考点21 圆及直线与圆的位置关系

第4讲 直线与圆的位置关系★知识梳理★1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d ，圆半径为r ，若直线与圆相离，则r d >；若直线与圆相切，则r d =；若直线与圆相交，则r d < ②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若0>∆，则直线与圆相离；若0=∆，则直线与圆相切；若0<∆，则直线与圆相交2.两圆的的位置关系(1)设两圆半径分别为12,r r ，圆心距为d 若两圆相外离，则r R d +> ，公切线条数为4 若两圆相外切,则r R d +=，公切线条数为3 若两圆相交r R d r R +<<-，则，公切线条数为2 若两圆内切，则r R d -=，公切线条数为1 若两圆内含，则r R d -<，公切线条数为0(2) 设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 3. 相切问题的解法：①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0=∆来求解。

特殊地,已知切点),(00y x P ,圆222r y x =+的切线方程为200r y y x x =+, 圆222)()(r b y a x =-+-的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 4.圆系方程①以点),(00y x C 为圆心的圆系方程为)0()()(22020>=-+-r r y y x x②过圆0:22=++++F Ey Dx y x C 和直线0:=++c by ax l 的交点的圆系方程为F Ey Dx y x ++++220)(=+++c by ax λ③过两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C 的交点的圆系方程为11122F y E x D y x ++++0)(22222=+++++F y E x D y x λ（不表示圆2C ）★重难点突破★重点:根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系；利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题；难点:借助数形结合,利用圆的几何性质,将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的连心线或半径的和与差重难点:将方程的理论与圆的几何性质相结合,并加以运用 1、把握直线与圆的位置关系的三种常见题型： ①相切——求切线 ②相交——求距离③相离——求圆上动点到直线距离的最大（小）值；问题10y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于2、解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有：①数形结合，善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径 ②等价转化，如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题，把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题，把弦长问题转化为弦心距问题等 ③待定系数法，还要合理运用“设而不求”，简化运算过程3、①圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系 ②公共弦满足的条件是：连心线垂直平分公共弦★热点考点题型探析★考点1 直线与圆的位置关系题型1: 判断直线与圆的位置关系[例1 ] （2005北京海淀）设m >0，则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切[例2] 已知圆1)2(:22=-+y x M ,Q 是x 轴上的动点,QA 、QB 分别切圆M 于B A ,两点(1)若点Q 的坐标为（1，0），求切线QA 、QB 的方程 (2)求四边形QAMB 的面积的最小值(3)若324=AB ，求直线MQ 的方程[例3 ] 已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.题型3: 圆上的点到直线的距离问题[例4 ]已知圆222)5()3(:r y x C =++-和直线0234:=--y x l ，（1）若圆C 上有且只有4个点到直线l 的的距离等于1，求半径r 的取值范围； （2）若圆C 上有且只有3个点到直线l 的的距离等于1，求半径r 的取值范围； （3）若圆C 上有且只有2个点到直线l 的的距离等于1，求半径r 的取值范围； 、【新题导练】1. (山东省威海市 2008年普通高中毕业年级教学质量检测) 在下列直线中，是圆0323222=+-++y x y x 的切线的是 （ ） A ．x=0B ．y=0C ．x=yD ．x=－y2. (08山东省临沂市期中考)),2(01sin 12222Z ∈+≠=-+=+k k y x y x ππθθ与直线的位置关系是 （ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定3. 已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最大值与最小值之差为_______4、(山东省德州市2008届高中三年级教学质量检测) 已知向量m (2cos ,2sin ),n (3cos ,3sin ),ααββ==若m 与n的夹角为60︒，则直线021sin cos =+-ααy x 与圆221(cos )(sin )2-++=x y ββ的位置关系是D A ．相交但不过圆心 B ．相交过圆心 C ．相切 D ．相离5. (广东省普宁市华侨中学2009届高三第三次练兵考试)直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳知识点精讲一、 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交二、 直线与圆的位置关系判断1. 几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则d =则d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离2. 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩ ，消元得到一元二次方程20px qx t ++=，20px qx t ++=判别式为∆，则：则0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离.三、 两圆位置关系的判断是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则： 则d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r -<<+⇔两圆相离 d R r =-⇔两圆内切；0d R r ≤<-⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆）四、 关于圆的切线的几个重要结论（1） 过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=. （2） 过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=（3） 过圆220x y Dx Ey F ++++=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+= （4） 求过圆222x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值.若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.题型讲解题型1 直线与圆的相交关系 思路提示研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长2l、弦心距d 和半径r 之间形成的数量关系222()2l d r +=.例 已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1(0)2x y πθθθ+=<<，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =___________.分析 先求出圆心到直线的距离，在进行判断解析 因为圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又因为圆O 4个点符合条件. 评注 若圆O 上到直线l 的距离等于2的点的个数为k ，则2k =；若3k =，则圆O 上到直线l 的距离等1-变式1已知圆O ：224x y +=，直线l ：1x ya b+=，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数有两个，则2211a b +的取值范围___________. 例 已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=，（1） 当直线l 与圆C 相交时，求实数a 的取值范围;（2） 当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程.分析 根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题. 解析 （1）圆C ：22(4)4x y +-=，故圆心为(0,4)C ，因为直线l 与圆C 相交，所以圆心为(0,4)C 到直线l 的距离2d =<，解得34a <-，故实数a 的取值范围是3(,)4-∞-（2）由题意，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =224+=，化简可得2870a a ++=，即1a =-或7a =-，故所求直线的方程为20x y -+=或7140x y -+=.评注 在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三边.变式1 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（ ） A ．相离 B. 相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心变式2 过点(1,2)--的直线l 被圆222210x y x y +--+=，则直线l 的斜率为__________.变式3 已知直线l 经过点(1,3)P -且与圆224x y +=相交，截得弦长为l 的方程.例 过点(1,1)P 的直线l 与圆22:(2)(3)9C x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A.解析 设圆心(2,3)C 到直线l 的距离d ，由弦长公式||AB ==可知当距离最大d时，弦长||AB 最小.又||d CP ≤==l CP ⊥时取等号，故max d .所以max ||4AB ===.故选B评注 过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦. 变式1 过点(11,2)A 做圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A. 16 条 B. 17条 C. 32条 D. 34条例 已知圆的方程为22680x y x y +--=.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. C. 解析 22680x y x y +--=可化为22(3)(4)25x y -+-=，故圆心坐标(3,4)，半径为5，点(3,5)在圆内，因为AC 最长，所以AC 为直径，即||10AC =，BD 最短，且BD 过点(3,5)，所以||BD ==，所以1||||2S AC BD ==B变式1 如图所示，已知AC ,BD 为圆O ：224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________.例 （2012北京海淀高三期末理13改编）已知圆22:(1)2C x y -+=，过点(1,0)M -的直线l 交圆C 于,A B 两点，若0CA CB ⋅=（C 为圆心），则直线l 的方程为__________.解析 设直线:(1)l y k x =+，即:l 0kx y k -+= 则圆心到直线l 的距离为d =又0CA CB ⋅=，故CA CB ⊥，即△ABC 是等腰三角形，2C π∠=.所以sin142d r π====即k =±，故直线l ：10x +=或10x += 变式1 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点.若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程.变式2 已知圆C ：22(1)(6)25x y ++-=上的两点,P Q 关于直线l :8y kx =+对称，且0OP OQ ⋅=（O 为坐标原点），求直线PQ 的方程题型2 直线与圆的相切关系 思路提示若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线.例 求经过点(1,7)-与圆2225x y +=相切的直线方程.分析 将点(1,7)-代入圆方程得221(7)5025+-=>，知点(1,7)-是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标.解析 解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为k ，则所求直线方程为7(1)y k x +=-，整理成一般式为70kx y k ---=.5=，化简得3127120k k --=，解得43k =或34k =-. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.解法二：依题意，直线的斜率存在，设所求切线方程为0025x x y y +=（00(,)x y 是切点），将坐标(1,7)-代入后得00725x y -=，由00002272525x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0043x y =⎧⎨=-⎩或0034x y =-⎧⎨=-⎩. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.评注 已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：①设切点，用切线公式法；②设切线斜率，用判别式法：③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况.变式1 已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=，求过点(1,5)P -的圆的切线方程.变式2 直线l (2)2y k x =-+与圆22:220C x y x y +--=相切，则的一个方向向量为（ ） A. (2,2)- B. (1,1) C. (3,2)- D. 1(1,)2例 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求入射光线l 所在直线的方程.分析 利用对称性解决此类反射问题.根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对称，也可以使用圆的对称.解析 已知圆22(2)(2)1x y -+-=关于x 轴的对称圆'C 的方程为22(2)(2)1x y -++=，可设光线所在直线方程为3(3)y k x -=+，所以直线l 与圆'C 相切，圆心'(2,2)C -到直线l的距离1d ==，解得43k =-或34k =-.所以光线所在的直线l 方程为4330x y ++=或3430x y +-=.变式1 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线'l 所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求反射光线'l 所在直线的方程.题型3 直线与圆的相离关系思路提示关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题. 例 （1）直线:1l y x =-的点到圆22:4240C x y x y ++-+=上的点的距离最小值是____________. （2）由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）分析 过直线1y x =+上任意一点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线PQ ，即可得到1||PQ O Q PQ ⊥==，那么，当切线长PQ 取最小值时，即1O P 取最小值.解析 （1）圆C 可化为22(2)(1)1x y ++-=，故圆心(2,1)C -到直线1y x =-的距离d ==1d r -=（3） 过1O 作1O H 垂直于直线1y x =+于点H ，过H 作HR 相切圆1O 与R ，连接1O R ，则切线长的最小值为||HR ，圆心(3,2)-到直线10x y -+=的距离d ==||HR =，故选A.变式1 已知点P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两切线，,A B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）C. D. 2 变式2 已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =.（1）求实数,a b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值.题型4 圆与圆的位置关系 思路提示已知两圆半径分别为12,r r ，两圆的圆心距为d ，则：（1） 两圆外离12r r d ⇔+<；（2）两圆外切12r r d ⇔+=； （3）两圆相交1212||r r d r r ⇔-<<+； （4）两圆内切12||r r d ⇔-=；（5）两圆内含12||r r d ⇔->；两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.例 圆221:20O x y +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切 分析 判断圆心距与两圆半径的关系解析 由圆221:20O x y +-=得1(0,0)O ，1r =圆222:40O x y y +-=得2(0,2)O ，22r =，121212||||2r r O O r r -<=<+，两圆相交，故选B.变式1 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.变式2 在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线l ：24y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，（1） 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2） 使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.例 已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m ++-+= （1）m 取何值时两圆外切.（2）m 取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么（3）求45m =时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.分析 把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距d ，判断d 与R r +，R r -的关系，再用圆的几何性质分别解决（2）（3）问.解析 两圆的标准方程分别为22(1)(3)11x y -+-=，22(5)(6)61,(61)x y m m -+-=-<，圆心分别为(1,3),(5,6)M N（1） =25m =+（2） 小于两圆圆心距55=，解得，两圆方程222610x y x y +---=与2210120x y x y m ++-+=，相减得861250x y +--+=代入，得43130x y +-+=.（3） 两圆的公共弦所在直线方程为2222(261)(101245)0x y x y x y x y +----+--+=，即43230x y +-=，所以公共弦长为=评注 应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定.变式1 若圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>，公共弦的长为a =___________.变式2 设两圆12,C C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距离12||C C =（ ）A. 4B. 有效训练题1. 已知点(,)P a b 在圆C ：224x y +=内（异于圆心），则直线10ax by ++=与圆C 的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定 2.已知a b ≠，且2sin cos 04a a πθθ+-=，2sin cos 04b b πθθ+-=，则连接2(,)a a ，2(,)b b 两点的直线与单位圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定3.设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A. 1⎡⎣B. (),11⎡-∞⋃++∞⎣C. 2⎡-+⎣D. (),22⎡-∞-⋃++∞⎣4.若直线1x ya b+=经过点(cos ,sin )M αα，则（ ） A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C.22111a b +≤ D. 22111a b +≥5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，该直线的方程为（ ）A. 20x y +-=B. 10y -=C. 0x y -=D. 340x y +-=6.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（ ）A. []3,1--B. []1,3-C. []3,1-D. (][),31,-∞-⋃+∞7. 设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△ABC 面积的最小值为___________8.过点(4,0)-作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于,A B 两点，如果||8AB =，则l 的方程为__________.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则的最大值是_______. 10.已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆22(1)(2)4x y -+-=. （1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相切，求a 的值（3）若直线40ax y -+=与圆相交于,A B 两点，且AB 弦的长为a 的值11.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=（M 为圆心），直线的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B . （1）若060APB ∠=，试求点的坐标；（2）若点P 的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =CD 的方程；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.1112. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值.（M 为圆M 的圆心）；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行请说明理由.。

学习笔记-点和圆、直线和圆的位置关系主要内容：点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、切线的判定及性质、圆和圆的位置关系。

（1）点和圆的位置关系：数量关系和位置关系的对应（2）圆的确定1、过一点可做无数个圆；2、过二点可做无数个圆；3、不在同一条直线上的三点确定（有且只有）一个圆；过在一条直线的三点不能做圆；4、不在同一条直线上的四点有可能作一个圆，也有可能做不出一个圆；（3）三角形的外接圆1、三角形外接圆、圆的内接三角形、外心（外接圆圆心，三角形三条边的中垂线交点）；2、“接”：三角形顶点与圆的关系，顶点在圆上；“外、内”：三角形和圆的位置关系；（4）反证法1、定义：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，有矛盾断定假设不正确，从而得出原命题成立；2、使用场景：用于解决不易直接证明或不能直接证明的命题，主要适用于：①结论是否定形式的命题②结论是无限形式的命题③结论是“至多”或“至少”形式的命题3、否定形式“大（小）于——不大（小）于”“或——且”“至多有n个——至少有n+1个”“都是——不都是”（5）“一箭穿心”模型（圆外一点到圆的最大距离和最小距离）先把圆心到点的距离d求出来，最大距离为d+r，最小距离为d-r（三角形三边关系可证明）；（1）直线和圆的位置关系：数量关系和位置关系的对应（2）直线与圆相离，直线到圆的最大距离和最小距离先把圆心到直线的距离d求出来，最大距离为d+r，最小距离为d-r（垂线段最短可证明）；（1）切线的定义➢与圆只有一个交点的直线➢圆心到直线的距离等于半径的直线（2）切线的判定➢定义法：与圆只有一个公共点➢数量关系：d=r（圆心到直线的距离等于半径）➢位置关系（切线判定定理）：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线证明切线的常用辅助线：◆有交点，连半径，证垂直◆无交点，作垂直，证半径（3）切线的性质➢切线与圆有且只有一个公共点➢圆心到切线的距离等于圆的半径➢（切线的性质定理）圆的切线垂直于过切点的半径以下是两个推论：⏹经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点⏹经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心有切线后的常用辅助线：切点的位置确定：连接圆心和切点，得垂直，即连切点得垂直切点位置不确定：过圆心作切线的垂线，垂足就是切点，即作垂直得切点（4）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角主要讲解下面这个图形：找出图中互相垂直的线段、直角三角形、等腰三角形、全等三角形注意：适当讲解弦切角定理（两角互余可证明），开阔学生做题的思路。

直线、圆的位置关系考纲要求1.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题. 考情分析1.直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．2.多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在综合性较强的解答题中 教学过程. 基础梳理1．直线与圆的位置关系位置关系有三种： 、 、 。

判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎨⎧Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d ＜r ⇔ ，d ＝r ⇔ ，d ＞r ⇔ 2．圆与圆的位置关系的判定设⊙C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)， ⊙C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0)，则有： |C 1C 2|＞r 1＋r 2⇔⊙C 1与⊙C 2 ； |C 1C 2|＝r 1＋r 2⇔⊙C 1与⊙C 2 ； |r 1－r 2|＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2⇔⊙C 1与⊙C 2 ； |C 1C 2|＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔⊙C 1与⊙C 2 ； |C 1C 2|＜|r 1－r 2|⇔⊙C 1与⊙C 2 。

一条规律过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程可用待定系数法，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可．一个指导直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．解题时应根据具体条件选取合适的方法．两种方法计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝1＋k2[x A＋x B2－4x A x B].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．双基自测1．(教材习题改编)直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是( ) A．相离B．相交C．相切 D．相切或相交2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为() A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝03．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条4．(教材习题改编)直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＋4x－4y－8＝0截得的弦长等于________．5．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为________，公共弦长为________．1．圆的切线问题(1)过圆x2＋y2＝r2(r>0)上一点，点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T的切线长公式为|MT|＝x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝|MC|2－r2(其中C为圆C的圆心，r为其半径)．2．两圆的方程组成的方程组有一解或无解时．不能准确地判定两圆的位置关系，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况．当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况．典例分析考点一、直线与圆的位置关系[例1] (2011·江西高考)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－33，33)B ．(－33，0)∪(0，33)C ．[－33，33]D ．(－∞，－33)∪(33，＋∞)本例条件中“有四个交点”变为“有且只有两个交点”，再求m 的取值范围．[冲关锦囊]判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：――――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎨⎧>0⇔相交，＝0⇔相切，<0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔相 交，d ＝r ⇔相切，d >r ⇔相离.考点二、直线与圆的位置关系综合性问题[例2] (2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·广州模拟)已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为()A．y＝－3x B．y＝3xC．y＝－33x D．y＝33x[冲关锦囊]1．圆的弦长的常用求法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(l2)2＝r2－d2(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上．然后设出切线方程，用待定系数法求解．注意斜率不存在情形.考点三、两圆的位置关系[例3](2011·全国高考)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()A．4 B．4 2C．8 D．82[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2012·江南十校联考)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是 ( )A．相离B．相交C．外切D．内切[冲关锦囊]判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到．一、选择题1．(2012·珠海模拟)已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是()A．3x＋4y－1＝0B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0C．3x＋4y＋9＝0D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝02．(2012·江南十校联考)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为()A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝03．(2012·济南模拟)若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或44．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．35．(2012·郑州模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则O M ·O N (O 为坐标原点)等于( ) A ．－7 B ．－14 C ．7D ．14二、填空题6．已知点P 在直线3x ＋4y －25＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．7．(2012·淄博模拟)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．。

42＋12＝17. ∵3－2<d <3＋2、 ∴两圆相交．]3．圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1、3)处的切线方程为______． x －3y ＋2＝0 [因为点P (1、3)是圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0上的一点、 故在点P 处的切线方程为x －3y ＋2＝0.]4．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．22 [由⎩⎨⎧x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.由于x 2＋y 2－4＝0的圆心为(0、0)、半径r ＝2、且圆心(0、0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝|0－0＋2|2＝2、所以公共弦长为2r2－d2＝24－2＝22.](对应学生用书第148页)考点1 直线与圆的位置关系A ．(－∞、＋∞)B ．(－∞、0)C ．(0、＋∞)D ．(－∞、0)∪(0、＋∞)(3)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)A (2)D (3)C [(1)法一：(代数法)由⎩⎨⎧mx －y ＋1－m ＝0，x2＋（y －1）2＝5，消去y 、整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0、 因为Δ＝16m 2＋20>0、所以直线l 与圆相交． 法二：(几何法)∵圆心(0、1)到直线l 的距离d ＝|m|m2＋1<1<5.故直线l 与圆相交．法三：(点与圆的位置关系法)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1、1)、∵点(1、1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部、∴直线l 与圆C 相交．(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1、圆心C (1、1)、半径r ＝1.因为直线与圆相交、所以d ＝|1＋m －2－m|1＋m2<r ＝1.解得m >0或m <0.故选D.(3)如图所示、因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2、又因为圆的半径为3、所以直线与圆相交、故圆上到直线的距离为1的点有3个．](1)已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围、就是利用d＝r、d>r或d<r建立关于参数的等式或不等式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助数形结合、转化为点到直线的距离求解．1.已知点M(a、b)在圆O：x2＋y2＝1外、则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定B[因为M(a、b)在圆O：x2＋y2＝1外、所以a2＋b2＞1、而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＜1.所以直线与圆相交．]2．若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝1－x2有且只有两个公共点、则m的取值范围是________．[1、2)[画出图象如图、当直线l经过点A、B时、m＝1、此时直线l与曲线y＝1－x2有两个公共点；当直线l与曲线相切时、m＝2、因此当1≤m<2时、直线l：x＋y＝m与曲线y＝1－x2有且只有两个公共点．]考点2圆与圆的位置关系C ．外切D ．相离B [由⎩⎨⎧x2＋y2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0、0)、(－a 、a ). ∵圆M 截直线所得线段长度为22、∴a2＋（－a ）2＝22.又a >0、∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0、即x 2＋(y －2)2＝4、圆心M (0、2)、半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1、圆心N (1、1)、半径r 2＝1、∴|MN |＝（0－1）2＋（2－1）2＝2.∵r 1－r 2＝1、r 1＋r 2＝3、1<|MN |<3、∴两圆相交．]2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切、则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0、0)、半径r 1＝1、因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m 、所以圆C 2的圆心为C 2(3、4)、半径r 2＝25－m (m ＜25).从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2、即1＋25－m ＝5、解得m ＝9、故选C.]考点3 直线、圆的综合问题切线问题(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径、从而建立关系解决问题；(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条、若仅求得一条、除了考虑运算过程是否正确外、还要考虑斜率不存在的情况、以防漏解．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线、则切线长的最小值为()A．1 B．22C．7D．3C[如图、切线长|PM|＝|PC|2－1、显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即3＋12＝22时|PM|最小为7、故选C.]D [将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5、圆心坐标为F (2、－1)、半径r ＝5、如图、显然过点E 的最长弦为过点E 的直径、即|AC |＝25、而过点E 的最短弦为垂直于EF的弦、|EF |＝（2－1）2＋（－1－0）2＝2、|BD |＝2r2－|EF|2＝23、∴S 四边形ABCD ＝12|AC |×|BD |＝215.]直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)、把它转化为代数问题、通过代数的计算、使问题得到解决．所以当点N 为(4、0)时、能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．本例是探索性问题、求解的关键是把几何问题代数化、即先把条件“x 轴平分∠ANB ”等价转化为“直线斜率的关系：k AN ＝－k BN ”、然后借助方程思想求解．[教师备选例题]如图、在平面直角坐标系xOy 中、已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2、4).(1)设圆N 与x 轴相切、与圆M 外切、且圆心N 在直线x ＝6上、求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点、且BC ＝OA 、求直线l 的方程．[解] (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25、圆心M (6、7)、半径r ＝5、由题意、设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0).且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1、∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.,(2)∵k OA ＝2、∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m 、即2x －y ＋m ＝0.又BC ＝OA ＝22＋42＝25．由题意、圆M 的圆心M (6、7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝25．。