第一节 n 阶行列式

第一章 n 阶行列式§1 全排列及逆序数解方程是代数中的一个基本问题，中学代数中，解线性方程组问题时引出了二阶和三阶行列式，我们知道它们的展开式分别为11122122a a a a =a 11a 22-a 12a 21， (1-1)111213212223313233a a a a a a a a a =a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32 -a 13a 22a 31-a 11a 23a 32-a 1２a 2１a 33， （1-２）其中元素a ij 的两个下标i 与j 分别表示a ij 所在的行与列的序数. 我们观察到(1.2)式的右端是一些项的代数和，其中，每一项是位于不同行不同列的三个数相乘，这三个数的第一个下标是按自然顺序排列的，第二个下标则不按自然顺序排列.我们不禁要问：这个代数和的项数、每一项前的符号与第二个下标的排列顺序有无关系?有什么关系？为此我们引入全排列与逆序数等概念.定义1 由1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个n 级全排列(简称排列).有序数组12和21，由两个数构成，称为二级排列，有序数组213则称为三级排列，三级排列的总数为3!=6个，4321为四级排列，四级排列的总数为4!=24个，n 级排列的总数是n (n -1)(n -2)·…·2·1=n !，读为“n 阶乘”.显然12…n 也是一个n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，其它的排列都或多或少地破坏自然顺序.定义2 在一个排列中，如果两个数(称为数对)的前后位置与 大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序(反序).一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.一个排列j 1j 2…j n 的逆序数，一般记为τ(j 1j 2…j n ).排列12的逆序数为0；排列21的逆序数为1；排列231的数对21、31均构成逆序，而23不构成逆序，因此排列231的逆序数为2；同理排列213的逆序数是1，即τ(213)=1.进一步我们有以下定义.定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列. 二级排列12为偶排列，21为奇排列；三级排列231为偶排列，213为奇排列. 现在我们探讨(1-1)、(1-2)式右端各项的规律： (1-1)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，对它们第二个下标进行观察：第二个下标由两个自然数1和2组成，只能构成两个二级排列：12和21，排列个数等于(1-1)式右端的项数，且排列12的逆序数为0，对应项的符号为“+”，而排列21的逆序数为1，所对应项的符号为“-”.(1-2)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，第二个下标由自然数1、2和3组成，构成的三级排列共有3!=6个：123、231、312、132、213、321，这正好等于(1-2)式右端的项数，排列为123、231、312的逆序数分别为0、2、2，它们均为偶排列，对应项的符号为“+”，排列132、213、321的逆序数分别为1、1、3，它们都是奇排列，对应项的符号为“-”.综上所述：(1-2)式右端各项可写成123123j j j a a a ，这里j 1j 2j 3是1、2、3的一个三级排列，当j 1j 2j 3为偶排列时，项123123j j j a a a 前面的符号为正，当j 1j 2j 3为奇排列时，项123123j j j a a a 前面的符号为负，各项所带符号均可表示为(-1)J，其中J=τ（j 1j 2j 3）为排列j 1j 2j 3的逆序数.从而(1-2)式可写为123123123111213()212223123313233(1)j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=-∑，123j j j ∑表示对全体三级排列求和.例1计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性. (1) 42531，（2） 135…（2n -1）246…(2n ).解（1） 对于所给排列，4排在首位，逆序个数为0；2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1；5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0；3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2；1的前面有四个比它大的数，逆序个数为4.把这些数加起来，即0+1+0+2+4=7故排列42531的逆序数为7，即τ(42531)=7，因而是奇排列.(2) 同理可得：τ[135…(2n -1)246…(2n )]=0+(n -1)+(n -2)+…+2+1=(1)2n n +. 所给排列当n =4k 或4k +1时为偶排列，当n =4k +2或4k +3时为奇排列.§2行列式的定义定义4 n 阶行列式111212122212n nn n nna a a a a a a a a等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a （1-3）的代数和，这里j 1j 2…j n 是1，2，…，n 的一个排列，每一项（1-3）都按下列规则带有符号：当j 1j 2…j n 是偶排列时，（1-3）带有正号，当j 1j 2…j n 是奇排列时，（1-3）带有负号.这一定义可以写成12121211121()212221212(1)n n nn j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑， (1.4)这里12nj j j ∑表示对所有n 级排列求和.例2 计算四阶行列式11212231323341424344000000a a a D a a a a a a a =.解 根据定义，D 是4!=24项的代数和，但每一项的乘积12341234j j j j a a a a 中只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需计算展开式中不明显为0的项.由于第1行元素除a 11外全为0，故只需考虑j 1=1，第2行元素中只有a 21,a 22不为0，现已取j １=1，故必须取j ２=2，同理必须取j 3=3，j 4=4，这就是说行列式展开式中不为0的项只可能是11223344a a a a ，而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式11223344D a a a a =.行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线.主对角线以上的元素全为零(即i <j 时元素a ij =0)的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积.主对角线以下的元素全为零(即i >j 时元素a ij =0)的行列式称为上三角行列式，同理可证它等于主对角线上各元素的乘积.行列式中，除主对角线上的元素以外，其他元素全为零(即i ≠j 时元素a ij =0)的行列式称为对角行列式，由上面可知它等于对主角线上元素的乘积，即11221122nn nna a D a a a a ==.例3 证明11121(1)212,11,211,11,21(1)nn n n n n n n n n a a a D a a a a a a a -----==-.上面的行列式中，未写出的元素都是0.证 由于行列式的值为：121212(1)n nJj j nj j j j a a a -∑，只需对可能不为0的乘积1212(1)n J j j nj a a a -求和，考虑第n 行元素n nj a ，知j n =1，再考虑第n -1行元素a n -1,j n -1，知j n -1=1或j n -1=2，由于j n =1知j n -1=2，如此类推j 2=n -1,j 1=n ,排列j 1j 2…j n 只能是排列n (n -1)…21,它的逆序数为J=(n -1)+(n -2)+…+2+1=n (n -1)2,所以行列式的值为(1)212,11,21(1)n n n n n n a a a a ----.由此可见1112131421221314233241313241000a a a a a a a D a a a a a a a ==. 例4 设1111111111110000k k kk kn n nkn nna a a a D c cb bc c b b =，11111kk kk a a D a a =，11121nn nnb b D b b =，证明D =D 1D 2.证 记 111,,1,k nk n k n k nd d D b b ++++=，其中d ij =a ij (i ,j =1,2,…，k )； d k +i ,k +j =b ij (i ,j =1,2,…，n )； d i ,k +j =0 (i =1,2,…，k ; j =1,2,…，n ).考察D 的一般项12121,1,(1)k k k Rr r kr k r k n r n d d d d d ++++-，R 是排列121k k k n rr r r r ++的逆序数，由于,0i j k d += (i =1,2,…，k ; j =1，2，…，n )，因此12,,,k r r r 均不可大于k 值，否则该项为0，故12,,k r r r 只能在1，2，…，k 中选取，从而1,2,,k k k n r r r +++只能在k +1,k +2,…,k +n中选取，于是D 中不为0的项可以记作12121212(1)k n R p p kp q q nq a a a b b b -，这里i i p r =,i k i q r k +=-, 1i r k ≤≤, 1k i k r k n ++≤≤+，R 也就是排列121()()k n p p p k q k q ++的逆序数，以P ，Q 分别表示排列12k p p p 与12k q q q 的逆序数，则有R=P+Q ，于是121211121,2,,(1)k n k nP Qp p kp q q n q p p q q D a a a b b b +=-∑∑121211121,2,,(1)((1))k n knPQ p p kp q q n q p p q q a a a b b b =--∑∑121122(1)k kP p p kp p p a a a D =-∑12D D =.§3对换定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动，这种对排列的变换叫做对换，将相邻两数对换，叫做相邻对换(邻换).定理1 一个排列中的任意两数对换，排列改变奇偶性. 证 先证相邻对换的情形.设排列为1112i i i i n p p p p p p -++，对换i p 与1i p +排列变为1112i i i i n p p p p p p -++，显然112i i n p p p p -+这些数的逆序数经过对换并不改变，仅i p 与1i p +两数的逆序数改变：当1i i p p +<时，经对换后，1i i p p +是逆序，新排列的逆序数增加1，当1i i p p +>时，1i i p p +不是逆序，新排列的逆序数减少1，所以排列1112i i i i n p p p p p p -++与排列1112i i i i n p p p p p p -++的逆序数相差1，奇偶性改变.下证一般对换的情形. 设排列为11112i i i i m i m i m n p p p p p p p p -++++++，对换i p 与1i m p ++,把i p 往后连续作m 次相邻对换，排列变为11112i i i m i i m i m n p p p p p p p p -++++++，再把1i m p ++往前连续作1m +次相邻对换，排列变为11112i i m i i m i i m n p p p p p p p p -++++++，从而实现了i p 与1i m p ++的对换，它是经21m +次相邻对换而成，排列也就改变了21m +次奇偶性，所以两个排列的奇偶性相反.由于数的乘法是可交换的，所以行列式各项中的元素的顺序也可任意交换，例如四阶行列式中乘积11223344a a a a 可以写成22114433a a a a ，一般n 阶行列式中乘积1212n j j nj a a a 可以写成1122n n p q p q p q a a a ，其中12n p p p 与12n q q q 都是n 级排列.定理2 n 阶行列式的一般项可以写成1122(1)n n S T p q p q p q a a a +-，其中S 与T 分别是n 级排列12n p p p 与12n q q q 的逆序数.证 该项中任意两元素互换，行下标与列下标同时对换，由定理1知n 级排列12np p p 与12n q q q 同时改变奇偶性，于是S +T 的奇偶性不变，如果将排列12n p p p 对换为自然顺序12…n (逆序数为0)，排列12n q q q 也相应对换为12n j j j (逆序数为J )，则有11221212(1)(1)n n n S T J p q p q p q j j nj a a a a a a +-=-.由定理2可知，行列式也可定义为121211221112121222()()12(1)n n n n n n p p p q q q p q p q p q n n nna a a a a a D a a a a a a ττ+==-∑. （1.5）若将行列式中各项的列下标按自然顺序排列，而相应行下标排列为12n i i i ，于是行列式又可定义为1212121112121222()1212(1)n n nn n i i i i i i n i i i n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑. （1.6）§4行列式的性质记111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =，112111222212n n nnnna a a a a a D a a a '=，行列式D ′称为行列式D 的转置行列式.性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证 记111212122212n n n n nnb b b b b b D b b b '=，即ij ij b a = (i ,j =1,2,…，n )，按行列式定义121212()12(1)n n nj j j j j nj j j j D b b b τ'=-∑121212()12(1)n n nj j j j j j n j j j b b b D τ=-=∑.性质1表明：行列式中行与列的地位是对称的，即行列式中行具有的性质，其列也具有.性质2 互换行列式的两行(列)，行列式反号. 证11111212221p q n p q n n np nq nn a a a a a a a a D a a a a =，交换第p ，q 两列得行列式111112122211q p n q p n n nqnpnna a a a a a a a D a a a a =. 将D 与D 1按(1-6)式计算，对于D 中任一项1212(1)p q n I i i i p i q i n a a a a a -其中I 为排列1p q n i i i i 的逆序数，在D 1中必有对应一项11212(1)q p n I i i i q i p i n a a a a a -（当j ≠p,q 时，第j 列元素取j i j a ，第p 列元素取q i q a ，第q 列元素取pi p a )，其中1I 为排列1q p n i i i i 的逆序数，而1p q n i i i i与1qp n i i i i只经过一次对换，由定理1知，(1)I -与1(1)I-相差一个符号，又因12121212(1)q p n p q n I i i i q i pi n i i i p i q i n a a a a a a a a a a =-,所以对于D 中任一项，D 1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D 与D １的项数相同，所以D =-D 1.交换行列式i ，j 两行记作r(i ，j )，交换行列式i ，j 两列，记作c(i ，j ). 推论 若行列式有两行(列)元素对应相等，则行列式为零.性质3 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式. 第i 行(列)乘以数k ，记作r(i (k ))［c(i (k ))］.推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号的外面. 性质4 行列式中若有两行元素对应成比例，则此行列式为零. 性质5 若行列式的某行(列)的元素都是两个数之和，例如1112121222112212n n i i i i ininn n nna a a a a a D a a a a a a a a a ='''+++，则行列式D 等于下列两个行列式之和：1112111121212222122212121212n n n n i i in i iin n n nnn n nna a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a =+'''.性质6 把行列式某一行(列)的元素乘以数k ，加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.例如，以数k 乘以第i 行（列）上的元素加到第j 行(列)对应元素上,记作()()r j i k +()()()c j i k +，有111211112112121211221211[()]()n ni i ini i inj j jn j j j j jn jnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a r j i k i j a a a a ka a ka a ka a a a a a a +≠+++性质3—性质6的证明请读者自证.例5 计算四阶行列式000000b b b b D a a b a b a--=.解()()()()222000003110000002(4)00202421002b b b c b b b b a bD b a b a a b a a b b b a c a b a a b a-+-==⋅=--+.例6 计算行列式a cb dc a b dD c a d b ac d b=. 解()()()()3210.0041100ac bd r c a b dDd b b d r d b b d+-=--+---.§5行列式的计算定义6 在行列式111111jn i ij in n njnna a a a a a a a a 中划去元素aij 所在的第i 行与第j 列，剩下的(n -1)2个元素按照原来的排法构成一个n -1阶的行列式111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1j j n i i j i j in i ij i j i n n n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+称为元素ij a 的余子式，记为ij M .记(1)i j ij ij A M +=-，ij A 叫做元素ij a 的代数余子式.由定义可知，ij A 与行列式中第i 行、第j 列的元素无关.引理 在n 阶行列式D ，如果第i 行元素除ij a 外全部为零，那么这行 列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ijD a A =.证 先证1,1i j ==的情形.即112122232123000n n n n nna a a a a D a a a a =232323()1123(1)n n nj j j j j nj j j j a a a a τ=-∑232323()1123(1)n n nj j j j j nj j j j a a a a τ=-∑21222323331123nn n n nna a a a a a a a a a =11111111111111(1)a M a M a A +==-=.对一般情形，只要适当交换D 的行与列的位置，即可得到结论.定理3 行列式D 等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++（i =１，２，…，n ）或1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++（j =１，２，…，n ）.证1112112120000000ni i in n n nnaa a Da a a aaa =++++++++++1112111121111211212121200000nn n i iin n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =+++.我们称定理3为行列式的按行（列）展开处理，也称之为拉普拉斯（Laplace ）展示定理. 例7 计算行列式2004310050100232D =. 解 由定理3知11141003102(1)0104(1)501232033D ++=⋅-+⋅-224(615)88=⨯-⨯--=.例8 计算行列式00000000a b a b D a b ba=. 解 4144000(1)0000a b b D a a b b a b a b a a b+=+-=- 例9 计算行列式(加边法)1111111111111111x x D y y+-=+-. 解 当x=0或y=0时，显然D =0，现假设x ≠0且y ≠0，由引理知1111101111011110111101111x D x y y +=-+-()()1111110001110002,3,4,510001x r i x i y y-+---=--- 22112111111130000000100001400115c x c xx x y x y c y yc y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 例10 证明范德蒙（V an der mo n de ）行列式1232222123111111231111()nn n i j j i nn n n n nx x x x V x x x x x x x x x x ≤≤≤----==-∏,其中连乘积2131132212211()()()()()()()()()i j n n n n n n n n j i nx x x x x x x x x x x x x x x x x x ----≤≤≤-=--------∏是满足条件1≤j <i ≤n 的所有因子()i j x x -的乘积.证 用数学归纳法证明.当n =2时，有221121211()i j j i V x x x x x x ≤≤≤==-=-∏,结论成立.假设结论对n -1阶范德蒙行列式成立，下面证明对n 阶范德蒙行列式结论也成立.在V n 中，从第n 行起，依次将前一行乘-x 1加到后一行，得2132122133212222213321111100()()()()()()n n n n n n n n n n n n x x x x x x V x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------=------按第1列展开，并分别提取公因子，得2322221312322223111()()(1)nn n n n n n nx x x V x x x x x x x x x x x ---=---上式右端的行列式是n -1阶范德蒙行列式，根据归纳假设得21312()()(1)()n n i j j i nV x x x x x x x ≤≤≤=----∏,所以1()n i j j i nV x x ≤≤≤=-∏.推论 行列式D 中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数 余子式乘积之和等于零，即11220i j i j in jn a A a A a A +++= (i ≠j )或11220i j i j ni nj a A a A a A +++= (i ≠j ).证1111112211ni inj j j jjn jn j jn n nna a a a a A a A a A a a a a +++=.当i ≠j ，因为jk A 与行列式中第j 行的元素无关，将上式中的jk a 换成ik a （k =1，2，…，n )，有11111122110n i ini j i jin jn i in n nna a a a a A a A a A a a a a +++==. 同理可证11220i j i j ni nj a A a A a A +++= (i ≠j ).综上所述，即得代数余子式的重要性质（行列式按行(列)展开公式）：1,,0,;nik jk k D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当当 或1,,0,.nki kjk D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当当 例11 计算n 阶行列式(递推公式法)1221100010000000001n nn n xx x D x a a a a x a ----=-+.解 由行列式n D 可知，111D x a x a =+=+.将n D 按第1列展开112321100010000100100(1)000000101n n n n n n x x xD xa x x a a a a x a x+-------=+--+-， 即1n n n D xD a -=+.这个式子对任何n (n ≥2)都成立，故有121()n n n n n n D xD a x xD a a ---=+=++221n n n x D a x a --=++=12121n n n n x D a x a x a ---=++++12121n n n n n x a x a x a x a ---=+++++例12 求方程()0f x =的根，其中121242()364148252x x x x x x x xf x x x x x x x x x ------=--------. 解 由观察可知0x =是一个根，因为0x =时，行列式第1、2列成比例，所以(0)0f =.要求其他根需展开这个行列式，将第1列乘-1加到2，3，4列；再将变换后的第2列加到第4列，结合例4，即得11012201()33124412x x f x x x x ----=------ 1100220033114412x x x x x ----=--------11112212x x x ----=⋅---- (1)x x =-+.所以方程()0f x =有两个根：0与-1.§6克莱姆法则由二元、三元线性方程组的克莱姆法则，我们有n 元线性方程组的克莱姆法则. 克莱姆法则 如果线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1-7）的系数行列式不等于零，即11110nn nna a D a a =≠，那么，方程组(1.7)有惟一解1212,,,,nn D D D x x x D DD===（1-8） 其中j D （j =１，２，…，n )是把系数行列式D 中的第j 列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即111,111,11212,222,221,,j j n j j n j n n j nnn j nnna ab a a a a b a a D xa ab a a -+-+-+=.证明（1） 把方程组(1-7)简写为1,1,2,,nij ji j a xb i n ===∑.把(1-8)式代入第i 个方程，左端为111nnjij ij j j j D a a D D D ===∑∑. 因为11221nj j j n nj s sj s D b A b A b A b A ==+++=∑，所以11111111n n nn nij j ij s sj ij sj s j j s j s a D a b A a A b D D D =======∑∑∑∑∑111111()n n n nij sj s ij sj s s j s j a A b a A b D D ======∑∑∑∑1i i Db b D==. 这相当于把(1-8)式代入方程组(1-7)的每个方程使它们同时变成恒等式，因而(1-8)式确为方程组(1-7)的解.（2） 用D 中第j 列元素的代数余子式12,,,j j nj A A A 依次乘方程组(1-7)的n 个方程，再把它们相加，得111111()()()nnn nk kj kj kj j kn kj n k kj k k k k a A x a A x a A x b A ====++++=∑∑∑∑.于是有j Dx D = (1,2,,)j n =.当D ≠0时，得解一定满足(1-8)式. 综上所述方程组(1-7)有惟一解. 例13 解线性方程组12341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解215113062702121476D ---==--,1815193068152120476D ---==---,22851190610805121076D --==----,3218113962702521406D --==--,4215813092702151470D --==---.于是方程组有解12343,4,1,1x x x x ==-=-=.克莱姆法则亦可叙述为定理4 如果线性方程组(1-7)的系数行列式D ≠0，则方程 组(1-7)一定有解，且解是惟一的.它的逆否命题如下定理4′如果线性方程组(1-7)无解或有两个不同的解，则 它的系数行列式必为零(D =0).特别地，当方程组右边的常数项全部为零时，方程组(1-7)称为齐次线性方程组1111221211222211220,0,0.n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1-9）它总有解120,0,,0n x x x ===，称为齐次线性方程组(1-9)的零解.若一组不全为零的数，它是齐次线性方程组(1-9)的解，则称它为齐次线性方程组(1.9)的非零解.由定理4知定理5 如果齐次线性方程组(1-9)的系数行列式不等于零，则齐次线性方程组(1-9)没有非零解.推论 如果齐次线性方程组(1-9)有非零解，则齐次线性方程组(1-9)的系数行列式必为零.在第四章我们会进一步证明，如果齐次线性方程组(1-9)的系数行列式为零，则齐次线性方程组(1-9)有非零解.例14 问λ为何值时，齐次线性方程组1231213(5)220,2(6)0,2(4)0x x x x x x x λλλ-++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩（1-10）有非零解?解 方程组的系数行列式为522260(5)(2)(8)24D λλλλλλ-=-=----. 若方程组(1.10)有非零解，则它的系数行列式0D =,从而有λ=2,λ=5,λ=8,容易验证，当λ=2，λ=5或λ=8时，齐次线性方程组(1-10)有非零解.例15 求4个平面0(1,2,3,4)i i i i a x b y c z d i +++==相交于一点000(,,)x y z 的充分必要条件.解 我们把平面方程写成0i i i i a x b y c z d t +++=,其中1t =，于是4个平面交于一点，即,,,x y z t 的齐次线性方程组11112222333344440,0,0,0.a xb yc zd t a x b y c z d t a x b y c z d t a x b y c z d t +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 有惟一的一组非零解（000,,x y z ,1），根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于0，即4个平面相交于一点的充分必要条件为11112222333344440a b c d a b c d a b c d a b c d =.本章小结与补充行列式在教学中有着重要的作用，在本书的后续部分是一个有力的工具.为了引进n 阶行列式的定义，揭示行列式中各项符号的规律，我们介绍了全排列及逆序数的概念。

一、内容提要本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计算方法．此外还介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克莱姆法则．二、学习要求正确理解n阶行列式的定义；熟悉行列式的性质，会利用行列式的性质化简行列式；熟悉行列式按行（列）展开的方法；熟练掌握行列式的计算方法；掌握克莱姆法则．第一节 n阶行列式的定义一、二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组(1)用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22– a12a21≠0 时，有(2)这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成如果记则当D≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成(3)这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1用二阶行列式解线性方程组解：这时，因此，方程组的解是对于三元一次线性方程组(4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号(5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例2令当D≠0时，(4)的解可简单地表示成(6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3解线性方程组解：所以，例4已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)．解，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识。

第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。

特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n 阶行列式定义和性质1.二阶行列式定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211a a a a a a a a -=称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。

2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程例1：二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a且021122211≠-a a a a . 解：2112221122211211a a a a a a a a D -==，2122212221211b a a b a b a b D -==，2112112211112a b b a b a b a D -==得 .,2211DD x DD x ==例2：解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解1x D D 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=2.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 称为三阶行列式。