2019浙江中考数学一轮复习同步测试：相似三角形的性质及其应用(含答案)

第八章 图形的相似第一节 相似三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列线段不能成比例线段的是( ) A ．1 cm ，2 cm ，4 cm ，8 cm B ．1 cm ， 2 cm ，2 2 cm ，2 cm C. 2 cm ， 5 cm ， 3 cm ，1 cm D ．2 cm ，5 cm ，3 cm ，7.5 cm 2．已知a b ＝23，那么aa ＋b 的值为( )A.13B.25C.35D.343．下列关于线段AB 的黄金分割的说法中，正确的有( )①线段AB 的黄金分割点有2个；②若C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 可能等于5－12AB ；③若C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 可能等于3－52AB.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．在三角形纸片ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，AC ＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC 相似的是( )5．若线段AB ＝6 cm ，点C 是线段AB 的一个黄金分割点(AC ＞BC)，则AC 的长为__________cm (结果保留根号)．6．(2019·易错题)已知AB∥CD，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝______.7．如图，在△ABC中，MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为______．8．如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：__________________________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)9．在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；④若AC∶A1C1＝CB∶C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中是真命题的为__________(填序号)．10．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC＝DFCG.11．已知a b ＝c d ＝23，且b ＋d≠0，则a ＋cb ＋d ＝( )A.23B.25C.35D.1512．在Rt △ACB 中，∠C＝90°，AC ＝BC ，一直角三角板的直角顶角O 在AB 边的中点上，这块三角板绕O 点旋转，两条直角边始终与AC ，BC 边分别相交于E ，F ，连结EF ，则在运动过程中，△OEF 与△ABC 的关系是( )A ．一定相似B ．当E 是AC 中点时相似C ．不一定相似D ．无法判断13．阅读下列材料：如图1，在线段AB 上找一点C(AC ＞BC)，若BC∶AC＝AC∶AB，则称点C 为线段AB 的黄金分割点，这时比值为5－12≈0.618，人们把5－12称为黄金分割数．长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O 表示数0，点E 表示数2，过点E 作EF⊥OE，且EF ＝12OE ，连结OF ；以F 为圆心，EF 为半径作弧，交OF 于H ；再以O 为圆心，OH 为半径作弧，交OE 于点P ，则点P 就是线段OE 的黄金分割点． 根据材料回答下列问题：(1)线段OP 的长为________，点P 在数轴上表示的数为________； (2)在(1)中计算线段OP 长的依据是____________．14．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC 与△OAB 相似(相似比不能为1)，则C 点坐标为__________________________．15．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求x －4y ＋3zx ＋4y －3z 的值．16．如图，在正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF⊥AM，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB ＝12，BM ＝5，求DE 的长．17．(2019·创新题)实数a ，n ，m ，b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B ，若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”，当b －a ＝4时，m －n ＝__________．18．如图所示，在△ABC 中，已知BD ＝2DC ，AM ＝3MD ，过M 作直线交AB ，AC 于P ，Q 两点．则AB AP ＋2ACAQ ＝______．参考答案【基础训练】 1．C 2.B 3.D 4.D 5．35－3 6.4 7.18．∠A＝∠BDF (答案不唯一) 9.①③④ 10．(1)证明：∵∠AED＝∠B， ∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C. 又∵AD AC ＝DFCG ，∴△ADF∽△ACG.(2)解：∵△ADF∽△AC G ，∴AD AC ＝AF AG. 又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12，∴AFFG＝1. 【拔高训练】 11．A 12.A 13．(1)5－15－1 (2)勾股定理14．(4，4)或(5，2) 15．解：设x 2＝y 3＝z4＝k ，∴x＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ， ∴x －4y ＋3z x ＋4y －3z ＝2k －12k ＋12k2k ＋12k －12k＝1.16．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠EAM＝∠AMB.∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°， ∴∠AFE＝∠B ， ∴△ABM∽△EFA.(2)解：在Rt△ABM 中，AB ＝12，BM ＝5，∠B＝90°， ∴由勾股定理得AM ＝AB 2＋BM 2＝122＋52＝13. ∵F 是AM 的中点，∴AF＝12AM ＝132.∵△ABM∽△EFA，∴AE MA ＝AFMB ，即AE 13＝1325，解得AE ＝16.9. 又AD ＝AB ＝12， ∴DE＝16.9－12＝4.9. 【培优训练】 17．45－8 18.4。

4.5 相似三角形的性质及其应用(二)1．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(C)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶162．已知△ABC的三边长分别为4，2，3，△ABC与△A′B′C′相似，△A′B′C′的周长为15，则△A′B′C′的最大边长为(C)A. 4B. 125C.203D. 63．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边长AB，BC，AC的中点，则△DEF与△ABC的面积之比为(A)A. 1∶4B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶ 2(第3题) (第4题)4．如图，D，E分别为△ABC的边长AB，AC上的中点，则△ADE与四边形BCED 的面积的比为(B)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶15．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，且两个三角形的面积之差为28 ，则△ABC 的面积为__36__．6．如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，∠1＝∠B ，AE ＝EC ＝4，BC ＝10，AB ＝12，则△ADE 的周长为10．(第6题)7．如图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB ＝12，△CEF的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，求S 1S 2的值．(第7题)【解】 ∵AD AB ＝12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC ＝5a.∵BF ⊥AC ，四边形ABCD 为矩形， ∴易得△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ， ∴BC 2＝CE ·AC ，AB 2＝AE ·AC ，∴a 2＝CE ·5a ，(2a)2＝AE ·5a ，∴CE ＝5a 5，AE ＝4 5a 5，∴CE AE ＝14.易得△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CE AE 2＝116.8．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB.若AECE ＝23，S △ABC ＝25，求S ▱BFED.(第8题)【解】 ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴△ADE ∽△ABC ，△CEF ∽△CAB.∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AE AC 2，S △CEF S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CE AC 2. ∵AECE ＝23，∴AE AC ＝25，CE AC ＝35. ∵S △ABC ＝25，∴S △ADE ＝4，S △CEF ＝9， ∴S ▱BFED ＝25－4－9＝12.9．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，DE ∥AC.若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为(D)(第9题)A. 13B. 14C. 19D. 116【解】 ∵S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3， ∴BE ∶EC ＝1∶3，∴BE ∶BC ＝1∶4. ∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ，△BDE ∽△BAC ，∴DE AC ＝BE BC ＝14，∴S △DOE ∶S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE AC 2＝116. 10．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半．若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′＝2－1．(第10题)【解】 设BC 与A ′C ′交于点E. 易知AC ∥A ′C ′，∴△BEA ′∽△BCA ，∴S △BEA ′∶S △BCA ＝A ′B 2∶AB 2＝1∶2.∵AB ＝2，∴A ′B ＝1，∴AA ′＝AB －A ′B ＝2－1.11．如图，已知△ABC 是面积为3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝45°，AC 与DE 交于点F ，则△AEF 的面积等于3－34(结果保留根号).(第11题)【解】 过点F 作FG ⊥AE 于点G.∵△ABC ∽△ADE ，∴S △ABC S △ADE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB AD 2＝4， ∴S △ADE ＝34，∴正三角形ADE 的边长为1.∵∠EAD ＝∠CAB ＝60°，∴∠EAF ＝∠BAD ＝45°，∴FG ＝AG.在Rt △EGF 中，设EG ＝x ，则易得FG ＝3x ，∴3x ＋x ＝1，∴x ＝3－12，∴FG ＝3－32.∴S △AEF ＝12AE ·FG ＝3－34.12．如图，已知A 是反比例函数y ＝6x 在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B ，以AB 为边向右作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在反比例函数y ＝kx 上运动，则k 的值是－3__6．(第12题)(第12题解)【解】 ∵反比例函数y ＝6x的图象关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA ＝OB. 连结OC ，如解图．∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∠BAC ＝60°.∴AC ＝2OA.∴OC ＝3OA.过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F. ∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ， ∴∠AEO ＝∠OFC ＝90°， ∴∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ， ∴△OFC ∽△AEO ，且相似比OCOA＝3，∴S △OFC S △AEO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫OC OA 2＝3. 设点A 的坐标为(a ，b)．∵点A 在双曲线y ＝6x 上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝12FC ·OF ＝3 62.设点C 的坐标为(x ，y)．∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y.∴FC ·OF ＝x ·(－y)＝－xy ＝3 6.∵点C 在双曲线y ＝kx上，∴k ＝xy ＝－36.(第13题)13．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，并将△ABC 分成面积分别为S 1，S 2，S 3的三块．若S 1∶S 2∶S 3＝1∶4∶10，BC ＝15，求DE ，FG 的长．【解】 ∵DE ∥FG ∥BC ， ∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE BC 2，S △AFG S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG BC 2， 即S 1S 1＋S 2＋S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE 152，S 1＋S 2S 1＋S 2＋S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG 152. 设S 1＝k ，则S 2＝4k ，S 3＝10k ，∴S 1S 1＋S 2＋S 3＝kk ＋4k ＋10k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE 152，S 1＋S 2S 1＋S 2＋S 3＝k ＋4k k ＋4k ＋10k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG 152， ∴DE ＝15，FG ＝53.14．已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的点P 处．(第14题)(1)如图①，已知折痕与边BC 相交于点O. ①求证：△OCP ∽△PDA.②若△OCP 与△PDA 的面积之比为1∶4，求边AB 的长． (2)若图①中的P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数．(3)如图②，在(1)的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP.动点M 在线段AP 上(点M 不与点P ，A 重合)，动点N 在线段AB 的延长线上，且BN ＝PM ，连结MN 交PB 于点F ，过点M 作ME ⊥BP 于点E.试问：在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF 的长度．【解】 (1)①∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，DC ＝AB ，∠DAB ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°. 由折叠的性质，得∠APO ＝∠B ＝∠C ＝90°， ∴∠POC ＝90°－∠CPO ＝∠APD. 又∵∠C ＝∠D ，∴△OCP ∽△PDA.②∵△OCP 与△PDA 的面积之比为1∶4，△OCP ∽△PDA ，∴OC PD ＝OP PA ＝CP DA ＝14＝12，∴PD ＝2OC ，PA ＝2OP ，DA ＝2CP. ∵AD ＝8，∴CP ＝4，BC ＝8. 设OP ＝x ，则OB ＝x ，OC ＝8－x.在Rt △PCO 中，∵∠C ＝90°，CP ＝4，OP ＝x ，OC ＝8－x ， ∴x 2＝(8－x)2＋42，解得x ＝5，∴AB ＝AP ＝2OP ＝10，∴边AB 的长为10. (2)∵P 是CD 边的中点，∴DP ＝12DC.∵DC ＝AB ，AB ＝AP ，∴DP ＝12AP.∵∠D ＝90°，∴∠DAP ＝30°. ∵∠DAB ＝90°，∠OAP ＝∠OAB ， ∴∠OAB ＝30°.(3)过点M 作MQ ∥AN 交PB 于点Q. ∵AP ＝AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB ＝∠ABP ，∠ABP ＝∠MQP ， ∴∠APB ＝∠MQP ，∴MP ＝MQ. ∵ME ⊥PQ ，∴PE ＝QE ＝12PQ.∵BN ＝MP ，MP ＝MQ ，∴BN ＝MQ.∵MQ ∥AN ，∴∠QMF ＝∠BNF.又∵∠QFM ＝∠BFN ，QM ＝BN ，∴△MFQ ≌△NFB(AAS)，∴QF ＝BF ，∴QF ＝12QB ， ∴EF ＝EQ ＋QF ＝12PQ ＋12QB ＝12PB. 由(1)中的结论，得CP ＝4，BC ＝8，∠C ＝90°，∴PB ＝82＋42＝4 5，∴EF ＝12PB ＝2 5，∴在(1)的条件下，在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度不变，为2 5.。

浙教新版数学九年级上学期?4.5 相似三角形的性质及其应用?同步练习一．选择题〔共12小题〕1．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持程度，并且边DE与点B在同一直线上，纸板的两条直角边DE=30cm，EF=15cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=7m，那么树高AB=〔〕m．A．3.5B．4C．4.5D．52．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目的点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如下图，假设测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，那么这条河的宽AB等于〔〕A．120m B．67.5m C．40mD．30m3．如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H的方向行走至点G，假设AD=6m，DG=4m，那么小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是〔〕A．变长1m B．变长1.2m C．变长1.5m D．变长1.8m 4．如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m，当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高〔〕A．2m B．4 m C．4.5 m D．8 m5．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择适宜的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的程度间隔为2m，旗杆底部与平面镜的程度间隔为16m．假设小明的眼睛与地面间隔为1.5m，那么旗杆的高度为〔单位：m〕〔〕A．B．9C．12D．6．如下图，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的间隔为0.1米，胶片的高BC为0.038米，假设需要投影后的图象DE高1.9米，那么投影机光源离屏幕大约为〔〕A．6米B．5米C．4米D．3米7．如图，小明想利用阳光测量学校旗杆的高度．当他站在C 处时，此时他头部顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得小明的身高为1.7m，AC=2.0m，BC=8.0m，那么旗杆的高度是〔〕A．5.1m B．6.8m C．8.5m D．9.0m 8．一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm，现沿底边从下到上依次裁剪宽度均为3cm的矩形纸条〔如下图〕，那么裁得的纸条中恰为张正方形的纸条是〔〕A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张9．如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，那么这个正方形零件的边长为〔〕A．40mm B．45mm C．48mmD．60mm10．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，挪动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为〔〕A．5m B．7m C．7.5m D．21m 11．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB〔顶端A到程度地面BD的间隔〕，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE〔DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线〕，把一面镜子程度放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，那么凉亭的高度AB约为〔〕A．8.5米B．9米C．9.5米D．10米12．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为〔〕A．10m B．12m C．15m D．40m二．填空题〔共6小题〕13．如下图，D、E之间要挖建一条直线隧道，为计算隧道长度，工程人员在线段AD和AE上选择了测量点B，C，测得AD=100，AE=200，AB=40，AC=20，BC=30，那么通过计算可得DE长为．14．如图，物理课上张明做小孔成像试验，蜡烛与成像板之间的间隔为24cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，那么蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛cm的地方．15．如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．假如小河BD的宽度为12m，BE=3m，那么这棵树CD的高为m．16．?九章算术?是中国传统数学最重要的著作，在“勾股〞章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？〞用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步〔“步〞是古代的长度单位〕的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木〔即点D在直线AC上〕？请你计算KC的长为步．17．如图，小明在测量学校旗杆高度时，将3米长标杆插在离旗杆8米的地方，旗杆高度为6米，小明眼部以下距地面 1.5米，这时小明应站在离旗杆米处，可以看到标杆顶端与旗杆顶端重合．18．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=m．三．解答题〔共5小题〕19．如图，小明想用镜子测量一棵松树的高度，但树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的间隔，于是小明两次利用镜子，第一次他把镜子放在C点，人在F点正好在镜子中看见树尖A；第二次把镜子放在D点，人在H点正好在镜子中看到树尖A．小明的眼睛间隔地面的间隔EF=1.68米，量得CD=10米，CF=1.2米，DH=3.6米，利用这些数据你能求出这棵松树的高度吗？试试看．〔友谊提示：∠ACB=∠ECF，∠ADF=∠GDH〕20．图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于程度地面，其示意图如图2．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞渐渐撑开时，动点P由A向B挪动；当点P到达点B时，伞张得最开．伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米．﹙1﹚求AP长的取值范围；﹙2﹚在阳光垂直照射下，伞张得最开时，求伞下的阴影﹙假定为圆面﹚面积S ﹙结果保存π﹚．21．如图，如图用一根铁丝分成两段可以分别围成两个相似的五边形，它们的面积比是1：4，其中小五边形的边长为〔x2﹣4〕cm，大五边形的边长为〔x2+2x〕cm〔其中x＞0〕．求这这根铁丝的总长．22．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的间隔有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．〔1〕如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．〔2〕不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？〔3〕有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的间隔．〔写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示〕23．如图〔1〕是一种广场三联漫步机，其侧面示意图如图〔2〕所示，其中AB=AC=120cm，BC=80cm，AD=30cm，∠DAC=90°．求点D到地面的高度是多少？参考答案一．选择题1．D．2．A．3．A．4．B．5．C．6．B．7．C．8．C．9．C．10．B．11．A．12．C．二．填空题13．150．14．815．5.1．16．．17．12．18．100．三．解答题19．解：根据反射定律可以推出∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH，∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，∴△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDH，设AB=x，BC=y解得：．答；这棵松树的高约为7米．20．解：〔1〕∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，∴AB=AC﹣BC=10分米．∴设AP=x，那么AP的取值范围是：0≤x≤10；〔2〕连接MN、EF，分别交AC于B、H．设AP=x分米，∵PM=PN=CM=CN，∴四边形PNCM是菱形．∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，PB=．在Rt△MBP中，PM=6分米，∴MB2=PM2﹣PB2=62﹣〔6﹣x〕2=6x﹣x2．∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，∴EH=HF，EF⊥AC．∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，∴△CMB∽△CEH．∴=〔〕2=∴EH2=9•MB2=9•〔6x﹣x2〕．∴S=π•EH2=9π〔6x﹣x2〕，即S=﹣πx2+54πx，∵x=﹣=12，0≤x≤10，π×100+54π×10=315π〔平方分米〕．∴x=10时，S最大=﹣21．解：∵相似五边形的面积比是1：4，∴它们的相似比为1：2，即〔x2﹣4〕：〔x2+2x〕=1：2，整理得x2﹣2x﹣8=0，解得x1=4，x2=﹣2〔舍去〕，当x=4时，x2﹣4=12，x2+2x=24，∴这根铁丝的总长=5×12+5×24=180〔cm〕．22．解：〔1〕设灯泡离地面的高度为xcm，∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，解得x=180．〔4分〕〔2〕设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，同理可得∴=，解得y=12cm；〔3分〕〔3〕记灯泡为点P，如图：∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得〔1分〕〔直接得出三角形相似或比例线段均不扣分〕设灯泡离地面间隔为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，∴=1﹣=1﹣x=〔1分〕．23．解：过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H．∵AF⊥BC，垂足为F，∴BF=FC=BC=40cm．根据勾股定理，得AF===80〔cm〕，∵∠DHA=∠DAC=∠AFC=90°，∴∠DAH+∠FAC=90°，∠C+∠FAC=90°，∴∠DAH=∠C，∴△DAH∽△ACF，∴AH=10cm，∴HF=〔10+80〕cm．答：D到地面的高度为〔10+80〕cm．。

4．5 相似三角形的性质及其应用(2)1．已知两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的面积比是(A) A ．4∶9 B ．2∶3 C ．3∶2 D ．9∶42. 已知△ABC ∽△DEF ，对应边AB ∶DE ＝1∶2，则△ABC 和△DEF 的周长比为(A) A. 1∶2 B. 1∶4 C. 2∶1 D. 4∶13．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD.如果S △ODC ∶S △BDC ＝1∶3，那么S △ODC ∶S △ABC 等于(B)A ．1∶5B ．1∶6C ．1∶7D ．1∶9,(第3题)) ,(第4题))4．如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分的四边形EOFB ，GHMN 是正方形的花圃．一只自由飞翔的小鸟随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为(C)A.1732B.12C.1736D.17385．用3倍的放大镜照一个面积为1的三角形，放大后的三角形面积是__9__．(第6题)6. 如图，圆桌正上方的灯泡(看做一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)．已知桌面的直径为1.2 m ，桌面距地面1 m ，若灯泡距离地面3 m ，则地上阴影部分的面积为0.81πm 2.7．两个相似三角形的一组对应边长分别为15 cm 和27 cm ，它们的周长之差为36cm ，则较小三角形的周长是__45__cm.(第8题)8．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 中点，F 是BE 的中点，AE 与DF 交于点H ，则S △EFH ∶S △ADH 的值是__116__．(第9题)9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2BD. (1)若△ADE 的周长为6，求△ABC 的周长； (2)若S 梯形BCED ＝20，求S △ADE . 【解】 (1)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.又∵AD ＝2BD ，∴AD AB ＝23，∴△ADE 与△ABC 的相似比为2∶3. ∵△ADE 的周长为6， ∴△ABC 的周长为9.(2)∵S △ADE S △ABC ＝S △ADES △ADE ＋S 梯形BCED ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，∴S △ADES △ADE ＋20＝49，∴S △ADE ＝16.(第10题)10. 如图，在一次台球比赛中，小红将球从A 处射出，经球台挡板CD 反射，恰好落入球袋B.若球台板长CD ＝2.4 m ，宽BD ＝1.5 m ，AC ＝0.3 m ，则点E 距点C 多远？【解】 ∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠C ＝∠D ＝90°.根据物理中的反射规律，知∠BED ＝∠AEC ， ∴△BDE ∽△ACE ， ∴EC DE ＝AC BD. 代入数据，得CE2.4－CE ＝0.31.5，解得CE ＝0.4.∴点E 距点C 有0.4 m 远．11．如图，要在一个△ABC 的花坛中种植花草，工作人员沿与AB 平行的方向画一条直线，将原花坛分割出一个三角形的地块(△CDE)，测出△CDE 的面积为10 m 2，CE ＝4 m ，BE ＝6 m ．请你根据测得的数据计算出花坛△ABC 的面积．(第11题)【解】 ∵DE ∥AB ， ∴△CDE ∽△CAB ， ∴S △CDE S △CAB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CE CB 2. ∵S △CDE ＝10，CE ＝4，EB ＝6，∴CB ＝10，∴10S △CAB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4102＝425， ∴S △CAB ＝1252(m 2)．答：花坛△ABC 的面积是1252m 2.(第12题)12．如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC ，AB 于点E ，F.设△CDE ，△BDF ，四边形DEAF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，求证：S 3＝2S 1S 2.【解】 设S △ABC 的面积为S. ∵DE ∥AB ，∴△EDC ∽△ABC ， ∴S 1S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CE CA 2，∴S 1S ＝CE CA. 同理，S 2S ＝DF AC. ∵DF ∥AC ，DE ∥AB ，∴四边形DEAF 为平行四边形，∴DF ＝AE ，∴S 2S ＝AE AC， ∴S 1＋S 2S ＝CE CA ＋AE CA ＝CE ＋AE CA＝1， ∴S 1＋S 2＝S ，∴(S 1＋S 2)2＝S ，∴S －(S 1＋S 2)＝2 S 1S 2，即S 3＝2S 1S 2.(第13题)13．如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，点E 是AB 的中点，连结EF.(1)求证：EF ∥BC ；(2)若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积． 【解】 (1)∵DC ＝AC ，CF 是∠ACB 的平分线，∴AF ＝DF.又∵AE ＝BE ，∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥BC.(2)∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABD. ∵EF ＝12BD ，∴S △AEF S △ABD ＝14.∵S 四边形BDFE ＝6，∴S △AEF6＋S △AEF ＝14，∴S △AEF ＝2，∴S △ABD ＝8.(第14题)14. 如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，OD ∥AB 交BC 于点D ，OE ∥AC 交BC 于点E.求证：BC 2＝DE(AB ＋BC ＋AC)．【解】 ∵OD ∥AB ，∴∠ODE ＝∠ABC ，∠ABO ＝∠BOD.又∵∠ABO ＝∠DBO ，∴∠DBO ＝∠BOD.∴BD ＝OD. 同理，OE ＝CE.∵OE ∥AC ，∴∠OED ＝∠ACB.∴△ODE ∽△ABC ，∴OD ＋DE ＋OE AB ＋BC ＋AC ＝DEBC .∴BD ＋DE ＋CE AB ＋BC ＋AC ＝DE BC ，即BC AB ＋BC ＋CA ＝DE BC ， ∴BC 2＝DE(AB ＋BC ＋AC)．。

相似三角形的判定、性质及应用（讲义）➢课前预习一、回顾下列知识，再将各选项填到对应横线上：A．能够完全重合的两个图形称为全等图形B．全等图形的形状和大小都相同C．全等三角形的对应边相等，对应角相等D．三边分别相等的两个三角形全等，简写为“SSS”E．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ASA”F．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“AAS”G．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“SAS”定义：判定：全等图形全等三角形应用性质：性质：二、读一读，想一想太阳光线可以看成平行光线．早在约公元前600 年前，就有人利用平行光线去解决实际生活当中的问题了．他就是泰勒斯——古希腊第一位享有世界声誉，有“科学之父”和“希腊数学的鼻祖”美称的伟大学者．泰勒斯已经观察金字塔很久了：底部是正方形，四个侧面都是相同的等腰三角形．要测量出底部正方形的边长并不困难，但仅仅知道这一点还无法解决问题．他苦苦思索着．当他看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到办法了．这一天，阳光的角度很合适，把所有东西都拖出一条长长的影子．泰勒斯仔细地观察着影子的变化，找出金字塔底面正方形的一边的中点（这个点到边的两端的距离相等），并作了标记．然后他笔直地站立在沙地上，并请人不断测量他的影子的长度．当影子的长度和他的身高相等时，他立即跑过去测量金字塔影子的顶点到做标记的中点的距离．他稍做计算，就得出了这座金字塔的高度．当他算出金字塔高度时，围观的人十分惊讶，纷纷问他是怎样算出金字塔的高度的．泰勒斯一边在沙地上画图示意，一边解释说：“当我笔直地站立在沙地上时，我和我的影子构成了一个直角三角形．当我的影子和我的身高相等时，就构成了一个等腰直角三角形．而这时金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形．所以这个巨大的直角三角形的两条直角边也相等．”他停顿了一下，又说：“刚才金字塔的影子的顶点与我做标记的中心的连线，恰好与这个中点所在的边垂直，这时就很容易计算出金字塔影子的顶点与底面正方形中心的距离了．它等于底面正方形边长的一半加上我刚才测量的距离，算出来的数值也就是金字塔的高度了．想一想：为什么金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形呢？➢知识点睛1.相似三角形的判定：①；②；③；④．2.相似三角形的性质：①相似三角形，，都等于相似比；②相似三角形的周长比等于，面积比等于．3.测量旗杆高度的方法：①利用阳光下的影子②利用标杆③利用镜子的反射（太阳光是平行光）（同位角相等）（借助反射角、入射角相等）4.位似：①如果两个图形不仅，而且，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做．位似图形上等于相似比．②在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是例：DAB C E F①∵∠A=∠D，∠B=∠E∴△ABC∽△DEF②∵=，∠B=∠EDE EF∴△ABC∽△DEFAB BC③ ==AB BC ACDE EF DF∴△ABC∽△DEFD 1 BF2E1OE 2F1D2 CyAx，它们的相似比为．ODDEAE➢ 精讲精练1.如图，线段 AB ，CD 相交于点 O ，连接 AC ，BD ．给出下列 条件，判断并写出对应的相似三角形． C①若∠A = ∠D ，则 ∽ ； ②若∠A = ∠B ，则∽ ； BOA OC ③若 = ，则∽ ； OD OB ④若 AC ∥BD ，则∽．2.如图，在△ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上．给出下列条件：①∠AED =∠B ；②∠ADE =∠C ；③∠ADE =∠B ；④ AD = AC ；⑤ AD=AE．其中能判断△ABC ∽△AED 的 AE AB AB AC A 有 （填序号）．C3.如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部 分）与△ABC 相似的是（ ） A B C．B ．C ．D ．4.如图，AB ∥CD ，AD ，BC 交于点 E ，过 E 作 EF ∥AB 交 BD 于点 F ，则图中相似的三角形有 对．CFDCC5.如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC = 1BC ，则图中相似三角形共有（ ）4A ．1 对 B．2 对C ．3 对 D．4 对A D EB F C6.如图，线段 AE ，BD 相交于点 C ，连接 AB ，DE ，其中 AB :DE =1:2，AC =2，BC =3．若 AB ∥DE ，则 CE = ，CD = ；若∠A =∠D ，则 CE = ，CD =．ABAB CDD E E7.如图，若 AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段 BD 的中点，且 AC ⊥CE ，ED =1，BD =4，则 AB = ． AAEB D BDC第 7 题图第 8 题图8.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为 D ，其中 AD 2 = BD ⋅ DC ， 则∠BAC = ；当 AD :DC =1:2，AD =4 时，BC = ．9.如图，在△ABC 中，AB =AC ，点 E ，F 分别是边 AB ，AC 上一点，点 D 是边 BC 上一点（不与 B ，C 重合）．若∠E DF =∠B ，BE =2，BD =3，BC =6，则 FC 的长为 ．A FEB D CBCEF G10. 如图，点 M ，N 在线段 AB 上，△PMN 是等边三角形．（1）若 AM ·BN =PN ·PM ，求∠APB 的度数． （2）若∠APB =120°，求证：△AMP ∽△PNB ．P MN11. 如图，l 1，l 2，…l 6 是一组等距的平行线，过直线l 1 上的点 A 作两条射线，分别与直线 l 3，l 6 相交于点 B ，E ，C ，F ．若 BC =2，则 EF 的长是 ．A l 1l2l3l4l5l612. 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积是△ABC 面积的一半．已知 BC =2，求△ABC 平移的距离．ADBE C F12Q RE FGC13. 相似三角形的实际应用①如图，在同一时刻，小明测得他的影长为 1 m ，距他不远处的一棵槟榔树的影长为 5 m ，若小明的身高为 1.5 m ，则这棵 槟榔树的高度是 ．A②如图，若标杆高度 CD =3 m ，标杆与 旗杆的水平距离 BD =15 m ，人的眼睛 与地面的高度 EF =1.6 m ，人与标杆 CD E C 的水平距离 DF =2 m ，则旗杆的高度H AB = ．F D B③如图，把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4 m 的点 E 处，然后沿着直线 BE 后退到点 D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A ， 再用皮尺量得 DE =2.4 m ，观察者 目高 CD =1.6 m ，则树的高度 AB = ．④如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点 P ， 在近岸取点 Q 和 S ，使点 P ，Q ，S 在一条直线上，且直线 PS与河垂直，在过点 S 且与 PS 垂直的直 P 线 a 上选择适当的点 T ，PT 与过点 Q且与 PS 垂直的直线 b 的交点为 R ．若 QS =60 m ，ST =120 m ，QR =80 m ，则b河的宽度 PQ 为 ．aS T⑤如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 EFG 测量树的高度 AB ，他调整自己的位置，设法使斜边 EG 保持水平，并且边 EF 所在的直线经过点 A ，已知纸板的两条直角边 EF =60 cm ，FG =30 cm ，测得小刚与树的水平距离 BD =8 m ， 边 EG 离地面的高度 DE =1.6 m ，则树高为 ．AACD BD B14. 如图，若以 O 为原点构造平面直角坐标系，其中 A 点坐标为(6，-1)，B 点坐标为(5，3)，C 点坐标为(3，-2)，以 O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的 1 ，则缩小后的△ABC 的三2个顶点坐标是多少？15. 如图，已知△ABC 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(0，3)，若以点 C 为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′B′C ， 使得△A′B′C 与△ABC 位似，且相似比为 2:1，则点 B′的坐标为 ．4 3B 14 - 3 - 2 -56 A C y2- 1O -1-2-31 2 3 4 7 xAC B O yx【参考答案】➢课前预习一、A DEFG B C二、由于太阳光是平行光线，因此同一时刻，太阳光与地面所成夹角相等，结合直角，构成了一组相似三角形➢知识点睛1.①两角对应相等的两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似③三边对应成比例的两个三角形相似④平行于三角形一边的直线和其他两边（的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2.①对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比；②相似比，相似比的平方．4. ①相似，每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，位似中心．任意一对对应点到位似中心的距离之比．②原点，|k|．➢精讲精练1. △AOC △DOB；②△AOC △BOD；③△AOC △DOB；④△AOC △BOD．2. ①②④3. C4. 35. C6. 4，6；6，47. 48. 90°；1099.210. （1）∠APB=120°；（2）证明略11. 512. 2 213. ①7.5 m；②13.5 m；③5.6 m；④120 m；⑤5.6 m．4.。

4.3相似三角形》同步练习浙教新版数学九年级上学期《12小题）一．选择题（共ACA′BCB′=30°1ACBA′CB′则∠△∠∽△，，．如图所示，）的度数为（40°D30°C35°A20°B．．．．322）．两三角形的相似比是，则其面积之比是（：2789DB23AC4：．．．：：：．A′B′C′ABC15cm3ABCA′B′C′的周长为且．若△的周长为∽△，△，则△）（D20CA18B．．．．DEFABC164ABCDEF2的面积为．已知△的面积为∽△，且△，相似比为，则△）（164DB8CA32．．．．5cm5，．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为2.5cm6cm9cm），另一个三角形的最短边长为和，则它的最长边为（5cmD4cmC4.5cmA3cmB．．．．lABCB=80°C=40°6平行于中，∠．如图，在△，直线，∠ABCl逆时针旋转，所得直线分别交边绕点．现将直线ABCNAMNABACM相似，则旋转，若△、和与△于点）角为（80°60°D20°B40°CA．．．．DCABCDEFAD7上，△中，点分别在边、．如图，在矩形、EFAB=6AE=9DE=2DEFABE），的长是（，，则∽△，D4AB5C．．．．CA13ABCBC8ABCAB的面积：．已知△与△与△，则△相似，且相似比为111111）比为（91CB1316D1A1：：．．：．：．2DAABC9DEFBEABDE=1，那么下列等式．如果△∽△，、分别对应、，且：：页 1 第一定成立的是（）ABCDE=12：：．BABCDEF=12：的面积：△．△的面积CAD=12：的度数：∠．∠的度数DABCDEF=12：的周长：△．△的周长C=β2A=αOCDOAOC=310OAB，，，∠∽△：，∠．如图，△：OCDSOABOABOCDS 的与△，△的面积分别是与△和△21CC），则下列等式一定成立的是（周长分别是和21CBA．．．D．48cm3cm115cm，那．两个相似三角形的最短边分别为，它们的周长之和为和）么小三角形的周长为（24cmCB18cmA12cm．．．30cmD．AEAD=4ADE12ACBAB=10AC=8的∽△，则，若．如图，已知△，，）长是（3.2D5C20A4B．．．．6小题）二．填空题（共ABCABC13∽△的等边三角形，△．如图，已知△是面积为DFAB=2ADADEBAD=45°ACDE到，与，∠，则点，相交于点AB ．线段的距离等于（结果保留根号）14的正方形．如图，在平面直角坐标系中，边长为BODBDBABCDAxOD、△在、的顶点轴上，连接，OEIBFADE，若的外心交于点在中线上，与，连接OEDBFBMDM 相似，且△点与△是直线上的一动点，M ．则点的坐标页 2 第158 cm其中一个等腰三角形的腰长和底边长分别为已知两个等腰三角形相似，．6 cm4 cm cm．，则它的腰长为，若另一个等腰三角形的底边长为和BC=4AC=3ABCC=90°16Rt．翻中，∠△，．如图，在，EFDCC（点使点处，落在斜边上某一点折∠折痕为，ABCCEFACBCEF相似，、与△、上）．若△分别在边AD ．的长为则BDA17ABCAB=6cmAC=12cm点出发到．如图，在钝角三角形从中，，动点，DCAE运动的速点出发到从点止，动点点止．点2cm/E1cm/秒．如果两运动的速度为秒，点度为EDA为顶点的三角形、点同时运动，那么当以点、ABC ．与△相似时，运动的时间是ABC18是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若．如图，△PABCPAB的坐标、为顶点的三角形与△以格点、相似但不全等，则格点．是4小题）三．解答题（共PDBABPCDACP19CD．上，△在线段．如图，点∽△、是等边三角形，且△APB1的大小．（）求∠BDACCD2之间的数量关系．、）说明线段、（AB=6DEFABEEFADDC20ABCD，、，分别在边点△、∽△．如图，在矩形上，中，EFDE=2AE=8的长．，求，DEFCAFABBCD21ABCE上的动点，若△分别是边，，，．定义：在△中，点，ABCBCDEFDABCEFA的、∽△（点、、是△、），则称△的对应点分别为点子三角形，如图．CABCAB1ABCDEF1，，△是等边三角形，点，（）已知：如图，分别是边，AD=BE=CF．上动点，且ABCDEF的子三角形．求证：△是△BE=A=90°ABC22DEFAB=AC，若∠（）已知：如图，△是△，的子三角形，且，ADCF的长．和求BACB=90°Rt22ABCAC=5cmBAC=60°M出．如图，在△中，∠，，∠，动点从点页3 第BA2cmANC出发，在匀速运动，边上以每秒同时动点的速度向点从点发，cmBt0tCB5），秒在（的速度向点边上以每秒≤匀速运动，设运动时间为≤MN．连接tBM=BN1的值；）若（，求t2MBNABC的值．）若△相似，求与△（参考答案一．选择题1B．．2C．．3B．．4C．．5C．．6B．．7C．．8D．．9D．．10D．．11B．．12B．．二．填空题13．．1114，﹣，）．）或（﹣．（15．．16或．．1734.8秒．秒或．181434）．）或（．（，，三．解答题191PCD是等边三角形，．解：（）∵△页 4 第PCD=60°，∴∠AAPC=60°，∴∠∠+ACPPDB，∵△∽△APC=PBD，∴∠∠AB=60°，∴∠∠+APB=120°；∴∠2ACPPDB，）∵△（∽△2=AC?BDCD．∴20ABCD是矩形，．解：∵四边形BAE=90°，∴∠AB=6AE=8，∵，=BE==10，∴ABEDEF，∽△∵△EF===．，即，解得∴2111中，）证明：如图．（ABC是等边三角形，∵△AB=BC=ACA=B=C=60°，∠∴∠，∠AD=BE=CF，∵AF=BD=CE，∴DAFEBDFCE，≌△∴△≌△DE=EF=DF，∴DEF是等边三角形，∴△DEF=EDF=B=A=60°，∠∠∴∠∠DEFABC．∴△∽△DEFABC的子三角形．∴△是△22EHABH．中，作于⊥（）如图AB=ACBAC=90°，∵，∠B=C=45°，∠∴∠DEFABC的子三角形，∵△是△页 5 第DEFABC，∽△∴△DE=DFEDF=90°，∴，∠ADFAFD=90°ADFEDH=90°，，∠∴∠∠+∠+EDH=AFD，∴∠∠DHE=A=90°，∵∠∠DEHDFA，∴△≌△AD=HE，∴BEH是等腰直角三角形，∵△=1HE=，∴×AD=1，∴DEC=DEFFEC=BBDE，++∠∵∠∠∠∠B=DEF=45°，∠∵∠BDECEF，∽△∴△CF=2．∴221RtABCACB=90°AC=5BAC=60°，．解：（中，∠）∵在，△，∠B=30°，∴∠BC=5AB=2AC=10．∴，CN=BM=2tt，由题意知：，tBN=5，∴﹣BM=BN，∵t2t=5，﹣∴=1015t=．解得：﹣2MBNABC时，）分两种情况：①当△∽△（==，，即则t=．解得：NBMABC时，②当△∽△==，则，即页 6 第t=．解得：t=ABCMBNt=或综上所述：当时，△与△相似．页 7 第。

4.5 相似三角形的性质及其应用（3）根据实际问题抽象出相似三角形模型，然后利用相似三角形的性质（线段成比例、面积关系等）进行几何计算，方程思想是计算过程中常用的思想方法．1.如图所示，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上.若CD=1.8cm，则AB的长为(B).A.7.2cmB.5.4cmC.3.6cmD.0.6cm（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）2.如图所示，小明在打网球时希望球恰好能打过网，而且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为(B).A.1.6mB.1.5mC.2.4mD.1.2m3.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学名著《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为(B).A.1.25尺B.57.5尺C.6.25尺D.56.5尺4.如图所示，某超市在一楼至二楼之间装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为2.2m）乘电梯刚好安全通过，根据图中数据，计算得出两层楼之间的高度约为(A).A.5.5mB.6.2mC.11mD.2.2m5.如图所示，一张斜边长为10cm的红色直角三角形纸片，一张斜边长为6cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是(D).A.60cm2B.50cm2C.40cm2D.30cm2（第5题）（第6题）（第7题）6.如图所示，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为9 m．7.如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上.已知胶片与屏幕平行，点A为光源，与胶片BC的距离为0.1m，胶片的高BC为0.038m，若投影后的图象DE高1.9m，则投影机光源离屏幕大约为 5 m.（第8题）8.如图所示，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度，他调整自己的位置，使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一条直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm ，EF=20cm ，测得边DF 离地面的高度AC=1.5m ，CD=10m ，则AB= 6.5 m ．9.如图所示，矩形ABCD 为台球桌面，AD=260cm ，AB=130cm ，球目前在E 点位置，AE=60cm.如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D 位置.（1）求证：△BEF ∽△CDF.（2）求CF 的长.（第9题）【答案】(1)由已知得∠EFB=∠DFC.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF ∽△CDF.(2)∵四边形ABCD 是矩形，AD=260cm ，AB=130cm,∴BC=AD=260cm ，CD=AB=130cm. 又AE=60cm ，∴BE=70cm.由(1)知△BEF ∽△CDF,∴CD BE =CF BF ，即13070=CFCF 260 ，解得CF=169.∴CF 的长是169cm.10.如图所示，在水平桌面上的两个“E ”，当点P 1，P 2，O 在同一条直线上时，在点O 处用①号“E ”测得的视力与用②号“E ”测得的视力相同．（1）图中b 1，b 2，l 1，l 2满足怎样的关系式？（2）若b 1=3.2cm ，b 2=2cm ，①号“E ”的测试距离l 1=8m ，要使测得的视力相同，则②号“E ”的测试距离l 2应为多少？（第10题）【答案】(1) 21b b =21l l . (2)∵21b b =21l l ,b 1=3.2(cm)，b 2=2(cm)，l 1=8(m)，∴22.3=28l .∴l 2=5(m).∴②号“E ”的测试距离是l 2为5m.11.如图所示，正方形ABCD 是一块绿化带，其中四边形EOFB ，四边形GHMN 都是正方形的花圃(图中阴影部分).已知自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为(C).（第11题） （第12题） （第13题）12.如图所示，两根竖直的电线杆AB 长为6，CD 长为3，AD 交BC 于点E ，则点E 到地面的距离EF 的长是(A ).A.2B.2.2C.2.4D.2.513.如图所示，有一所占地正方形的学校，北门（点A ）和西门（点B ）各开在北面、西面围墙的正中间.在北门的正北方30m 处（点C ）有一棵大榕树.如果一名学生从西门出来，朝正西方走750m （点D ），恰好能看到学校北面的大榕树，那么这所学校占地 90000 m 2．（第14题）14.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=4，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn 的n （n ≥1）个正方形依次放入△ABC 中，则第n 个正方形的边长xn= （54）n （用含n 的式子表示）．15.如图所示为一个常见铁夹的侧面示意图，OA ，OB 表示铁夹的两个面，点C 是轴，CD ⊥OA 于点D ，已知DA=15mm ，DO=24mm ，DC=10mm ，铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A ，B 两点间的距离．（第15题） （第15题答图）【答案】如答图所示，作出示意图，连结AB ，连结OC 并延长交AB 于点E.∵夹子的侧面是轴对称图形，OE 所在的直线是对称轴，∴OE ⊥AB ，AE=BE.∵∠COD=∠AOE ，∠CDO=∠AEO=90°，∴△OCD ∽△OAE.∴OA OC =AE CD .∵OC=22DC OD +=26(mm)，∴152426+=AE10.∴AE=15mm.∴AB=2AE=30（mm ）. 16.有一张锐角三角形卡纸余料ABC ，它的边BC=120cm ，高AD=80cm ，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH 和正方形纸片PMNQ ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC 上，正方形纸片的一边在矩形纸片的较长边EH 上，其余顶点分别在AB ，AC 上，具体裁剪方式如图所示.（1）求矩形纸片较长边EH 的长.（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余余料△AEH 中与边EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确.（第16题）【答案】(1)设EF=2x ，则EH=5x.∵矩形对边EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC.∴，解得x=15.∴EH=5x=15×5=75(cm)，∴矩形纸片较长边EH 的长为75cm.(2)小聪的剪法不正确.理由如下：设正方形PMNQ 的边长为a(cm).∵AR=AD-RD=80-2×15=50(cm)，∴AK=（50-a ）(m).由题意知△APQ ∽△AEH ，∴，解得a=30.与边EH 平行的中位线长为21×75=37.5(cm).∵37.5≠30，∴小聪的剪法不正确.17.【兰州】如图所示，小明为了测量一凉亭的高度AB （顶端A 到水平地面BD 的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE （DE=BC=0.5m ，A ，B ，C 三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG=15m ，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得EG=3m ，小明身高1.6m ，则凉亭的高度AB 约为(A ).（第17题）A.8.5mB.9mC.9.5mD.10m18.【陕西】晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞.小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是，两人在灯下沿直线NQ 移动，如图所示，当小聪正好站在广场的点A （距点N 5块地砖长）时，其影长AD 恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的点B （距点N 9块地砖长）时，其影长BF 恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8m 的正方形地砖铺成，小聪的身高AC 为1.6m ，MN ⊥NQ ，AC ⊥NQ ，BE ⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE 的长.（结果精确到0.01m ）（第18题）【答案】由题意得∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=∠MDN ，∴△CAD ∽△MND.∴，解得MN=9.6.同理可得△EFB ∽△MFN.∴，解得EB ≈1.75.∴小军身高约为1.75m.19.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm.动点M ，N 从点C 同时出发，均以1cm/s 的速度分别沿CA ，CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BA 向终点A 移动，连结PM ，PN ，设移动时间为t （单位：s ，0＜t ＜2.5）．（1）当t 为何值时，以点A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．（第19题）【答案】∵∠C=90°，AC=4(cm)，BC=3(cm),∴AB=22BC AC =5(cm).(1)以点A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时，，解得t=32. ②当△APM ∽△ABC 时，，解得t=0（不合题意，舍去）. 综上所述，当t=23s 时，以点A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似. (2)存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值.理由如下：假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值.如答图所示，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，则PH ∥AC ，（第19题答图）∴. ∴S=S △ABC -S △BPN =. ∵54＞0，∴S 有最小值.当t=23时，S 最小值=521.∴当t=23s 时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是521cm 2.。

2019年浙教版数学中考复习 相似三角形的性质及其应用综合测试一．选择题1．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( ) A ．1∶4 B ．1∶2 C ．2∶1D ．4∶12．如图，两个三角形相似，AD ＝2，AE ＝3，EC ＝1，则BD ＝( )A.2B.4C.6D ．83．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC 和△DEF ，则∠BAC 的度数为( )A ．105°B ．115°C ．125°D ．135°4．(2018·四川达州中考)如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE ＝CF ＝14AC.连结DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连结GH ，则S △ADGS △BGH的值为( )A.12B.23C.34D ．15．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC ＝3米，CA ＝1米，则树的高度为( )A ．3米B ．4米C ．4.5米D ．6米6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为( )A. (3，2)B. (3，1)C. (2，2)D. (4，2)7．(2018·吉林长春中考)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为( )A ．五丈B ．四丈五尺C ．一丈D ．五尺8．网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米(如图AB 的高度)．中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D 点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C 处，用刁钻的落点牵制对方．在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为( )A ．1.65米B ．1.75米C ．1.85米D ．1.95米9．(2018·四川泸州中考)如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则AGGF的值是( )A.43B.54C.65D.7610．已知△ABC 的三边长分别为20 cm ，50 cm ，60 cm ，现要利用长为40 cm 和60 cm 的两根铁丝制作与△ABC 相似的三角形框架，如果以其中一根铁丝为一边，从另一根铁丝上截取两段(允许有余料)作为另外两边，可以制成不同的三角形框架有( ) A ．1种 B ．2种 C ．3种D ．4种11如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B.如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为( ) A. 15 B. 10 C.152D. 512. 如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A. 1∶3B. 1∶4C. 1∶5D. 1∶25 二．填空题13．如图所示的两个三角形相似，边x ＝_________，y ＝__________，∠γ＝__________.14．(2018·浙江金华模拟)两个相似多边形的一组对应边分别为3 cm 和4.5 cm ，如果它们的面积之和为130 cm 2，那么较小的多边形的面积是________cm 2.15．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC.若AD ＝4，DB ＝2，则DEBC的值为_______.16．一个三角形的三边长之比为3∶6∶4，与它相似的三角形的周长为39 cm ，则与它相似的三角形的最长边为________cm.17．(易错题)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为__________m.18．如图，身高为1.6 m的小华站在离路灯灯杆8 m处测得影长2 m，则灯杆的高度为______m.19．(2018·山东泰安中考)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K 位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为________步．20.如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m, 1.5 m, 已知小军、小珠的身高分别为1.8 m, 1.5 m，则路灯的高为________m.21.如图是一位学生设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A 发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD.测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是________米．22. 如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是________．三．解答题23．如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC.(1)求∠BAD的大小；(2)求CD的长．24．如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3 m，沿BD方向从D 后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5 m，如果小亮的身高为1.7 m，求路灯杆AB的高度．25.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3∶2，求这个矩形零件的边长．26．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60 cm.乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900 cm.丙组：如图3，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200 cm，影长为156 cm.任务要求：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；(2)如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．(友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562＋2082＝2602)27．如图，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形上底PQ＝m，下底MN＝n，现在计划把价格不同的两种花草种植在S1，S2，S3，S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻，为了节省费用，园艺师应该把哪两块地种植较便宜的花草？通过计算说明你的理由．28. 某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量．于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．如图，已知：AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．参考答案 1-6 BBDCDA 7-12BDCADB 13.214 28380° 14. 60 15. 2316. 18 17. 2.3 18. 8 19.2 000320. 3 21. 8 22. 723. 解：(1)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠DAC ＝∠B ＝36°，∠BAC ＝∠D ＝117°， ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°. (2)∵△ABC ∽△DAC ， ∴CD AC ＝ACBC. 又∵AC ＝4，BC ＝6， ∴CD ＝4×46＝83.24. 解：∵CD ⊥BF ，AB ⊥BF ， ∴CD ∥AB ，∴△CDF ∽△ABF ， ∴CD AB ＝DF BF， 同理可得EG AB ＝GHBH ，∴DF BF ＝GH BH ，∴3BD ＋3＝59＋BD， 解得BD ＝6， ∴1.7AB ＝33＋6，解得AB ＝5.1. 答：路灯杆AB 高5.1 m.25. 解：∵四边形PQMN 是矩形，∴BC ∥PQ ，∴△APQ ∽△ABC ，∴PQ BC ＝AHAD ，由于矩形长与宽的比为3∶2， ∴分两种情况：①若PQ 为长，PN 为宽，设PQ ＝3k ，PN ＝2k ， 则3k 12＝8－2k 8，解得k ＝2， ∴PQ ＝6 cm ，PN ＝4 cm.②若PN 为长，PQ 为宽，设PN ＝3k ，PQ ＝2k ， 则2k 12＝8－3k 8，解得k ＝2413， ∴PN ＝7213 cm ，PQ ＝4813cm.综上所述：矩形的长为6 cm ，宽为4 cm ；或长为7213 cm ，宽为4813 cm.26. 解：(1)由题意可知∠BAC ＝∠EDF ＝90°，∠BCA ＝∠EFD ， ∴△ABC ∽△DEF.∴AB DE ＝AC DF， 即80DE ＝60900， ∴DE ＝1 200(cm)， ∴学校旗杆的高度是12 m.(2)与(1)类似得AB GN ＝AC GH ，即80GN ＝60156，∴GN ＝208.在Rt △NGH 中，根据勾股定理得NH 2＝1562＋2082＝2602， ∴NH ＝260.设⊙O 的半径为r cm ，连结OM. ∵NH 切⊙O 于M ，∴OM ⊥NH ， 则∠OMN ＝∠HGN ＝90°. 又∵∠ONM ＝∠HNG ， ∴△OMN ∽△HGN ， ∴OM HG ＝ONHN. 又ON ＝OK ＋KN ＝OK ＋(GN －GK)＝r ＋8， ∴r 156＝r ＋8260，解得r ＝12， ∴景灯灯罩的半径是12 cm.27. 解：∵△PMN 和△QMN 同底等高， ∴S △PMN ＝S △QMN ，∴S 3＋S 2＝S 4＋S 2，即S 3＝S 4. ∵△POQ ∽△NOM ，∴QO ∶OM ＝PQ ∶MN ＝m ∶n ， ∴S 1∶S 2＝(OQ ∶OM)2＝m 2∶n 2， ∴S 2＝n 2m 2·S 1.∵S 1∶S 3＝OQ ∶OM ＝m ∶n ， ∴S 3＝nm ·S 1，∴(S 1＋S 2)－(S 3＋S 4)＝S 1＋n 2m 2·S 1－2·n m ·S 1＝S 1(1＋n 2m 2－2·n m )＝S 1(1－nm )2.∵(1－nm )2＞0，∴S 1＋S 2＞S 3＋S 4，即应该选择S 1与S 2两块地种植便宜花草． 28. 解：由题意得∠ABC ＝∠EDC ＝∠GFH ＝90°，∠ACB ＝∠ECD ，∠AFB ＝∠GHF ， ∴△ABC ∽△EDC ， △ABF ∽△GFH ， ∴AB ED ＝BC DC ，AB GF ＝BFFH， 又∵CF ＝CD ＋DF ＝2＋16＝18， 即AB 1.5＝BC 2，AB 1.65＝BC ＋182.5， 解得AB ＝99(米)．。

4.4 两个三角形相似的判定(二)1．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)(第1题) (第2题)2．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(B)3．如图，在方格纸中，△ABC和△PED的顶点均在格点上，要使△ABC∽△PED，则点P所在的格点为(C)A. P1B. P2C. P3D. P4(第3题)4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，有下列条件：①∠AED ＝∠B ；②AD AC ＝AE AB ；③DE BC ＝ADAC.其中能够判断△ADE 与△ACB 相似的有(A)A.①②B.①③C.①②③D.①(第4题) (第5题)5．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是(D)A. ∠ABP ＝∠CB. ∠APB ＝∠ABCC. AP AB ＝AB ACD. AB BP ＝AC CB6．如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B(0，2)，点C在x轴上(点C 与点A不重合)．当点C的坐标为(1，0)或(－1，0)或(－4，0)时，以B，O，C为顶点的三角形与△AOB相似(至少写出两个满足条件的点的坐标)．(第6题)7．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．∠A＝100°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝100°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.【解】△ABC∽△A′B′C′.理由如下：∵ABA′B′＝73，ACA′C′＝146＝73，∴ABA′B′＝ACA′C′.又∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.(第8题)8．如图，AB·AD＝AC·AE.求证：△ABC∽△AED. 【解】∵AB·AD＝AC·AE，∴AB AE ＝AC AD. 又∵∠BAC ＝∠EAD ， ∴△ABC ∽△AED.9．在△ABC 中，E 是AB 上一点，AE ＝2，BE ＝3，AC ＝4.在AC 上取一点D ，使△ADE 与△ABC 相似，则AD 的值是(C)A. 85B. 52C. 85或52D. 85或25(第9题解)【解】 如解图．①当△ADE ∽△ABC 时，有AD AE ＝AB AC.∵AE ＝2，BE ＝3，∴AB ＝5. ∴AD 2＝54，∴AD ＝52.②当△AED ∽△ABC 时，有AE AD ＝ABAC，∴2AD ＝54，∴AD ＝85. 10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若DC 边上有一点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则符合条件的点P 有(C)(第10题)A.1个B.2个C.3个D.4个 【解】 设PD ＝x ，则PC ＝8－x. 在△PAD 与△PBC 中，∠D ＝∠C ＝90°.①若△PAD ∽△PBC ，则AD BC ＝PD PC ，即25＝x 8－x，解得x ＝167，符合题意．②若△PAD ∽△BPC ，则AD PC ＝PD BC ，即28－x ＝x5，解得x ＝4±6，均符合题意．综上所述，符合条件的点P 有3个．(第11题)11．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC ＝14BC ，那么图中相似的三角形共有多少对？并证明．【解】 图中相似三角形共有3对．证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D ＝∠C ＝90°，AD ＝DC ＝CB.∵DE ＝EC ，FC ＝14BC ，∴EC ＝12BC ＝2CF ，∴AD DE ＝ECCF＝2，∴△ADE ∽△ECF ， ∴AE EF ＝ADEC，∠DAE ＝∠CEF ， ∴AE EF ＝AD DE ，即AD AE ＝DE EF. ∵∠DAE ＋∠AED ＝90°， ∴∠CEF ＋∠AED ＝90°， ∴∠AEF ＝90°，∴∠D ＝∠AEF ，∴△ADE∽△AEF.由相似三角形的传递性，得△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF.12．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，M，N分别是斜边AB，DE的中点，P是AD的中点，连结AE，BD，PM，PN.(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论．(2)现将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD，BC分别交于点G，H，O.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．(第12题)【解】(1)PM＝PN，PM⊥PN.理由如下：∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ＝90°，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD(SAS)． ∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠CBD.∵M ，N 分别是斜边AB ，DE 的中点，P 是AD 的 中点，∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM ＝PN.易得∠NPD ＝∠EAC ，∠MPA ＝∠BDC ，∠EAC ＋∠BDC ＝90°，∴∠MPA ＋∠NPD ＝90°， ∴∠MPN ＝180°－90°＝90°，即PM ⊥PN. (2)成立．证明如下：同(1)可得△ACE ≌△BCD(SAS)， ∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠CBD. 又∵∠AOC ＝∠BOE ， ∴∠BHO ＝∠ACO ＝90°.∵P ，M ，N 分别是AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM ＝PN.易得PM ∥BD ，PN ∥AE. ∴∠MGE ＋∠BHA ＝180°. ∴∠MGE ＝∠BHO ＝90°. ∴∠MPN ＝∠MGE ＝90°. ∴PM ⊥PN.(3)PM ＝kPN.证明如下： ∵△ABC 和△CDE 是直角三角形， ∴∠ACB ＝∠ECD ＝90°.∴∠ACB ＋∠BCE ＝∠ECD ＋∠BCE. ∴∠ACE ＝∠BCD. ∵BC ＝kAC ，CD ＝kCE ， ∴BC AC ＝CDCE＝k ，∴△BCD ∽△ACE ， ∴BD ＝kAE.∵P ，M ，N 分别是AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE.∴PM ＝kPN.。

4.5 相似三角形的性质及其应用一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为米．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于．二．选择题（共10小题）6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．47．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：110．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，8514．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm215．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．参考答案一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是1：2．【思路点拨】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证△DEF∽△ABC，然后利用相似三角形周长比等于相似比，可得出答案．【答案】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，∵△DEF∽△ABC，∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．故答案为：1：2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用了相似三角形周长比等于相似比．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为15米．【思路点拨】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【答案】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴＝，即＝，∴AB＝15（米）．故答案为：15．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．【思路点拨】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得＝，将已知数据代入即可得．【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，又∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，则＝，∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，∴＝，解得：CD＝0.4，∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．故答案为：0.4．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝9cm．【思路点拨】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB，∴，∴，解得：BD＝9cm，故答案为：9cm．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于11．【思路点拨】利用三角形面积公式得到AF：FE＝3：2，再根据平行四边形的性质得到AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，则可判断△AFD∽△EFB，利用相似的性质可计算出S△AFD＝9，所以S△ABD＝S△CBD＝15，然后用△BCD的面积减去△BEF的面积得到四边形CDFE的面积．【答案】解：∵△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，即S△ABF：S△BEF＝6：4＝3：2，∴AF：FE＝3：2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，∴△AFD∽△EFB，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AFD＝×4＝9，∴S△ABD＝S△CBD＝6+9＝15，∴四边形CDFE的面积＝15﹣4＝11．故答案为11．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．二．选择题6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【答案】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．7．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm【思路点拨】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【答案】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里【思路点拨】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．【答案】解：如图所示：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴＝．∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴＝，解得：FH＝1.05里．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形．9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：1【思路点拨】根据题意，易得△BO3E∽△DO3F和△BO1E∽△DO1A，利用相似的性质得出DF：BE的值，再求出BE：AD的值，进而求出AF：DF．【答案】解：根题意，在平行四边形ABCD中，易得△BO3E∽△DO3F∴BE：FD＝3：1∵△BO1E∽△DO1A∴BE：AD＝1：3∴AD：DF＝9：1∴AF：DF＝（AD﹣FD）：DF＝（9﹣1）：1＝8：1故选：C．【点睛】考查了平行四边形的性质，对边相等．利用相似三角形三边成比例列式，求解即可．10．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据三角形的重心的概念和性质得到AE，CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的性质定理判断即可．【答案】解：∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DGE∽△BGC，∴＝，①正确；＝，②正确；△EDG∽△CBG，③正确；＝（）2＝，④正确，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：【思路点拨】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【答案】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，85【思路点拨】根据两个相似三角形的对应边的长，可求出它们的相似比，也就求出了它们的周长比，再根据它们的周长差为40，即可求出两三角形的周长．【答案】解：∵两相似三角形的一组对应边为15和23，∴两相似三角形的周长比为15：23，设较小的三角形的周长为15a，则较大三角形的周长为23a，依题意，有：23a﹣15a＝40，a＝5，∴15a＝75，23a＝115，因此这两个三角形的周长分别为75，115．故选：A．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比．14．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【思路点拨】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【答案】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米【思路点拨】因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．【答案】解：由题意知：∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴＝，∴CD＝＝12（米）．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问．三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．【思路点拨】（1）由GE∥BC，可得出∠GEF＝∠DBF，再结合对顶角相等即可得出△FGE∽△FDB；（2）根据三角形中位线定理以及中线的定义得出GE＝BD、AG＝DG，再利用相似三角形的性质得出DF＝DG，进而即可得出＝．【答案】（1）证明：∵GE∥BC，∴∠GEF＝∠DBF．又∵∠GFE＝∠DFB，∴△FGE∽△FDB；（2）∵AD、BE是中线，EG∥BC，∴GE为△ADC的中位线，BD＝DC，∴GE＝DC＝BD，AG＝DG．∵△FGE∽△FDB，∴＝＝，∴DF＝DG，∴＝＝．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中线的定义以及中位线定理，解题的关键是：（1）由GE（2）根据相似三角形的性质结合中位线定理得出DF＝DG、∥BC利用相似三角形的判定定理证出△EGF∽△BDF；AG＝DG．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是2或6．【思路点拨】（1）先作CD中垂线得出CD的中点，再以中点为圆心，CD为半径作圆，与AB的交点即为所求；（2）证△APD∽△BPC得＝，即＝，解之可得．【答案】解：（1）如图所示，点P1和点P2即为所求．（2）∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°．∴∠ADP+∠APD＝90°，由（1）知，∠CPD＝90°，∴∠APD+∠BPC＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∴△APD∽△BPC，∴＝，即＝，解得：AP＝2或AP＝6．故答案为：2或6．【点睛】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．【思路点拨】（1）根据PC＝PD＝CD，以及CD2＝AC•DB，可得，又∠ACP＝∠PDB，则△ACP∽△PDB；（2）根据（1）的结论求出∠APC+∠BPD度数，最后加上∠CPD度数即可．【答案】（本小题8分）解：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵CD2＝AC•DB，由PC＝PD＝CD可得：PC•PD＝AC•DB，即，∴△ACP∽△PDB；（2）∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠DBP＝60°，∴∠APC+∠BPD＝60°．∴∠APB＝∠CPD+∠APC+∠BPD＝120°．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：由题意知，∠PON＝∠DBN＝90°，△PON∽△DBN∴又∵OB＝9∴BN＝3，OA＝12由题意知，∠POM＝∠CAM＝90°，△POM∽△CAM∴又∵OA＝12∴AM＝4，OM＝16∴身影长BN＝3，AM＝4，AM﹣BN＝4﹣3＝1∴小明的身影长度变长了1米．【点睛】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的性质解答．20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．【思路点拨】（1）证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到＝，从而得到y与x的关系式；（2）计算矩形的面积S＝xy＝﹣x2+120x，则S＝﹣（x﹣40）2+2400，根据二次函数的性质得到当x＝40时，S有最大值2400，由于y＝60，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【答案】解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD＝EG＝x，∴AK＝AD﹣DK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝﹣x+120（0＜x＜80）；（2）这个同学的说法错误．理由如下：S＝xy＝﹣x2+120x＝﹣（x﹣40）2+2400，当x＝40时，S有最大值2400，此时y＝﹣×40+120＝60，即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长．也考查了二次函数的性质和矩形的性质．。