹣1的图象，需将y=﹣x 2的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位3.（2015秋•杭州校级月考）投一个均匀的正六面体骰子（6个面上分别刻有1点至6点），有下述说法： ①朝上一面的点数是奇数； ②朝上一面的点数是整数；③朝上一面的点数是3的倍数； ④朝上一面的点数是5的倍数．将上述事件按可能性大小，从小到大排列为（ ） A ．①②③④ B ．②①③④ C ．④①③② D ．④③①②4.（2015秋•杭州校级月考）点（﹣2，y 1），（6，y 2）在二次函数y=﹣（x ﹣2）2+a 的图象上，则y 1﹣y 2的值是（ ） A ．负数B ．零C ．正数D ．不能确定5.（2015秋•杭州校级月考）下列有关圆的一些结论： ①与半径长相等的弦所对的圆周角是30°； ②圆内接正六边形的边长与该圆半径相等； ③垂直于弦的直径平分这条弦； ④平分弦的直径垂直于弦． 其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个6.（2011秋•江干区期末）在△ABC 中，∠A=60°，以BC 为直径画圆，则点A （ ） A ．一定在圆外 B ．一定在圆上 C ．一定在圆内D ．可能在圆外，也可能在圆内，但一定不在圆上7.（2015秋•杭州校级月考）如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1+∠2+∠3=180°，=，则=（）A．B．C．D．8.（2014•滨州二模）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（）A．y=x+1B．y=x﹣1C．y=x2﹣x+1D．y=x2﹣x﹣19.（2015秋•杭州校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，E是AC上一点，EF⊥AB于点F，且=，BC=10，则BC的弦心距OD等于（）A．B．C．4D．10.（2015•杭州模拟）下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则m=3；④若有三个公共点，则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个二、填空题1.（2015秋•杭州校级月考）若=，则= ．2.（2010•乐清市校级模拟）二次函数y=x2﹣2x+3的最小值是．3.（2015秋•杭州校级月考）如图，AD∥BC，BC=2AD，E为BC的中点，R为DC的中点，BR交AE于点P，则EP：AP= ．4.（2015秋•杭州校级月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，向⊙O内任意投点，则所投的点落在正六边形ABCDEF内的概率是．5.（2015秋•杭州校级月考）等腰三角形ABC内接于圆O，AB=AC，AB的垂直平分线MN与边AB交于点M，与AC所在的直线交于点N，若∠ANM=70°，则劣弧所对的圆心角的度数为．6.（2015秋•杭州校级月考）如图，O为原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连结CD，某抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D、点E（1，1）．（1）若该抛物线过原点O，则a= ；（2）若点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，要使得符合条件的Q点的个数是4个，则a的取值范围是．三、计算题（2015秋•杭州校级月考）如图，△ADE∽△ABC，=，△ABC的面积为18，求四边形BCED的面积．四、解答题1.（2012秋•英国校级期中）（1）请找出该残片所在圆的圆心O的位置（保留画图痕迹，不必写画法）；（2）若此圆上的三点A、B、C满足AB=AC，BC=3，且∠ABC=30°，求此圆的半径长．2.（2015秋•杭州校级月考）为调查某校学生一学期课外书的阅读量情况，从全校学生中随机抽取50名学生的阅读情况进行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本数为n，当0≤n＜5时，该学生为一般读者；当5≤n＜10时，该学生为良好读者；当n≥10时，该学生为优秀读者．随机抽取的50名学生一学期阅读课外书的本数数据如下：根据以上数据回答下列问题：（1）请你估计在全校学生中任意抽取一个学生，是良好读者的概率是多少？（直接写出结果）（2）在样本中为一般读者的学生中随机抽取2人，用树状图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4本的概率．3.（2012•唐山二模）某政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元．销售过程中发现，月销售量y（件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+n．（1）当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润为w为1250元，则n= ；（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润为多少元．4.（2015秋•杭州校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AM是⊙O的直径，过点A作AP⊥AM．（1）求证：∠PAC=∠ABC．（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为BC的中点，且∠DCF=∠P，求证：=．5.（2013•清浦区校级自主招生）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．（1）当点E与点A重合时，折痕EF的长为；（2）写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；（3）令EF2=y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式（写出x的取值范围）．6.（2015秋•杭州校级月考）已知：如图1，二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A、B两点，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P（t，0）是线段OB上一动点（不与O、B重合），点E是线段BC上的点，以点B、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，连结CP，求△CPE的面积S与t的函数关系式；（3）如图2，若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点Q，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0），则存在这样的直线，使得△ODF为等腰三角形，请直接写出点Q坐标．浙江初三初中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.（2015秋•杭州校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，则∠C的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠C的度数．解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=×60°=30°．故选B．【考点】圆周角定理．2.（2015秋•杭州校级月考）要得到二次函数y=﹣（x﹣1）2﹣1的图象，需将y=﹣x2的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位【答案】D【解析】只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．解：原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），∴将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线．故选D．【考点】二次函数图象与几何变换．3.（2015秋•杭州校级月考）投一个均匀的正六面体骰子（6个面上分别刻有1点至6点），有下述说法：①朝上一面的点数是奇数；②朝上一面的点数是整数；③朝上一面的点数是3的倍数；④朝上一面的点数是5的倍数．将上述事件按可能性大小，从小到大排列为（）A．①②③④B．②①③④C．④①③②D．④③①②【答案】D【解析】根据可能性大小的求法，求出各个事件发生的可能性的大小，进而比较可得答案．解：∵投一个骰子有1，2，3，4，5，6这六个结果，∴朝上一面的点数是奇数的可能性是=，朝上一面的点数是整数的可能性是1，朝上一面的点数是3的倍数=，朝上一面的点数是5的倍数， ∴从小到大排列为④③①②； 故选D ．【考点】可能性的大小．4.（2015秋•杭州校级月考）点（﹣2，y 1），（6，y 2）在二次函数y=﹣（x ﹣2）2+a 的图象上，则y 1﹣y 2的值是（ ） A ．负数B ．零C ．正数D ．不能确定【答案】B【解析】抛物线开口向下，且对称轴为直线x=2，根据点（﹣2，y 1），（6，y 2）在离对称轴的远近判断y 1、y 2的大小，即可判断y 1﹣y 2的值的符号． 解：∵二次函数y=﹣（x ﹣2）2+a ，∴该抛物线开口向下，且对称轴为直线：x=2． ∵点（﹣2，y 1），（6，y 2）在二次函数y=﹣（x ﹣2）2+a 的图象上，且|﹣2﹣2|=|6﹣2|，∴y 1=y 2．∴y 1﹣y 2的值零． 故选B ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．5.（2015秋•杭州校级月考）下列有关圆的一些结论： ①与半径长相等的弦所对的圆周角是30°； ②圆内接正六边形的边长与该圆半径相等； ③垂直于弦的直径平分这条弦； ④平分弦的直径垂直于弦． 其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】根据在同圆中一条弦对两条弧可对①进行判断；根据圆内接正六边形的性质对②进行判断；根据垂径定理对③进行判断；根据垂径定理的推论对④进行判断． 解：与半径长相等的弦所对的圆周角是30°或150°，所以①错误； 圆内接正六边形的边长与该圆半径相等，所以②正确； 垂直于弦的直径平分这条弦，所以③正确；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以④错误． 故选B ．【考点】命题与定理．6.（2011秋•江干区期末）在△ABC 中，∠A=60°，以BC 为直径画圆，则点A （ ）A ．一定在圆外B ．一定在圆上C ．一定在圆内D ．可能在圆外，也可能在圆内，但一定不在圆上【答案】A【解析】根据圆周角定理可知当点A 位于以BC 为直径的圆上时，圆周角等于90°，根据BC 所对的角小于90°可以判断点A 在圆外．解：如图：以BC 为直径的圆中，低昂点A′在圆上时，∠BA′C=90°， 因为∠A=60°，所以点A 在圆外，故选A．【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理．7.（2015秋•杭州校级月考）如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1+∠2+∠3=180°，=，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知条件和三角形内角和定理可证明∠DAC=∠1，进而可得△CAD∽△CBA，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AD：AB的值．解：∵∠2+∠3+∠DAC=180°，∠1+∠2+∠3=180°，∴∠DAC=∠1，∴△CAD∽△CBA，，∵=，∴，∴CD=BC，∴AC2=BC2，∴BC=2AC，∴，故选A．【考点】相似三角形的判定与性质．8.（2014•滨州二模）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（）A．y=x+1B．y=x﹣1C．y=x2﹣x+1D．y=x2﹣x﹣1【答案】C【解析】易证△ABE∽△ECF，根据相似三角形对应边的比相等即可求解．解：∵∠BAE和∠EFC都是∠AEB的余角．∴∠BAE=∠FEC．∴△ABE∽△ECF那么AB：EC=BE：CF，∵AB=1，BE=x，EC=1﹣x，CF=1﹣y．∴AB•CF=EC•BE，即1×（1﹣y）=（1﹣x）x．化简得：y=x2﹣x+1．故选C．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．9.（2015秋•杭州校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，E是AC上一点，EF⊥AB于点F，且=，BC=10，则BC的弦心距OD等于（）A．B．C．4D．【答案】B【解析】连接BO，OC由圆周角定理和垂径定理易证△AEF∽△BDO，由相似三角形的性质：对应边的性质相等可得到OD和BD的比值，结合已知条件BC=10，即可求出OD的长．解：连接BO，OC，∵OD⊥BC，∴∠BOD=∠BOC，BD=BC=5，∵∠A=∠BOC，∴∠A=∠BOD，又∵EF⊥AB，∴∠AEF=∠BDO=90°，∴△AEF∽△BDO，∴，∵=，∴，∴OD=，故选B．【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．10.（2015•杭州模拟）下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则m=3；④若有三个公共点，则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个【答案】A【解析】令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，得出判别式的表达式，然后根据m的取值进行判断，另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数，不要忘了考虑一次函数的情况．解：令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，△=（3m﹣1）2﹣8（m2﹣1）=（m﹣3）2，①当m≠3，m=±1时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；②当m=3时，△=0，与x轴有一个公共点，与y轴有一个公共点，总共两个，故正确；③若只有两个公共点，m=3或m=±1，故错误；④若有三个公共点，则m≠3且m≠±1，故错误；综上可得只有②正确，共1个．故选A．【考点】抛物线与x轴的交点．二、填空题1.（2015秋•杭州校级月考）若=，则= ．【答案】﹣．【解析】根据比例设x=2k，y=3k，然后代入比例式进行计算即可得解．解：∵=，∴设x=2k，y=3k，∴==﹣．故答案为：﹣．【考点】比例的性质．2.（2010•乐清市校级模拟）二次函数y=x2﹣2x+3的最小值是．【答案】2【解析】把函数的解析式化为顶点式的形式即可解答．解：∵二次函数y=x2﹣2x+3可化为y=（x﹣1）2+2的形式，∴二次函数y=x2﹣2x+3的最小值是2．【考点】二次函数的最值．3.（2015秋•杭州校级月考）如图，AD∥BC，BC=2AD，E为BC的中点，R为DC的中点，BR交AE于点P，则EP：AP= ．【答案】．【解析】先由BC=2AD，BE=EC=BC，得出BE=EC=AD，根据AD∥BC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，那么EA=CD，EA∥CD．得出△BEP∽△BCR，于是EP=CR，而CR=CD，那么EP=CD=EA，然后根据比例的性质即可求出答案即可．解：∵BC=2AD，BE=EC=BC，∴BE=EC=AD，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴EA=CD，EA∥CD，∴△BEP∽△BCR，∵BE=EC=BC，∴EP=CR，∵CR=CD，∴EP=CD=EA，∴=，∴EP：AP=．故答案为：．【考点】相似三角形的判定与性质．4.（2015秋•杭州校级月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，向⊙O内任意投点，则所投的点落在正六边形ABCDEF内的概率是．【答案】．【解析】连接OE、OD，由正六边形的特点求出判断出△ODE的形状，作OH⊥ED于H，由特殊角的三角函数值求出OH的长，利用三角形的面积公式即可求出△ODE的面积，进而可得出正六边形ABCDEF的面积，即可得出结果．解：设⊙O的半径为R，连接OE、OD，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠DEF=120°，∴∠OED=60°，∵OE=OD=R，∴△ODE是等边三角形，∴DE=OD=R，作OH⊥ED于H，则OH=OE•sin∠OED=R×=R，∴S=DE•OH=×R×=R2，△ODE∴正六边形的面积=6×R2=R2，∵⊙O的面积=πR2，∴所投的点落在正六边形ABCDEF内的概率==．故答案为：．【考点】正多边形和圆．5.（2015秋•杭州校级月考）等腰三角形ABC内接于圆O，AB=AC，AB的垂直平分线MN与边AB交于点M，与AC所在的直线交于点N，若∠ANM=70°，则劣弧所对的圆心角的度数为．【答案】160°或20°．【解析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况解答，由线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质即可求得答案．解：当∠A 为锐角时，如图1，∵MN是AB的垂直平分线，∴∠AMN=90°，∵∠ANM=70°，∴∠A=20°，∵AB=AC，∴∠B=80°，∴劣弧所对的圆心角的度数为：160°；当∠A为钝角时，如图2，∵MN是AB的垂直平分线，∴∠AMN=90°，∵∠ANM=70°，∴∠BAN=20°，∴∠BAC=160°，∵AB=AC，∴∠B=10°，∴劣弧所对的圆心角的度数为：20°，故答案为：160°或20°．【考点】三角形的外接圆与外心；线段垂直平分线的性质．6.（2015秋•杭州校级月考）如图，O为原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连结CD，某抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D、点E（1，1）．（1）若该抛物线过原点O，则a= ；（2）若点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，要使得符合条件的Q点的个数是4个，则a的取值范围是．【答案】（1）﹣；（2）a＜﹣或a＞．【解析】（1）过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D、E的坐标和c=0代入y=ax2+bx+c，根据待定系数法即可求得；（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，抛物线与直线OQ：y=﹣x有两个交点，得到方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x，根据根与系数的关系得出不等式，解不等式即可求得．解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DBF=∠BAO，又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，在△AOB和△BFD中，，∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF=BO=1，BF=AO=2，∴D的坐标是（3，1），把D（3，1），E（1，1），O（0，0）代入y=ax2+bx+c，得，解得a=﹣，故答案为﹣；（2）如图2，∵D（3，1），E（1，1），抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．分两种情况：①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x 轴的上、下方各有两个．（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣；②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此时直线OQ的斜率为﹣，则直线OQ的解析式为y=﹣x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，解得a＞（a＜舍去）综上所示，a的取值范围为a＜﹣或a＞．故答案为a＜﹣或a＞．【考点】二次函数综合题．三、计算题（2015秋•杭州校级月考）如图，△ADE∽△ABC，=，△ABC的面积为18，求四边形BCED的面积．【答案】16．【解析】根据题意求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质得到两个三角形的面积比，求出△ADE的面积，结合图形计算即可．解：∵=，∴=，∵△ADE∽△ABC，=，∴△ADE与△ABC的面积比为，又△ABC的面积为18，∴△ADE的面积为2，∴四边形BCED的面积=△ABC的面积﹣△ADE的面积=16．【考点】相似三角形的性质．四、解答题1.（2012秋•英国校级期中）（1）请找出该残片所在圆的圆心O的位置（保留画图痕迹，不必写画法）；（2）若此圆上的三点A、B、C满足AB=AC，BC=3，且∠ABC=30°，求此圆的半径长．【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）分别作出线段AC与BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心；（2）分别连结OA、OB，设OA交BC于点D，根据垂径定理求出DB的长，再由锐角三角函数的定义得出AD 的长，设半径OB=r，则OD=2﹣r，在Rt△OBD中根据勾股定理求出r的值即可．解：（1）如图所示，点O就是所求的圆心；（2）分别连结OA、OB，设OA交BC于点D，∵AB=AC，∴0A⊥BC，DB=DC=BC=，∵∠ABC=30°，∴AD=tan30°=，设半径OB=r，则OD=2﹣r，根据勾股定理，得（）2+（﹣r）2=r2，解得r=3，即半径为3．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．2.（2015秋•杭州校级月考）为调查某校学生一学期课外书的阅读量情况，从全校学生中随机抽取50名学生的阅读情况进行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本数为n，当0≤n＜5时，该学生为一般读者；当5≤n＜10时，该学生为良好读者；当n≥10时，该学生为优秀读者．随机抽取的50名学生一学期阅读课外书的本数数据如下：根据以上数据回答下列问题：（1）请你估计在全校学生中任意抽取一个学生，是良好读者的概率是多少？（直接写出结果）（2）在样本中为一般读者的学生中随机抽取2人，用树状图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4本的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由给出的数据可求出当5≤n＜10时的人数，进而可求得良好读者的概率；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）∵5≤n＜10时，学生的人数为3+12+11=26（人），∴估计在全校学生中任意抽取一个学生，是良好读者的概率==；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的有2种情况，∴抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率为：=．【考点】列表法与树状图法；概率公式．3.（2012•唐山二模）某政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元．销售过程中发现，月销售量y（件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+n．（1）当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润为w为1250元，则n= ；（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润为多少元．【答案】（1）500；（2）李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元．（3）销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润为2160元．【解析】（1）根据已知得出w=（x﹣20）•y进而代入x=25，W=1250进而求出n的值即可；（2）利用w=（x ﹣20）•y 得出W 与x 之间的函数关系式，令：函数关系式的关系式﹣10x 2+700x ﹣10000=2000，进而求出即可；（3）利用公式法求出x=35时二次函数取到最值，再利用这种护眼台灯的销售单价不得高于32元得出答案即可． 解：（1）∵y=﹣10x+n ，当销售单价x 定为25元时，李明每月获得利润为w 为1250元， ∴则W=（25﹣20）×（﹣10×25+n ）=1250， 解得：n=500； 故答案为：500．（2）由题意，得：w=（x ﹣20）•y ，=（x ﹣20）•（﹣10x+500）=﹣10x 2+700x ﹣10000， 令：﹣10x 2+700x ﹣10000=2000， 解这个方程得：x 1=30，x 2=40（舍）．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元． （3）由（2）知：w=﹣10x 2+700x ﹣10000，∴．∵﹣10＜0，∴抛物线开口向下． ∵x≤32∴w 随x 的增大而增大． ∴当x=32时，w 最大=2160．答：销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润为2160元． 【考点】二次函数的应用．4.（2015秋•杭州校级月考）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AM 是⊙O 的直径，过点A 作AP ⊥AM ．（1）求证：∠PAC=∠ABC ．（2）连接PB 与AC 交于点D ，与⊙O 交于点E ，F 为BD 上的一点，若M 为BC 的中点，且∠DCF=∠P ，求证：=．【答案】见解析【解析】（1）连接BM ，由圆周角定理和垂直的性质即可证明∠PAC=∠ABC ；（2）连接AE ，根据垂径定理得出AM ⊥BC ，进而得出AP ∥BC ，得出△ADE ∽△CDF ，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得出．证明：（1）连接BM ， ∵AM 是直径， ∴∠ABM=90° 又∵AP ⊥AM ，∴∠ABC+∠CBM=∠PAC+∠CAM=90°， 又∵∠CBM=∠CAM ， ∴∠PAC=∠ABC ； （2）连接AE ，∵AM 是直径，M 为BC 的中点 ∴BC ⊥AM ， 又∵AP ⊥AM ， ∴AP ∥BC ，∴∠DCF=∠P=∠PBC=∠EAC ， 又∵∠CDF=∠ADE ， ∴△ADE ∽△CDF ，∴．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．5.（2013•清浦区校级自主招生）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．（1）当点E与点A重合时，折痕EF的长为；（2）写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；（3）令EF2=y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式（写出x的取值范围）．【答案】（1）；（2）m=1.25，此时菱形EPFD的边长为1.25；（3）0≤x≤3﹣2．【解析】（1）当点E与点A重合时，得出∠DEF=∠FEP=45°，利用勾股定理得出答案即可；（2）结合EF的长度得出x的取值范围，当x=2时，设PE=m，则AE=2﹣m，利用勾股定理得出答案；（3）构造直角三角形，利用相似三角形的对应线段成比例确定y的值．解：（1）∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，当点E与点A重合时，∵点D与点P重合是已知条件，∴∠DEF=∠FEP=45°，∴∠DFE=45°，即：ED=DF=1，利用勾股定理得出EF=，∴折痕EF的长为．故答案为：；（2）∵要使四边形EPFD为菱形，∴DE=EP=FP=DF，只有点E与点A重合时，EF最长为，此时x=1，当EF最长时，点P与B重合，此时x=3，∴探索出1≤x≤3当x=2时，如图，连接DE、PF．∵EF是折痕，∴DE=PE，设PE=m，则AE=2﹣m∵在△ADE中，∠DAP=90°，∴AD2+AE2=DE2，即12+（2﹣m）2=m2，解得 m=1.25，此时菱形EPFD的边长为1.25；（3）过E作EH⊥BC；∵∠EDO+∠DOE=90°，∠FEO+∠EOD=90°，∴∠ODE=∠FEO，∴△EFH∽△DPA，∴，∴FH=3x；∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2；当F与点C重合时，如图，连接PF；∵PF=DF=3，∴PB=，∴0≤x≤3﹣2．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．6.（2015秋•杭州校级月考）已知：如图1，二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A、B两点，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P （t ，0）是线段OB 上一动点（不与O 、B 重合），点E 是线段BC 上的点，以点B 、P 、E 为顶点的三角形与三角形ABC 相似，连结CP ，求△CPE 的面积S 与t 的函数关系式；（3）如图2，若平行于x 轴的动直线与该抛物线交于点Q ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0），则存在这样的直线，使得△ODF 为等腰三角形，请直接写出点Q 坐标．【答案】（1）y=x 2﹣x ﹣4；（2）S=﹣t 2﹣t+；（3）存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形，点Q 的坐标为：Q 1（1+，﹣2）或Q 2（1﹣，﹣2）或Q 3（1+，﹣3）或Q 4（1﹣，﹣3）． 【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）可先设P 的坐标为（m ，0）；根据相似三角形的性质，可得S △BEP ，根据S △CPE =S △BOC ﹣S △BPE ﹣S OPC ，可得函数关系式；（3）本题要分三种情况进行求解：①当OD=OF 时，根据等腰直角三角形，可得出F 的坐标应该是（2，2），根据F 的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出Q 的坐标；②当OF=DF 时，根据线段垂直平分线的性质，可得OM=1，根据等腰直角三角形的性质，可得FM=AM=3，也就得出了F 的纵坐标，根据①的方法求出Q 的坐标；③当OD=OF 时，OF=2，由于O 到AC 的最短距离为2，因此此种情况是不成立的，综合上面的情况即可得出符合条件的P 的坐标解：（1）把C （0，﹣4）和A （4，0）代入y=ax 2﹣2ax+c （a ＞0）得，，解得解析式为y=x 2﹣x ﹣4；（2）BP=t+2，OP=﹣t ，S △ABC =4×6÷2=12，S △OPC =4×（﹣t ）÷2=2t ， ①△BPE ∽△BAC ，则=，则=（）2，S △BPE =（）2×12=S △CPE =S △BOC ﹣S △BPE ﹣S OPC =4﹣﹣（﹣2t ）=﹣t 2+t+②△BEP ∽△BAC ，则=，则=（）2，S △BEP =（）2×12=S △CPE =S △BOC ﹣S △BPE ﹣S OPC =4﹣﹣（﹣2t ）=﹣t 2﹣t+（3）存在这样的直线，使得△ODF 是等腰三角形，理由为： 在△ODF 中，分三种情况考虑：①若DO=DF ，如图1：，∵A （4，0），D （2，0）， ∴AD=OD=DF=2，又在Rt △AOC 中，OA=OC=4， ∴∠OAC=45°，∴∠DFA=∠OAC=45°， ∴∠ADF=90°，此时，点F 的坐标为（2，﹣2）， 由x 2﹣x ﹣4=﹣2，解得：x 1=1+，x 2=1﹣，此时，点P 的坐标为：P （1+，﹣2）或P （1﹣，﹣2）；②若FO=FD ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，如图2：，由等腰三角形的性质得：OM=OD=1， ∴AM=3，∴在等腰直角△AMF 中，MF=AM=3， ∴F （1，3）， 由x 2﹣x ﹣4=﹣3，解得：x 1=1+，x 2=1﹣，此时，点P 的坐标为：P （1+，﹣3）或P （1﹣，﹣3）； ③若OD=OF ，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°， ∴AC="4" ，∴点O 到AC 的距离为2√2，而OF=OD=2＜2√2，与OF≥2√2矛盾， 所以AC 上不存在点使得OF=OD=2，此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形；综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形，点Q 的坐标为：Q 1（1+，﹣2）或Q 2（1﹣，﹣2）或Q 3（1+，﹣3）或Q 4（1﹣，﹣3）． 【考点】二次函数综合题．。

2015-2016学年九年级（上）月考数学试卷（12月份）一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．二次函数y=2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣42．已知，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，则在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为（）A．B．C．D．3．如图，AC、BD相交于点O，下列条件中能判定CD∥AB的是（）A．B．C．D．4．把抛物线y=x2+4向下平移1个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y=x2+3 B．y=x2+5 C．y=（x+1）2+4 D．y=（x﹣1）2+45．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．15°B．28°C．29°D．34°6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为（）A．12 m B．13.5 m C．15 m D．16.5 m7．如图，抛物线y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x=1，对于整个抛物线来说，当y≤0时，x的取值范围是（）A．0＜x≤3 B．﹣2≤x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥38．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）9．甲、乙、丙三人参加央视的“幸运52”．幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物．其过程是这样的：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．甲第一个取得礼物，然后，乙、丙依次取得第2件、第3件礼物．事后他们打开这些礼物仔细比较发现礼物B最精美，那么取得礼物B可能性最大的是（）A．甲B．乙C．丙D．无法确定10．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．B．C．3 D．4二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形=cm2．12．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的对应值如下表：2 3 4 x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1﹣4 0 6 y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6则使y＜0的x的取值范围为．13．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是mm．14．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．15．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论：①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）16．如图，已知函数y=x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A．将y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C．若=2，则k的值是．三．解答题（共7小题）17．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计表，根据统计图提供的信息解决下列问题：（1）这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为．（2）该地区已经移植这种树苗5万棵．①估计这种树苗成活万棵；②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？18．已知，（1）求的值；（2）若，求x值．19．如图，在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′．（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；（2）设P（x，y）为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．20．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．21．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m （点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．（1）当β=36°时，求α的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．（3）若点C平分优弧AB，且BC2=3OA2，试求α的度数．23．如图，等腰△ABC中，BA=BC，AO=3CO=6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连结FO、EO．（1）求A、B两点的坐标；（2）证明：当△EFO面积最大时，△EFO∽△CBA；（3）在（2）的基础上，BC边上是否还存在一个点D，使得△EFD≌△FEO？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，试说明理由．（4）进一步探索：动点F移动几分钟，△EFO能成为等腰三角形？2015-2016学年九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．二次函数y=2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣4考点：二次函数的定义．分析：首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数与一次项系数的和．解答：解：y=2x（x﹣3）=2x2﹣6x．所以二次项系数与一次项系数的和=2+（﹣6）=﹣4．故选D．点评：此题考查了二次函数的一般形式，计算时注意系数的符号．2．已知，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，则在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为（）A．B．C．D．考点：概率公式．专题：跨学科．分析：根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为，可得两个元件同时不正常工作的概率为，进而由概率的意义可得一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率．解答：解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，即某一个电子元件不正常工作的概率为，则两个元件同时不正常工作的概率为；故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为1﹣=；故选D．点评：用到的知识点为：电流能正常通过的概率=1﹣电流不能正常通过的概率．3．如图，AC、BD相交于点O，下列条件中能判定CD∥AB的是（）A．B．C．D．考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例定理对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、AO与DO，BO与CO不是对应线段，不能判定CD∥AB，故本选项错误；B、AO与CD，AB与CD不是对应线段，不能判定CD∥AB，故本选项错误；C、应为=，能判定CD∥AB，故本选项错误；D、=能判定CD∥AB，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，根据图形准确找出对应线段是解题的关键．4．把抛物线y=x2+4向下平移1个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y=x2+3 B．y=x2+5 C．y=（x+1）2+4 D．y=（x﹣1）2+4考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．解答：解：原抛物线向下平移1个单位，所以平移后的函数解析式为：y=x2+4﹣1．故选：A．点评：此题主要考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．5．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．15°B．28°C．29°D．34°考点：圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得∠ACB的度数．解答：解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，根据量角器的读数方法可得：（86°﹣30°）÷2=28°．故选：B．点评：此题考查了圆周角的度数和它所对的弧的度数之间的关系：圆周角等于它所对的弧的度数的一半．6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为（）A．12 m B．13.5 m C．15 m D．16.5 m考点：相似三角形的应用．分析：利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．解答：解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D∴△DEF∽△DCB∴=∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，∴=∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5米，故选D．点评：本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．7．如图，抛物线y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x=1，对于整个抛物线来说，当y≤0时，x的取值范围是（）A．0＜x≤3 B．﹣2≤x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥3考点：二次函数的图象．分析：根据图象，已知抛物线的对称轴x=1，与x轴的一个交点（3，0），可求另一交点，观察图象得出y≤0时x的取值范围．解答：解：因为抛物线的对称轴x=1，与x轴的一个交点（3，0），根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0），因为抛物线开口向上，当y≤0时，﹣1≤x≤3．故选C．点评：利用了抛物线的对称性以及抛物线与x轴交点坐标．8．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）考点：确定圆的条件；坐标与图形性质．专题：压轴题；网格型．分析：连接AB、AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．解答：解：如图所示，∵AW=1，WH=3，∴AH==；∵BQ=3，QH=1，∴BH==；∴AH=BH，同理，AD=BD，所以GH为线段AB的垂直平分线，易得EF为线段AC的垂直平分线，H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，则BH=AH=HC，H为圆心．于是则该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．故选C．点评：根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心．9．甲、乙、丙三人参加央视的“幸运52”．幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物．其过程是这样的：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．甲第一个取得礼物，然后，乙、丙依次取得第2件、第3件礼物．事后他们打开这些礼物仔细比较发现礼物B最精美，那么取得礼物B可能性最大的是（）A．甲B．乙C．丙D．无法确定考点：可能性的大小．专题：压轴题．分析：列举出所有情况，比较得到B的可能性即可．解答：解：取得礼物，共有三种情况，（1）甲C，乙A，丙B；（2）甲A，乙B，丙C；（3）甲A，乙C，丙B．可见，取得礼物B可能性最大的是丙．故选C．点评：解决本题的关键是找到得到礼物的所有情况．10．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．B．C．3 D．4考点：二次函数的最值；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出=，=，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．解答：解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM，∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=OA=2，由勾股定理得：DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，∴=，=，∵AM=PM=（OA﹣OP）=（4﹣2x）=2﹣x，即=，=，解得：BF=x，CM=﹣x，∴BF+CM=．故选A．点评：本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形=4cm2．考点：扇形面积的计算．分析：根据扇形的面积公式S扇形=×弧长×半径求出即可．解答：解：由题意知，弧长=8﹣2×2=4cm，扇形的面积是×4×2=4cm2，故答案为：4．点评：本题考查了扇形的面积公式的应用，主要考查学生能否正确运用扇形的面积公式进行计算，题目比较好，难度不大．12．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的对应值如下表：2 3 4 x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1﹣4 0 6 y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6则使y＜0的x的取值范围为x＜﹣2或x＞3．考点：二次函数的性质．专题：图表型．分析：先求出二次函数的表达式，再求出与x轴的交点即可求出y＜0的x的取值范围．解答：解：取点（（3，0），（﹣2，0），（0，6）代入y=ax2+bx+c得，解得，∴二次函数y=﹣x2+x+6令0=﹣x2+x+6，可得x1=﹣2，x2=3，∵函数图象开口向下，∴y＜0的x的取值范围为x＜﹣2或x＞3．故答案为：x＜﹣2或x＞3．点评：本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是求出二次函数y=ax2+bx+c的表达式．13．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是8mm．考点：相交弦定理；勾股定理．专题：应用题；压轴题．分析：根据垂径定理和相交弦定理求解．解答：解：钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，则下面的距离就是2．利用相交弦定理可得：2×8=AB×AB，解得AB=8．故答案为：8．点评：本题的关键是利用垂径定理和相交弦定理求线段的长．14．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．考点：二次函数的应用．专题：函数思想．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．15．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论：①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．其中正确的结论是①②③④．（把你认为正确结论的序号都填上）考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②依据相似三角形对应边成比例即可求得；③由AD=2时，求得DC=10，然后根据对应边相等则两三角形全等，即可证得；④分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得．解答：解：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD，∴=，∴AD2=AE•AB，故①正确，②易证得△CDE∽△BAD，∵BC=16，设BD=y，CE=x，∴=，∴=，整理得：y2﹣16y+64=64﹣10x，即（y﹣8）2=64﹣10x，∴0＜x≤6.4，∵AE=AC﹣CE=10﹣x，∴3.6≤AE＜10．故②正确．③作AG⊥BC于G，∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，∵BC=16，∴AG=6，∵AD=2，∴DG=2，∴CD=8，∴AB=CD，∴△ABD与△DCE全等；故③正确；④当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8．当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=．AB=10，∴cosB==，∴BD=．故④正确．故答案为：①②④．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，不等式的性质．进行分类讨论是解决④的关键．16．如图，已知函数y=x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A．将y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C．若=2，则k的值是12．考点：相似三角形的判定与性质；一次函数图象与几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：根据一次函数图象的平移问题由y=x的图象向下平移6个单位得到直线BC的解析式为y=x﹣6，然后把y=0代入即可确定C点坐标；作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，易证得Rt△OAE∽△RtCBF，则==2，若设A点坐标为（a，a），则CF=a，BF=a，得到B点坐标为（+a，a），然后根据反比例函数上点的坐标特征得a•a=（+a）•a，解得a=3，于是可确定点A的坐标为（3，4），再利用待定系数法确定反比例函数的解析式．解答：解：∵y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C，∴直线BC的解析式为y=x﹣6，把y=0代入得x﹣6=0，解得x=，∴C点坐标为（，0）；作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，∵OA∥BC，∴∠AOC=∠BCF，∴Rt△OAE∽Rt△CBF，∴===2，设A点坐标为（a，a），则OE=a，AE=a，∴CF=a，BF=a，∴OF=OC+CF=+a，∴B点坐标为（+a，a），∵点A与点B都在y=的图象上，∴a•a=（+a）•a，解得a=3，∴点A的坐标为（3，4），把A（3，4）代入y=得k=3×4=12，故答案为：12．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了相似三角形的判定与性质以及一次函数图象的平移问题．三．解答题（共7小题）17．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计表，根据统计图提供的信息解决下列问题：（1）这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．（2）该地区已经移植这种树苗5万棵．①估计这种树苗成活 4.5万棵；②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？考点：利用频率估计概率；用样本估计总体．专题：应用题；压轴题．分析：（1）由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9；（2）5×成活率即为所求的成活的树苗棵树；（3）利用成活率求得需要树苗棵数，减去已移植树苗数即为所求的树苗的棵数．解答：解：（1）这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．（2）①估计这种树苗成活在5×0.9=4.5万棵；②18÷0.9﹣5=15；答：该地区需移植这种树苗约15万棵．点评：本题结合图表，考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．18．已知，（1）求的值；（2）若，求x值．考点：比例的性质；二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：（1）设x=2k，y=3k，z=4k，代入后化简即可；（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入得出2k+3=k2，求出方程的解，注意无理方程要进行检验．解答：解由，设x=2k，y=3k，z=4k，（1），（2）化为，∴2k+3=k2，即k2﹣2k﹣3=0，∴k=3或k=﹣1，经检验，k=﹣1不符合题意，∴k=3，从而x=2k=6，即x=6．点评：本题考查了比例的性质，二次根式的性质，解一元二次方程等知识点的应用，注意解（1）小题的方法，解（2）小题求出k的值要进行检验．19．如图，在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′．（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；（2）设P（x，y）为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．考点：作图-位似变换；作图-轴对称变换；作图-平移变换．专题：作图题．分析：分别根据位似变换、轴对称、平移的作图方法作图即可；根据这些变换的特点可求出变换后点P对应点的坐标．解答：解：（1）如图．先把△ABC作位似变换，扩大2倍，再作关于y轴对称的三角形，然后向右平移4个单位，再向上平移5个单位．（2）设坐标纸中方格边长为单位1，则P（x，y）以O为位似中心放大为原来的2倍（2x，2y），经y轴翻折得到（﹣2x，2y），再向右平移4个单位得到（﹣2x+4，2y），再向上平移5个单位得到（﹣2x+4，2y+5）．点评：本题主要考查：位似变换、轴对称、平移．此题隐含着逆向思维．20．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．分析：（1）利用交点式得出y=a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）把x=2代入y=﹣2x得出y=﹣4，把y=1代入y=﹣2x得出y=﹣，进而得出答案．解答：解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a=﹣3，解得：a=﹣1，故抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）（x﹣3），即y=﹣x2+4x﹣3，∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）平移方法有：①向下平移5个单位，得到：y=﹣x2+4x﹣8，把x=2代入y=﹣2x得出y=﹣4，∵顶点坐标（2，1）；∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为（2，﹣4）；②向左平移2.5个单位，得到：y=﹣（x+0.5）2+1，把y=1代入y=﹣2x得出y=﹣，∴向左平移2.5个单位，抛物线的顶点为（﹣，1）．点评：此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键．21．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）考点：相似三角形的应用．专题：应用题；转化思想．分析：此题属于实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；解题时要注意构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题．解答：解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，∵AB∥CD，DG⊥AB，AB⊥AC，∴四边形ACDG是矩形，∴EH=AG=CD=1.2，DH=CE=0.8，DG=CA=30，∵EF∥AB，∴，由题意，知FH=EF﹣EH=1.7﹣1.2=0.5，∴，解得，BG=18.75，∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0．∴楼高AB约为20.0米．点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．（1）当β=36°时，求α的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．（3）若点C平分优弧AB，且BC2=3OA2，试求α的度数．考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的判定与性质；垂径定理．分析：（1）连接OB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半和等腰三角形的性质解答即可；（2）根据（1）的方法解答即可；（3）过O作OE⊥AC于E，连接OC，证明AE=OA，得到△ABC为正三角形，得到答案．解答：解：（1）连接OB，则OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠C=36°，∴∠AOB=72°，∵∠OAB=（180°﹣∠AOB）=54°，即β=54°．（2）α与β之间的关系是α+β=90°；证明：∵∠OBA=∠OAB=α，∴∠AOB=180°﹣2α，∵∠AOB=2∠β，∴180°﹣2α=2∠β，∴α+β=90°．（3）∵点C平分优弧AB∴AC=BC又∵BC2=3OA2，∴AC=BC=OA，过O作OE⊥AC于E，连接OC，由垂径定理可知AE=OA，∴∠AOE=60°，∠OAE=30°，∴∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，则α=∠CAB﹣∠CAO=30°．点评：本题考查的是三角形的外接圆、垂径定理和锐角三角函数的知识，综合性较强，需要学生灵活运用所学的知识，正确作出辅助线构造直角三角形进行解答．23．如图，等腰△ABC中，BA=BC，AO=3CO=6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连结FO、EO．（1）求A、B两点的坐标；（2）证明：当△EFO面积最大时，△EFO∽△CBA；（3）在（2）的基础上，BC边上是否还存在一个点D，使得△EFD≌△FEO？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，试说明理由．（4）进一步探索：动点F移动几分钟，△EFO能成为等腰三角形？考点：相似形综合题．分析：（1）先根据题意得出AC两点的坐标，再设BO=x，由勾股定理求出x的值，进而可得出B点坐标；（2）过F点作FK⊥BC于K，可设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，由FE∥BC可得△AFE∽△ABC，而AO⊥BC交EF于T，故=，=，即EF=10﹣5t，故S△EFO=EF×TO=，当t=1时，△EFO的面积达到最大值；此时BF=FA，EF恰好为△ABC的中位线，所以=，由AO⊥BC于O得出==，故==，由此可得出结论；（3）在（2）的基础上，E、F分别是AC、AB的中点，若使D为BC的中点时，===，再由==可知FO=ED，EO=FD，EF=FE，故△EFD≌△FEO，由全等三角形的性质即可得出D点坐标；（4））由FE∥BC可得出△ATF∽△AOB，△ATE∽△AOC，故可得出FT＞TE，由勾股定理可得OF ＞EO，设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，可得：EF=10﹣5t，B（﹣8，0），故F（4t﹣8，3t），E （2﹣t，3t），再分EF=FO与EF=EO两种情况进行讨论即可．解答：解：（1）∵AO=3CO=6，∴CO=2，∴C（2，0），A（0，6）．设BO=x，且x＞0；则BC2=（2+x）2，AB2=AO2+OB2=36+x2；又∵BC=AB，∴（2+x）2=36+x2，解得x=8，∴B（﹣8，0）；（2）如图1，过F点作FK⊥BC于K，可设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，则：BF=5t，TO=FK=3t；∴A T=6﹣3t，又∵FE∥BC，∴△AFE∽△ABC，而AO⊥BC交EF于T，则：=，∴=，即EF=10﹣5t，故S△EFO=EF×TO=（10﹣5t）×3t，即S△EFO=﹣（t﹣2）t，∴当t=1时，△EFO的面积达到最大值；此时BF=FA，EF恰好为△ABC的中位线．则：=，又有AO⊥BC于O，则：==∴==，∴△EFO∽△CBA；（3）在（2）的基础上，E、F分别是AC、AB的中点，若使D为BC的中点时，===又∵==，∴FO=ED，EO=FD，EF=FE，∴△EFD≌△FEO．故：存在满足条件的D点，其坐标为（﹣3，0）．（4）∵FE∥BC∴△A TF∽△AOB，△A TE∽△AOC，∴==，则：==4＞1，。