最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分在物理中的应用》自我检测

1．7.1 定积分在几何中的应用练习1．由曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)，x ∈[a ，b ]，x ＝a ，x ＝b (a ＜b )和x 轴围成的曲边梯形的面积S 等于( )A.()d baf x x ⎰B ．()d baf x x -⎰C.[()]d ba f x a x -⎰D ．[()]d baf x b x -⎰2．y ＝x 2＋1与两坐标轴及x ＝1所围成的图形的面积为( ) A ．13B ．43C ．53D ．23．求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1]4．由曲线y ＝x 和y ＝x 3所围成图形的面积可用定积分表示为( )A.1300d x x x +⎰⎰B.130d x x x -⎰⎰C.130d x x x -⎰⎰D ．以上都不正确5．(2010山东高考)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.7126．若d 1ax x =⎰，则实数a 的值是________．7．曲线y ＝x 2与x ＝y 2所围成的平面图形的面积为________．8．图中阴影部分的面积S ＝________.9．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.试求：切点A 的坐标以及切线方程．10．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．参考答案1. 答案：B 由定积分的几何意义，易知S ＝()d baf x x -⎰.2. 答案：B S ＝123100114(+1)d 1333x x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎰. 3. 答案：B 如图，作出y ＝e x ，x ＝2，y ＝1三个函数的图象，由三者围成的曲边梯形如图中阴影部分，若选择x 为积分变量，则积分区间应为[0,2]．故选B.4. 答案：C解方程组3,y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,x y =⎧⎨=⎩1,1,x y =⎧⎨=⎩而当0≤x ≤1x 3， ∴曲线yy ＝x 3所围成图形的面积可用定积分表示为13)d x x =⎰0x ⎰130d x x -⎰，故选C.5. 答案：A 作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积即为图中阴影部分的面积．解方程组23,,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝1233410011111()d 343412x x x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 6.2211d 22aax x x a ==⎰， ∴2112a =，即a 2＝2.又a ＞0，∴a7. 答案：13画出曲线y ＝x 2和y 2＝x ，则图中阴影部分的面积即为所求．解方程组22,y x y x⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点为O (0,0)，A (1,1)．∴S＝31231200021211d 33333x x x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰. 8. 答案：163 由图知S ＝322200816[(5)1]d 480333x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 9. 分析：先设出切点坐标，求出切线方程，再利用定积分求所围图形的面积，列式求出参数．解：由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 02)，则切线方程为y －x 02＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 02，可得切线与x 轴的交点坐标为0,02x ⎛⎫⎪⎝⎭.画出草图，得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 02与x 轴所围图形如图中阴影所示，故S ＝S 1＋S 2＝00000222200022d d (2)d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰＝00000333220200022111()331212x x x x x x x x x x x x +--==，解得x 0＝1，所以切点A 坐标为(1,1)，所求切线方程为y ＝2x －1.10．分析：所围图形的面积可用定积分表示，从而确定出要求的参数．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝2312100111()d 23236x x x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰.由2,,y kx y x x =⎧⎨=-⎩可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以120()d 2k Sx x kx x -=--⎰ ＝3213011(1)236kk x x k -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 又S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝112=-.所以k 的值为12-.。

课时提升卷(十三)定积分在物理中的应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.物体以速度v(t)=3t2-2t+3(m/s)做直线运动,它在时刻t=0(s)到t=3(s)这段时间内的位移是( )A.9 mB.18 mC.27 mD.36 m2.做直线运动物体的速度为v(t)=8-2t(m/s),则物体在前5s内经过的路程为( )A.15mB.16mC.17mD.19m3.(2013·青岛高二检测)一物体在力F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1运动到x=3处(单位:m),则力F(x)所做的功为( )A.8 JB.10 JC.12 JD.14 J4.已知弹簧原长为20cm,在弹性限度内,弹簧所受200N的拉力所做的功为10J,则此时弹簧的长度为( )A.25cmB.30cmC.35cmD.40cm5.(2013·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7―3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )A.1+25ln5B.8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2二、填空题(每小题8分,共24分)6.汽车从A处起以速度v(t)=v0-at(m/s)(其中v0,a均为正的常数)开始减速直线行驶,至B点停止,则A,B之间的距离s= m.7.以初速度40m/s竖直向上抛一物体,t时刻的速度为v=40-10t(单位:m/s),将物体的高度h表示为时间t的函数式是(记t=0时高度为0m).8.模拟火箭自静止开始竖直向上发射,设起动时即有最大加速度,以此时为起点,加速度满足a(t)=100-4t2,则火箭前3s内的位移等于.三、解答题(9～10题各14分,11题18分)9.已知物体从水平地面做竖直向上抛运动的速度-时间曲线如图,求物体:(1)距离水平地面的最大值.(2)从t=0(s)到t=6(s)的位移.(3)从t=0(s)到t=6(s)的路程.10.列车以72km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a=-0.4m/s2,问:(1)列车应在进站前多长时间开始制动?(2)列车应在距离车站多远处开始制动?11.(能力挑战题)已知A,B两地相距400m,甲、乙两物体都沿直线从A 运动到B,甲物体的速度为v=2t(m/s),乙物体的速度为v=(t+5)2(m/s),若甲比乙先出发5秒钟,问:从A到B的过程中,甲、乙两物体能否相遇?答案解析1.【解析】选C.s=v(t)dt=(3t2-2t+3)dt=(t3-t2+3t)=27(m).2.【解析】选C.物体在前5s内经过的路程为s=|8-2t|dt=(8-2t)dt-(8-2t)dt=(8t-t2)-(8t-t2)=17(m).【变式备选】做直线运动物体的速度为v(t)=8-2t(m/s),则物体在前5s内的位移为( )A.15mB.16mC.17mD.19m【解析】选 A.物体在前5s内的位移为s=(8-2t)dt=(8t-t2)=15(m).3.【解析】选D.由变力做功公式有:W=(4x-1)dx=(2x2-x)=14(J),故应选D.4.【解题指南】设出弹簧的伸长量表示变力的函数式,根据变力做功的公式建立方程计算,要注意单位换算.【解析】选B.设弹簧所受的拉力F(x)=kx,弹簧受200N拉力的伸长量为l(m),由题意,得200=k l,即k=,所以F(x)=x,依题意,得W=10J⇒xdx=10,所以x2=10,即100l=10,所以l =0.1(m)=10(cm),所以此时弹簧的长度为30cm.5.【解析】选C.令7―3t+=0,则t=4或t=-<0,舍去.dt==4+25ln5.6.【解析】汽车从A处起以速度v(t)=v0-at(m/s)开始减速直线行驶,至B点停止时,v(t)=0⇒v0-at=0⇒t=,则A,B之间的距离s=(v0-at)dt=(v0t-at2)=(m).答案:7.【解析】因为h(0)=0,所以h(t)-h(0)=(40-10t)dt=(40t-5t2)=40t-5t2,所以物体的高度h表示为时间t的函数式为h(t)=40t-5t2.答案:h(t)=40t-5t28.【解析】由题设知,t0=0,v(0)=0,s(0)=0,所以v(t)=(100-4t2)dt=100t-t3,那么s=v(t)dt=(100t-t3)dt=(50t2-t4)=423(m),所以火箭前3s内的位移为423m.答案:423m【误区警示】本题容易混淆运动物体的加速度与瞬时速度的关系,变速直线运动的速度问题的一般解法:做变速直线运动的物体所具有的速度v,等于其加速度函数a=a(t)在时间区间[a,b]上的定积分,即v=a(t)dt.9.【解题指南】(1)求速度为0时的时间区间上的位移.(2)求0～6s内速度函数的定积分.(3)求0～6s内速度函数的绝对值的定积分.【解析】(1)设速度-时间函数式为v(t)=v0+at,将点(0,40),(6,-20)的坐标分别代入,得v0=40,a=-10,所以v(t)=40-10t,令v(t)=0⇒40-10t=0⇒t=4,物体从0s运动到距离水平地面的最大值为s=(40-10t)dt=(40t-5t2)=80(m).(2)由上述可知,物体在0～6s内的位移为s=(40-10t)dt=(40t-5t2)=60(m).(3)由上述可知,物体在0～6s内的路程为s=|40-10t|dt=(40-10t)dt-(40-10t)dt=(40t-5t2)-(40t-5t2)=80+20=100(m).10.【解题指南】因列车停在车站时,速度为0,故应先求速度-时间函数的表达式,之后令v=0,求出t,再根据定积分计算出路程.【解析】(1)已知列车的速度v0=72km/h=20m/s,列车制动时获得的加速度a=-0.4m/s2.设列车由开始制动到经过t秒后的速度为v(t),则v(t)=20-0.4t.令v(t)=0,得t=50(s).(2)设列车由开始制动到停止时所走过的路程为s,则有s=v(t)dt=(20-0.4t)dt=(20t-0.2t2)=500(m).所以列车应在到站前50s,离车站500m处开始制动.11.【解题指南】如果从A到B的过程中两物体能相遇,那么甲、乙相遇时所走的路程应不超过400m,否则,甲、乙相遇时已在A到B过程之外.【解析】设甲出发x秒后两物体相遇,则相遇时甲运动的路程为s 甲=2tdt=x2,乙运动的路程为s乙=(t+5)2dt=(t+5)3=x3-,由s甲=s乙,得x2=x3-,整理,得x3-18x2-125=0,令f(x)=x3-18x2-125,则f(10)<0,f(20)>0,由零点存在定理,可知该方程在(10,20)内必有根,并设该根为x0,显然s 乙=s甲=<202=400(m).所以甲、乙能够在从A到B的过程中相遇.。

人教版高中数学精品资料1.7.2 定积分在物理中的应用课时演练·促提升A组1.物体以速度v(t)=2-t做直线运动,则它在t=1到t=3这段时间的路程为()A.0B.1C.D.解析:当t∈[1,2]时v(t)≥0,t∈[2,3]时v(t)≤0,故路程为|2-t|d t=(2-t)d t+(t-2)d t=1.答案:B2.做直线运动的质点在任意位置x处,所受力F(x)=1+e x,则质点沿着与F(x)相同的方向,从点x1=0处运动到点x2=1处,力F(x)所做的功是()A.1+eB.eC. D.e-1解析:W=(1+e x)d x=(x+e x)=e.答案:B3.以40 m/s的初速度竖直向上抛一物体,t s时的速度v=40-10t2(m/s),则此物体达到最高时的高度为()A. mB. mC. mD. m解析:由v=40-10t2=0得t2=4,∴t=2.∴h=(40-10t2)d t==80-(m).故选A.答案:A4.一物体在力F(x)=15-3x2(力的单位:N,位移的单位:m)作用下沿与力F(x)成30°角的方向由x=1 m直线运动到x=2 m处,作用力F(x)所做的功W为()A. JB.2 JC.4 JD. J解析:W=F(x)cos 30°d x=(15-3x2)d x=(15x-x3)[(30-8)-(15-1)]=4(J).答案:C5.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25lnC.4+25ln 5D.4+50ln 2解析:由v(t)=0得7-3t+=0,又t>0,所以t=4,所求距离s=v(t)d t=d t==7×4-×42+25ln 5=4+25ln 5.故选C.答案:C6.质点运动的速度是(18t-3t2)m/s,质点在[0,8]时间段内所通过的路程为m,位移为m.解析:v=18t-3t2>0时0<t<6,即在[0,8]内[6,8]时间段内v≤0.故路程s=(18t-3t2)d t-(18t-3t2)d t=(9t2-t3)-(9t2-t3)=108-(-44)=152(m),位移s'=(18t-3t2)d t=(9t2-t3)=64(m).答案:152647.已知作用于某一质点的力F(x)=(单位:N),力F从x=0处运动到x=2处(单位:m)所做的功是.解析:力F所做的功W=x d x+(x+1)d x=x2=3(J).答案:3 J8.物体A以速度v A=3t2+1(米/秒)在一直线上运动,同时物体B以速度v B=10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动,问多长时间物体A比B多运动5米?此时,物体A,B运动的路程各是多少? 解:依题意知,物体A,B分别做变速直线运动和匀速直线运动.A从开始到t秒后所走的路程为s A=v A d t=(3t2+1)d t=t3+t;B从开始到t秒后所走的路程为s B=v B d t=10t d t=5t2.由题意得s A=s B+5,即t3+t=5t2+5,得t=5(秒).此时,s A=53+5=130(米),s B=5×52=125(米).答:5秒后物体A比B多运动5米,此时,物体A,B运动的路程分别是130米和125米.9.物体按规律x=4t2(m)做直线运动,设介质的阻力与速度的大小成正比,且速度的大小为10 m/s时,阻力为2 N,求物体从x=0到x=4,阻力所做的功的大小.解:∵v=x't=8t=4(m/s),F(x)=kv=4k(N),当v=10时,F(x)=2,∴k=.∴F(x)=.故阻力所做的功为W=d x=(J).B组1.一物体从A处向B处运动,速度为1.4t m/s(t为运动的时间),到B处时的速度为35 m/s,则AB间的距离为()A.120 mB.437.5 mC.360 mD.480 m解析:从A处到B处所用时间为25 s.所以|AB|=1.4t d t=0.7t2=437.5(m).答案:B2.如图,弹簧一端固定,另一端与一质点相连.弹簧劲度系数为k,则质点由x0运动至x1时弹簧弹性力所做的功为()A. B.C. D.解析:∵弹簧弹性力F(x)=-kx,∴W=F(x)d x=(-kx)d x=-.答案:A3.有一质量非均匀分布的细棒,已知其线密度为ρ(x)=x2(取细棒所在的直线为x轴,细棒的一端为原点),棒长为l,则细棒的质量m=.解析:m=ρ(x)d x=x2d x=x3l3.答案:l34.把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处,形成一个电场,已知在该电场中,距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式F=k(其中k为常数)确定.在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着r轴的方向从r=a处移动到r=b(a<b)处,则电场力对它所做的功为.解析:W=d r=-k=k-k.答案:k5.A,B两站相距7.2 km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t s后到达途中C点,这一段的速度为1.2t m/s,到C点的速度为24 m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经t s后,速度为(24-1.2t) m/s,在B站恰好停车,试求:(1)A,C间的距离;(2)B,D间的距离.解:(1)设A到C的时间为t1 s,则1.2t=24,解得t1=20,则AC=1.2t d t=0.6t2=240(m).即A,C间的距离为240 m.(2)设D到B的时间为t2 s,则24-1.2t2=0,解得t2=20,则DB=(24-1.2t)d t=(24t-0.6t2)=240(m).即B,D间的距离为240 m.6.如图,在某一温度下,直径为0.2 m,高为0.8 m上端为活塞的圆柱体内某气体的压强p(N/m2)与体积V(m3)的函数关系式为p=,而正压力F(N)与压强p(N/m2)的函数关系为F=pS,其中S(m2)为受力面积.设温度保持不变,要使气体的体积缩小为原来的一半,求活塞克服气体压力做多少功?解:设活塞运动的距离为x m,则活塞受到的压强为:p=,从而活塞受到的压力为:F=pS=×0.01π=,活塞克服气体压力所做的功为:W=d x=[-80ln(0.8-x)]=80ln 2.故活塞克服气体压力做功为80 ln 2 J.。

第一章1．7.2定积分在物理中的应用提能达标过关一、选择题1．物体以速度v(t)＝3t2－2t＋3(m/s)做直线运动，它在时刻t＝0(s)到t＝3(s)这段时间内的位移是()A．9 m B．18 mC．27 m D．36 m解析：s＝(3t2－2t＋3)d t＝(t3－t2＋3t)＝33－32＋3×3＝27.答案：C2．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A．8 J B．10 JC．12 J D．14 J解析：由变力做功公式有W＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝(2×32－3)－(2×12－1)＝15－1＝14(J)．答案：D3．(2019·保定高三模拟)以初速度40 m/s向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A.1603m B.803mC.403m D.203m解析：令v＝40－10t2＝0，得物体到达最高时t＝2，此时高度h＝⎠⎛2(40－10t2)d t答案：A4．(2019·无锡江阴高二期末)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为()A. 3 JB.233JC.433J D．2 3 J5．若做变速运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则实数a 的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：答案：C二、填空题6．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为________．解析：答案：3 2g7．做变速直线运动的物体的速度v(t)＝4－t2，初始位置s(0)＝1，则3秒时所处的位置为________．解析：依题意得s (3)－s (0)＝⎠⎛03(4－t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t －t 33＝12－9＝3.又∵s (0)＝1，∴s (3)＝4.答案：48．物体按规律x ＝4t 2 m 做直线运动，设介质的阻力与速度的大小成正比，且速度的大小为10 m/s 时，阻力为2 N ，则物体从x ＝0到x ＝4，阻力所做的功的大小为______．解析：v ＝(4t 2)′＝8t ＝4x (m/s)，F (x )＝kv ＝4k x (N)，当v ＝10时，F (x )＝2，∴k ＝15.∴F (x )＝45x (W)．阻力所做的功为答案：6415 J三、解答题9．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1 min 内行驶的路程．解：由已知曲线可得函数关系式：v (t )＝⎩⎨⎧ 3t (0≤t ≤10)，30(10＜t ≤40)，－1.5t ＋90(40＜t ≤60).即汽车在这1 min 行驶的路程为1 350 m.10．一物体在力F (x )(单位：N)的作用下，沿与力F 相同的方向运动，力的位移曲线如图所示，求该物体从x ＝0运动到x ＝4(单位：m)处力F (x )做的功． 解：由图象可知F (x )＝⎩⎨⎧10，0≤x ≤2，3x ＋4，2<x ≤4，∴该物体从x ＝0运动到x ＝4处，力F (x )做的功为＝20＋26＝46(J)．由Ruize收集整理。

1.7.2 定积分在物理中的应用明目标、知重点1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．变速直 线运动 做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间a ，b ]上的定积分，即ʃba v (t )d t .变力 做功 如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为ʃba F (x )d x .探究点一 变速直线运动的路程思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？答 不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念：(1)当v (t )≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21t t ⎰v (t )d t 求解；(2)当v (t )<0时，求某一时间段内的位移用21t t ⎰v (t )d t 求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21t t ⎰v (t )d t .例1 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解 由速度－时间曲线可知：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ， 0≤t ≤10，30， 10≤t ≤40，－1.5t ＋90， 40≤t ≤60.因此汽车在这1 min 行驶的路程是：s ＝ʃ1003t d t ＋ʃ401030d t ＋ʃ6040(－1.5t ＋90)d t＝32t 2|100＋30t |4010＋(－34t 2＋90t )|6040 ＝1 350 (m)．答 汽车在这1 min 行驶的路程是1 350 m.反思与感悟 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v (t )＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在时刻t ＝4时，该点的位置； (2)在时刻t ＝4时，该点运动的路程． 解 (1)由ʃ4(t 2－4t ＋3)d t ＝(t 33－2t 2＋3t )|4＝43知， 在时刻t ＝4时，该质点离出发点43m.(2)由v (t )＝t 2－4t ＋3>0， 得t ∈(0,1)∪(3,4)．这说明t ∈(1,3)时质点运动方向与t ∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反． 故s ＝ʃ40|t 2－4t ＋3|d t＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ31(4t －t 2－3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝4. 即在时刻t ＝4时，该质点运动的路程为4 m. 探究点二 变力做功问题思考 恒力F 沿与F 相同的方向移动了s ，力F 做的功为W ＝Fs ，那么变力做功问题怎样解决呢？答 与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F (x )作用下运动，沿与F 相同的方向从x ＝a 到x ＝b (a <b )，可以利用定积分得到W ＝ʃba F (x )d x .例2 如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B 、C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，CD ＝30 m ，变力F ＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋5 (0≤x ≤90)20 (90<x ≤120)(单位：N)，在AB 段运动时F 与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°角，在CD 段运动时F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1 J)解 在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1＝F cos 30°，在BC 段运动时F 在运动方向上的分力F 2＝F cos 45°. 由变力做功公式得：W ＝ʃ500⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 30°d x ＋ʃ9050⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 45°d x ＋600＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x |500＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x |9050＋600 ＝1 12543＋4502＋600≈1 723 (J). 所以物体由A 运动到D 变力F 所做的功为1 723 J. 反思与感悟 解决变力做功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪训练2 设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．解 设x 表示弹簧伸长的厘米，F (x )表示加在弹簧上的力， 设F (x )＝kx ，依题意得x ＝5时F (x )＝100， ∴k ＝20， ∴F (x )＝20x .∴弹簧由25 cm 伸长到40 cm 即x ＝0到x ＝15所做的功W ＝ʃ15020x d x ＝10x 2|150＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．答 使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功为22.5 J.1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.52g B.72g C.32g D ．2g答案 C解析 h ＝ʃ21gt d t ＝12gt 2|21＝32g .2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( ) A ．405 B ．540 C ．810 D ．945答案 A解析 停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0， 得t ＝30，∴s ＝ʃ300v (t )d t ＝ʃ300(27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2)|300＝405.3．一个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm ，求弹簧克服弹力所做的功．解 设F (x )＝kx ，因为弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力， ∴k ＝4.∴弹簧克服弹力所做的功为W ＝4ʃ50x d x ＝4×(12x 2)|50＝50(N·cm)＝0.5(J)．呈重点、现规律]1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F (x )单位：N ，x 单位：m.一、基础过关1．一物体沿直线以v ＝2t ＋1 (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s 间行进的路程为( ) A ．1 m B ．2 m C ．3 m D ．4 m答案 D解析 s ＝ʃ21(2t ＋1)d t ＝(t 2＋t )|21＝4(m)．2．一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为( ) A ．120 m B ．437.5 m C ．360 m D ．480 m答案 B解析 从A 处到B 处所用时间为25 s. 所以|AB |＝ʃ2501.4t d t ＝0.7t 2|250＝437.5 (m)．3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603m B.803 m C.403 m D.203m 答案 A解析 v ＝0时物体达到最高， 此时40－10t 2＝0，则t ＝2 s. 又∵v 0＝40 m/s ，∴t 0＝0 s. ∴h ＝ʃ20(40－10t 2)d t ＝(40t －103t 3)|20 ＝1603(m)． 4．如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( ) A ．0.5 J B ．1 J C ．50 J D ．100 J答案 A解析 由于弹簧所受的拉力F (x )与伸长量x 成正比，依题意，得F (x )＝x ，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为W ＝ʃ100F (x )d x ＝ʃ100x d x ＝12x 2|100＝50 (N ·cm)＝0.5 (J)．5．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与F (x )相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( ) A ．44 J B ．46 J C ．48 J D ．50 J答案 B解析 W ＝ʃ40F (x )d x ＝ʃ2010d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x ＝10x |20＋(32x 2＋4x )|42＝46(J)．6．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( ) A ．1＋e B ．e C.1e D ．e －1答案 B解析 W ＝ʃ10F (x )d x ＝ʃ10(1＋e x )d x ＝(x ＋e x )|10 ＝(1＋e)－1＝e. 二、能力提升7．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________． 答案 0.36 J解析 弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F ＝kx ，求得k ＝50，∴F (x )＝50x . ∴W ＝ʃ0.12050x d x ＝25x 2|0.12＝0.36 (J)． 8．汽车以每小时32 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－1.8 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________．(保留小数点后两位) 答案 21.95 m解析 t ＝0时，v 0＝32 km/h ＝32×1 0003 600m/s ＝809 m/s.刹车后减速行驶，v (t )＝v 0＋at ＝809－1.8 t ．停止时，v (t )＝0，则809－1.8 t ＝0，得t ＝40081 s ，所以汽车所走的路程s ＝40080⎰v (t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫809t －12t 2×1.8|40080≈21.95(m)．9．把一个带＋q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式F ＝k qr2(其中k 为常数)确定．在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从r ＝a 处移动到r ＝b (a <b )处，则电场力对它所作的功为________． 答案 k q a －k q b解析 W ＝ʃba k q r 2d r ＝－k q r|ba ＝k q a －k q b.10.如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，则克服弹簧力所做的功为________．答案 12kl 2J解析 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F (x )＝kx ，其中k 为比例系数．由变力做功公式得W ＝ʃl 0kx d x ＝12kx 2|l 0＝12kl 2(J)．11．一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，其中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功．解 物体的速度v ＝x ′(t )＝(bt 3)′＝3bt 2，媒质的阻力F 阻＝kv 2＝k ·(3bt 2)2＝9kb 2t 4(其中k 为比例常数，k >0)．当x ＝0时，t ＝0；当x ＝a 时，t ＝(a b )13.所以阻力所做的功为W 阻＝ʃa0F 阻d x ＝13()0a b ⎰kv 2·v d t＝13()0ab ⎰9kb 2t 4·3bt 2d t ＝13()0a b ⎰27kb 3t 6d t＝277kb 3t 7|13()0a b ＝277k 23b ·73a . 故物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功为277k 23b ·73a .12．物体A 以速度v A ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v B ＝10t (米/秒)在同一直线上与物体A 同方向运动，问多长时间物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离各是多少？解 依题意知物体A ，B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解． 设a 秒后物体A 比B 多运动5米，则A 从开始到a 秒末所走的路程为s A ＝ʃa 0v A d t ＝ʃa 0(3t 2＋1)d t ＝a 3＋a ；B 从开始到a 秒末所走的路程为s B ＝ʃa 0v B d t ＝ʃa 010t d t ＝5a 2.由题意得s A ＝s B ＋5，即a 3＋a ＝5a 2＋5，得a ＝5.此时s A ＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米)．故5秒后物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离分别是130米和125米． 三、探究与拓展13．有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值． 解 (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点的路程s 1＝ʃ40(8t －2t 2)d t －ʃ64(8t －2t 2)d t＝(4t 2－23t 3)|40－(4t 2－23t 3)|64＝1283.当t ＝6时，点P 的位移为ʃ60(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|60＝0.(2)依题意知ʃt0(8t －2t 2)d t ＝0， 即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．所以，t ＝6.。

第一章导数及其应用定积分的简单应用定积分在物理中的应用级基础巩固一、选择题．一物体在力()＝－(单位：)的作用下，沿着与力相同的方向，从＝处运动到＝处(单位：)，则力所做的功是( )．．．．解析：＝(－)＝(－)＝()．答案：．以初速竖直向上抛一物体，时刻的速度＝－，则此物体达到最高时的高度为( )解析：由＝－＝得＝，＝.所以＝(－)＝＝－＝()．答案：．一物体沿直线以＝的速度运动，该物体运动开始后内所经过的路程是( )(－)()(－)()(－)()(－)()解析：＝＝(＋)＝(－)()．答案：．质点做直线运动，其速度()＝－＋(单位：)，则它在第秒内所走的路程为( )()()()() 解析：由于()＝－＋≥，因此它在第秒内所走的路程为＝()＝(－＋)＝＝()．答案：．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()＝－＋(的单位：，的单位：)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：)是( )．＋．＋．＋．＋解析：令－＋＝，解得＝－(舍去)或＝.则＝（＋）))＝＋ .答案：二、填空题．将一弹簧压缩厘米，需要牛顿的力，将它从自然长度压缩厘米，做的功为．解析：设力()＝，由题意：＝·，所以＝，所以()＝ .所以＝＝＝()．答案：．已知质点的速度＝，则从＝到＝质点的平均速度为．解析：由＝＝＝(－)，得平均速度为＝＝(＋)．答案：(＋)．有一动点沿轴运动，在时间时的速度为()＝－(速度的正方向与轴正方向一致)．则点从原点出发，当＝时，点离开原点的路程和位移分别是，．解析：由()＝－≥，得≤≤，即当≤≤时，点向轴正方向运动，当＞时，点向轴负方向运动．故＝时，点离开原点的路程为＝(－)－(－)＝－＝.当＝时，点的位移为＝(－)＝＝.答案：三、解答题．在底面积为的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为)从点处推到处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．解：力对物体所做的功为＝·，由物理学知识易得压强与体积的乘积是常数，即＝，又因为＝·(指活塞与底的距离)，所以＝＝.所以作用在活塞上的力＝·＝·＝.所以气体压力所做的功为＝＝＝ .．一物体做变速直线运动，其－曲线如图所示，求该物体在＝到＝之间的运动路程．解：由题意，得()＝所以该物体在＝到＝之间的运动路程为＝()＝＋＋＝。

定积分在物理中的应用（时间：25分,满分50分)班级姓名得分1。

一物体在力F（x)＝错误!（单位：N）的作用下沿与F(x)相同的方向，从x＝0处运动到x＝4（单位：m）处,则力F(x）做的功为( )A．44 J B．46 JC．48 J D．50 J【答案】B2．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋e x，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F（x）所做的功是( ）A．1＋e B．eC.错误!D．e－1【答案】B【解析】W＝ʃ错误!F（x）d x＝ʃ错误!（1＋e x)d x＝（x＋e x）｜错误!＝（1＋e）－1＝e。

3.以初速40 m/s竖直向上抛一物体,t s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为（）．A.错误! m B。

错误! m C.错误! m D.错误! m【答案】A【解析】由v＝40－10t2＝0⇒t2＝4，t＝2.∴h＝⎰20（40－10t2)d t＝错误!错误!＝80－错误!＝错误!(m)．4．一物体在力F(x）＝3x2－2x＋5(力单位：N,位移单位：m）作用力下，沿与力F(x）相同的方向由x＝5 m直线运动到x＝10 m处做的功是( )．A．925 J B．850 J C．825 J D．800 J【答案】C【解析】W＝⎰105F(x）d x＝⎰105 (3x2－2x＋5）d x＝（x3－x2＋5x)错误!＝（1 000－100＋50）－(125－25＋25)＝825(J)．5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车,以速度v (t )＝7－3t ＋251t+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m ）是 （ )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 【答案】C6．变速直线运动的物体的速度v (t )＝5－t 2，前2 s 所走过的路程为________．A 。

高中数学人教a 版高二高二选修2-2学业测评：1.7.1、2_定积分在几何中的应用_定积分在物理中的应用 含解析学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用S 表示图1-7-4中阴影部分的面积，则S 的值是( )图1-7-4A.⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛a c f (x )d x C.⎠⎛ab f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD.⎠⎛bc f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x【解析】 在区间[a ，b ]上图形在x 轴下方，积分为负值， ∴S ＝⎠⎛bc f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x .故选D.【答案】 D2．如图1-7-5，阴影部分的面积是( )图1-7-5A ．23B ．2－ 3 C.323D.353【解析】 S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1-3＝323.【答案】 C3．一物体以速度v ＝3t 2＋2t (单位：m/s)做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )A ．31 mB ．36 mC ．38 mD ．40 m【解析】 S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)|30＝33＋32＝36(m)．【答案】 B4．如果某飞行物以初速度v 0＝10 m/s ，加速度a (t )＝10t m/s 2做直线运动，则飞行物在t ＝3 s 时的瞬时速度为( )A ．40 m/sB ．45 m/sC ．50 m/sD ．55 m/s【解析】 飞行物在t ＝3 s 时的瞬时速度为 v ＝v 0＋⎠⎛03a (t )d t ＝10＋⎠⎛0310t d t＝10＋5t 2⎪⎪⎪3＝55 m/s.【答案】 D5．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成的图形的面积等于( ) A. ⎠⎛-11(x －x 3)d xB. ⎠⎛-11(x 3－x )d xC ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛-10(x －x 3)d x【解析】 由题意知，由y ＝x 3及y ＝x 所围成的图形如图所示． 显然S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .【答案】 C 二、填空题6．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2，得其交点坐标为(4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x ⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163.【答案】 1637．一物体沿直线以v ＝1＋t (单位：m/s)的速度运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是________________.【解析】 s ＝⎠⎛0101＋t d t ＝23(1＋t )32 ⎪⎪⎪100＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1132－1.【答案】 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1132－18．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时(在弹性限度内)，克服弹力所作的功为________．【解析】 由题意可知1＝k ×0.02，∴k ＝50，故在弹簧伸长12 cm 时所做的功为⎠⎛00.12∫0.12050l d l ＝25l 2⎪⎪⎪0.120＝0.36(J)．【答案】 0.36 J 三、解答题9．求曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如图1-7-6阴影部分)的面积的最小值．图1-7-6【解】 由定积分与微积分基本定理，得 S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪ t0＋⎝⎛ ⎭⎪⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t ＝t 3－13t 3＋13－t 2－13t 3＋t 3＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0,1)， 所以S ′＝4t 2－2t ，所以t ＝12或t ＝0(舍去)．当t 变化时，S ′，S 变化情况如下表：所以当t ＝12时，S 最小，且S min ＝4.10.如图1-7-7，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．图1-7-7【解】 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪10＝12－13＝16.由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝x －x 2，可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx )d x＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33⎪⎪⎪1-k0＝16(1－k )3. 又S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342，所以k 的值为1－342.[能力提升]1．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D.1623【解析】 ∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 312⎪⎪⎪20＝4－43＝83.【答案】 C2．已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝axB ．y ＝±axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax【解析】 显然，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax ，得 交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2)， 所以图形面积S ＝⎠⎛02a +k [kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33⎪⎪⎪2a +k＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )36.又因为S ＝92a 3，所以(2a ＋k )36＝92a 3，解得k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax .故选A. 【答案】 A3．物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度与A 同向运动，则两物体相遇时物体A 运动的距离为( )A ．110 mB ．120 mC ．130 mD ．140 m【解析】 依题意，设自开始运动到两物体相遇所用时间为x s ，则有⎠⎛0x (3t 2＋1)d t ＝5＋⎠⎛0x 10t d t ，即x 3＋x ＝5＋5x 2，(x －5)(x 2＋1)＝0，因此x ＝5.两物体相遇时物体A 运动的距离等于x 3＋x ＝53＋5＝130 m.【答案】 C4．已知曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C 围成的图形的面积.【解】 设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，由于y ′＝6x 2－6x －2， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧6x 20－6x 0－2＝y 0x 0－12，y 0＝2x 30－3x 20－2x 0＋1，解得x 0＝0，于是切线l 的斜率k ＝－2， 方程为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋1.解方程组{ y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1， y ＝－2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1.故切线l 与曲线C 围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛32|2x 3－3x 2－2x ＋1－(－2x ＋1)|d x ＝⎠⎜⎛032|2x 3－3x 2|d x＝＝2732，即所求面积为2732.。

自我检测基础达标1.如右图，阴影部分的面积为（ ） A.⎰b adx x f )( B.⎰b a dx x g )( C.⎰-b a dx x g x f )]()([ D.⎰-b a dx x f x g )]()([答案：C 2.由曲线y =)(x f ［)(x f ≤0］,x ∈［a ,b ］,x =a ,x =b （a <b ）和x 轴围成的曲边梯形的面积S 等于（ ）A.⎰b a dx x f )( B. ⎰-b a dx x f )( C.⎰-b a dx a x f ])([ D.⎰-b a dx b x f ])([答案：B 3.⎰--102)1(1dx x 等于（ ）A.4πB.2π C.π D.2π答案：A4.抛物线y =x 2-x 与x 轴围成的图形面积为 （ ）A.81 B.1 C.61 D.21解析：S =⎰-102)(dx x x =-(23x 21x 31-)|10=-(2131-)=61. 答案：C5.右图阴影部分的面积为（ ） A.23B.9-23C.332 D. 335解析：所求面积S =⎰---132)23(dx x x =(3x -31x 3-x 2)|33213=-.答案：C 6.曲线y =cos x (0≤x ≤23π)与两坐标轴所围图形的面积为（ ） A.4B.2C.25D.3 解析：S =⎰⎰=-202323cos cos πππxdx xdx .答案：D更上一层1.如右图，阴影部分面积为（ ）A.⎰b a dx x f )( B.⎰b a dx x g )( C.⎰-b a dx x g x f )]()([ D.⎰+b a dx x g x f )]()([ 答案：C2.如右图，阴影部分面积为 （ ）A.⎰-b a dx x g x f )]()([ B.⎰⎰-+-c a c a dx x g x f dx x f x g )]()([)]()([C.⎰⎰-+-c a b c dx x f x g dx x g x f )]()([)]()([D.⎰-b a dx x f x g )]()([答案：B 3.由抛物线y =x 2-x ,直线x =-1及x 轴围成的图形面积为（ ）A.32B.1C.34D.35 答案：B4.如右图，阴影部分面积为（ ）A.335 B.329 C.332 D.23解析：所求面积S =332)3()32(3131322=-+=-+--⎰x x x dx x x .答案：C 5.曲线y =x 2+2x 与直线x =-1,x =1及x 轴所围图形的面积为（ ）A.2B.38C.34 D.32 答案：A6.曲线y =x 1与直线y =x ,x =2所围成的图形的面积为 .解析：S =21×2×2-21×1×1-∫21x 1d x =23-ln2. 答案：23-ln2 7.抛物线y =-x 2+4x -3及其在点A (1,0)和点B （3，0）处的切线所围图形的面积为 . 解析：由y ′=-2x +4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和-2，则两直线方程分别为y =2x -2和y =-2x +6.由⎩⎨⎧+-=-=6x 2y ,2x 2y 得C(2,2).∴S =S △AB C -⎰-+-312)34(dx x x =21×2×2-(-31x 3+2x 2-3x )31=2-34 =32. 答案：328.求抛物线y 2=x 与直线x -2y -3=0所围成的图形的面积.解析：如图，由⎩⎨⎧=--=,03y 2x x,y 2得A (1,-1) ,B (9,3). 选择x 为积分变量，则所求面积为S =dx x x dx x x ⎰⎰--+--1091)]3(21[)]([ =⎰⎰⎰--+109191)3(212dx x dx x dx x =332x)23-4x (x 32x 4391291231023=-+. 9.求曲线y =x ,x +y =2,y =-31x 围成的平面图形的面积. 解析：由⎩⎨⎧=+=,2y x ,x y 得A (1,1). ⎪⎩⎪⎨⎧-==+x,31y ,2y x 得B (3,-1). ∴S =⎰⎰=---+--1031613)]31()2[()]31([dx x dx x x .10.过原点的直线l 与抛物线：y =x 2-2ax (a >0)所围成的图形面积为29a 3,求直线l 的方程.解析：设l 的方程为y =k x ,则与y =x 2-2ax 联立可得x =0或x =2a +k.(1)若2a +k≥0,则S =⎰++-k a dx ax x kx 202)2(=33a 2962a)(k =+,∴k=a .∴l 方程为y =ax .(2)若2a +k<0, 则S =⎰+-+022])2[(k a dx x x a k=-2962a)(k 3=+a 3,∴k=-5a .∴l 方程为y =-5ax . 综上(1)(2)知，直线l 为y =ax 或y =-5ax .。

2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.2 定积分在物理中的应用高效测评 新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为( )A ．120 mB ．437.5 mC ．360 mD ．480 m解析： 从A 处到B 处所用时间为25(s)．所以AB ＝∫2501.4t d t ＝0.7t 2| 250＝437.5(m)．答案： B2．一物体沿直线以速度v (t )＝2t －3(t 的单位为：s ，v 的单位为：m/s)做变速直线运动，该物体从时刻t ＝0至时刻t ＝5运动的路程是( )A ．292 mB ．15 mC ．10 mD ．294m解析： ∵当0≤t ≤32时，v (t )＝2t －3≤0；当32≤t ≤5时，v (t )＝2t －3≥0， ∴物体从t ＝0至t ＝5间运动的路程＝94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋94＝292(m)．答案： A3．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 3x ＋4 x(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向从x ＝0运动到x ＝4(单位：m)，则力F (x )做的功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x | 42＝46(J)． 答案： B4．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A ．1603 mB ．803 mC ．403mD ．203m解析： 由v ＝40－10t 2＝0，得到物体达到最高时t ＝2，高度h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝1603(m)．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2014·广东东莞模拟)一物体以v ＝9.8t ＋6.5(m/s)的速度自由下落，则下落后第二个4 s 内经过的路程是________．解析： ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t )| 84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26 ＝261.2(m)． 答案： 261.2 m6．某一物体在某种介质中作直线运动，已知t 时刻，它的速度为v ，位移为s ，且它在该介质中所受到的阻力F 与速度v 的平方成正比，比例系数为k ，若已知s ＝12t 2，则该物体由位移s ＝0移动到位移s ＝a 时克服阻力所作的功为______________．(注：变力F 做功W ＝⎠⎛s 2s 2F (s )ds ，结果用k ，a 表示．解： ∵在该介质中所受到的阻力F 与速度v 的平方成正比，比例系数为k ， ∴F ＝kv 2，∵t 时刻，它的速度为v ，位移为s ， ∴s ＝12t 2，s ′(t )＝t ，即v ＝s ′(t )＝t ，∴s ＝12t 2＝12v 2，即v 2＝2s ， 即F ＝kv 2＝2ks ，则由W ＝⎠⎛s 1s 2F(s)ds 得W ＝⎠⎛0a2ksds ＝ks 2 |a 0＝ka 2，故答案为：ka 2. 答案： ka 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，求该物体在12 s ～6 s 间的运动路程．解析： 由图可得v (t )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2t t ，t，13t ＋t，由变速直线运动的路程公式，可得：所以该物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494m.8．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向做直线运动，求由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功．解析： W ＝⎠⎛21F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛2132(5－x 2)d x＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3| 21＝433(J)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)汽车以每小时32千米的速度行驶，到某处需要减速停车．设汽车以减速度a ＝1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解析： 首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间．当t ＝0时，汽车速度v 0＝32千米/小时＝32×1 0003 600米/秒≈8.89米/秒，刹车后汽车减速行驶，其速度为v (t )＝v 0－at ＝8.89－1.8t ，当汽车停住时，速度v (t )＝0，故从v (t )＝8.89－1.8t ＝0解得t ＝8.891.8≈4.94秒 于是在这段时间内，汽车所走过的距离是s ＝∫4.940 v (t )d t ＝∫4.940(8.89－1.8t )d t＝⎝⎛⎭⎪⎫8.89t －1.8×12t 2| 4.940≈21.95米， 即在刹车后，汽车需走过21.95米才能停住．。