傅里叶积分变换复习过程

积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念 Fourier 积分定理定理若f (t )在(-∞, +∞)上满足条件:(0)(0)(),.2f t f t f t t ++-而左端的在它的间断点处应以来代替j j 1()()d d (1.4)2t f t f e e ωτωττωπ+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰(,)|()|d f t t +∞-∞-∞+∞⎰在绝对可积是指的收敛注意: 定理的条件是充分的.1, f (t )在任一有限区间上满足Dirichlet 条件; 2, f (t )在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积, 则有● Fourier 正弦积分公式●● ●()f t 当是偶函数时,●1||1(),()Fourier.0||1tf t f tt≤⎧=⎨>⎩例1. 设求的积分表达式()f t因为为偶函数,根据Fourier余弦积分公式有002()()cos d cos df t f tτωττωωπ+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰1002cos d cos d tωττωωπ+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰2sincos d, (1)t tωωωπω+∞=≠±⎰1 ,t=±为函数的间断点1t=±故当时,(1+0)+(10)1().22f ff t±±-=应以代替解:函数的图形为●综上所述, 可得(),1,2sin cosd1, 1.2f t tttωωωπω+∞≠±⎧⎪=⎨=±⎪⎩⎰, ||1,2sin cos, ||1,d40, || 1.ttttππωωωω+∞⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪⎪>⎩⎰即注:Fourier积分表达式可以推证一些广义积分的结果.如:0t=当时Dirichlet积分.●我们知道, 若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件, 则在f(t)的连续点处, 有j j1()()e d e d2tf t fωτωττωπ+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰可以看出f(t) 与F(ω) 可相互转换,分别记为F(ω)=F [f(t)]和f(t)=F -1[F(ω)]1.Fourier变换的概念(1.10)则(1.9)式叫做f(t) 的Fourier变换式,(1.10)式为F(ω) 的Fourier逆变换式,●(),f t当为奇函数时002()()sin d sin df t f tτωττωωπ+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰由f(t)的Fourier正弦积分公式可得,()()sin dsF f t t tωω+∞=⎰f(t)的Fourier正弦变换F(ω)的Fourier正弦逆变换(),f t当为偶函数时由f(t)的Fourier余弦积分公式002()()cos d cos df t f tτωττωωπ+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰可得,()()cos dcF f t t tωω+∞=⎰f(t)的Fourier余弦变换F(ω)的Fourier余弦逆变换()[()]s sF f tω=F1()[()]ssf t Fω-=F()[()]c cF f tω=F1()[()]c cf t Fω-=F●同样, Fourier 逆变换亦具有类似的线性性质, 即F -1[a F 1(ω)+b F 2(ω)]=a f 1(t )+b f 2(t )1.线性性质11221212()[()],()[()],,[()()][()][()].F f t F f t f t f t f t f t ωωa b a b a b ==+=+设是常数,则 F F F F F●2. 位移性质0[()][()]j t f t t ef t ω±±=F F 00()Fourier ()Fourier eej t j t f t t t f t ωω-沿轴向左或向右位移的变换等于的变换乘以因子或.●F [ f '(t )]=j ωF [ f (t )].3. 微分性质如果f (t )在(-∞, +∞)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t |→+∞时, f (t )→0, 则一个函数的导数的Fourier 变换等于这个函数的Fourier 变换乘以因子j ω.⎰+∞∞--τττd )()(21t f f 称为函数f 1(t )与f 2(t )的卷积, 记为f 1(t )*f 2(t )1212()()()()d f t f t f f t τττ+∞-∞*=-⎰即 若已知函数f 1(t ), f 2(t ), 则积分4f 1(t )*[f 2(t )+f 3(t )]=f 1(t )*f 2(t )+f 1(t )*f 3(t )123()[()()]f t f t f t *+证:根据卷积的定义1213()()d ()()d f f t f f t ττττττ+∞+∞-∞-∞=-+-⎰⎰1213()()()().f t f t f t f t =*+*123()[()()]d f f t f t ττττ+∞-∞=-+-⎰卷积的加法分配律2.卷积定理11221212-11212()[()],()[()],[()()]()(),[()()]()().F f t F f t f t f t F F F F f t f t ωωωωωω==*=⋅⋅=*设则 或 F F F F●二、拉普拉斯变换的概念 ● 0[()]()()stL f t f t edt F s +∞-==⎰此为函数f(t)的Laplacer变换式● 记为=)(sF )]([t f● 若F(s)是f(t)的Laplace 变换,则称f(t) 为F(s) Laplace 的逆变换(或称为象原函数)记为, f(t)=[F(s)]三、几个常用函数的拉普拉斯变换[ktsin]=22ksk+; [ktcos]=22kss+四、拉普拉斯变换的性质(下文都用L表示)●微分性（时域）：若L[f(t)]=F(s) 则有()()()2[]0,[()]()(0)(0)L f t s F s f L f t s F s s f f''''=-=--●微分性（频域）：-L[tf(t)]=()()[()]L t f t F s'-=，()()()[()]n nL t f t F s-=●积分性（时域）：若L[f(t)]=F(s) 则有()()[]t F sL f t dts=⎰●积分性（频域）：()()[]sf tL F s dst∞=⎰（收敛）●位移性（时域）：()()[]atL e f t F s a=-●延迟性若L[f(t)]=F(s),又t<0j时f(t)=0则对于任一非负实数τ,有L[f(t-τ)]=)(sFe sτ-或1-L[)(s Fe sτ-]=f(t-τ)七、卷积及卷积定理●1212()*()()()f t f t f f t dτττ+∞-∞=-⎰● 1212[()()]()()L f t f t F s F s *=⋅ ● 1-L [)()(21s F s F ∙]=)()(21t ft f *例3若)1(122+=s s F S,求f(t).由卷积定理可得111)1(12222+∙=+=s ss s F S令)(1s F =21s)(2s F =112+s于是有 t t f =)(1,t t f sin )(2= 由卷积定理可得 f(t)t t t t t f t f sin sin )()(21-=*=*={t t t t sin sin -=* 参照课本P101例1 此题也应掌握!!!}八、几个积分公式 ● 分部积分:)()()()()()()()(x dg x x g x x d x g dx x g x bababab a⎰⎰⎰-*==*'μμμμ。

积分变换复习提纲（20学时）——基本内容第一章Fourier变换（一）目的与要求1．熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理，理解Fourier变换与逆变换的概念，单位脉冲函数的概念；2．了解周期函数的Fourier级数及其复数形式，Fourier变换的物理意义—频谱，卷积与卷积定理，单位脉冲函数的性质；3．掌握一些函数的Fourier变换与逆变换的求法，Fourier变换与逆变换的性质。

（二）教学内容第一节Fourier积分1．主要内容：傅里叶积分。

2．基本概念和知识点：Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。

3．问题与应用（能力要求）：熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。

第二节Fourier变换1．主要内容：傅里叶变换。

2．基本概念和知识点：傅里叶变换及其逆变换的概念，单位脉冲函数的性质，Fourier变换的物理意义—频谱。

3．问题与应用（能力要求）：理解傅里叶变换及其逆变换的概念，了解单位脉冲函数的性质，Fourier变换的物理意义—频谱。

第三节Fourier变换的性质1．主要内容：傅里叶变换的性质。

2．基本概念和知识点：傅里叶变换的性质。

3．问题与应用（能力要求）：掌握傅里叶变换的性质，一些函数的Fourier变换与逆变换的求法。

第四节卷积与相关函数1．主要内容：卷积与相关函数。

2．基本概念和知识点：卷积与相关函数的概念，卷积定理。

3．问题与应用（能力要求）：了解卷积与相关函数的概念，卷积定理。

第五节Fourier变换的应用1．主要内容：Fourier变换的应用。

2．基本概念和知识点：微分方程的Fourier变换解法。

3．问题与应用（能力要求）：掌握一些微分方程的Fourier变换解法。

（三）课后练习习题一21)2）；31),3)；4；习题二1；31)；7；9；12；习题三2；3；4；7；8；10；112),4) 6),8)；习题四16) 8)；2；52) 4) 5) 6)。

傅里叶变换是一种在数学、物理和工程领域广泛应用的工具，它可以将一个信号或函数表示为不同频率的叠加形式。

对于一维有限傅里叶积分变换，以下是其基本步骤：
1. 定义：如果一个函数f(x)在区间[0, N]上绝对可积，那么它的傅里叶变换F(k)可以通过以下公式定义：
F(k) = ∫_{0}^{N} f(x) e^{-2πikx/N} dx
其中，k是整数，表示频率。

2. 逆变换：对于任意函数g(k)，如果在区间[-N/2, N/2]上绝对可积，那么它的逆变换g(x)可以通过以下公式求得：
g(x) = ∑_{k=-N/2}^{N/2} g(k) e^{2πikx/N}
其中，k是整数，表示频率。

3. 性质：傅里叶变换具有线性、平移、周期、对偶、相似和卷积等性质。

这些性质对于理解和应用傅里叶变换非常有用。

4. 应用：傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信、控制系统等领域有广泛的应用。

例如，在信号处理中，傅里叶变换可以用于分析信号的频谱；在图像处理中，傅里叶变换可以用于进行图像滤波、去噪等操作。

请注意，由于一维有限傅里叶积分变换涉及到复数和积分运算，因此在实际应用中可能需要使用数值计算的方法来近似求解。