高中数学(北师大版·必修5)配套练习：1.3等比数列 第3课时

第一章 §3 第4课时一、选择题1．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B ．19(1－310)C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)[答案] C[解析] 本题考查等比数列的定义，前n 项和的求法．3a n ＋1＋a n ＝0∴a n ＋1a n ＝－13＝q a 2＝a 1·q ＝－13a 1＝－43，∴a 1＝4∴S 10＝4(1－(－13)10)1＋13＝3(1－3－10)．2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝() A ．3 B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] ∵3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，∴3S 3－3S 2＝a 4－a 3，∴3a 3＝a 4－a 3，∴4a 3＝a 4，∴a 4a 3＝4，∴q ＝4. 3．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝64n ，则公比为( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] C[解析] 本题考查了灵活利用数列的特点来解题的能力．∵a n ·a n ＋1＝64n ，∴a n －1·a n ＝64n －1∴a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2＝64n64n －1＝64 ∴q ＝8.4．在各项为正数的等比数列中，若a 5－a 4＝576，a 2－a 1＝9，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值是( )A ．1061B ．1023C ．1024D ．268 [答案] B[解析] 由题意得a 4(q －1)＝576，a 1(q －1)＝9，∴a 4a 1＝q 3＝64，∴q ＝4，∴a 1＝3， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3×(45－1)4－1＝1023. 5．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12[答案] C[解析] ∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10， 又∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴q m －1＝q 10，∴m －1＝10，∴m ＝11. 6．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( )A ．7B ．9C ．63D ．7或63 [答案] D[解析] 由S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(21－S 10)2＝S 10(49－21)，∴S 10＝7或63.二、填空题7．已知数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1 (n 为正奇数)2n －1 (n 为正偶数)，则a 9＝______________.设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝______________.[答案] 256 377[解析] a 9＝28＝256，S 9＝20＋22＋24＋26＋28＋3＋7＋11＋15＝377.8．在等比数列{a n }中，已知对于任意n ∈N ＋，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.[答案] 13×4n －13[解析] ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1(n ≥2)， 两式相减，得a n ＝2n －1－2n －1＋1＝2n －2n －1＝2n －1， ∴a 2n ＝(2n －1)2＝22n －2＝4n －1， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1－4n1－4＝13×4n －13. 三、解答题 9．(2014·北京文，15)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1,2，…)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1， 从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)． (2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)． 数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n1－2＝2n －1. 所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1. 10．求和S n ＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n －2)×2n .[解析] ∵S n ＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋[3(n －1)－2]×2n －1＋(3n －2)×2n ① 2S n ＝1×22＋4×23＋…＋[3(n －1)－2]×2n ＋(3n －2)×2n ＋1② ∴①－②得，－S n ＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －2)×2n ＋1＝3(2＋22＋…＋2n )－(3n －2)×2n ＋1－4＝3(2n ＋1－2)－(3n －2)×2n ＋1－4＝3×2n ＋1－6－3n ×2n ＋1＋2n ＋2－4＝2n ＋2＋3(1－n )×2n ＋1－10.∴S n ＝3(n －1)×2n ＋1－2n ＋2＋10＝(3n －5)×2n ＋1＋10.一、选择题1．已知等比数列{a n }中，公比q ＝12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．100B ．90C ．120D ．30[答案] B[解析] ∵a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋…＋a 99q ＝q (a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＝12×60＝30 ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100)＝60＋30＝90.2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1 [答案] A[解析] 该题考查已知一个数列的前n 项和S n 与a n ＋1的关系，求通项公式a n .注意的问题是用a n ＝S n －S n －1时(n ≥2)的条件．a n ＋1＝3S n ①a n ＝3S n －1 ②①－②得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n即a n ＋1＝4a n∴a n ＋1a n ＝4.(n ≥2)当n ＝2时，a 2＝3a 1＝3， ∴a 2a 1＝3≠a n ＋1a n＝4 ∴a n 为从第2项起的等比数列，且公比q ＝4，∴a 6＝a 2·q 4＝3·44.3．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和、前2n 项和与前3n 项和分别为X 、Y 、Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )[答案] D[解析] 由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z .又∵{a n }是等比数列，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 为等比数列，即X ，Y －X ，Z －Y 为等比数列，∴(Y －X )2＝X ·(Z －Y )，整理得Y 2－XY ＝ZX －X 2，即Y (Y －X )＝X (Z －X )．故选D ．4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2 B ．73C ．83D ．3[答案] B [解析] ∵S 6S 3＝3，∴S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝2， ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比，∴S 9－S 6S 3＝22， ∴S 9＝4S 3＋S 6＝7S 3，∴S 9S 6＝7S 33S 3＝73，∴选B ． 二、填空题5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋1＋m ，则a 1＝________. [答案] 6[解析] ∵a 1＝S 1＝9＋m ，a 2＝S 2－S 1＝27＋m －9－m ＝18，a 3＝S 3－S 2＝81＋m －27－m ＝54，又∵{a n }为等比数列，∴a 22＝a 1a 3，∴182＝54(9＋m )，解得m ＝－3.∴a 1＝9＋m ＝6.6．(2014·天津理，11)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．[答案] －12[解析] 本题考查等差数列等比数列综合应用，由条件：S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝a 1＋a 1＋d ＝2a 1－1S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝4a 1＋6d ＝4a 1－6 ∴(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)4a 21＋1－4a 1＝4a 21－6a 1∴a 1＝－12. 三、解答题7．已知数列{a n }和{b n }中，数列{a n }的前n 项和为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图像上，点(n ，b n )在函数y ＝2x 的图像上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ， ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)·2n . T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ， 2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1. 两式相减可得T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)2n ＋1 ＝23(1－2n －1)1－2＋(－2n ＋5)2n ＋1－6 ＝(7－2n )·2n ＋1－14. 8．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] (1)由已知，当n ≥1时， a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1 ＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2 ＝22n ＋1＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1，知 S n ＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n ·22n －1，① 22·S n ＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋(n －1)22n －1＋ n ·22n ＋1.② ①－②，得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1， 即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．。

第一课时基础巩固1下列说法中正确的是（）A.一个数列每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列B.一个数列每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列C.一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列D.一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列2公差不为零的等差数列⑺｝的前〃项和为S”.若血是如与如的等比中项,Sg=32,则Si（）等于（）A. 18B. 24C. 60D. 903设也”｝是公比为g的等比数列,切＞1,令b“=a”+15=l,2,…），若数列｛仇｝有连续四项在集合｛-53, —23,19,37,82｝中，则6q= ______________ .4已知数列｛a“｝满足：lga“ = 3n + 5,求证:｛a n｝是等比数列.5在等比数列｛為｝中,（1）已知心=9,。

6=243,求殆；6某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程屮，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列.而第3 个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？综合过关7已知等差数列｛色｝的公差dHO,它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（）8设仗“｝是公差不为0的等差数列,©=2,且G，。

3, $成等比数列,则S｝的前n项和S”等于（）A£+¥H2( 5/7B T+T1 2 a n=y q=y求n.A. 4B. 3C. 2D.*, 3n… 2 IC 迈■+才 D. n +n9首项为3的等比数列｛a”｝,它的第刃项为48,第2n~3项为192,问从第儿项起各项 的绝对值都超过100?10设关于兀的一元二次方程如？—] =0(川WN +)有两根a, 0,且满足6a —2妙+ 60=3.(1) 试用a “表示a“+i ；2(2) 求证:｛a~j ｝是等比数列；能力提升11等差数列⑷｝的前/?项和为S”，«1 = 1+^2, 53=9+3^2.⑴求数列｛给｝的通项外与前n 项和S”；(2) 设九=普SGN+),求证：数列｛%｝中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 12已知数集A = ｛a\, a?，…，Q“｝(1 …<a“，心2)具有性质P ：对任意的7,a • j(\WiWjW 小,与：两数中至少有一个属于A. (1)分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质P,并说明理由;(3) 证明：当n=5时，ap 如g 3伽成等比数列.参考答案1解析：很明显仅有D 符合等比数列的定义.答案：D2解析：由局=°3如，贝U(a I + 3(/)2=(a 1 + 2t/)(d | + 6c/),%]+弟d=32, d=2,山=一3,所以 S]o=lO©+学d=60.答案：c3解析:｛a n ｝有连续四项在集合｛-54, —24,18,36,81｝中，但仅有四项一24,36, 一54,81时7-6 - 当\7 3 求数列｛外｝的通项公式. (2)证明：671 = 1,。

3.1 等比数列(二)课时目标 1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式.2.掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有________________，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝________.2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N ＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为________数列．3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b n a n }，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q|≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．122．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c)，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－23．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋cn ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．14．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 25．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34 C ．2 D ．3436．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32二、填空题7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．能力提升13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a等于()A．4 B．2C．－2 D．－414．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．1．等比数列的基本量是a1和q，依据题目条件建立关于a1和q的方程(组)，然后解方程(组)，求得a1和q的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an0，an0＋1，an0＋2，使a2n0＋1≠an0·an0＋2.3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．3．1 等比数列(二)答案知识梳理1．a m ·a n ＝a k ·a l a 2k 2.等比 作业设计1．C [在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.]2．B [∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.] 3．C [设等比数列公比为q.由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c 2，则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q1＋q＝2.] 4．A [∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35. ∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310. ∴a 25＝a 2a 8＝350＝1350，又∵数列{a n }各项为正数， ∴a 5＝1650. ∴a 4a 5a 6＝a 35＝1250＝5 2.]5．A[∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝133.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3433＝43.]6．D [设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q<1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32.] 7．4解析 由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4.8．－6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6.∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.9．8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }， 则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8. 10.12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ， 则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0. ∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.11．解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x(18－y)2(18－y)＝y ＋(21－x)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.12．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0， p ≠q ，c n ＝a n ＋b n . 要证{c n }不是等比数列， 只需证c 22≠c 1·c 3成立即可． 事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q)2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ， c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q)2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． 13．D [依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，a 2＝2c⇒a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符，∴a ＝－4.] 14．解 设三个数为aq ，a ，aq ，∴a 3＝－8，即a ＝－2，∴三个数为－2q，－2，－2q.(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q ＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾；(2)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)，∴三个数为4,1，－2；(3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q ，∴q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴三个数为4,1，－2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1，－2或－2,1,4.。

基础巩固等比数列{}中，如果公比＞，那么等比数列{}是( )．递增数列．递减数列．常数列．无法确定数列的增减性在等比数列{}(∈＋)中，若＝，＝，则该数列的前项和为( )．－．－．－．－在等比数列{}中，表示前项和，若＝＋，＝＋，则公比等于( )．．－．－．等比数列{}的公比＞.已知＝，＋＋＋＝，则{}的前项和＝.设等比数列{}的公比＝，前项和为，则＝.某工厂去年月份的产值为元，月平均增长率为，求这个工厂去年全年产值的总和．等比数列{}的前项和为，已知，，成等差数列．()求{}的公比；()若－＝，求.(高考全国卷Ⅱ，文)设等比数列{}的前项和为，若＝，＝，则＝.综合过关在等比数列{}中，＝，前项和为，若数列{＋}也是等比数列，则等于( )．＋－．．．－令()＝(＋)(＋)(∈＋)，如果对(∈＋)，满足()()…()为整数，则称为“好数”，那么区间[]内所有“好数”的和＝.求和：＋＋＋…＋.设{}是由正数组成的等比数列，是其前项和．求证：＞＋.能力提升“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．怎样用学过的知识来说明它？参考答案答案：解析：设公比为，则(\\(＝，＝()，))解得＝.则该数列的前项和为＝＝＝－.答案：解析：两等式相减得－＝，从而求得＝＝.答案：解析：＋＋＋＝＋＝，所以＋＝，解得＝或＝－(舍去)，所以＝＝，所以＝＝.答案：解析：＝＝.答案：解：该工厂去年月份的产值为(＋)元，月、月、…的产值分别为(＋)、(＋)、…，去年个月的产值组成以为首项，(＋)为公比的等比数列．因此，该厂去年全年的总产值为＝＝，即该工厂去年全年的总产值为元．解：()依题意有，＋(＋)＝(＋＋)由于≠，故＋＝，又≠，从而＝－.()由已知可得－(－)＝，解得＝，从而＝＝[－(－)]．解析：设等比数列{}的公比为，很明显≠，则＝，解得＝，所以＝＝.答案：解析：设等比数列{}的公比为，(＋)＝(＋)(＋)，则(＋)＝(＋)(＋)，即(＋)＝(＋)，解得＝，则＝.答案：解析：设()()…()＝…(＋)＝(＋)＝，则＝－，又∈[]，则∈＋且＜＜，所以＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝(＋＋…(＋)＋)－×＝－＝.答案：分析：数列，…不是等比数列，不能用公式求和，但将它转化成－－－，…就容易解决了．解：原式＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝(＋＋…＋)－＝－＝(－)－.。

1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－92．在等比数列{a n}中，a n>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( ) A．16 B．27 C．36 D．813．在由正数组成的等比数列{a n}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为( )A.43B.34C．2 D．3434．一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为( )A.53B.43C.32D.125．若正项等比数列{a n}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则a3＋a5a4＋a6等于( )A.5－12B.5＋12C.12D．不确定二、填空题6．在等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.7．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题9．等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．1.答案B解析∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．2.答案B解析由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.3.答案A解析∵a4a6＝a25，∴a4a5a6＝a35＝3，得a5＝313.∵a1a9＝a2a8＝a25，∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3a45＝log3343＝43.4.答案A解析设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25，∴这三个数为45,75,125，公比q为7545＝53.5.答案A解析 a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q －1)(q 2－q －1)＝0 (q ≠1)，∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 (q ＝1－52<0舍去)，∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－12. 6.答案 4解析 q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4.7.答案 5解析 设公比为q ，则⎩⎨⎧3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎨⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.9.解 由题意可列关系式：⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168 ①a 1q (1－q )(1＋q ＋q 2)＝42 ②②÷①得：q (1－q )＝42168＝14，∴q ＝12，∴a 1＝1681＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝168×47＝96. 又∵a 6＝a 1q 5＝96×125＝3，∴a 5，a 7的等比中项为3.10．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，C n ＝a n ＋b n ， 证明数列{C n }不是等比数列．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，C n ＝a n ＋b n . 要证{C n }不是等比数列，只需证C 22≠C 1·C 3.8.答案5－1 2解析设三边为a，aq，aq2 (q>1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝5＋1 2.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q2＝5－12.33885 845D 葝M25848 64F8 擸}24424 5F68 彨q24062 5DFE 巾 30313 7669 癩•222765704 圄.36202 8D6A 赪40052 9C74 鱴9。

§3等比数列3.1等比数列第1课时等比数列的定义和通项公式课后篇巩固探究1.若{a n}是等比数列,则下列数列不是等比数列的是()A.{a n+1}B.C.{4a n}D.{}答案:A2.在等比数列{a n}中,2a4=a6-a5,则公比是()A.0B.1或2C.-1或2D.-1或-2解析:设公比为q(q≠0),由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,∴2=q2-q,∴q2-q-2=0,∴q=-1或q=2.答案:C3.若一个等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为()A.3B.4C.5D.6 解析:在等比数列中,∵--,∴n-3=1,即n=4,故选B.答案:B4.若数列{a n}满足a n+1=4a n+6(n∈N+)且a1>0,则下列数列是等比数列的是()A.{a n+6}B.{a n+1}C.{a n+3}D.{a n+2}解析:由a n+1=4a n+6可得a n+1+2=4a n+8=4(a n+2),因为a1>0,所以a n>0,从而a n+2>0(n∈N+),因此=4,故{a n+2}是等比数列.答案:D5.在等比数列{a n}中,若a5·a6·a7=3,a6·a7·a8=24,则a7·a8·a9的值等于()A.48B.72C.144D.192解析:设公比为q,由a6·a7·a8=a5·a6·a7·q3,得q3==8.所以a7·a8·a9=a6·a7·a8·q3=24×8=192.答案:D6.数列{a n}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{b n}的连续三项,则数列{b n}的公比为()A. B.4 C.2 D.解析:∵a1,a3,a7为等比数列{b n}中的连续三项,∴=a1·a7.设{a n}的公差为d,则d≠0,∴(a1+2d)2=a1(a1+6d),∴a1=2d.∴公比q==2,故选C.答案:C7.设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.解析:设{a n}的公比为q,则由题意,得)-,-)-,解得,-,故a4=a1q3=-8.答案:-88.设数列{a n}是等比数列,公比q=2,则的值是. 解析:∵q=2,∴2a1=a2,2a3=a4,∴.答案:9.已知数列{a n}满足a9=1,a n+1=2a n(n∈N+),则a5=.解析:由a n+1=2a n(n∈N+)知,数列{a n}是公比q==2的等比数列.所以a5=a1q4=.答案:10.若数列{a n}为等差数列,且a2=3,a5=9,则数列一定是数列(填“等差”或“等比”).解析:设{a n}的公差为d,则, ,解得,,于是a n=2n-1,从而-=2·,设b n=2·,则,故一定是等比数列.答案:等比11.在等比数列{a n}中,a1·a9=256,a4+a6=40,则公比q=. 解析:∵a1a9=q8,a4a6=a1q3·a1q5=q8,∴a1a9=a4a6.可得方程组,解得,或,∴q2=或q2==4.∴q=±或q=±2.答案:-2,2,-12.在等比数列{a n}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{b n}的通项公式.解(1)设{a n}的公比为q(q≠0),由已知得16=2·q3,解得q=2,∴a n=a1·q n-1=2×2n-1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32,设{b n}的公差为d,则有, ,解得-, ,∴b n=-16+12(n-1)=12n-28.13.已知关于x的二次方程a n x2-a n+1x+1=0(n∈N+)的两根α,β满足6α-2αβ+6β=3,且a1=1.(1)试用a n表示a n+1;(2)求证:数列-为等比数列;(3)求数列{a n}的通项公式.(1)解因为α,β是方程a n x2-a n+1x+1=0(n∈N+)的两根,所以,又因为6α-2αβ+6β=3,所以6a n+1-3a n-2=0.所以a n+1=a n+.(2)证明因为a n+1=a n+⇒a n+1-a n-⇒--为常数,且a1-,所以-为等比数列.(3)解令b n=a n-,则{b n}为等比数列,公比为,首项b1=a1-,所以b n=-.所以a n=b n+-.所以数列{a n}的通项公式为a n=-.14.容积为a L(a>1)的容器盛满酒精后倒出1 L,然后加满水,再倒出1 L混合溶液后又用水加满,如此继续下去,问第n次操作后溶液的浓度是多少?当a=2时,至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?解开始的浓度为1,操作一次后溶液的浓度是a1=1-.设操作n次后溶液的浓度是a n,则操作n+1次后溶液的浓度是a n+1=a n-.所以{a n}构成以a1=1-为首项,q=1-为公比的等比数列.所以a n=-,即第n次操作后溶液的浓度是-.当a=2时,由a n=,得n≥4.因此,至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.。

第1课时等比数列的定义和通项公式课后篇巩固探究1.若{a n}是等比数列,则下列数列不是等比数列的是()A.{a n+1}B.C.{4a n}D.{}答案:A2.在等比数列{a n}中,2a4=a6-a5,则公比是()A.0B.1或2C.-1或2D.-1或-2解析:设公比为q(q≠0),由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,∴2=q2-q,∴q2-q-2=0,∴q=-1或q=2.答案:C3.若一个等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为()A.3B.4C.5D.6解析:在等比数列中,∵,∴n-3=1,即n=4,故选B.答案:B4.若数列{a n}满足a n+1=4a n+6(n∈N+)且a1>0,则下列数列是等比数列的是()A.{a n+6}B.{a n+1}C.{a n+3}D.{a n+2}解析:由a n+1=4a n+6可得a n+1+2=4a n+8=4(a n+2),因为a1>0,所以a n>0,从而a n+2>0(n∈N+),因此=4,故{a n+2}是等比数列.答案:D5.在等比数列{a n}中,若a5·a6·a7=3,a6·a7·a8=24,则a7·a8·a9的值等于()A.48B.72C.144D.192解析:设公比为q,由a6·a7·a8=a5·a6·a7·q3,得q3==8.所以a7·a8·a9=a6·a7·a8·q3=24×8=192.答案:D6.数列{a n}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{b n}的连续三项,则数列{b n}的公比为()A. B.4 C.2 D.解析:∵a1,a3,a7为等比数列{b n}中的连续三项,∴=a 1·a7.设{a n}的公差为d,则d≠0,∴(a1+2d)2=a1(a1+6d),∴a1=2d.∴公比q==2,故选C.答案:C7.(2017全国3高考)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.解析:设{a n}的公比为q,则由题意,得解得故a4=a1q3=-8.答案:-88.设数列{a n}是等比数列,公比q=2,则的值是.解析:∵q=2,∴2a1=a2,2a3=a4,∴.答案:9.已知数列{a n}满足a9=1,a n+1=2a n(n∈N+),则a5=.解析:由a n+1=2a n(n∈N+)知,数列{a n}是公比q==2的等比数列.所以a5=a1q4=.答案:10.若数列{a n}为等差数列,且a2=3,a5=9,则数列一定是数列(填“等差”或“等比”).解析:设{a n}的公差为d,则解得于是a n=2n-1,从而=2·,设b n=2·,则,故一定是等比数列.答案:等比11.导学号33194017在等比数列{a n}中,a1·a9=256,a4+a6=40,则公比q=. 解析:∵a1a9=q8,a4a6=a1q3·a1q5=q8,∴a1a9=a4a6.可得方程组解得∴q2=或q2==4.∴q=±或q=±2.答案:-2,2,-12.在等比数列{a n}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{b n}的通项公式.解(1)设{a n}的公比为q(q≠0),由已知得16=2·q3,解得q=2,∴a n=a1·q n-1=2×2n-1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32,设{b n}的公差为d,则有解得∴b n=-16+12(n-1)=12n-28.13.导学号33194018已知关于x的二次方程a n x2-a n+1x+1=0(n∈N+)的两根α,β满足6α-2αβ+6β=3,且a1=1.(1)试用a n表示a n+1;(2)求证:数列为等比数列;(3)求数列{a n}的通项公式.(1)解因为α,β是方程a n x2-a n+1x+1=0(n∈N+)的两根,所以又因为6α-2αβ+6β=3,所以6a n+1-3a n-2=0.所以a n+1=a n+.(2)证明因为a n+1=a n+⇒a n+1-a n-为常数,且a1-,所以为等比数列.(3)解令b n=a n-,则{b n}为等比数列,公比为,首项b1=a1-,所以b n=.所以a n=b n+.所以数列{a n}的通项公式为a n=.14.导学号33194019容积为a L(a>1)的容器盛满酒精后倒出1 L,然后加满水,再倒出1 L混合溶液后又用水加满,如此继续下去,问第n次操作后溶液的浓度是多少?当a=2时,至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?解开始的浓度为1,操作一次后溶液的浓度是a1=1-.设操作n次后溶液的浓度是a n,则操作n+1次后溶液的浓度是a n+1=a n.所以{a n}构成以a1=1-为首项,q=1-为公比的等比数列.所以a n=,即第n次操作后溶液的浓度是.当a=2时,由a n=,得n≥4.因此,至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.。

§3 等比数列（北京师大版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共30分）1.2b ac =是c b a 、、成等比数列的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知等差数列｛a n ｝的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于 （ ）A.－4B.－6C.－8D.－10 3.设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为（）A ．41 B ．21 C ．81 D ．14.等比数列{}n a 中，===+q a a a a 则,8,63232（）A ．2B ．21C ．2或21D ．－2或21-5.在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是（ ）A 、14B 、16C 、18D 、206.已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为 （ ）A.S 1B.S 2 C ．S 3 D.S 4二、填空题（每小题5分，共20分）7、已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a 8.在正项等比数列{}n a 中，15353225a a a a a a ++=，则35a a +=_______. 9.在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a __________.10．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅ ___________.三、解答题（本大题共4小题，共50分） 11.（12分）在等比数列{}n a 的前n 项和中，1a 最小，且128,66121==+-n n a a a a ，前n 项和126=n S ，求n 和公比q.12、(12分)一个有穷等比数列的首项为1，项数为。